山東省濰坊市2022-2023學(xué)年高二年級下冊期中數(shù)學(xué) 含解析

高二數(shù)學(xué)試卷

本試卷共4頁.滿分150分.考試時間120分鐘.

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準(zhǔn)考證號、姓名.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上

無效.

3.考試結(jié)束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回.

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.已知函數(shù)“尤）=sinx+Y,則八x）=（）

A.cosx+2xB.cosx-2x

C.-cosx+2xD.一cosx—2x

【答案】A

【解析】

【分析】直接利用函數(shù)的求導(dǎo)公式，導(dǎo)數(shù)的四則運算進行求解.

【詳解】根據(jù)求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的加法，/'（x）=cosx+2x.

故選：A

2.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S,，%+%=6,貝嶼3=（）

A.18B.21C.39D.42

【答案】C

【解析】

【分析】利用等差數(shù)列的前〃項和公式結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求解.

【詳解】解：因為等差數(shù)列｛q｝的前〃項和為S,，a3+a?=6,

所以S13（q+%）=13（，+qJ=Px6=39,

13222

故選：c

3.如果一次伯努利試驗中，出現(xiàn)“成功”的概率為g,記6次獨立重復(fù)試驗中出現(xiàn)“成功”的次數(shù)為X,則

ZXX)=()

24

A.—B.—C.2D.4

33

【答案】B

【解析】

【分析】伯努利試驗中隨機變量服從二項分布，根據(jù)方差的計算公式￡KX)=〃p(l-p)即可算出結(jié)果.

【詳解】解：伯努利試驗中隨機變量服從二項分布，即X

因為出現(xiàn)“成功”的概率為,，所以〃=1,

33

因為6次獨立重復(fù)試驗，所以〃=6，

114

所以。(X)=〃〃(l—〃)=6x—x(l-

故選：B.

4.4知函數(shù)“力的導(dǎo)函數(shù)為/'(x),若〃x)=2靖⑴+lnx,則/'。)=()

A-1B.1C.-2D.2

【答案】A

【解析】

【分析】求得r(x)=2/'(i)+J令％=i,即可求解.

【詳解】由函數(shù)〃x)=24'(l)+hw,可得r(x)=2/'(l)+J,

令X=l,可得/'(1)=2/'(1)+1,解得/=

故選：A.

5.某學(xué)校對高二學(xué)生是否喜歡閱讀進行隨機調(diào)查，調(diào)查的數(shù)據(jù)如下表所示：

不喜歡閱

喜歡閱讀總計

讀

男學(xué)生302050

女學(xué)生401050

總計7030100

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，下列對該校高二學(xué)生的說法正確的是（）

P

0.250.150.100.050.0250.0100.001

（犬2次）

2

k1.3232.7063.8415.0246.63510.828

072

A.沒有95%以上的把握認(rèn)為“性別與是否喜歡閱讀有關(guān)”

B.有99%以上的把握認(rèn)為“性別與是否喜歡閱讀有關(guān)”

C.在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為“性別與是否喜歡閱讀有關(guān)”

D,在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“性別與是否喜歡閱讀有關(guān)”

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，求得K?的值，再與臨界值表對照，逐項判斷.

2

【詳解】解：^=100（30X10-20X40）=10Q^4762

70x30x50x5021

A.因為4.762>3.841,所以有95%以上的把握認(rèn)為“性別與是否喜歡閱讀有關(guān)"，故錯誤；

B.因為4.762<6.635,所以沒有99%以上的把握認(rèn)為“性別與是否喜歡閱讀有關(guān)"，故錯誤；

C.因為4.762<5.024,所以在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下，不能認(rèn)為“性別與是否喜歡閱讀有

關(guān)”，故錯誤；

D.因為4.762>3.841,所以在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“性別與是否喜歡閱讀有關(guān)“，故D

正確；

故選：D

6.若（x-工）的展開式中，所有的二項式系數(shù)之和為64,則該展開式中的常數(shù)項為（）

A.10B.20C.-10D.-20

【答案】D

【解析】

【分析】首先利用2"=64求出〃，然后再利用二項式展開式的通項即可求解.

【詳解】根據(jù)題意可得2"=64,解得〃=6,

則(X—!)6展開式的通項為C/6-r(—_l)r=(—l>C"6-2r,

XX

令6—2尸=0,得r=3,

所以常數(shù)項為：(—1)3(2江6-3=_*_：X；X：=_20.

故選：D.

7.已知數(shù)列｛斯｝的前八項和為S”，4=2,an,+n=aman,則S5=()

A.64B.62C.32D.30

【答案】B

【解析】

[分析]根據(jù)am+n=aman得至ij4=4,a3=8,4=16,a5=32,相加得到答案.

【詳解】弓=2，am+?=aman,

則4=q，q=4,a3=a1-a2=S9a4=a2a2=i69a5=a2-a3=32.

故S5=q+凡+q+4+。5=2+4+8+16+32—62.

故選：B

8.已知是定義在(-1,+8)上的可導(dǎo)函數(shù)，且滿足/(x)<一?</'(x),則不等式

/(8-1)>(8+1)/(犬一1)的解集是()

A.(-1,1)B.[1,+OO)C.(0,1]D.(0,+oo)

【答案】D

【解析】

【分析】先根據(jù)〃X)<—構(gòu)造新函數(shù)g(x)=4(x),從而得到新函數(shù)g(x)的單調(diào)性，然后再對要

求的不等式變形，變成“/(〃?)>/(〃)”的形式，然后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性去掉對應(yīng)關(guān)系“f”，從而解得答

案.

【詳解】因為/(X)定義在(一1,物)上，所以/(X—1)>(》+1)/(》2一1)中的式子要有意義，

X—1>—1,

需滿足《2，解得X>0.

X-1>-1

因為/(X)<—4'(x)，所以/(x)+/(x)<0,即(#(x))C<0,

設(shè)函數(shù)g(x)=4Xx)(x>T)，則g(x)在定義域上單調(diào)遞減.

要求/(》_1)>(*+1)/(》2_1),則

當(dāng)X—1>0,即x>10寸，(x-1)/(%-1)>(x2-1)f(x2-1),即g(x—l)>g(x2—1),

所以一1，解得x>l或x<0,所以x>l；

當(dāng)X—l<0,即O<X<1時，(X—l)/(x—1)<@2—1)/(爐—1),即g(x—l)<g(x2—l),

所以解得0Vx<1；

在y(x)<-4'(x)中，令x=0得/(0)<0,

而在/(x—I)>(x+l)/(x2—I)中，當(dāng)％-1=0時，有/(0)>2/(0),顯然成立；

綜上，/(X-1)>(X+1)/(X2-1)的解集為(0,+8).

故選：D.

二、多項選擇題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有

多項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.

9.下列說法正確的是()

A.相關(guān)系數(shù)『越小，說明兩個變量之間的線性相關(guān)性越弱

B.若尸(B\A)=P(B),且尸(B)>0,則事件4,B相互獨立

C.回歸直線9=去+〃恒過樣本中心點正,亍)，且至少經(jīng)過一個樣本點

D.殘差平方和越小，線性回歸模型的擬合效果越好

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)線性回歸直線的相關(guān)知識可判斷選項A,C,D；利用相互獨立事件的概念即可判斷選項B.

【詳解】線性相關(guān)系數(shù)M越大，兩個變量的線性相關(guān)性越強，故選項A錯誤；

因為P(BIA)=P(B),且尸(B)>0,所以事件A,8相互獨立，故選項B正確；

回歸直線》=晟+4恒過樣本中心點丘,亍)，當(dāng)不一定經(jīng)過樣本點，故選項C錯誤；

殘差平方和越小的模型，線性回歸模型的擬合效果越好，故選項D正確；

故選：BD.

10.己知函數(shù)TV）的導(dǎo)函數(shù)/'（x）的圖象如圖所示，則（）

-2-11],/

A.f（x）有且僅有兩個極值點

B./（X）在區(qū)間（2,+8）上單調(diào)遞增

C.若f（x）在區(qū)間（加，加+1）上單調(diào)遞增，則機的取值范圍為例4-4或加23

Df（x）可能有四個零點

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)/（X）的圖象，得出函數(shù)/*）的單調(diào)性，結(jié)合極值點的概念和單調(diào)性，逐項判定.

【詳解】根據(jù)/‘（X）的圖象，

當(dāng)x<—3時，f'（x）>0,/（x）單調(diào)遞增：

當(dāng)一3<x<3時，/（x）<0,/*）單調(diào)遞減；

當(dāng)x>3時，f'（x）>0,/㈤單調(diào)遞增;

當(dāng)x=—3時，/（x）取得極大值，當(dāng)x=3時，/⑺取得極小值，所以A正確；

而B錯誤；

若f（x）在區(qū)間（加,加+1）上單調(diào)遞增，則m+1W-3,或加23,

解得〃zW-4或//23,所以C正確；

根據(jù)函數(shù)/（x）的單調(diào)性，可知函數(shù)fix）的圖象與x軸最多有三個交點，

所以D錯誤.

故選：AC

11.圍棋起源于中國，據(jù)先秦典籍《世本》記載：“堯造圍棋，丹朱善之”，至今已有四千多年的歷史.

在某次圍棋比賽中，甲，乙兩人進入決賽.決賽采用五局三勝制，即先勝三局的一方獲得比賽冠軍，比

賽結(jié)束.假設(shè)每局比賽甲勝乙的概率都為，（04。<1）,且每局比賽的勝負(fù)互不影響，記決賽中的比賽

局?jǐn)?shù)為X,則()

A.乙連勝三場的概率是(l-p)3

B.P(X=4)=3/(l_p)+3p(l_p)3

C.P(X=5)=12p2(l—p)2

D.P(X=5)的最大值是!

o

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)題意列出決賽中的比賽局?jǐn)?shù)為X的概率分布列，然后對照選項逐項分析即可判斷.

【詳解】乙連勝三場時比賽局?jǐn)?shù)可能是3,4,5,若比賽局?jǐn)?shù)為3時，乙連勝三場的概率是(1-〃)3；若比賽

局?jǐn)?shù)為4時，乙連勝三場的概率是p(l-p)3；若比賽局?jǐn)?shù)為5時，乙連勝三場的概率是p?。-。)?；故選

項A錯誤；

由題意可知，決賽中的比賽局?jǐn)?shù)X的可能取值為3,4,5,

則P(X=3)=p3+(l—p)3=l-3p+3p2；

p(X=4)=3(l-p)p3+3p(l-p)3=12p3-6p4-9/?2+3p；故選項B正確；

P(X=5)=l-尸(X=3)-P(X=4)=6p4—12p3+6p2;故選項C錯誤；

令/(p)=6//—12/+6加，則/'(p)=24/—36p2+12p=12P(2p—l)(p—1),

因為所以當(dāng)時，f(p)>0,當(dāng)g<p<l時，/'(p)<0；

當(dāng)函數(shù)/(P)在［0,g)上單調(diào)遞增，在(；/)上單調(diào)遞減，

I34

則當(dāng)p=q時，函數(shù)/(P)取最大值9,所以尸(x=5)的最大值是，故選項D正確；

28o

故選：BD.

12.給定無窮數(shù)列｛叫，若無窮數(shù)列｛2｝滿足:對任意〃eN*,都有則稱也｝與｛為｝

“接近”，貝U()

A.設(shè)%=3x上,2=(—1)”\則數(shù)列也｝與｛叫“接近”

(1、"T

B.設(shè)??=-,2=4+|+1,則數(shù)列出｝與｛4｝“接近”

\27

C.設(shè)數(shù)列｛凡｝的前四項為q=1,生=2,a3=4,a4=8,｛〃｝是一個與｛%｝接近的數(shù)列，記集合

M=｛x|x=%i=l,2,3,4｝,則“中元素的個數(shù)為3或4

D.已知｛4｝是公差為d的等差數(shù)列，若存在數(shù)列抄/滿足：｛2｝與｛凡｝接近，且在b2-blt

仇一打，L,b2Qi-b20Q中至少有100個為正數(shù)，則d>-2

【答案】BCD

【解析】

311/1V

【分析】計算|優(yōu)一出|=：+1=丁>1，A錯誤，確定一?！皘=1一彳<1得到B正確，計算〃的范

ooy27

圍，考慮相等的情況得到C正確，考慮d>0,d=O,—2<d<0和d?-2四種情況，計算得到答案.

311

【詳解】對選項A：陶一勾=三+1=丁>1，錯誤；

OO

4=。M+1=出+1，+，(￡)=1-1)41，正確;

對選項B：

對選項C：故4故4G[0,2],h2e[l,3],b3e[3,5],

&e[7,9],故可能可和外相等，仇和久相等，但不能同時成立，白也也與〃不相等,

故M中元素的個數(shù)為3或4,正確；

對選項D：｛〃“｝是公差為d的等差數(shù)列，若存在數(shù)列｛包｝滿足：｛d｝與｛““｝接近，

可得4=4，

①若”>0,取勿=4'|以一⑷=0?1,bn+l-bn=an+l-an=d>0,

則b2-bt,4-仇，L,h20i-b2ao中有200個正數(shù)，符合題意；

②若d=0,取2=q-!，貝!|忱一a,J=q-----6=一<1,〃eN*，

nnn

可得一一\>0，則4，b3-b2,L,401一80c中有200個正數(shù)，符合題意;

n/?+1

③若一2cd<0,可令與"T=。2"-1一1，匕2,=。2"+1，滿足的,一。“|41，

4"一處-1=%,+1-(%-1T)=2+d>0，

則82-々，4一包，L,。201-匕200中恰有1。0個正數(shù)，符合題意；

④若"4一2,若存在數(shù)列｛2｝滿足：｛0｝與｛凡｝接近，即為為一14a<%+1,

%TW%Va“+|+l,可得bn+i-bn<a?+1+l-(a?-l)=2+J<0,

瓦-仄,b.-b2,L,/^一^^中無正數(shù)，不符合題意.

綜上所述：4的范圍是(一2,+8),正確.

故選：BCD

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了數(shù)列的新定義，意在考查學(xué)生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，

其中將等差數(shù)列的公差討論四種情況，可以簡化運算，是解題的關(guān)鍵，分類討論是常用的數(shù)學(xué)方法，需

要熟練掌握.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.

13.要安排4位同學(xué)表演文藝節(jié)目的順序，要求甲不能第一個出場，則不同的安排方法共有

種.

【答案】18

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由特殊元素優(yōu)先處理，先安排甲，然后其他同學(xué)順序沒有限制，即可得到結(jié)果.

【詳解】因為甲不能第一個出場，則甲可以排在第二，三，四的位置，共3種，

剩下3名同學(xué)的排序為A；,

所以不同的安排方法共有3A；=18種.

故答案為：18

14.已知函數(shù)〃%)=與二竺在x=0取得極值，則。=

【答案】0

【解析】

【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合廣(。)=0求參數(shù)m注意驗證x=0是否取得極值.

■、斗叼、‘,(、(6x+a)ex-(3x2+ax)ex3x2+(a-6)x-a

［詳解］/(x)=--------苫-----------=---------：--------

ee

由題意/'(0)=。=0,此時/(x)=宜，故/lx)」—),

exe

所以(-00,0),(2,a)上r(x)<0,(0,以上MX)>0,

即（HO,0）,（2,+w）上/（X）遞減，（0,2）上/（X）遞增，則X=O取得極小值,

所以a=0.

故答案為：0

15.已知數(shù)列｛?！埃那皀項和為S,且滿足：①從第2項起，每一項與它的前一項之差都等于一2；②當(dāng)〃=5

時，S取得最大值.則?！?.（寫出一個即可）

【答案】勺=11-2〃（答案不唯一）

【解析】

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.

【詳解】由題意可知，數(shù)列｛%｝的公差”=一2,

要使當(dāng)〃=5時，數(shù)列｛4｝的前〃項和為S取得最大值，則處20,440，

則為=11-2〃滿足條件，

故答案為：an=\\-2n（答案不唯一）.

16.將字母a,a,a,b,b,b,c,c,c放入3x3的表格中，每個格子各放一個字母.

①每一行的字母互不相同，且每一列的字母也互不相同的概率為；

②若表格中一行字母完全相同的行數(shù)為S則4的均值為.

13

【答案】?.—②.一

14028

【解析】

【分析】運用排列中的倍縮法求出9個字母的排列數(shù)，當(dāng)每一行的字母互不相同，且每一列的字母也互

不相同時，分三列依次討論9個字母的排列情況，進而求出概率；行數(shù)可能取值為0,1,3,進而求出分?jǐn)?shù)

為1和3的概率，然后通過分布列的性質(zhì)求出行數(shù)為0的概率，最后求出均值.

【詳解】當(dāng)每一行的字母互不相同，且每一列的字母也互不相同時，第一列mb,c三個字母全排列，有

A；種方法，第二列剩下的a,b,c三個字母的排列方法有A；種，第三列剩下的a,b,c三個字母的排

列方法有1種，所以共有人通卜1=12、1=12種排列方法，9個字母在3*3的表格中進行排列，共有

A9]21

；=1680種排列方法,所以所求概率為

A3；A人、；A；31680140

由題意知，行數(shù)4的可能取值為0,1,3,/、03c3人總一227

尸(J=1)=-------:~:-----=---

''1680280

3

PC=3)=A4=」1一,P(g=0)=l-PC=l)—PC=3)=1--2-7-------1-=—9，所以行數(shù)g的均值為

168028028028010

“八927_1303

E(a=ox—+ix——+3x—=

10280280一麗一28

3

故答案為：---，

14028,

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知曲線/(x)=/一辦+人在坐標(biāo)原點處的切線方程為y=-3x.

(1)求實數(shù)。力的值；

(2)求/*)在[-2,3]上的值域.

【答案】(1)a=3,b=0

(2)[-2,18]

【解析】

【分析】(1)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的兒何意義，切線經(jīng)過的點列方程求解：

(2)求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的極值然后求出端點處的函數(shù)值，和極值比較大小，從而得到函

數(shù)的值域

【小問1詳解】

f'(x)^3x2-a,由題意得.(0)=—3=-tz,/(O)=0=b,

解得a=3,1=0

【小問2詳解】

由⑴知/(x)=d—3%,/'(%)=3%2—3,

令"x)>0,即3/一3>0,解得》<一1或%>1；

令/'(x)<0,即3/一3<0,解得一1<X<1.

所以〃x)在(-2,-1)單調(diào)遞增，(-1,1)單調(diào)遞減，(1,3)單調(diào)遞增,

則fw的極大值為/（-I）=2,極小值為/（I）=-2-

又因為/（-2）=-2,/（3）=18,即/（x）在［-2,3］上的最大值，最小值分別為18,—2.

故f（x）在［-2,3］上的值域為［-2,18］

18.己知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，且S“=〃2+2〃.

（1）求證：數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列；

（2）設(shè)2=-——，求數(shù)歹也｝的前八項和.

%%任1

【答案】（1）證明見解析

n

⑵3（2〃+3）

【解析】

【分析】（1）根據(jù)前"項和與通項公式之間的關(guān)系可得?！?2〃+1,再結(jié)合等差數(shù)列定義證明;

（2）結(jié)合（1）中的結(jié)果，利用裂項相消法求解.

【小問1詳解】

當(dāng)〃=1時，貝(J4=S]=3；

當(dāng)“22時，則a”=S“—S“T=(〃2+2〃)一+2(?-1)]=2//+1；

顯然當(dāng)〃=1時，也滿足上式,

所以?！?2〃+1.

當(dāng)稔2時，則a“一?！保?（2〃+1）-［2（4一1）+1］=2,

所以數(shù)列｛4｝是首項為3,公差為2的等差數(shù)列.

【小問2詳解】

,1\(11、

由⑴可知，。，=2〃+1,則4=伽+1)(2〃+3)=5匕幣—五百1

可得向+仇+

11_n

64〃+63（2〃+3）

n

所以數(shù)列｛〃｝前〃項和為

3（2n+3）,

19.第三次人工智能浪潮滾滾而來，以C/7WGPT發(fā)布為里程碑，開辟了人機自然交流的新紀(jì)元.C/zwGPT所

用到的數(shù)學(xué)知碑，開辟了人機自然交流的新紀(jì)元.C%〃GPT所用到的數(shù)學(xué)知識并非都是遙不可及的高深理

論，條件概率就被廣泛應(yīng)用于C/M"GPT中.某數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升小組設(shè)計了如下問題進行探究：現(xiàn)有完全相同

的甲，乙兩個箱子（如圖），其中甲箱裝有2個黑球和4個白球，乙箱裝有2個黑球和3個白球，這些球除

顏色外完全相同.某人先從兩個箱子中任取一個箱子，再從中隨機摸出一球.

乙

（1）求摸出的球是黑球的概率;

（2）若已知摸出的球是黑球，請用概率公式判斷該球取自哪個箱子的可能性更大.

【答案】（1）—

30

（2）該球取自乙箱的可能性更大

【解析】

【分析】（1）利用全概率公式求摸出的球是黑球的概率；

（2）利用貝葉斯公式求黑球來自甲、乙箱的概率，比較它們的大小，即可得結(jié)論.

【小問1詳解】

記事件A表示“球取自甲箱”，事件N表示“球取自乙箱”，事件8表示“取得黑球”，

則P（A）=P（Z）=g,尸（B|A）=|=g,P（B|A）=|,

由全概率公式得：P（3）=P（A）P（B|A）+P（Z）P（B|Z）+=

【小問2詳解】

該球取自乙箱的可能性更大，理由如下:

1x1

該球是取自甲箱的概率p（AIB）=P（竺!，⑷=23=A,

n11

30

/—、/一\12

尸⑷.⑻心x._6

P（B）Hif

30

因為P（A|B）<P（,⑻，所以該球取自乙箱的可能性更大.

20.已知等比數(shù)列｛?！埃墓?>1,且“3+4+%=28,%+2是。3，%的等差中項?

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式；

,x....4〃-1

（2）已知數(shù)列出｝滿足a=1,bn+]-bn=-----，求女.

%

【答案】⑴%=2"T

（\V'-2

⑵2=15-（4〃+3）弓

J

【解析】

【分析】（1）由題意求出公比和%即可求數(shù)列｛%｝的通項公式：

（2）分別用累加法和錯位相減法求包.

【小問1詳解】

解：因為。4+2是%，%的等差中項，所以%+%=2（。4+2），

所以生+〃4+%=3%+4=28,解得見=8,

所以％+%=20,所以8（q+'）=20,由4>1可解得夕=2,

q

所以%=?q'l=8-2"T=2"T，

即數(shù)列｛4｝的通項公式為4=2"。

【小問2詳解】

由題意知，

*「勿=（4〃T）擊，

“a=7x出,

（］y-2

力一如=（47）2,

累加得

（力2-0）+（0-。）++（4-1-4-2）+（年一%）

xn-3

0++（4〃一9）（；+（4〃-哈

3x-+7x

7

xn-2

［；）++（4〃一9）出+（4〃-5）（；

+7x

77

n-2

設(shè)M=3x（g）+7xfl|++（4〃—9）1）+（4〃—5）0

',H>2,

<2

\2

1..c1r門1

-M=3x-+7x-4-+（4〃一9）（4H-5）

222）

配+4x

所以1M=3+4X-+4X

22

11

1-

3+4x12"-2-（4〃-唱

整理得M=14—（4〃+3）出n-2

n-2

所以或=15—（4〃+3）；

又白=1,

21.從傳統(tǒng)旅游熱點重現(xiàn)人山人海場面，到新興旅游城市異軍突起；從“特種兵式旅游”出圈，至『'味蕾游’'興

起；從文博演藝一票難求，到國風(fēng)國潮熱度不減……2023年"五一”假期旅游市場傳遞出令人振奮的信息.

這個“五一，，假期，您在游玩時的滿意度如何?您對景區(qū)在“吃住行游購娛，，等方方面面有哪些評價和感受?為

此，某市文旅局對市內(nèi)各景區(qū)進行了游客滿意度測評（滿分100分）.

（1）本市一景區(qū)隨機選取了100名游客的測評成績作為樣本并進行統(tǒng)計，得到如下頻率分布表.

成[0,[20,[40,[60,[80,

績20)40)60)80)100]

頻

010.10.30.350.15

率

按照分層抽樣的方法，先從樣本測評成績在［0,20),［80,100］的游客中隨機抽取5人，再從這

5人中隨機選取3人贈送紀(jì)念品，記這3人中成績在［80,100］的人數(shù)為X,求X的分布列及期

望；

(2)該市文旅局規(guī)定游客滿意度測評成績在80分及以上為“好評”，并分別統(tǒng)計了該市7個景區(qū)滿意度測

評的平均成績x與“好評”率y,如下表所示：

X32415468748092

y0.280.340.440.580.660.740.94

根據(jù)數(shù)據(jù)初步判斷，可選用y=在忒化>0)作為回歸方程.

(i)求該回歸方程；

(ii)根據(jù)以上統(tǒng)計分析，可以認(rèn)為本市各景區(qū)滿意度測評平均成績x~N(〃，400),其中〃近似

為樣本平均數(shù)a,估計該市景區(qū)“好評”率不低于0.78的概率為多少？

7___

2尤//.-Ixz

參考公式與數(shù)據(jù)：若z=Iny,則z工一0.64,嚀----------工0.02,ln0.15=-1.9,ln5.2?1.66.

Z^.2-7x

/=1

〃__

^x^-nxy__

線性回歸方程$=+&中，b=R-------------,a=y-bx

E%2-nx-2

i=\

若隨機變量X~N(〃K),則

尸(〃一b<X<〃+b)n0.683,尸(〃一2bvXv〃+2b)n0.954,P(Q3O<X<〃+3cr)?0.997

【答案】(1)分布列見解析，1.8

(2)(i)y=0.15e°g；(ii)0.1585

【解析】

【分析】(1)根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)可知X的取值范圍是{1,2,3},然后算出每一個值對應(yīng)的概率，列

出分布列，代入均值的計算公式即可求解；

(2)(i)根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)，利用最小二乘法即可求解方程：

(ii)利用正態(tài)分布的性質(zhì)即可求解.

【小問1詳解】

按照分層抽樣的方法，測評成績在[0,20)的游客有2人，[80,100]的游客有3人，則X的取值范圍是

{1,2,3},

p(x=1)=^2^=0.3,尸(X=2)=^^=0.6,p(x=3)=^^=o.l,

C5C5C5

￡(X)=1x0.3+2x0.6+3xO.l=1.8.

【小問2詳解】

(i)對曠="'*兩邊取對數(shù)得lny=lnk+4x,令z=lny,則z=/lx+lnZ

7___

Z%z,.-7xz

根據(jù)所給公式可得/I?0.02

_32+41+54+68+74+80+925

又因為x=-----------------------------=63,z~-0.64

所以In攵=-0.64—0.02x63=—1.9,即枚0.15,

所以該回歸方程為y=0.15e°°2,.

(ii)由⑴及參考數(shù)據(jù)可得fi~x=63,<7=20,

]n52

由)20.78即(0.156°必之0.78可得x2石方a83,

又〃+戶83,P(N-o<x</i+(y)-0.683

由正態(tài)分布的性質(zhì)得

P(xN83)=g[l—P(〃—b<x<〃+cr)]a0.1585,

估計該市景區(qū)“好評”率不低于0.78的概率為0.1585.

22.已知函數(shù)/(x)=2olnx-尤之+。，aeR

(1)討論函數(shù)/(幻的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)/(X)有兩個零點芭,當(dāng),且王〈龍2，曲線y=f(x)在這兩個零點處的切線交于點(天,%)，求

證：馬小于4和々的等差中項；

(3)證明：21r+—++----,〃eN"

'7234n+1

【答案】(1)答案見解析