2023-2024學(xué)年江蘇省南京市高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬檢測(cè)試題（含答案）

2023-2024學(xué)年江蘇省南京市高二上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬檢測(cè)試題

一、單選題

1.在等比數(shù)列｛叫中，q=3,公比4=2,則4=()

A.24B.48

C.54D.66

【正確答案】A

【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量計(jì)算出答案.

【詳解】4=4。"=3x2'=24.

故選：A

2.曲線y=4在點(diǎn)(LI)處的切線與直線V=日平行，則實(shí)數(shù)Z=()

A.—2B.—cD.1

2??

【正確答案】C

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解.

【詳解】y'=3?,χ=ι時(shí)，”=；所以衣=?.

故選：C.

3.已知平面ɑ的一個(gè)法向量嗎=(3,0,2),平面〃的一個(gè)法向量%=(2,1,6),若a，/7,則;I=

()

9

A.-B.4C.-1D.1

2

【正確答案】C

【分析】根據(jù)題意，由面面垂直可得法向量也相互垂直，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，代入計(jì)

算即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閯t可得n,_L%,

且“i=(3,0"),n2=(2,I,6),

則可得6+62=0,解得4=一1

故選:C

4.若直線3x+4y+∕n=0與圓f+y2-2y=0相切，則實(shí)數(shù)W取值的集合為()

A.{~^1,1}B.{-9,1}C.{1}D.{-8,2}

【正確答案】B

【分析】根據(jù)題意，由直線與圓相切可得”=廠，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，代入計(jì)算，即

可得到結(jié)果.

【詳解】由圓/+y2-2y=0可得/+(yT)2=],表示圓心為(0,1),半徑為1的圓，

則圓心到直線3x+4y+相=0的距離d='+時(shí),

√32+42

因?yàn)橹本€3x+4y+m=0與圓￡+9一2曠=0相切，

所以d=r,即-1，解得W=I或加=-9,

√32+42

即實(shí)數(shù)加取值的集合為{-9,1}

故選:B

5.己知A：+C：=30,則〃=()

A.3B.4C.5D.6

【正確答案】C

【分析】利用排列數(shù)、組合數(shù)公式得到3"("-l)=30,解方程即得解.

2

【詳解】解：A：+C：=〃(〃-\)+^^=3"("T)=3O,整理得"_〃_20=0,

解得〃=-4(舍)，n=5.

故選：C.

6.函數(shù)y=/(χ)的導(dǎo)函數(shù)y=F'(χ)的圖象如圖所示，則函數(shù)y=/。)的圖象可能是

【詳解】原函數(shù)先減再增，再減再增，且X=O位于增區(qū)間內(nèi)，因此選D.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)圖象與原函數(shù)圖象的關(guān)系：若導(dǎo)函數(shù)圖象與X軸的交點(diǎn)為飛,

且圖象在與兩側(cè)附近連續(xù)分布于X軸上下方，則％為原函數(shù)單調(diào)性的拐點(diǎn)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來

討論函數(shù)單調(diào)性時(shí)，由導(dǎo)函數(shù)/(X)的正負(fù)，得出原函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間.

7.安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安

排方式共有()

A.12種B.18種C.24種D.36種

【正確答案】D

2

【詳解】4項(xiàng)工作分成3組,可得：C4=6,

安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，

3

可得：6x4=36種.

故選D.

8.已知數(shù)列｛q｝首項(xiàng)為2,且%M-4,=2"M,則4,=()

A.2"B.2n^'+1C.2"-2D.2"+'-2

【正確答案】D

【分析】由已知的遞推公式，利用累加法可求數(shù)列通項(xiàng).

【詳解】由已知得4τ-α,,=2"∣,a,=2,則當(dāng)〃≥2時(shí),有

aa=aaaa-12

n-?(n_n-?)+(,,-l~。"-2)++(2ɑi)=2"+2"++2,

2(1-2"]

1?J_y+1_2

an=T+T-'+--+2+aλ=2"+2"，…+22+2=

1-2

經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)"=1時(shí)也符合該式.???α.=2"*∣-2.

故選：D

二、多選題

9.下列四個(gè)選項(xiàng)中，不正確的是（）

A.數(shù)列…的一個(gè)通項(xiàng)公式是%=—j

B.數(shù)列的圖象是一群孤立的點(diǎn)

C.數(shù)列1,-1,L-1,…與數(shù)列-1,1,-1,1,…是同一數(shù)列

D.數(shù)列…，3是遞增數(shù)列

242n

【正確答案】ACD

1?

【分析】由4=5可判斷A；由數(shù)列的通項(xiàng)公式以及〃∈N*可判斷B；由數(shù)列定義可判斷

C；

由遞減數(shù)列定義可判斷D.

n12

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)通項(xiàng)公式為〃〃=—；時(shí)，α1=→f,不符合題意，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由數(shù)列的通項(xiàng)公式以及“eN*可知，數(shù)列的圖象是一群孤立的點(diǎn)，故選項(xiàng)B正確;

對(duì)于C,由于兩個(gè)數(shù)列中的數(shù)排列的次序不同，因此不是同一數(shù)列，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,數(shù)列占是遞減數(shù)列，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

24In

故選：ACD.

10.下列結(jié)論中正確的有（）

TT

A.若y=sin§,則V=OB.若/(x)=3/-尸⑴X,則尸(1)=3

若則

C.y=-4+x,V=-*+lD.若y=sinx+cosx,則y'=cosx+sinx

【正確答案】ABC

根據(jù)常見的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和常用的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求解即可.

【詳解】選項(xiàng)A中，若y=sinC=且，則y'=0,故A正確；

32

選項(xiàng)B中,若/（刈=3/_/⑴.",貝IJr（X）=6%-/⑴，

令x=1,則/⑴=6-尸⑴,解得尸⑴=3,故B正確;

選項(xiàng)C中，若y=-J7+x,貝Uy'=-5^+1，故C正確；

選項(xiàng)。中，若y=sinx+cosx,貝1Jy'=cosx-sinxχ,故￡)錯(cuò)誤.

故選:ABC

1.常見的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

d)(C),=O(C為常數(shù))；

,l

(2)(x")=n√"(n∈N+);

(3)(Λ7MV)'=COSX；(coSXy=-SinX；

(4)(ev)-ex；(優(yōu))=axlna(a>0,且4x1)；

(5)(Inx)'=-；(IogaX)'=Lk>gile(a>0,且"1).

XX

2.常用的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則

法則1：["(x)±v(x)了="'(x)土M(X).

法則2：[u(x)v(x)]-u'(x)v(x)+u(x)vf(%).

法則3：[里b3號(hào)*Io)

V(X)Ir(X)

11.已知7名同學(xué)排成一排，下列說法正確的是()

A.甲不站兩端，共有AX,種排法

B.甲、乙必須相鄰，共有用用種排法

c.甲、乙不相鄰，共有&&種排法

D.甲不排左端，乙不排右端，共有4-24+用種排法

【正確答案】AD

【分析】A選項(xiàng)通過特殊元素法判斷；B選項(xiàng)利用捆綁法判斷；C選項(xiàng)利用插空法判斷；D

選項(xiàng)用總情況減去不滿足的情況即可.

【詳解】A選項(xiàng)：甲不站兩端，甲有A；種，剩余6人全排，共有AM:種排法，正確；

B選項(xiàng)：甲、乙必須相鄰，甲、乙捆綁有8種，作為整體和剩余5人全排，共有種排

法，錯(cuò)誤;

C選項(xiàng)：甲、乙不相鄰，先排其他5人有父種，再把甲、乙插入6個(gè)空中，共有小父種排

法，錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)：甲不排左端，乙不排右端，用7人全排減去甲在左端的和乙在右端的，再加上甲在

左端同時(shí)乙在右端的，

共有禺-2魔+九種排法,正確.

故選：AD.

12.如圖，在四面體。ABC中，點(diǎn)M在棱04上，且滿足OM=2M4,點(diǎn)N,G分別是線段

BC,MN的中點(diǎn)，則用向量,OB.OC表示向量中正確的為（）

A.GN=--OA+-OB+-OCB.OG=-OA--OB+-OC

344344

113

C.GM=-OA+-OB+-OCD.GM=-OA--OB--OC

232344

【正確答案】AD

【分析】連接。N,利用空間向量基本定理以及空間向量的線性運(yùn)算進(jìn)行求解即可.

【詳解】連接QN,

因?yàn)辄c(diǎn)N,G分別是線段BC,MN的中點(diǎn),

所以O(shè)G=IOM+1。N,X2OA+_LXI(O8+oc),

222322

化簡(jiǎn)可得OG=!θA+!θB+JθC,故B錯(cuò)誤；

344

所以GN=ON-OG=；(O8+OC)VOA+”8+；OC)=-g0A+；08+；OC,故A正確

GM=GO+OM=--OA--OB--OC+-OA=-OA--OB--OC,故C錯(cuò)誤，D正確；

3443344

故選.AD

三、填空題

13.已知42,1,3)、B(-4,2,x)、C(l,-X,2),若向量04+。B與OC垂直(。為坐

標(biāo)原點(diǎn))，則X等于

【正確答案】4

【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示求解.

【詳解】OA=(2,1,3),OB=(^,2,x),OC=(1,-x,2),

?'?OA+OB=(-2,3,%+3),

向量。4+08與OC垂直，

.?.(OA+OB)?OC=-2-3X+2X+6=0,

:.x=4.

故4.

四、雙空題

14.已知函數(shù)"x)=l°g'(τ2+4x-3),則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,值域?yàn)?

2

【正確答案】[2,3)[0,+oo)

令，=-f+4χ-3>0,求得函數(shù)的定義域，根據(jù)/(x)=∣°gj在其定義域內(nèi)為單調(diào)減函數(shù)，

2

求函數(shù)/(x)=l°g∣(-x'+4x-3)的單調(diào)遞增區(qū)間轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f在定義域內(nèi)的減區(qū)間，再利

2

用二次函數(shù)的值域求整個(gè)函數(shù)的值域.

【詳解】解：令f=-χ2+4χ-3>0,可得l<x<3,故函數(shù)的定義域?yàn)?1,3).

因?yàn)?(x)=lOgj在其定義域內(nèi)為單調(diào)減函數(shù)，

2

故求f=-d+4x-3在定義域內(nèi)的減區(qū)間，又函數(shù)，在定義域內(nèi)的減區(qū)間為23),

所以函數(shù)/"^^/—/+?/，的單調(diào)遞增區(qū)間為⑵],

2

當(dāng)XG(1,3)時(shí)，f=*+?一3∈(0,l],則F(X)=IOgJeQy),

即函數(shù)/(X)=1°g∣(-χ2+4χ-3)的值域?yàn)閇0,+8).

2

?[2,3);[0,+∞).

本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬

于基本知識(shí)的考查.

五、填空題

15.求和：5n=l+(l+^)+(l+→^)+l+y+^-+^+...+(l+→→...+

【正確答案】2〃+擊—2

【分析】先化簡(jiǎn)數(shù)列4=2L

結(jié)合分組求和法即可求解.

【詳解】被求和式的第Z項(xiàng)為:

所以Sn=2(l-3+(l-

2

故2〃+擊-2.

16.如圖，圓形花壇分為4部分，現(xiàn)在這4部分種植花卉，要求每部分種植1種，且相鄰部

分不能種植同一種花卉，現(xiàn)有5種不同的花卉供選擇，則不同的種植方案共有種(用

數(shù)字作答)

【正確答案】260

【分析】先分1,3相同與1,3不相同兩類，每類中按分步計(jì)數(shù)原理，分2,4相同或不同

兩類求解，然后再分類計(jì)數(shù)原理求和.

【詳解】根據(jù)題意：當(dāng)1,3相同時(shí)，2,4相同或不同兩類，有：5X4×1×（1+3）=80種,

當(dāng)1,3不相同時(shí)，2,4相同或不同兩類，有：5x4x3x（l+2）=180種,

所以不同的種植方案共有80+180=260種，

故260

本題主要考查計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用問題，還考查了分析求解問題的能力，所以中檔題.

六、解答題

17.已知等比數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為2,前"項(xiàng)和為S“，且2邑-353+5,=0.

⑴求％;

⑵已知數(shù)列也｝滿足：bn=nan,求數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和Z,.

【正確答案】（I）”,,=2"

⑵7>（〃-1>2叫2

【分析】（1）根據(jù)題意，由2S2-3S3+S4=0可得公比q,再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得

到結(jié)果；

（2）根據(jù)題意，由錯(cuò)位相減法即可求得結(jié)果.

【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為4，

因?yàn)?S?-3S3+邑=0,所以2（S2-S3）+S&-S3=0,

所以%=2%,所以4=2,所以％=α"'T=2".

n

(2)由(1)得，b,l=n×2,所以(=1x2+2x22++n×2",……①

所以21=1x22+2x23++(n-l)×2,,+n×2"+',......②

~c小2x(1—2")

①-②，得_北=2+2?++2,,-M×2,,+'=―i------^-n×2n+l=(l-n)×2"+'-2>

所以r=(nT)?2"+∣+2.

18.已知雙曲線=l(a>0,b>0)的實(shí)軸長(zhǎng)為4,一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為-卜26,0).

(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知斜率為1的直線/與雙曲線C交于A,8兩點(diǎn)，且IAM=46,求直線/的方程.

【正確答案】(1)—-?=1!(2)y=x±]

48

【分析】(1)由雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)及焦點(diǎn)坐標(biāo)，再由。，b,C之間的關(guān)系求出匕，進(jìn)而求出

雙曲線的方程；

(2)由題意設(shè)直線A8的方程，與雙曲線聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，進(jìn)而求出弦長(zhǎng)I

的值，再由題意可得參數(shù)的值，即求出直線AB的方程.

【詳解】(1)由勿=4得a=2,又c=26,則〃=C=Y=8,

故雙曲線的方程為

48

(2)設(shè)直線/的方程為y=x+m,代入雙曲線方程可得f-2"7x-/一8=0,

2

設(shè)A(XI,χ),B(X2，%),則玉+支2=2加，xlx2=-W-8.

1

因?yàn)镮481=0?y∣(xl+x2)-4xyx2=4√5,

所以√LJ4W-4x(-病-8)=4JW+4=4后,解得機(jī)=±1,

所以直線/的方程為y=χ±i.

19.從4面不同顏色(紅、黃、藍(lán)、綠)的旗子中，選出3面排成一排作為一種信號(hào)，共能

組成多少種信號(hào)？

【正確答案】24

【分析】分步完成：第一步選3面旗幟，第二步3面旗幟全排列，由此可得.

【詳解】從4面不同顏色旗子中，選出3面排成一排能組成C：A：=24種信號(hào).

20.為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某幢

建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年

的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬元)與隔熱層厚度X(單位：cm)滿足關(guān)系：

40

C(X)=W^(I≤X≤1O),設(shè)AX)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和.

(1)求F(X)的表達(dá)式；

(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用/(χ)達(dá)到最小，并求最小值.

Q∩∩

【正確答案】⑴/(X)=吃∕6x(14x≤10)

(2)當(dāng)隔熱層修建5cm厚時(shí)，總費(fèi)用最小，最小值為70萬元.

【分析】(1)根據(jù)已給模型確定函數(shù)解析式；

(2)利用導(dǎo)數(shù)求得最小值.

【詳解】(1)每年能源消耗費(fèi)用為C(X)=4，建造費(fèi)用為6x,

3x+5

OAΛ

.?.∕(x)=20C(X)+6X=+6Λ?.(1≤X≤10).

?,/?,240025

(2)/(x)=6-K~-y,令f'(x)=O得x=5或(舍).

(3x+5)3

.??當(dāng)ι≤x<5時(shí)，∕,ω<o,當(dāng)5<x≤10時(shí)，f,(x)>O.

???∕(x)在［1,5)上單調(diào)遞減,在［5,10］上單調(diào)遞增.

???當(dāng)x=5時(shí)，/(x)取得最小值/(5)=7().

???當(dāng)隔熱層修建5cm厚時(shí)，總費(fèi)用最小，最小值為70萬元.

21.三棱柱ABC-ABe中，Aβ=AB1=AA1=AC=2,ZBAC=120,線段A4的中點(diǎn)為",

S-BClAM.

⑴求證：AMjL平面ABC；

2

(2)點(diǎn)尸在線段4G上，且=求二面角P-4A-A的余弦值.

【正確答案】(1)證明見解析

⑵警

【分析】(1)由TW_LA〃、BC_LAM根據(jù)線面垂直的判定定理可得AM上平面ABC；

(2)以A為原點(diǎn)，以AMAC.AM所在的直線為X、'Z建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面

BlAAi、平面PMA的一個(gè)法向量由二面角的向量求法可得答案.

【詳解】(1)三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∕∕A?B?,

在aAB∣A中，AB1=AA1,線段A4的中點(diǎn)為M,所以/!,耳,人〃，所以

因?yàn)锽Cj-AM,BCU平面ABC,ABU平面ABC,ABcBC=B,AB.BC?5FffiABC,

所以AM工平面ABC；

(2)做4V_LAC交BC于N點(diǎn)，

以A為原點(diǎn)，以AMAC.AM所在的直線為X、八Z建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,(),0),β(√3,-I,θ),B1等,-1,6,

C(0,2,0),Λ∕(θ,θ,√3).

所以陰=惇-g,√5,BC=(-√3,3,θ),AM=(θ,O,√3),

因?yàn)?WBC=J",2,θ],所以Pjg,士6],

3313)<62J

所以AP=-?,<,√3,

O2,

“ι?AB∣=Vxl-gy∣+石Zl=O

設(shè)平面MAAI的一個(gè)法向量勺=％,zJ,貝小

nλ?AM=?∕3zl=0

解得z∣=0,令X=JL則%=1,所以“∣=(1,0,0),

∏2.AP=-~~X)+5%+—0

設(shè)平面PBm的一個(gè)法向量n=(x,y,z),則?

2222=x

n2?AB1~^~2一；%+Cz2=0

令必=6，則*2=3,z2=-1,所以n2=(3,6,-1),

設(shè)二面角尸一與A-A的平面角為e(o≤e≤i80),則

nxn2_6_3Λ∕13

CoSe=CoS（勺,〃2

匐同2×V1313

由圖知二面角P-B1A-A.的平面角為銳角，

所以二面角P-B1