第48練 變量間的相關(guān)關(guān)系-2023屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)五層訓(xùn)練（新高考地區(qū)）（解析版）

第48練變量間的相關(guān)關(guān)系

一、課本變式練

1.（人A選擇性必修三P103習(xí)題8.1T1變式）對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計,獲得以下散點圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的

比較，正確的是（）

25.

10p

0151015202530350\5101520253035x015101520253035xO15101520253035x

①相關(guān)系數(shù)〃②相關(guān)系數(shù)「2③相關(guān)系數(shù)，3④相關(guān)系數(shù)，

A.B.

C.r4<r,<rt<r3D.r4<r2<r3<rt

【答案】A

【解析】由題中的散點圖可以看出，圖1和圖3是正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)大于0,則4>0,g>（）,

圖2和圖4是負(fù)相關(guān)，相關(guān)系數(shù)小于0,則今<。，“<0,

圖3和圖4的點相對于圖1和圖2更加集中，所以相關(guān)性較強，所以4更接近于1,與更接近于-1,由此可

得故選A.

2.（人A選擇性必修三P103習(xí)題8.1T3變式）若一組觀測值（知匕），（%九），…，對

應(yīng)的點位于同一直線上，則x,y的相關(guān)系數(shù)為.

【答案】±1

【解析】由已知條件和相關(guān)系數(shù)的定義得，x,y的相關(guān)系數(shù)為±1.

3.（人A選擇性必修三P120練習(xí)T2變式）某生物興趣小組為研究一種紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x（單位：℃）

的關(guān)系.現(xiàn)收集了7組觀測數(shù)據(jù)（％,y）（i=1,2,7）得到下面的散點圖：

3

3I

25o.

20o-

15o-

10o-

5o_?

c，

P263O3236

22242834

也

由此散點圖，在20℃至36c之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為紅鈴蟲產(chǎn)卵數(shù)），和溫度x的回歸方

程類型的是（）

A.y=a+bxB.y=a+—C.y=a+加*D.y=a+ZHnx

x

【答案】C

【解析】由散點圖可以看出紅鈴蟲產(chǎn)卵數(shù)y隨著溫度x的增長速度越來越快，

所以y=a+而最適宜作為紅鈴蟲產(chǎn)卵數(shù)），和溫度X的回歸方程類型.故選C

4.（人A選擇性必修三P120習(xí)題9.2T4變式）某科技公司研發(fā)了一項新產(chǎn)品A,經(jīng)過市場調(diào)研，對公司1

月份至6月份銷售量及銷售單價進行統(tǒng)計，銷售單價x（千元）和銷售量了（千件）之間的一組數(shù)據(jù)如下表

所示：

月份i123456

銷售單價占99.51()10.5118

銷售量%111086515

（1）試根據(jù)1至5月份的數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸直線方程；

（2）若由回歸直線方程得到的估計數(shù)據(jù)與剩下的檢驗數(shù)據(jù)的誤差不超過0.65千件，則認(rèn)為所得到的回歸直

線方程是理想的，試問（1）中所得到的回歸直線方程是否理想？

參考公式：回歸直線方程其中A=R----------.

加2

1=1

參考數(shù)據(jù):￡不乂=392,力片=502.5.

i=li=l

【解析】(1)因為元=[(9+9.5+10+10.5+11)=10,歹="(11+10+8+6+5)=8,

392-5x10x8

所以5==-3.2

502.5-5xlO2

得&=8-(-3.2)x10=40,

于是了關(guān)于x的回歸直線方程為y=-3.2x4-40：

（2）當(dāng)x=8時，?=—3.2x8+40=14.4,

則|_y|=|14.4-15|=0.6<0.65,

故可以認(rèn)為所得到的回歸直線方程是理想的.

二、考點分類練

（一）相關(guān)性與相關(guān)系數(shù)

5.通過抽樣調(diào)研發(fā)現(xiàn)，當(dāng)?shù)氐谌径鹊尼t(yī)院心腦血管疾病的人數(shù)和便利店購買冷飲的人數(shù)的相關(guān)系數(shù)很高,

甲認(rèn)為這是巧合，兩者其實沒有關(guān)系：乙認(rèn)為冷飲的某種攝入成分導(dǎo)致了疾??；丙認(rèn)為病人對冷飲會有特

別需求：丁認(rèn)為兩者的相關(guān)關(guān)系是存在的，但不能視為因果，請判斷哪位成員的意見最可能成立（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

【答案】D

【詳解】當(dāng)?shù)氐谌径鹊尼t(yī)院心腦血管疾病的人數(shù)和便利店購買冷飲的人數(shù)的相關(guān)系數(shù)很高，但相關(guān)關(guān)系

是一種非確定性關(guān)系，相關(guān)關(guān)系不等于因果關(guān)系，丁的意見最可能成立.故選D.

6.某統(tǒng)計部門對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析后，獲得如圖所示的散點圖.

3535

3030

2525

2020

1515

1010

55

00

1015202530355101520253035

相關(guān)系數(shù)為勺相關(guān)系數(shù)為七

3535

3030

2525

2020

1515

1010

55

00

5101520253035101520253035

相關(guān)系數(shù)為&相關(guān)系數(shù)為n

下面關(guān)于相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是（)

A.B.r2<r4<i]<r3C.r2<r^<r3<)\D.r4<r2<r3<r]

【答案】c

【解析】由圖可知：4,4所對應(yīng)的圖中的散點呈現(xiàn)正相關(guān)，而且彳對應(yīng)的相關(guān)性比與對應(yīng)的相關(guān)性要強,

故0<4<4，%〃所對應(yīng)的圖中的散點呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，且根據(jù)散點的分布情況可知4<0,因此

&<4<4<4,故選C

7.（多選）（2023屆湖湘名校教育聯(lián)合體高三上學(xué)期聯(lián)考）對兩個變量y和x進行回歸分析，得到一組樣本

數(shù)據(jù)（%,力），（￡，%），，（西0，加），則下列結(jié)論正確的是（）

A.若求得的經(jīng)驗回歸方程為y=Q4x+l,則變量），和x之間具有正的線性相關(guān)關(guān)系

B.若其經(jīng)驗回歸方程5=治+。必過點（3,2.25）,則%+%+毛++玉0=%+%+%+加+6.5

C.若根據(jù)這組數(shù)據(jù)得到樣本相關(guān)系數(shù)卜卜096,則說明樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度較強

D.若用相關(guān)指數(shù)R?來刻畫回歸效果，回歸模型1的相關(guān)指數(shù)R；=0.32,回歸模型2的相關(guān)指數(shù)用=0.68,

則模型1的擬合效果更好

【答案】AC

【解析】在經(jīng)驗回歸方程中》=5X+<2]>0,則y與x之間具有正的線性相關(guān)關(guān)系.故A正確；

在經(jīng)驗回歸方程中夕=去+3恒過樣本中心叵,了），則亍=3,歹=2.25,故10三=10歹+7.5,故B錯誤：

則樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強.故C正確；相關(guān)系數(shù)配越大，模型擬合效果越好，故D錯誤.

故選AC.

8.在一組樣本數(shù)據(jù)為（心》）,（毛,％）,…，（X?,Z,）（H>2,X?X2,，毛不全相等）的散點圖中，若所有樣本點

（x,,y,）（i=l,2,,"）都在直線y=-gx-3上，則這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)廠=.

【答案】-1

【解析】因為-；<0,所以這兩個變量成負(fù)相關(guān)，故這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為負(fù)值，又所有樣本點

（%,yj（i=l,2,都在直線丫=-!》-3上，則|r|=l,所以/?n-i.

（二）回歸直線方程

9.2022年6月18日，很多商場都在搞促銷活動.重慶市物價局派人對5個商場某商品同一天的銷售量及

其價格進行調(diào)查，得到該商品的售價工元和銷售量y件之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：

價格尤9095100105110

銷售量y1110865

用最小二乘法求得y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸直線是y=_Q.32x+a，相關(guān)系數(shù)r=-0.9923,則下列說法不正確的

有()A.變量x與y負(fù)相關(guān)且相關(guān)性較強B.^=40

C.當(dāng)x=85時，y的估計值為13D.相應(yīng)于點(105,6)的殘差為-0.4

【答案】C

【解析】對于A,由回歸直線可得變量兌y線性負(fù)相關(guān)，且由相關(guān)系數(shù)1=。9923,可知相關(guān)性強，故A

正確，對于B,由表中數(shù)據(jù)可得，x=1x(90+95+100+105+110)=100.

5=gx(ll+10+8+6+5)=8,故回歸直線恒過點(100,8),

故8=-0.32xl00+a，解得:=40,故B正確，

對于C,當(dāng)x=85時，y=-0.32x85+40=12.8，故C錯誤，

對于D,相應(yīng)于點(105,6)的殘差為6一(-0.32*105+40)=-0.4,故D正確.故選C.

10.(多選)已知由樣本數(shù)據(jù)a，y)(i=l,2,3,,10)組成的一個樣本，得到回歸直線方程為y=2x-0.4,且

x=2?去除兩個歧義點(-2,1)和后，得到新的回歸直線的斜率為3.則下列說法正確的是()

A.相關(guān)變量x,y具有正相關(guān)關(guān)系

B.去除兩個歧義點后的回歸直線方程為y=3x-3

C.去除兩個歧義點后，樣本(4,8.9)的殘差為T).l

D.去除兩個歧義點后，隨x值增加相關(guān)變量y值增加速度變小

【答案】ABC

【解析】對A,因為回歸直線的斜率大于0,即相關(guān)變量x,y具有正相關(guān)關(guān)系，故A正確；

對B,將最=2代入y=2x-0.4得y=3.6,則去掉兩個歧義點后，得到新的相關(guān)變量的平均值分別為

==?=J-3X|=-3,此時的回歸直線方程為y=3x—3,故B正確；

828222

對C,x=4時，y=3x4-3=9,殘差為8.9-9=-0」，故C正確;

對D,斜率3>1,此時隨x值增加相關(guān)變量y值增加速度變大，D錯誤.故選ABC.

11.若某地的財政收入x與支出y滿足線性回歸方程y=+e（單位：億元），其中6=0.8，〃=1.5,

忖40.5.若今年該地區(qū)財政收入為10億元，則年支出預(yù)計不會超過億元.

【答案】10

【解析】由題意得財政收入尤與支出y滿足線性回歸方程為y=0.8x+1.5+e，其中忖4。5,

當(dāng)x=10時，y=0.8xl0+L5+e=9.5+e，

因為忖40.5,所以y=9.5+e49.5+0.5=10，

所以今年該地區(qū)財政收入為10億元，則年支出預(yù)計不會超過10億元

12.（20-23屆河南省湘豫名校聯(lián)考高三上學(xué)期期末）隨著電池充電技術(shù)的逐漸成熟，以鋰電池為動力的新

一代無繩類電動工具以其輕巧便攜、工作效率高、環(huán)保、可適應(yīng)多種應(yīng)用場景下的工作等優(yōu)勢，被廣泛使用.

在消費者便攜無繩化需求與技術(shù)發(fā)展的雙重驅(qū)動下，鋰電類無繩電動工具及配套充電器市場有望持續(xù)擴大.

某公司為適應(yīng)市場并增強市場競爭力，逐年增加研發(fā)人員，使得整體研發(fā)創(chuàng)新能力持續(xù)提升,現(xiàn)對2017~2021

年的研發(fā)人數(shù)作了相關(guān)統(tǒng)計，如下圖：

2017-2021年公司的研發(fā)人數(shù)情況（年份代碼1~5分別對應(yīng)2017~2021年）

（1）根據(jù)條形統(tǒng)計圖中數(shù)據(jù)，計算該公司研發(fā)人數(shù)>與年份代碼x的相關(guān)系數(shù),，并由此判斷其相關(guān)性的強弱;

（2）試求出y關(guān)于X的線性回歸方程，并預(yù)測2023年該公司的研發(fā)人數(shù).（結(jié)果取整數(shù)）

參考數(shù)據(jù)：Z=55960,而面=37.4.參考公式：相關(guān)系數(shù)r=下^-----下---------.線性回歸

方程的斜率%變生總

，截距6=y—月x.

附:

kl[0,0.25][0.30,0.75）[0.75,1]

相關(guān)性弱一般強

_1

【解析】⑴由條形統(tǒng)計圖，得x=x(1+2+3+4+5)=3,

204+220+298+396+482…

y二--------------------------=320,

5

所以￡伍-x）--X'+伍一X,+-X,+卜4-X,+1一x）-

1=1

=（1一3）2+（2—3）2+（3-3）2+（4-3）2+（5-3）2

=10,

5__

2（為一%）（％一））=（一2）x（—116）+（—1）x（—100）+0x（-22）+1x76+2x162=732.

r=l

S（x，T（y，T

732732732

i=l?0.98

所以15T-710x755960-20V1399~2x374

因為相關(guān)系數(shù)-0.98>0.75,所以)與工具有很強的線性相關(guān)關(guān)系，且為正相關(guān).

.之(々T(y，T

732

(2)人二上一-----------—=73.2,

10

i=l

所以&=亍-妖=320-73.2x3=100.4,

所以￡=&+6=73.2x+100.4.

由題意知，2023年對應(yīng)的年份代碼x=7,

當(dāng)x=7時，夕=去+4=73.2x7+100.4=612.8,

故預(yù)測2023年該公司的研發(fā)人數(shù)約為613人.

13.(2023屆河南省許昌市高三上學(xué)期診斷)隨著人民生活水平的日益提高，汽車普遍進入千家萬戶，尤

其在近幾年，新能源汽車涌入市場，越來越受到人們喜愛.某新能源汽車銷售企業(yè)在2017年至2021年的

銷售量y（單位：萬輛）數(shù)據(jù)如下表:

年份2017年2018年2019年2020年2021年

年份代號X12345

銷售量y（萬輛）75849398100

（1）請用相關(guān)系數(shù)判斷y關(guān)于x的線性相關(guān)程度（參考：若0.3＜卜|＜0.75,則線性相關(guān)程度一般，若舊＞。75,

則線性相關(guān)程度較高，計算，?時精確到小數(shù)點后兩位）；

（2）求出y關(guān)于X的線性回歸方程，并預(yù)計2022年該新能源汽車企業(yè)的銷售量為多少萬輛？

參考數(shù)據(jù)：E（y,-y）-=434,?。?64,74340?65.879

1=1/=1

附：相關(guān)系數(shù)，=“，回歸直線方程的斜率6=J---------;—,截距屋不-林

V/=!；=11=1

【解析】（1）解：由表中數(shù)據(jù)可得7=3，7=90,￡（々-,2=10,

/=!

又知y-y）=434,以%-4(Z--J)=64,

1=11=1

￡”）卜T

64

7-?0.97>0.75,

/4340

所以y與x有很強的線性相關(guān)性;

,Z:")(?-?64

（2）解：由表中數(shù)據(jù)可得匕=乂￡")2'J

/=1

則a=$一菽=90—6.4x3=70.8,

y=6.4x4-70.8?

又2022年對應(yīng)的代號為6,故y=6.4x6+70.8=109.2,

由此預(yù)計2022年該新能源汽車企業(yè)的銷售量為109.2萬輛.

（三）曲線型回歸方程

14.（2022屆河南豫北高中高三畢業(yè)班考前定位聯(lián)合考試）某高科技公司為加強自主研發(fā)能力，研發(fā)費用逐

年增加，統(tǒng)計最近6年的研發(fā)費用y（單位:元）與年份編號X得到樣本數(shù)據(jù)（七,》）（，?=1,2,3,4,5,6），令z,=In

并將（4z,）繪制成下面的散點圖.若用方程>對>與x的關(guān)系進行擬合，則（）

2-

1.5-?*

1-***

0.5-

°123456x

A.a>1,b>0B.tz>1,b<0

C.0<a<l,b>0D.0<a<l,b<0

【答案】A

【解析】因為y=令z=lny,則z與x的回歸方程為z=6x+lna.根據(jù)散點圖可知z與x正相關(guān)，所

以b>0.從回歸直線圖象，可知回歸直線的縱截距大于0,即lna>0,所以。>1.故選A

15.以模型y=去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設(shè)z=lny,其變換后得到線性回歸方程

z-0.2x+3,貝!］。=.

【答案】e3

【解析】y=CQ101<=>Iny=Ince^=kx+\nc,即z=Ax+lnc,%=0.2,lnc=3=>c=e3.

16.（2022屆河北省石家莊市部分學(xué)校高三下學(xué)期5月模擬）截至2021年12月，中國網(wǎng)民規(guī)模達10.32億

人，隨之電信網(wǎng)絡(luò)詐騙犯罪形勢也非常嚴(yán)峻.2021年6月，公安部推出國家級反詐防騙“王炸”系統(tǒng)—“國

家反詐中心APP”，這是一款能有效預(yù)防詐騙、快速舉報詐騙內(nèi)容的軟件，用戶通過學(xué)習(xí)里面的防詐騙知識

可以有效避免各種網(wǎng)絡(luò)詐騙的發(fā)生，減少不必要的財產(chǎn)損失，某省自“國家反詐中心APP”推出后，持續(xù)采

取多措并舉的推廣方式，積極推動全省“國家反詐中心APP”安裝注冊工作.經(jīng)統(tǒng)計，省反詐中心發(fā)現(xiàn)全省

網(wǎng)絡(luò)詐騙舉報件數(shù)y（件）與推廣時間有關(guān)，并記錄了經(jīng)推廣x個月后舉報件數(shù)的數(shù)據(jù)：

推廣月數(shù)（個）1234567

y（件）891888351220200138112

（1）現(xiàn)用y=a+2作為回歸方程模型，利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程.

（2）分析該省一直加大力度推廣下去有可能將網(wǎng)絡(luò)詐騙舉報件數(shù)降至接近于零嗎？參考數(shù)據(jù)（其中4=一）：

x,\

77

Evi2：-7x尸

t

i=ii=1

15860.370.55

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)（七,必）,（吃,％）,（￡,%），（x,”“），其回歸直線y=〃+4的斜率和截距的最小二乘

Y.x.y.-nxy

估計公式分別為：3=母--------，a=y-hx.

E可l-nx—2

【解析】(1)由題意3=；(891+888+351+220+200+138+112)=400.

令/=」，設(shè)y關(guān)于，的線性回歸方程為直線y=R+&

X

7_

1586-7x0.37x400…八

貝加號----------------------------------------=JOUl)

0.55

1=1

則力=400-1000x0.37=30,

二y=10001+30,又f=L

X

關(guān)于x的回歸方程為y=%+30.

X

（2）僅從現(xiàn)有統(tǒng)計數(shù)據(jù)所得回歸方程），=3”+30,可發(fā)現(xiàn)當(dāng)推廣時間越來越長時，即x越來越大時，y

X

的值會逐漸降至接近于30,可知該省一直加大力度推廣下去，網(wǎng)絡(luò)詐騙舉報件數(shù)大概會逐漸降至30

件.

但在使用經(jīng)驗回歸方程進行預(yù)測時，方程只適用于所研究的樣本總體，一般具有時效性，不能期望回歸方

程得到的預(yù)報值就是響應(yīng)變量的精確值，所以若加大力度一直推廣下去，并隨著國家對網(wǎng)絡(luò)詐騙的嚴(yán)厲打

擊和科技發(fā)展，再加上相關(guān)部門對個人信息防護手段的加強，人們對網(wǎng)絡(luò)詐騙犯罪的防范意識逐步提高，

網(wǎng)絡(luò)詐騙舉報件數(shù)是有可能降至接近于零的.

三、最新模擬練

17.（2023屆江蘇省G4聯(lián)盟高三上學(xué)期12月聯(lián)考）如圖是近十年來全國城鎮(zhèn)人口、鄉(xiāng)村人口的折線圖（數(shù)

據(jù)來自國家統(tǒng)計局）.

根據(jù)該折線圖，下列說法錯誤的是（）

A.城鎮(zhèn)人口與年份呈現(xiàn)正相關(guān)B.鄉(xiāng)村人口與年份的相關(guān)系數(shù)"接近1

C.城鎮(zhèn)人口逐年增長率大致相同D.可預(yù)測鄉(xiāng)村人口仍呈現(xiàn)下降趨勢

【解析】對于A選項，由折線圖可知，城鎮(zhèn)人口與年份呈現(xiàn)正相關(guān)，A對；

對于B選項，因為鄉(xiāng)村人口與年份呈負(fù)線性相關(guān)關(guān)系，且線性相關(guān)性很強，所以「接近-1,B錯；

對于C選項，城鎮(zhèn)人口與年份呈現(xiàn)正相關(guān)，且線性相關(guān)性很強，相關(guān)系數(shù)「接近1，

故城鎮(zhèn)人口逐年增長率大致相同，C對；

對于D選項，由折線圖可知，鄉(xiāng)村人口與年份呈負(fù)線性相關(guān)關(guān)系，可預(yù)測鄉(xiāng)村人口仍呈現(xiàn)下降趨勢，D對.

故選B.

18.（2023屆廣東省廣州市四校高三上學(xué)期第二次模擬）對兩個變量）和x進行回歸分析，得到一組樣本數(shù)

據(jù)（不芳）,（和為），…（王，%），則下列說法不正確的是（）

A.若變量y和尤之間的相關(guān)系數(shù)為r=-0.9462,則變量y和x之間具有較強的線性相關(guān)關(guān)系

B.殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好

C.用決定系數(shù)R?來刻畫回歸效果，外越小說明擬合效果越好

D.在殘差圖中，殘差點分布水平帶狀區(qū)域的寬度越窄，則回歸方程的預(yù)報精確度越高

【答案】C

【解析】變量y和*之間的相關(guān)系數(shù)為卜|越大，則變量y和x之間具有較強的線性相關(guān)關(guān)系，故A正確；

殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好，故B正確；

用決定系數(shù)代來刻畫回歸效果，R2越大說明擬合效果越好，故C錯誤；

在殘差圖中，殘差點分布水平帶狀區(qū)域的寬度越窄，則回歸方程的預(yù)報精確度越高，故D正確.

故選c.

19.（多選）（2022屆湖北省黃岡中學(xué)高三下學(xué)期二模）已知由樣本數(shù)據(jù)（占，z）（<-=!.2,3,…，⑼組成

的一個樣本，得到回歸直線方程為5-2X-O.4,且亍=2,去除兩個樣本點（-2,1）和（2,T）后，得到新的回歸

直線的斜率為3.則下列說法正確的是（）

A.相關(guān)變量x,y具有正相關(guān)關(guān)系

B.去除兩個樣本點（-2,1）和（2,-1）后，回歸直線方程為*=3x-3

C.去除兩個樣本點（-2,1）和（2,-1）后，隨x值增加相關(guān)變量y值增加速度變小

D.去除兩個樣本點（-2,1）和（2,-1）后，樣本（4,8.9）的殘差為0.1

【答案】AB

【解析】對于A,3>0,則相關(guān)變量x,y具有正相關(guān)關(guān)系，故A正確；

95

對于B,求出a=]-3x]=-3,故去除樣本點后的回歸直線方程為y=3x-3,故B正確；

對于C,由于斜率為3>2,隨x值增加相關(guān)變量y值增加速度變大，故C錯誤；

對于D,樣本（4,8.9）的殘差為&9—9=-0.1,故D錯誤.

20.（2022屆山西省懷仁市高三上學(xué)期期末）某工廠為研究某種產(chǎn)品的產(chǎn)量x（噸）與所需某種原材料y（噸）

的相關(guān)性，在生產(chǎn)過程中收集了對應(yīng)數(shù)據(jù)如表所示：

X3456

y234m

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得出）‘關(guān)于x的回歸直線方程為？=0.6x+。.據(jù)此計算出在樣本（4,3）處的殘差為-0.15,則

表中加的值為.（注：殘差是實際觀察值與估計值之間的差，y=bt+a）

【答案】4.8

【解析】根據(jù)樣本（4,3）處的殘差為-0.15,即3-（O.6x4+0）=-O.15,可得&=0.75,

即回歸直線方程為f=0.6x+0.75,

3+4+5+692+3+4+〃?

又由樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為x=二產(chǎn)

44

得0.6x；9+0.75=—2+3+-4-+--〃-？,解得機=4.8.

21.（2022屆海南省文昌中學(xué)高三4月段考?）從某大學(xué)中隨機選取8名女大學(xué)生，其身高單位：cm）與

體重y（單位：kg）數(shù)據(jù)如下表：

選取的女大學(xué)生身高為175cm時，相應(yīng)的殘差為.

【答案】4

【解析】己知y與x的線性同歸方程為夕=0.8￡-80

當(dāng)x=175時：y=60,相應(yīng)的殘差為：64-60=4

22.（2023屆貴州省貴陽市白云區(qū)高三上學(xué)期質(zhì)量監(jiān)測）下面給出了根據(jù)我國2016年—2022年水果人均占

有量丫（單位：kg）和年份代碼x繪制的散點圖和線性回歸方程的殘差圖（2016年—2022年的年份代碼x分

別為1~7）.

我國2016年-2022年水果人均占有量的散點圖

人均占有量y（kg）

190

180

170

140

130

°1234567年份代碼x

我國2016年-2022年水果人均占有量的殘差圖

2i——：——：——：——：——：——：——：——

1……:.....……：……；……4-……4....

殘差（kg）o-…-4…一；…一4……4…-i……

一1J....LJ....L:.L；....

1234567

年份代碼x

（1）根據(jù)散點圖分析》與x之間的相關(guān)關(guān)系；

77

（2）根據(jù)散點圖相應(yīng)數(shù)據(jù)計算得￡>,=1074,=4517，求y關(guān)于X的線性回歸方程（數(shù)據(jù)精確到0.01）；

?=1/=1

（3）根據(jù)線性回歸方程的殘差圖，分析線性回歸方程的擬合效果.

附：回歸方程亍=%+<5中的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為b='----------,a=y-hx.

￡（均-?。?

z=l

【解析】（|）根據(jù)散點圖可知，散點均勻的分布在一條直線附近，且隨著x的增大，y增大，故y與x成線

性相關(guān)，且為正相關(guān)；

(2)解：依題意，元=：(1+2+3+4+5+6+7)=4,五;%=竽

7?/=|?

7

-l2+22+32+42+52+62+72=140,

?=|

7

r1074/

4517-7x「-x4221

6=號----?7.89,

X228

?：一7/140-74

/=1

八1074

a=y-ta=-----7.89x4^121.87,

.7

所以y關(guān)于X的線性回歸方程為：y=7.89x+121.87；

（3）解：由殘差圖可以看出，殘差對應(yīng)點分布在水平帶狀區(qū)域內(nèi)，且寬度較窄，說明擬合效果較好，回歸

方程的預(yù)報精度較高.

23.（2023屆福建省三明市教研聯(lián)盟校高三上學(xué)期期中）中國在第75屆聯(lián)合國大會上承諾，將采取更加有

力的政策和措施，力爭于2030年之前使二氧化碳的排放達到峰值，努力爭取2060年之前實現(xiàn)碳中和（簡

稱“雙碳目標(biāo)”），此舉展現(xiàn)了我國應(yīng)對氣候變化的堅定決心，預(yù)示著中國經(jīng)濟結(jié)構(gòu)和經(jīng)濟社會運轉(zhuǎn)方式將產(chǎn)

生深刻變革，極大促進我國產(chǎn)業(yè)鏈的清潔化和綠色化.新能源汽車、電動汽車是重要的戰(zhàn)略新興產(chǎn)業(yè)，對于實

現(xiàn)“雙碳目標(biāo)''具有重要的作用.為了解某一地區(qū)電動汽車銷售情況，一機構(gòu)根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，用最小二乘法得

到電動汽車銷量》（單位：萬臺）關(guān)于x（年份）的線性回歸方程為y=4.7x-9459.2,且銷量V的方差為

S”等，年份x的方差為5；=2.

（1）求y與x的相關(guān)系數(shù)『，并據(jù)此判斷電動汽車銷量y與年份x的相關(guān)性強弱；

（2）該機構(gòu)還調(diào)查了該地區(qū)90位購車車主的性別與購車種類情況，得到的數(shù)據(jù)如下表：

性別購買非電動汽車購買電動汽車總計

男性39645

女性301545

總計692190

依據(jù)小概率值a=0。5的獨立性檢驗，能否認(rèn)為購買電動汽車與車主性別有關(guān)；

（3）在購買電動汽車的車主中按照性別進行分層抽樣抽取7人，再從這7人中隨機抽取3人，記這3人中,

男性的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

①參考數(shù)據(jù)：V5X127=A/635?25;

②參考公式：(i)線性回歸方程：y=bx+a,其中E=J----------■—,a=y-bx.

￡(々-寸

;=1

/X,.-可(y-刃

(ii)相關(guān)系數(shù)：r=1,1=|若/?AOS,則可判斷y與X線性相關(guān)較強.

V/=1/=1

(訪)Z-=7不7-----八7-----T7-一次，其中〃=a+6+c+d.附表:

[a+b)[c+d)[a+c)[b+d)

a0.100.050.010

Xa2.7063.8416.63510.828

I解析】⑴相關(guān)系數(shù)“1⑦一項…平”L棄邛

歸―)f沙-前Ix(y.-y)2加收

=4.7xI—10=/\47=—j47L=?—47=0.94>0.9故y與x線性相關(guān)較強.

V254VK)xV2542V63550

(2)零假設(shè)為H°：購買電動汽車與車主性別相互獨立，

即購買電動汽車與車主性別無關(guān).

,niad-bc?90x(39xl5-30x6)2

x2=7——、,\、/―J---=——-----------L?5.031>3.841

(a+b)(c+〃)(a+c)(b+4?)45x45x69x21

所以依據(jù)小概率值。=0.05的獨立性檢驗，我們推斷H。不成立，

即認(rèn)為購買電動汽車與車主性別有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.

(3)抽樣比=2=',男性車主選取2人，女性車主選取5人，則X的可能取值為0,1,2故

3[22l

P(X=0)=WC，7.P(X=l)="CmC=±4P(X=2)=沖CC，1

故X的分布列為：

四、高考真題練

24.（2022高考全國乙卷）某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為估計一林區(qū)某種樹木

的總材積量，隨機選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：m2）和材積量（單位：m3），

得到如下數(shù)據(jù)：

樣本號i12345678910總和

根部橫截面積占0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

材積量%0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

101010

并計算得XX；=0.038,X片=16158,Z內(nèi)X=0.2474.

i=li=li=l

（1）估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；

（2）求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；

（3）現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為186m2.已

知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值.

￡（王一?。▂—9）_____

附：相關(guān)系數(shù)7'I"印”，4896?1.377.

J力（玉-元y-x-a

Vi=li=i

【解析】（1）樣本中10棵這種樹木的根部橫截面積的平均值了="=0.06

10

3Q

樣本中10棵這種樹木的材積量的平均值歹=6=039

據(jù)此可估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積為（）.（）6m2,

平均?棵的材積量為0.390?

（2）由表中的數(shù)據(jù)和附注中的參考數(shù)據(jù)得

_—>0_\210_2

X=0.06,y=0.39,Z（七一工）=Z龍;-1°工=0.038-10x0.062=0.002,

/=1i=l

1（）2io

Z（y-5）=^y,-2-10y=1.6158-10X0.392=0.0948,

i=ii=i

1010_10

Z(七一工)(,一了)二2七?一X2,=0.2474-0.06x3.9=0.0134,

,___0_._0_1_3_4______P^l.097

所以相關(guān)系數(shù)a

^0.002x0.09480.01377

（3）樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，比例系數(shù)Z=2=2型=6.5,

x0.06

所以該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值為186x6.5=1209（m3）.

25.（2020高考全國乙卷）某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該

地區(qū)某種野生動物數(shù)量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取20

個作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)⑶，2,20）,其中X,和M分別表示第，?個樣區(qū)的植物覆蓋面積（單

202020

位：公頃）和這種野生動物的數(shù)量，并計算得?產(chǎn)60,?=1200,%-?2=80,

/=1/=1/=1

2020

Z（y.-?=9000,Z（%一君（%一歹）=800.

/=1/=1

（1）求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值（這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)

乘以地塊數(shù)）；

（2）求樣本Q,y?（i=l,2,20）的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；

（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物

數(shù)量更準(zhǔn)確的估計，請給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說明理由.

f（七一工）（其一切

附：相關(guān)系數(shù)尸I“I“，y/2~l-414.

岱（七一工）2f（必一歹）2

V1=1/=1

]201

【解析】（1）樣區(qū)野生動物平均數(shù)為茄?=布、1200=60,

地塊數(shù)為200,該地區(qū)這種野生動物的估計值為200x60=12000

（2）樣本（毛,%）（，=|,2,20）的相關(guān)系數(shù)為

20

Z（%-幻（K一刃

8?！?=還。os’

r=

7￡^(%-,.-x)2^-(-y,----y)2-780x90003

Vi=li=\

（3）由（2）知各樣區(qū)的這種野生動物的數(shù)量與植物覆蓋面積有很強的正相關(guān)性,

山于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從俄各地塊間這種野生動物的數(shù)量差異很大，

采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)得以執(zhí)行，提高了樣本的代表性，

從而可以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計.

26.（2016高考全國丙卷）下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量（單位:億噸）的折線圖.

（I）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與，的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；

（H）建立y關(guān)于t的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）,預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量.

參考數(shù)據(jù):￡%=9.32,=40.17,也（y—y）2=0.55,S工2.646.

/=Ii=l\i=l

f-9）

參考公式:相關(guān)系數(shù)r=J“

Vi=li=l

Z&—Xyj-y）

回歸方程y=a+bt中斜率和截距最小二乘估計公式分別為:b=J-----------,a=y-bT.

/=1

【解析】（【）由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得，=4,￡&-7）2=28-》）2=0.55.

-n（y,-y）=X=40.17-4x9.32=2.89,r?........———

VtTV占金0.55x2x2,646

因為y與，的相關(guān)系數(shù)近似為0.99,說明y與，的線性相關(guān)程度相當(dāng)高

從而可以用線性回歸模型擬合y與f的關(guān)系.

7

Z（乙-7）（必一用??Q

9.32

（II）由9x1.331及（I）得5=^^------------=—?0.103.

7Z（-了28

/=1

a=y-^F?1.331-0.103x4?0.92.

所以,y關(guān)于f的回歸方程為:9=0.92+0.10J

將2016年對應(yīng)的f=9代入回歸方程得:$=0.92+().1()x9=1.82.

所以預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量將約1.82億噸.

五、綜合提升練

27.已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表：

X234

y1mn4

參考公式：線性回歸方程§=加+乳其中6=J-------；—,令=$-猿；相關(guān)系數(shù)

?=|

加T(y-7)

上表數(shù)據(jù)中y的平均值為2.5,若某同學(xué)對機賦了三個值分別為1.5,2,2.5得到三條線性回歸直線方程分

別為丁=4犬+4，y=b2x+a2,y=b3x+a3,對應(yīng)的相關(guān)系數(shù)分別為(，弓，,下列結(jié)論中第陜的是()

A.三條回歸直線有共同交點B.相關(guān)系數(shù)中，與最大

C.D.

【答案】D

【可軍析】由題意，1+m+〃+4=10,即m+〃=5.

-1?+3+4-

若m=1.5,則〃=3.5,此時x=--+-------=2.5,y=2.5.

4

工(七一可(％-刃=(1-2.5)(1-2.5)+(2-2.5)(1.5-2.5)+(3-2.5乂3.5-2.5)+(4-2.5乂4-2.5)=5.5,

,=|

4

2

Z(X,.-X)=(-1.5)2+(-0.5)2+052+152=5,

/=1

f(y,~刃2=(T.5)2+(-1)2+12+1.52=6.5.

1=1

則白=三=1.1,at=2.5-1.lx2.5=-().25,rx=-=^=?7(193；

55/5x>/6.5

-1+2+3+4-

若