2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型總結(jié)一輪復(fù)習(xí)講義 第27講 數(shù)列的概念

2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)

第27講數(shù)列的概念(精講)

題型目錄一覽

①數(shù)列的概念與通項(xiàng)公

式

②數(shù)列的性質(zhì)

③?！芭c3的關(guān)系

、知識(shí)點(diǎn)梳理

一'數(shù)列的概念

1.定義：按照一定順序排列的一列數(shù)，稱為數(shù)列.數(shù)列中的每一項(xiàng)叫做數(shù)列的項(xiàng).數(shù)列的項(xiàng)在這列數(shù)中是第幾項(xiàng)，則在

數(shù)列中是第幾項(xiàng)，一般記為數(shù)列{4}.

2.對(duì)數(shù)列概念的理解

(1)數(shù)列是按一定“順序”排列的一列數(shù)，一個(gè)數(shù)列不僅與構(gòu)成它的“數(shù)”有關(guān)，而且還與這些“數(shù)”的排列順序有關(guān)，

這有別于集合中元素的無序性.因此，若組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的兩個(gè)數(shù)列.

(2)數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)出現(xiàn)，而集合中的元素不能重復(fù)出現(xiàn)，這也是數(shù)列與數(shù)集的區(qū)別.

(3)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，其定義域是正整數(shù)集N*和正整數(shù)集N*的有限子集.所以數(shù)列的函數(shù)的圖像不是連續(xù)

的曲線，而是一串孤立的點(diǎn).

二'數(shù)列的分類

分類原則類型滿足條件

有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限

按項(xiàng)數(shù)分類

無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限

a

遞增數(shù)列4+1>n

按項(xiàng)與項(xiàng)間的大小

遞減數(shù)列anl<an其中ndN+

關(guān)系分類+

常數(shù)列

a“+i=an

按其他標(biāo)準(zhǔn)分類有界數(shù)列存在正數(shù)M,使<M

擺動(dòng)數(shù)列冊(cè)的符號(hào)正負(fù)相間，如1，—1,1,—1,...

三'數(shù)列的通項(xiàng)公式

如果數(shù)列｛凡｝的第〃項(xiàng)與序號(hào)〃之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.即

an=f（n），不是每一個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式，也不是每一個(gè)數(shù)列都有一個(gè)個(gè)通項(xiàng)公式?

四'數(shù)列的遞推公式

如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且從第2項(xiàng)（或某一項(xiàng)）開始的任一項(xiàng)斯與它的前一項(xiàng)斯-1（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可

以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.

五'a”與S”的關(guān)系

（）電（〃=1）

數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S”和通項(xiàng)％的關(guān)系：則4=〈二。/?

--------------------------------------------------------------------------------------------------\

二、題型分類精講

題型一數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式

畬策略方法數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式

L根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)求它的一個(gè)通項(xiàng)公式，要注意觀察每一項(xiàng)的特點(diǎn)，觀察出項(xiàng)與n之間的關(guān)系、規(guī)

律，可使用添項(xiàng)、通分、分割等辦法，轉(zhuǎn)化為一些常見數(shù)列的通項(xiàng)公式來求.對(duì)于正負(fù)符號(hào)變化，可

用（-1）"或（-1）用來調(diào)整.

2.對(duì)于數(shù)列的通項(xiàng)公式要掌握：①已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，就可以求出數(shù)列的各項(xiàng)；②根據(jù)數(shù)列的前幾

項(xiàng)，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，這是一個(gè)難點(diǎn)，在學(xué)習(xí)中要注意觀察數(shù)列中各項(xiàng)與其序號(hào)的變化情況,

分解所給數(shù)列的前幾項(xiàng)，看看這幾項(xiàng)的分解中.哪些部分是變化的，哪些是不變的，再探索各項(xiàng)中變

化部分與序號(hào)的聯(lián)系，從而歸納出構(gòu)成數(shù)列的規(guī)律，寫出通項(xiàng)公式.

【典例1】將1,5,12,22等稱為五邊形數(shù)，如下圖所示，把所有的五邊形數(shù)按從小到大的順序排列，就能構(gòu)成

一個(gè)數(shù)列｛%｝,則該數(shù)列的第6項(xiàng)%=（）

【答案】C

【分析】根據(jù)圖形找到五邊形數(shù)的規(guī)律，即可得到通項(xiàng)，從而得解.

2

【詳解】依題意五邊形數(shù)的第一項(xiàng)為i=3x1y-1

2

第二項(xiàng)為5=干,第三項(xiàng)為123x32-3

2

則五邊形數(shù)的第口項(xiàng)為a“=區(qū)展々〃eN*）.

所以4=3*6=51.

故選：C.

【題型訓(xùn)練】

一、單選題

1.（2023.湖南長(zhǎng)沙.長(zhǎng)沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┠纤螖?shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中出現(xiàn)了如圖所示的

形狀，后人稱為“三角垛”，“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，……，則第十層有（）

個(gè)球.

A.12B.20C.55D.110

【答案】C

【分析】把每一層的球數(shù)看成數(shù)列的項(xiàng)，即可得一個(gè)數(shù)列，根據(jù)規(guī)律即可求解.

【詳解】由題意知：

4=1,

4=4+2=1+2,

。3=%+3=14-2+3,

=4-1+篦=1+2+3+.......+〃，

所以%)=1+2+3++10=55.

故選：c

2.(2023秋?山西大同?高三統(tǒng)考階段練習(xí))分形幾何學(xué)是數(shù)學(xué)家伯努瓦?曼德爾布羅在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門新

的數(shù)學(xué)學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決眾多傳統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域的難題提供了全新的思路，按照如圖1的分形規(guī)律可得知圖2的一

個(gè)樹形圖，記圖2中第"行黑圈的個(gè)數(shù)為生,,白圈的個(gè)數(shù)為么，若。“=144,則4=()

?第1行

-第2行

0-o?<-第3行

A.34B.35C.88D.89

【答案】D

【分析】由題可知，每個(gè)白圈在下一行產(chǎn)生一個(gè)白圈一個(gè)黑圈，一個(gè)黑圈在下一行產(chǎn)生一個(gè)白圈兩個(gè)黑圈，從而可

得遞推式，然后由遞推式可求得結(jié)果.

【詳解】由題可知，每個(gè)白圈在下一行產(chǎn)生一個(gè)白圈一個(gè)黑圈，一個(gè)黑圈在下一行產(chǎn)生一個(gè)白圈兩個(gè)黑圈，

b

所以有4=24T+n-i，b,=an_x+b,i,

又因?yàn)?=0,4=1,

所以。2=1,瓦=I,%=3,4=2,a〈=8,bA=5,

a5=21,b5=13,%=55,%=34,%=144,Z?7=89,

故選：D.

3.(2023?河南?河南省內(nèi)鄉(xiāng)縣高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))“角谷猜想”首先流傳于美國(guó)，不久便傳到歐洲，后來一位名

叫角谷靜夫的日本人又把它帶到亞洲I,因而人們就順勢(shì)把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是指一個(gè)正整數(shù)，如果是奇

數(shù)就乘以3再加1,如果是偶數(shù)就除以2,這樣經(jīng)過若干次運(yùn)算，最終回到1.對(duì)任意正整數(shù)旬，按照上述規(guī)則實(shí)施

第九次運(yùn)算的結(jié)果為%(〃eN),若％=1，且4?=1,2,3,4)均不為1,則％=()

A.5或16B.5或32

C.5或16或4D.5或32或4

【答案】B

【分析】根據(jù)“角谷猜想”的規(guī)則，由%=1倒推g的值.

3an+1,.為奇數(shù)

【詳解】由題知%+i="j47%申耕，因?yàn)椤?=1，則有：

方嗎為偶數(shù)

若明為奇數(shù)，貝!|%=3%+1=1,得4=。，不合題意，所以應(yīng)為偶數(shù)，則4=2%=2；

若心為奇數(shù)，則%=3%+1=2,得生=；，不合題意，所以的為偶數(shù)，%=2%=4；

若%為奇數(shù)，則%=34+1=4,得電=1,不合題意，所以出為偶數(shù)，且?=2%=8；

若4為奇數(shù)，則的=3%+1=8,得q=g,不合題意，所以可為偶數(shù)，且4=2/=16；

若旬為奇數(shù)，貝！］q=34+1=16,可得4=5；若劭為偶數(shù)，則％=2q=32.

綜上所述：“0=5或32.

故選：B

4.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）歷史上數(shù)列的發(fā)展，折射出許多有價(jià)值的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)時(shí)代的進(jìn)步起了重要的

作用，比如意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,

89,L,即q=a2=l,%=4T+an-2（"N3,"eN*）,此數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)及化學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，

若此數(shù)列被4整除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列也｝,則乙+4+仇++%23的值為（）.

A.2696B.2697C.2698D.2700

【答案】B

【分析】列舉數(shù)列論,｝,得到數(shù)列的周期為6求解.

【詳解】解：由題意得:數(shù)列圾｝為1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,...

所以該數(shù)列的周期為6,

所以4+b2+F4O22+%23

=337（4+b?+4+…+d）+%23

=337x8+4

=2696+1=2697,

故選：B

5.（2023?安徽滁州?安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛?！埃?，4=2,an+an+i=5,則數(shù)列｛%｝前11項(xiàng)的和

Su=（）

A.22B.27C.28D.55

【答案】B

【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式求出數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)都等于2,偶數(shù)項(xiàng)都等于3,進(jìn)而求解.

【詳解】依題意4=2,an+an+l=5,

則。"+1+。"+2=5,兩式相減得到=。"，又％=5—%=3,

所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)都等于2,偶數(shù)項(xiàng)都等于3,

所以k=5x（2+3）+2=27,

故選：B.

二、填空題

6.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))如圖，第〃個(gè)圖形由第〃+2邊形“擴(kuò)展”而來的.記第〃個(gè)圖形的頂點(diǎn)數(shù)為風(fēng)(1,2,3,■),

【分析】由題意寫出生,?2>。3，%的值，即可得出4"=("+2)(〃+3),由此即可求出答案.

【詳解】由圖易知：6=12=3x4,々2=20=4x5,a3=30=5x6,a4=42=6x7,

從而易知=(〃+2)(〃+3)(“=1,2,3),

所以?2<X)5=2007x2008=4030056.

故答案為：4030056

7.(2023?云南昆明?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))Farey序列是指把在0至！j1之間的所有分母不超過eN*)的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)及。(視

為，)和i(視為:；)按從小到大的順序排列起來所形成的數(shù)列,記作尸一小例如尸一4就是mm則

X-LXJJ1.

F—7的項(xiàng)數(shù)為.

【答案】19

【分析】根據(jù)Farey序列構(gòu)成的數(shù)列｛尸-〃｝的性質(zhì)，利用列舉法，即可求解.

【詳解】根據(jù)題意Farey序列構(gòu)成的數(shù)列｛尸-〃｝,

二0111121231432534561

可得｛｝的各項(xiàng)為：T，7,6,5,4,7,3,5,7,2,7,5,3,7,4,5,6,7，r

共有19項(xiàng)，所以R-7的項(xiàng)數(shù)為19.

故答案為：19.

8.(2023?上海浦東新?華師大二附中?？寄M預(yù)測(cè))已知4=1,%=2,且%+2=%-為5為正整數(shù))，則為⑵=.

【答案】1

【分析】利用已知關(guān)系式推導(dǎo)出｛4｝是以6為周期的數(shù)列，所以根據(jù)周期性即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?=1。=2,且。“+2，

所以=%-%=1,=/_=_1，

03=29。6~〃5—〃4=］，

a-j=ae-a5=1,as=ay-a6=2fL,

所以｛%｝是以6為周期的數(shù)列，

因?yàn)?023=6x337+1,

所以%023=%=1.

故答案為：1

9.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一個(gè)數(shù)列：

1,1,2,3,5,8,13,21,34,其中從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)所組成的數(shù)列

2222

稱為“斐波那契數(shù)列”.那么%-+%+/-++%。/是斐波那契數(shù)列中的第項(xiàng).

%015

【答案】2016

【分析】根據(jù)已知條件可以得到〃〃+2=%+1+〃〃，，則=%%，即af=%（〃3-6）=依次類推即可解得.

【詳解】斐波那契數(shù)列總有%+2=〃向+?！?，則

=a2a1,即

6^2=（〃39

=Q3（〃4〃2）=Q2a3，

“2015="2015（“2016—^2014）=〃2015〃2016一〃2014〃20159

2.2.2..2_

%十%十”3十十”2015~^2015^20165

2222

?%+%+++-2015_

??一^2016,

“2015

2222

故aj+4+/++的。/是斐波那契數(shù)列中的第2016項(xiàng).

〃2015

故答案為：2016

題型二數(shù)列的性質(zhì)

⑨^策略方法

1.解決數(shù)列周期性問題的方法

先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值.

2.判斷數(shù)列單調(diào)性的兩種方法

⑴作差（或商）法.

⑵目標(biāo)函數(shù)法：寫出數(shù)列對(duì)應(yīng)的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)或利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性探求其單調(diào)性，再將

函數(shù)的單調(diào)性對(duì)應(yīng)到數(shù)列中去.

3.求數(shù)列中最大（小）項(xiàng)的兩種方法

（1）根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性判斷.

（2）在數(shù)列｛見｝中，若a.最大，則!,若a,最小，則產(chǎn)"""I

【典例1］若數(shù)列｛%｝中，4=3,a?+a?_i=4（?>2）,則電021的值為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】推導(dǎo)出對(duì)任意的〃eN*,an+2=an,可知數(shù)列｛〃“｝的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列均為常數(shù)列，即可求得的⑼

的值.

【詳解】因?yàn)?=3,??+???!=4（n>2）,可得?！?|+%=4,所以,%=%（"22）,

故對(duì)任意的“wN*,4+2=%，

所以，數(shù)列｛4｝的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列均為常數(shù)列，因此，/M=4=3.

故選：C.

【典例2］已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為a.=〃+2,〃eN*,且｛%｝為遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)2的取值范圍是（）

n

A.2>2B.A<2C.A>1D.2<1

【答案】B

【分析】根據(jù)數(shù)列｛4“｝為單調(diào)遞增數(shù)列，可得到。向-%恒成立，即可求得答案.

【詳解】?.?數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為a“=〃+4,數(shù)列｛鞏｝是遞增數(shù)列，

n

22_，2

/.a-a=n+\+--n=-—+1>0,〃wN*恒成立

n+xnn+1n幾（〃+1）

即;〃EN*恒成立，而外+〃/￡N*隨n的增大而增大，

即當(dāng)?shù)?1時(shí),用+〃,〃wN*取得最小值2,則4<2,

所以實(shí)數(shù)2的取值范圍是（-8,2）,

故選：B.

【題型訓(xùn)練】

一、單選題

1.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在數(shù)列｛%｝中，已知q=2,%=3,當(dāng)〃22時(shí)，〃用是?！?%的個(gè)位數(shù)，則。2023=（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】c

【分析】由題意，列出數(shù)列的前若干項(xiàng)，分析出數(shù)列變化規(guī)律，進(jìn)而得出答案.

【詳解】因?yàn)?=2,出=3,當(dāng)"22時(shí)，4+1是4因1的個(gè)位數(shù),

所以q=6，=8，=8，&=4，cij=2，67g—8,%=6，q。=8，=8，芻？=4，

可知數(shù)列｛4｝中，從第3項(xiàng)開始有%+6=a”，

即當(dāng)“23時(shí)，?！钡闹狄?為周期呈周期性變化,

又2023+6=337..」，

故%023=%=2.

故選：C.

2.（2023?內(nèi)蒙古赤峰??？寄M預(yù)測(cè)）若數(shù)列｛%｝滿足%=2,-----------------------=1,貝|/。23=（）

anan+\anan+\

A.2B.—C.—3D.—

23

【答案】B

【分析】利用數(shù)列的周期性即可求得出。23的值.

【詳解】因?yàn)楣ひ?11+?

——=1,所以%+i=1—?又因?yàn)椋?2,

an4+144+1「a.

.1,1

111H—

k-,1+21-31_2_1〃__3_

59

所以“2=■一~3，。4-1~3~-f-2,

i-Z1+31+-。1--

23

所以｛見｝是周期為4的數(shù)列，故的023="3

2

故選：B

1

3.（2023?四川宜賓?統(tǒng)考三模）已知數(shù)列的前〃項(xiàng)和為s〃，則使得s〃最小時(shí)的〃是（）

2n-U

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【分析】分l<"V5（"eN*）與〃N6（〃eN*）討論項(xiàng)的正負(fù)即可求解.

【詳解】當(dāng)lV〃V5（〃eN*）時(shí)，數(shù)列，五%，恒為負(fù)，

當(dāng)〃26（weN*）時(shí)，數(shù)列］金石｝恒為正，

所以當(dāng)〃=5時(shí)S”最小.

故選:B.

4.（2023?貴州銅仁?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為前w項(xiàng)和為5“，則S”取最小值時(shí)〃的

值為()

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【分析】由已知可推得當(dāng)3W〃V8時(shí)，%<0.又名>0,即可得出答案.

【詳解】解4=彳三2。可得，"W2或〃>?(〃eN*),即“W2或心9.

2n-172

所以，當(dāng)時(shí),an<0.

所以，當(dāng)"=8時(shí)，S“取最小值.

故選：C.

5.(2023?北京?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))設(shè)｛4｝是等比數(shù)列，貝上。；>。任''是"｛%｝為遞增數(shù)列”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【分析】根據(jù)數(shù)列單調(diào)性以及既不充分也不必要條件的定義可得答案.

【詳解】當(dāng)為<。時(shí)，由城>4%,得％<%,則｛%｝不為遞增數(shù)列；

當(dāng)｛%｝為遞增數(shù)列時(shí)，4>%，若。2<°，則靖<%?，

所以“域>%%，，是，，｛a,,｝為遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件.

故選：D

6.(2023?北京密云?統(tǒng)考三模)設(shè)數(shù)列｛叫的前w項(xiàng)和為S,,,則“對(duì)任意“cN*,%>?！笔恰皵?shù)列設(shè),｝為遞增數(shù)列”的

()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不是充分也不是必要

條件

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，分別判斷充分性和必要性是否成立即可.

【詳解】數(shù)列｛4｝中，對(duì)任意weN*,%>0,

貝!|S“=Si+a“>S,T，〃N2,

所以數(shù)列｛5?｝為遞增數(shù)列，充分性成立；

當(dāng)數(shù)列｛，｝為遞增數(shù)列時(shí),Sn>Sn_^n>2,

即+所以4>0,"22,

如數(shù)列-1,2,2,2,，不滿足題意，必要性不成立；

所以“對(duì)任意“eN*,??>0”是“數(shù)列設(shè),｝為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.

故選:A

7.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在數(shù)列｛%｝中，％=7,%=24,對(duì)所有的正整數(shù)"都有%=%+%+2,貝應(yīng)必=（）

A.-7B.24C.-13D.25

【答案】B

【分析】由。用=%+6+2得氏+6=-%+3=%得到數(shù)列的周期，進(jìn)而解決問題.

［詳解］由4+1=%+4+2得％+2=%+1+4+3，

兩式相加得4+3——，

an+6=~an+3=，

二｛q｝是以6為周期的數(shù)列，

而2024=337x6+2,

%024=%=24?

故選：B.

8.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為4=2"-2023M〃eN*）,則當(dāng)％最小時(shí)，"=（）

A.9B.10C.11D.12

【答案】C

【分析】根據(jù)給定的通項(xiàng)公式，探討數(shù)列｛%｝的單調(diào)性，求出?！白钚r(shí)的n值作答.

【詳解】數(shù)列｛%｝中，%=2"-2023”，貝!|。m-4=2"-2。23,而*<2023<2”，

于是當(dāng)"410時(shí)，an+1-an<0,即。研小外,當(dāng)“211時(shí)，an+l-an>0,gpan+i>an,

因此當(dāng)時(shí)，數(shù)列｛%｝單調(diào)遞減，當(dāng)〃211時(shí)，數(shù)列｛qj單調(diào)遞增，

所以當(dāng)且僅當(dāng)〃=11時(shí)，?！白钚?

故選：C

9.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛q｝滿足q則下列結(jié)論成立的是（）

A.。2018<。2019<〃2020B.。2020<“2019<“2018

C.〃2019<“2018<“2020D.。2019<。2020<。2018

【答案】D

【分析】先求％，%，%的大小,又丫=（'"單調(diào)遞減,可推出％，的，4的大小，再得到。2，。3，。4的大小，可得到％，生嗎嗎，

反復(fù)這個(gè)過程，可得到各項(xiàng)大小關(guān)系得出答案.

由指數(shù)函數(shù)y單調(diào)遞減，得：?!<?3<?2.

又>[g）,即4>>。3，即a2>a4>a3>a｝,

再由4可得4<a5<a4<a2,gpax<a3<a5<aA<a29

反復(fù)。向=、『，則有4</<生<<“2019<“2020<“2018<<〃2?

故選：D.

10.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式是%=匕里，則該數(shù)列中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)依次為（）

〃一，98

A.。9，,10B.〃[0,〃9C.D.〃9,〃8

【答案】B

【分析】將數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式分離常數(shù)后，考慮項(xiàng)的正負(fù)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.

…碗,"-屈〃-覆+項(xiàng)-質(zhì).X/98-A/97

【詳解】因?yàn)?=—=—K—=1+不可'-N,

所以當(dāng)"。10時(shí)?！?gt;1,且隨著〃增大，?！皽p小，故％。為最大項(xiàng)；

當(dāng)“V9時(shí)見<1,且隨著〃增大，"“減小，故的為最小項(xiàng).

故選：B

11.（2023?北京通州?統(tǒng)考三模）數(shù)列｛凡｝中，4=2,a2=4,an_jan+l=an（n>2）,則%023=（）

A.-B.1C.2D.4

42

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，分別求得/，的，生，即可得到數(shù)列｛?！埃闹芷?，從而得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)椋?2,a2=4,an_xan+i=an（n>2）,令〃=2,貝?。?。1%=出，求得%=2,

令〃=3,則出"4="3，求得%=/，令〃=4,則=“4，求得“5=7，

令〃=5,貝!）。4。6=%，求得&=g，令"=6,則a5a7=。6，求得%=2,

令〃=7,則a6a$=%，求得見=4,，

所以數(shù)列｛4｝的周期為6,則“2023=a\=2?

故選：C

12.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知等差數(shù)列｛4｝的公差為等，集合S=｛cosqj"eN*｝,若S=｛a,4，貝|而=()

A.-1B.——C.0D.二

22

【答案】B

【分析】根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫出通項(xiàng)公式，再結(jié)合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個(gè)元素分析、推理作答.

2兀2it2冗

【詳解】依題意，等差數(shù)列｛%｝中，??=fl1+(?-l)-y=y?+(?1-y),

2冗27r

顯然函數(shù)。=8$[可〃+311)]的周期為3,而“eN*,即cosa“最多3個(gè)不同取值，又｛cos%|=N*｝=｛4,6｝,

貝!I在cosax,cosa2,cosa3中,cosax=cosa2wcosa3或cosaxwcosa2=cosa3,

9jr27rjr

于是有cos0=cos(6+—),即有6+(6+—)=2fai,keZ,解得0=hi--,keZ9

,.,,.71,,71、4/C-71-2i7rl

所以左GZ,ab7=COS(K7l--)cosr[z(to-—)+—]=-cos(to--)cosKJI=-COSKTICOS—.

故選：B

13.(2023?陜西咸陽?武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛4｝滿足4=3,=1-',記數(shù)列｛%｝的前"

an

項(xiàng)和為S“，則()

兀=

c.anan+1an+2=-1D.20

【答案】c

【分析】根據(jù)首項(xiàng)和遞推公式一

q=3,%=1，發(fā)現(xiàn)數(shù)列｛%｝是以3為周期的周期數(shù)列，然后逐項(xiàng)分析各選項(xiàng);

12

【詳解】；弓=3,a?i=l--,Aa=1--=1一§=§，故A錯(cuò)誤；

+冊(cè)2%

,111,1,1c

。3=1-----=1——=。4=1------=1------T=3=(

a2￡2,%_

一3~2

?,?數(shù)列｛4｝是以3為周期的周期數(shù)列，???S3〃+「S=〃3〃+i=q=3,故B錯(cuò)誤；

11%—11I1Q”%T―%=T

V4+1=1=,%+2=1=1

a?a?%a“T?！?1〃,一]，

Cl—1—1

??anan+ian+2~an1一1，故C正確；

ana〃T

S]9=(%+a2+43++%8)+%9=6(%+〃2+/)+&[9=6x(3+|-g]+3=22,故D錯(cuò)誤.

故選：C.

14.(2023?江蘇南京?南京市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))斐波那契數(shù)列｛凡｝可以用如下方法定義：an+2=an+l+an,且

%=%=1,若此數(shù)列各項(xiàng)除以4的余數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列出｝,則數(shù)列也｝的第100項(xiàng)為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】由題意有4”2=。用+4,且％=%=1，若此數(shù)列各項(xiàng)除以4的余數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列出』，可得出」是

以6為周期的周期數(shù)列，然后求解即可.

【詳解】由題意有%+2=4+1+4，且％=%=1，

若此數(shù)列各項(xiàng)除以4的余數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列電｝,

則4=1,瓦=1，4=2,b4=3,b5=l,b6=0,b7=l,bs=l,b9=2...,

則數(shù)列｛〃｝是以6為周期的周期數(shù)歹U，

貝!I2oo=46x6+4=d=3,

則數(shù)列g(shù)"的第100項(xiàng)為3,

故選：D.

1

15.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在數(shù)列｛鞏｝中，己知?！?gt;0,弓=1,。什2尸，且為?！?6，貝U。2022+%=（）

、底

AB.D-1+

-1222

【答案】C

1Vs—11V5-1

【分析】根據(jù)可"+2-1，結(jié)合%00=。969得到嫉+。96-1=。'求得陽=,從而求得為8二

%+12佝6+12

1V5-1

〃ioo=,結(jié)合周期性，即可求解.

。98+12

11

1,可得、°°=雇工1=]+i，

【詳解】由4+2

?！?1

。96+1

1

因?yàn)?）0=%6，所以1?1"無，整理得晨+。96T=。，

一+1

V5-11A/5-11V5-1

由于4>。，解得%6=,從而為8二Z，Goo

2佝6+12〃98+12

A/5-I

可知%6=〃98=。100==〃2022=

2

11、后

因?yàn)椋?]77=5，所以“2022+%=：-

故選：C.

16.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）己知數(shù)列｛4｝滿足4=a>0,q,+i=-d+%（〃eN*）,若存在實(shí)數(shù)乙使｛4｝單調(diào)遞

增，貝壯的取值范圍是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【答案】A

【分析】由｛%｝單調(diào)遞增可得。例>%恒成立，貝V>%+l（〃eN*）,分析/>4+1和e的+1應(yīng)用排除法確定正確

選項(xiàng).

【詳解】由｛%｝單調(diào)遞增，得**由+%>4,

由q=〃>0,得%>0,

???方>+1（MGN）.

〃=1時(shí)，得，〉a+1①，

〃=2時(shí)，^t>—a2+ta+lf即（a—l"<（Q+l）（a—l）②，

若，=1,②式不成立，不合題意；

若4>1,②式等價(jià)為/V1+1,與①式矛盾，不合題意.

綜上，排除B,C,D.

故選：A

17.（2023春?上海浦東新?高三華師大二附中?？茧A段練習(xí)）已知無窮實(shí)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為5,.若數(shù)列｛SJ既

有最大項(xiàng)，也有最小項(xiàng)，則在：①“4>。且數(shù)列｛寓|｝嚴(yán)格減”和②"4<。且數(shù)列｛寓|｝嚴(yán)格增”中，｛%｝可能滿足的

條件是（）

A.不存在B.只有①

C.只有②D.①和②

【答案】B

【分析】若4>。且數(shù)列｛⑷｝嚴(yán)格減，則令｛??｝滿足a筋<0,>0,〃eN*,分〃為奇數(shù)和偶數(shù)可證得al+a2<Sn<ax,

所以數(shù)列電｝既有最大項(xiàng)，也有最小項(xiàng)，可判斷①，同理若/<。且數(shù)列｛㈤｝嚴(yán)格增，則可利用反證法來判斷②.

【詳解】若％>。且數(shù)列｛㈤｝嚴(yán)格減，則令｛%｝滿足均（0,%,T）0,〃eN*,

貝（J%+出〉0,%+。4>0，

a2+a3<0,a4+a5<0,,

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，S“=（q+g）+（/+%）++（?,,-1+%）>%+%，

當(dāng)〃=2時(shí)，⑸｝有最小值為S?=%+%,

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，E,=%+（%+/）+（%+%）++（??-i+a?）<?i

當(dāng)〃=1時(shí)，6｝有最大值為風(fēng)=色，

又因?yàn)?+為<4，所以％+%VS.V%，故數(shù)列｛5｝既有最大項(xiàng)，也有最小項(xiàng)，①正確；

若q<0且數(shù)列｛|?！梗龂?yán)格增，因?yàn)閿?shù)列｛5｝既有最大項(xiàng)，也有最小項(xiàng)，

設(shè)最大項(xiàng)為A,最小項(xiàng)為與，

故任意的〃eN*,有-max｛同，聞｝4s“Wmax｛聞,同｝,

設(shè)A=max｛s?J,|s.J｝,

因?yàn)椋龋秊閲?yán)格遞增數(shù)列且為無窮數(shù)列，故存在max｛%,4｝,使得|qJ>5A,

+a

若°M>。，則%=s%+4+1+。?0+2+M>5A+SM_1>5A-A=4A>SIIO,

這與最大項(xiàng)為為矛盾.

若?！?lt;。，貝!）?！?lt;-5A,

a

貝!I=S00+a%+i+a^+2++M<-5A+SM_t<-5A+A=-4A<S”,，

這與最小項(xiàng)為'矛盾.

綜上，②不成立.

故選:B.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：數(shù)列中最值問題的討論，往往和通項(xiàng)的符號(hào)相關(guān)，如果知道數(shù)列的前"項(xiàng)和有最值，則可判斷

出數(shù)列通項(xiàng)的符號(hào)，再結(jié)合數(shù)列的無窮性質(zhì)進(jìn)行處理.

二、多選題

18.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）定義“等積數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的積都為同一個(gè)常數(shù)，

那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公積，已知數(shù)列｛%｝是等積數(shù)列，且％=3,前7項(xiàng)的和為14,

則下列結(jié)論不正確的是（）

2

A.an+2=anB.a2=-C.公積為3D.anan+lan+2=12

【答案】CD

【分析】由題可知，對(duì)任意的“eN*,anan+l=c（c為常數(shù)），推導(dǎo)出exO,結(jié)合定義可得出。足=4，再結(jié)合已知

條件求出c的值，逐項(xiàng)判斷可得出合適的選項(xiàng).

【詳解】由題可知，對(duì)任意的〃eN*,anan+i=c（c為常數(shù)），

若c=0,貝!)％g=0，可得％=。，%的值未知，貝！|4+出+/++%的值不一定為14,故cwO,

aaCaa

則對(duì)任意的“eN*,產(chǎn)。，所以，nn+\—~n+in+2，故"〃+2—%，A對(duì);

Q

因?yàn)?%=3%=c,貝！J出=§，

所以，％+的+/++%=4。］+3%=12+C=14,解得c=2,C錯(cuò);

c2

B對(duì);

6,〃為奇數(shù)

aaa2a“=44

nn+\n+2〃士〃為偶數(shù)D錯(cuò).

13

故選：CD.

19.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）數(shù)列｛”“｝中，=0,a2=l,2an+2=an+l+an（neN*）.則下列結(jié)論中正確的是（）

31

A.｛q”「an｝是等比數(shù)列B.an=^

C.0<a?<lD.a8<a10<a9

【答案】AC

【分析】由已知遞推關(guān)系式，可得2(a.+2-a,T)=-(4i-a”)，則可得到他用-為｝是等比數(shù)列，進(jìn)而得到

再利用累加法得到%1-1,然后逐項(xiàng)判斷.

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛4｝中，4=0,%=1,2%+2=。3+%(〃^),所以2&+「%+|)=-(%+「％),即產(chǎn)十

則｛4+「為｝是以%-%=1為首項(xiàng)，以-;為公比的等比數(shù)列，所以。用-4=1-gj，故A正確;

2n-1

所以%=§1-從而

勺=3兄41，故B不正確;

當(dāng)"為奇數(shù)時(shí)，??=11-[1]是遞增數(shù)列，所以24=。,

當(dāng)"為偶數(shù)時(shí)，??=|1+Qj是遞減數(shù)列，所以所以O(shè)Va“Vl,故C正確；

又如=1■l+'%°=gl+g]"kg1-G),所以。9<%0<。8，故D不正確.

故選：AC.

20.(2023秋?江蘇常州?高三?？计谀?斐波那契數(shù)列是數(shù)學(xué)中的一個(gè)有趣的問題,它滿足：耳=1,工+2=工+1+工,

人們?cè)谘芯克倪^程中獲得了許多漂亮的結(jié)果?某同學(xué)據(jù)此改編，研究如下問題：在數(shù)列｛%｝中，q=%=1,

an+l+a?,a“+/3k,

%+2=1°,(ZeZ),數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，則()

5a“+1,(+1=3后

A.a5=5B.47=%6+陽

、C?^an+5=an+1in0D.S2°22=8804

【答案】BC

【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式求出數(shù)列的前17項(xiàng)，得出數(shù)列為從第四項(xiàng)起為周期數(shù)列，且周期為5,再對(duì)各選項(xiàng)逐

項(xiàng)判定，即可求出結(jié)果.

a“+i+%，a"3k,

a

【詳解】因?yàn)閝=出=1，n+2=\1(%eZ)

-?,,+p%+i=3總

所以“3=。2+。1=2'〃4=。3+。2=3，%=3。4=1，

=。5+“4=4，47="6+”5=5，。8="7+”6=9,

="10+%=4,

%=%+陽=5,陽=牝+&=9,a=/=3,

—1,^16=^15+^14=4，^17=^16+^15=5,

所以數(shù)列從第四項(xiàng)起為周期數(shù)列，且周期為5,

所以"〃+5—"〃+10，故A錯(cuò)誤，BC正確；

因?yàn)?t4+6t5++677+6Zg=3+1+4+5+9=22,

所以S2022=%+。2+/+403x22+%+a2+a3+a4=8877,故D錯(cuò)誤.

故選:BC.

21.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知數(shù)列｛%｝滿足：4=0,an+l=ln^+l)-a?(neN*),前"項(xiàng)和為5“(參考數(shù)據(jù):

為220.693,歷321.099),則下列選項(xiàng)正確的是()

A.｛%.J是單調(diào)遞增數(shù)列，｛/“｝是單調(diào)遞減數(shù)列

B.?！?an+1?ln3

C.$2020<670

D.a2n-Va2n

【答案】ABD

【詳解】

a

由an+l=ln｛e-+l)-a?,

可得4M=In?+1)-lnean,

滑+1,1

即有小-------=1+——

令么=j"，即為=她，

7I1

則2+1=1+丁，4=0,4=1,

bn

作出y=l+L和y=x的圖像，

X

由圖像可得，｛的”_｝是單調(diào)遞增數(shù)列，｛的”｝是單調(diào)遞減數(shù)列，故A正確;

因?yàn)槲稹昕冢?],所以她+1=么（1+:）=2+1$[2,3],

“n

所以她+1=/d"￡[2,3],貝!|%+4+1W[加2,M3],故3正確；

因?yàn)?"〃+1—?dú)v2,所以$2020=（4+生）+（。3+。4）+…+（“2019+。2020）

21010前2＞693,故C錯(cuò)誤；

由不動(dòng)點(diǎn)a。1，鋁），可得1池,＜笄＜『