線性代數(shù)矩陣及其運算

關(guān)于線性代數(shù)矩陣及其運算12第一章矩陣§1

矩陣及其運算§3行列式§2

矩陣的初等變換與初等矩陣§4行列式和逆矩陣的應用第2頁,共47頁，2024年2月25日，星期天3矩陣及其運算

第一節(jié)第3頁,共47頁，2024年2月25日，星期天引例一某企業(yè)生產(chǎn)4種產(chǎn)品，各種產(chǎn)品的季度產(chǎn)值（單位：萬元）如下表：ABCD180757578298708584390759090488708280數(shù)表抽象描述各種產(chǎn)品各季度的產(chǎn)值揭示產(chǎn)值隨季度的變化規(guī)律、年產(chǎn)量等第4頁,共47頁，2024年2月25日，星期天引例二某航空公司在A，B，C，D四城市之間開辟了若干航線，右圖表示了四城市之間的航班圖，若從A到B有航班，則用帶箭頭的線連接A與B：終點始發(fā)ABCDA√√B√√√C√√√D√數(shù)表BACD抽象反映四城市之間的交通連接情況第5頁,共47頁，2024年2月25日，星期天1.1.1線性方程組與矩陣的概念m個方程，n個未知數(shù)線性方程組的一般形式為數(shù)表第6頁,共47頁，2024年2月25日，星期天定義1.1(P2)由mn個數(shù)aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排成的m行n列的數(shù)表第一行第二行第一列第二列其中諸叫做矩陣的元素，矩陣可以簡記稱為m行n列矩陣

，簡稱為矩陣,通常用大寫的英文字母A,B,…表示，第7頁,共47頁，2024年2月25日，星期天行矩陣：只有一行的矩陣也稱為行向量列矩陣：只有一列的矩陣也稱為列向量元素全是零的矩陣叫做零矩陣，簡記為Om

n

特例第8頁,共47頁，2024年2月25日，星期天行數(shù)與列數(shù)相等的矩陣，稱為方陣。有n行n列的矩陣稱為n階方陣或n階矩陣特例第9頁,共47頁，2024年2月25日，星期天10幾種特殊形式的方陣上三角形矩陣下三角形矩陣——三角形矩陣第10頁,共47頁，2024年2月25日，星期天11數(shù)量矩陣對角陣單位矩陣幾種特殊形式的方陣diagonal第11頁,共47頁，2024年2月25日，星期天12行數(shù)、列數(shù)分別相等的矩陣，稱為同型矩陣。同型矩陣如：只有矩陣與矩陣同型第12頁,共47頁，2024年2月25日，星期天13定義1.2（P4)那么就稱矩陣A與矩陣B相等，記作A=B相等矩陣第13頁,共47頁，2024年2月25日，星期天14(1)(2)(3)判斷下列各組矩陣是否相等第14頁,共47頁，2024年2月25日，星期天課堂練習設，已知A=B，求的值解由A=B，可知解得第15頁,共47頁，2024年2月25日，星期天一、矩陣的加減法定義1.3（P4)那么矩陣A與矩陣B的和矩陣記作A+B,規(guī)定為對應位置上的元素相加1.1.2矩陣的基本運算及性質(zhì)注意：只有同型矩陣才能相加第16頁,共47頁，2024年2月25日，星期天17矩陣的加法滿足下列運算規(guī)律(P4)（i）A+B=B+A(交換律）

（ii)(A+B)+C=A+(B+C)(結(jié)合律）(iii)A+O=O+A=A-A稱為矩陣A的負矩陣，顯然有A+(-A)=(-A)+A=O定義矩陣的減法：A-B=A+(-B)對應位置上的元素相減第17頁,共47頁，2024年2月25日，星期天二、矩陣的數(shù)乘運算定義1.4(P5)矩陣的每一個元素都要乘以這個數(shù)運算率(P5)第18頁,共47頁，2024年2月25日，星期天19設兩個商店銷售三種電視機的數(shù)量（百臺）由矩陣A表示長虹康佳創(chuàng)維百佳華潤三種電視機的零售單價（千元）由矩陣B表示長虹康佳創(chuàng)維三、矩陣的乘法則兩商場銷售電視機所得收益分別是多少？第19頁,共47頁，2024年2月25日，星期天定義1.5(P5)三、矩陣的乘法設矩陣A=(aij)ml的列數(shù)與矩陣B=(bij)ln的行數(shù)相等,則由元素構(gòu)成的mn矩陣C=(cij)mn稱為矩陣A與矩陣B的乘積，記作C=AB第20頁,共47頁，2024年2月25日，星期天矩陣乘法運算的注意事項：（1）兩矩陣相乘時，前矩陣（居左）每一行（如第i行）的各元素與后矩陣（居右）每一列（如第j列）中順次對應的各元素相乘再相加，從而得到乘積矩陣（第i行第j列）的元素。為保證規(guī)則（1），左矩陣的列數(shù)應與右矩陣的的行數(shù)相等，否則兩矩陣不能相乘。（3）乘積矩陣的行數(shù)與左矩陣相同，乘積矩陣的列數(shù)與右矩陣相同。行列第21頁,共47頁，2024年2月25日，星期天22例計算下列矩陣的乘積，并觀察結(jié)果，探討性質(zhì)（1）設，求AB和BA。（2）設，求AB和BA.求AB、BA和BC。第22頁,共47頁，2024年2月25日，星期天例設，求AB。矩陣與矩陣相乘不滿足交換律，AB有意義，但BA不一定有意義解第23頁,共47頁，2024年2月25日，星期天例設AB求AB和BABAAB和BA都意義，但不同型，故AB≠BA.解第24頁,共47頁，2024年2月25日，星期天例求AB、BA和BCABBA

(1)AB與BA都有意義，且同型，但AB與BA不相等

(2)兩個非零矩陣相乘可能是零矩陣

(3)BA=BC,但A≠C,可見，矩陣乘法不滿足消去率BC解AB≠BA,BA=BC第25頁,共47頁，2024年2月25日，星期天例求AB和BAABBAAB=BA如果同階方陣A和B滿足AB=BA,則稱A與B可交換解第26頁,共47頁，2024年2月25日，星期天矩陣的乘法雖不滿足交換律、消去率，但滿足下列運算率（P6）：(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)(Ⅳ)第27頁,共47頁，2024年2月25日，星期天記則線性方程組(1)可通過矩陣的乘法表示成矩陣形式系數(shù)矩陣未知數(shù)列矩陣常數(shù)列矩陣第28頁,共47頁，2024年2月25日，星期天矩陣A表示兩車間生產(chǎn)三種產(chǎn)品的數(shù)量矩陣B表示三種產(chǎn)品的單位產(chǎn)品消耗兩種原料的數(shù)量車間一車間二面包蛋糕餅干面包蛋糕餅干糖面粉則如何用矩陣表示兩車間需要消耗的原材料的數(shù)量？第29頁,共47頁，2024年2月25日，星期天方陣的冪設A是n階方陣，k為正整數(shù)，則表示k個A連乘,如顯然，只有方陣的冪才有意義第30頁,共47頁，2024年2月25日，星期天四、轉(zhuǎn)置矩陣(Transpose)行、列對調(diào)例運算律可推廣到有限多個的情形定義1.6(P6)

把矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到一個新矩陣,叫做的A轉(zhuǎn)置矩陣，記作或第31頁,共47頁，2024年2月25日，星期天對稱矩陣如果方陣A滿足就稱A為對稱矩陣例如方陣A為對稱矩陣矩陣A中關(guān)于主對角線對稱位置上的每一對元素都相等第32頁,共47頁，2024年2月25日，星期天定義1.7(P10)設A為n階方陣,AB=BA=I就稱為A可逆矩陣，如果存在n階方陣B，使得并稱B為A的逆矩陣（簡稱A的逆),記作定理1.1如果A是可逆矩陣，則A的逆矩陣是唯一的證明設B和C都是A的逆矩陣，則AB=BA=I,AC=CA=I

B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C1.1.4逆矩陣第33頁,共47頁，2024年2月25日，星期天性質(zhì)1.1如果矩陣A可逆，則AB=I等價于BA=I。證明(1)相似可證性質(zhì)1.2（3）如果A為可逆矩陣，則A-1也可逆，且第34頁,共47頁，2024年2月25日，星期天性質(zhì)1.3如果A和B為同階可逆矩陣，則AB可逆，且證明故由推論1便知AB可逆，且可推廣到有限個情形第35頁,共47頁，2024年2月25日，星期天36★逆矩陣的性質(zhì)（P10-P11）1、逆矩陣是唯一存在的。2、AB=IBA=I6、若A可逆，則A-1也可逆，且.3、若A可逆，數(shù)，則4、若A、B為同階可逆矩陣，則5、若A可逆，則（此性質(zhì)可將定義簡化）第36頁,共47頁，2024年2月25日，星期天371.1.3分塊矩陣及其運算用穿過矩陣的橫線和豎線將矩陣A分割成若干個子塊，以這些子塊為元素的矩陣A稱為分塊矩陣。例如則A可記作稱A為以子塊A11、A12、A13、A21、A22、A23為元素的分塊矩陣。第37頁,共47頁，2024年2月25日，星期天38如：★分塊矩陣第38頁,共47頁，2024年2月25日，星期天39如：★分塊矩陣列分塊行分塊第39頁,共47頁，2024年2月25日，星期天401、矩陣的分塊運算分兩步完成，首先，視子塊為元素，按矩陣的運算法則作第一步運算，然后，在子塊的運算中，再進行實質(zhì)上的矩陣運算。2、在對矩陣進行分塊時，必須遵守相應運算的前提條件。如：相加減的矩陣，需采取完全相同的分塊方法；相乘時，左矩陣的列塊數(shù)必須等于右矩陣的行塊數(shù)，同時還須保證子塊運算時的左子塊的列數(shù)必須等于右子塊的行數(shù)?！锓謮K矩陣的運算：第40頁,共47頁，2024年2月25日，星期天41分塊矩陣的加減運算設A、B同型，且采用完全相同的分塊方法，得則注意：Aij與Bij同型第41頁,共47頁，2024年2月25日，星期天42分塊矩陣的數(shù)乘及轉(zhuǎn)置設將A分塊得則第42頁,共47頁，2024年2月25日，星期天43分塊矩陣的乘法運算設A、B矩陣分塊得則其中注意：A的列塊數(shù)=B的行塊數(shù)；Aik的列數(shù)=Bkj的行數(shù)第43頁,共47頁，2024年2月25日，星期天44例8設將A、B適當分塊，計算AB.解將A、B作如下分塊：在二、三行之間插入橫線，在二、