2023-2024學(xué)年廣東省廣州高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題（含答案）

2023-2024學(xué)年廣東省廣州高二上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.設(shè)集合A={x∣-l<x<2},B={%∣log2%<2},則A8=()

A.(-8,1)B.(0,1)C.(0,2)D.(-∞,2)

【正確答案】C

【分析】首先求集合8,再求AC8.

【詳解】由log?x<2,解得0<x<4,則8={x∣0<x<4}.又YA={x∣-l<x<2},

.?.ACB=(0,2).

故選：C.

2.設(shè)“eR,若復(fù)數(shù)d+i)3+i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上，則。=()

A.0B.-1C.1D.√2

【正確答案】B

【分析】利用復(fù)數(shù)乘法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，根據(jù)其對(duì)應(yīng)點(diǎn)在實(shí)軸上有α+l=0,即可得答案.

【詳解】Y復(fù)數(shù)(l+i)3+i)=(α-D+(α+l)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上,

.?.α+l=0,即〃=—1.

故選：B

3.若1，4,生，4成等差數(shù)列；1，4也也,4成等比數(shù)列，則的產(chǎn)等于

A.—B.?-C.±-D.一

2224

【正確答案】A

【分析】利用等差數(shù)列以及等比數(shù)列的性質(zhì)求出等差數(shù)列的公差，等比數(shù)列的公比，然后計(jì)

算求解即可.

【詳解】若1,a1,“2,4成等差數(shù)列，4=l+3d,d=?,

/.Cl∣~a2=~1.

又1,bl,b2,b3,4成等比數(shù)列，歷2=1x4,解得岳=2,岳=-2舍去(等比數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)的

符號(hào)相同).

.4一生_1

??瓦2

故答案為A.

本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，是基礎(chǔ)的計(jì)算題，對(duì)于等比等差數(shù)列的小題，常用到的方

法，其一是化為基本量即首項(xiàng)和公比或者公差，其二是觀察各項(xiàng)間的腳碼關(guān)系，即利用數(shù)列

的基本性質(zhì).

4.若書架上放的工具書、故事書、圖畫書分別是5本、3本、2本，則隨機(jī)抽出一本是故事

書的概率為()

A.?C.?

D.?

552

【正確答案】B

【分析】由古典概率模型的計(jì)算公式求解.

【詳解】樣本點(diǎn)總數(shù)為10,“抽出一本是故事書”包含3個(gè)樣本點(diǎn)，所以其概率為京.

故選：B.

5.已知COS[S+a]=&sin(a-3),則Sm%+2=()

12)\4)cos2α+l

57

A.—B.—C.7D.—7

44

【正確答案】B

【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)己知等式可求得Iano,結(jié)合二倍角公式，由正余弦齊次式的求

法可求得結(jié)果.

一Sina=V^SinaCOS二一0cosαsin囚=Sina-COSa,

44

即2sinα=8sα,/.tana=—,

2

sin2α+2_2sincrcosσ÷2sin2ez+2cos2a_sinacos?z÷sin2σ+cos2a

??=2=2

cos2a+12cosacosa

21?7

=tanσ÷tan^cr+1=—÷—+1=—.

244

故選：B.

6.已知”,Z?為單位向量.若kN=卜+"則cos<2",3∕?>=()

A.l-√3B.l-√2C.√2-lD.√3-l

【正確答案】A

【分析】利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算以及夾角公式即可求解.

【詳解】設(shè)α,b的夾角為。，

因?yàn)?，〃為單位向量,且"可二,+。|，

所以|同,忖854=卜+可,

即cos2θ=a2+?2+216f11?Icos6^,

整理得CoS2θ-2cos6-2=0,

解得COSe=I-G或1+6(舍)，

2a?3b6∣6f∣∣?∣cos^

因?yàn)閏os<2α,3fc>=-~π~I=——L-L_=1一技

國(guó)Ml6|珊

故選:A.

7.已知拋物線∕=4x的焦點(diǎn)尸，點(diǎn)A(4,3),P為拋物線上一點(diǎn)，且P不在直線ΛF上，則

△F4F周長(zhǎng)取最小值時(shí)，線段PF的長(zhǎng)為

A.1B.—

4

C.5D.—

4

【正確答案】B

【分析】求△抬尸周長(zhǎng)的最小值，即求IRM+1PQ的最小值.設(shè)點(diǎn)P在準(zhǔn)線上的射影為￡>,則

根據(jù)拋物線的定義，可知IPfl=IPO∣?因此問題轉(zhuǎn)化為求∣∕?∣+∣PO∣的最小值，根據(jù)平面幾何

知識(shí)，當(dāng)力、P、A三點(diǎn)共線時(shí)∣%∣+∣P∕)∣最小，由此即可求出P的坐標(biāo)，然后求解尸尸長(zhǎng)度.

【詳解】求A%F周長(zhǎng)的最小值，即求∣B4∣+IPFl的最小值，

設(shè)點(diǎn)尸在準(zhǔn)線上的射影為。，

根據(jù)拋物線的定義，可知IPQ=IPOl

因此，∣∕?∣+∣PQ的最小值，即∣%∣+∣PDl的最小值

根據(jù)平面幾何知識(shí)，可得當(dāng)￡>,P,A三點(diǎn)共線時(shí)∣∕?∣+∣PQ∣最小，

9913

此時(shí)P(一，3),F(1,0)P尸的長(zhǎng)為一+1=一,

444

故選B.

本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，判斷當(dāng)。,P,A三點(diǎn)共線時(shí)∣∕?∣+∣PR

最小，是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，F(xiàn)1,F2分別是雙曲線J-∕=l(a>OS>O)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)尸是雙曲線與圓

Y+y2="+從在第二象限的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)。在雙曲線上，且片尸=g∕^Q,則雙曲線的離心

2345

【正確答案】A

【分析】連接尸鳥,QK,設(shè)IPGI=〃由條件可得尸尸口?鳥，可得〃2=2Z√-2加，由條件有則

IEQl=3”，由雙曲線的定義可得IQ周=勿+3〃.在△/=；KQ中，cosZQF2Fi=-^-,由余弦

定理可得：IQ制2=|Q圖2+|耳瑪「一2|Q用.忻用.cosNQKK,可得2"=6m-3/,可解得

n=a,從而可得答案.

【詳解】連接心，QE，設(shè)/尸/例=6,設(shè)歸用=2c,∣P用=〃，由雙曲線的定義可得

∣P∕ζ∣=2a+n.

由條件可得尸E，PK，則1+（2"+"）2=4c?2,即〃2=?2-2即

在.FxF2P中,cosZPF1F2=CoSe=微

由月尸=；KQ,則IgQI=3〃，由雙曲線的定義可得∣Q6∣=2q+3”.

/7

在居。中，CoSNQE耳=-cosθ=---

2c

由余弦定理可得：IQ￡(=IQ國(guó)2+由用2一2IQ段.歸用.COSNQKK

即(2〃+3〃『=(3π)^+4C2+2×3π×2c×y-

所以2b'=6an—2>n^

結(jié)合上面得到的式子：n2=2b2-2an,可得

所以Ip耳∣=α,∣P5∣=3α,則/+(34)"=(24,即10片=4/

所以ej%∣,即e考

關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查求雙曲線的離心率問題，解答本題的關(guān)鍵是由條件設(shè)IP制=〃由條件可

/7

得PFJPF2,可得”2=?2_2利，在△耳心。中，cosZQFF=--,由余弦定理可得：

1l2c

IQM=IQ閭?+|耳閭2-2IQKH耳閭?cosNQ牙耳,即

222

（2?+3n）=（3∕1）+4C+2×3?×2c×?,所以2〃=6m-3/,屬于中檔題.

二、多選題

9.（多選）數(shù)列伍〃｝為等差數(shù)列，S”為其前"項(xiàng)和，已知07=5,57=21,則（）

2

A.aι=?B.J=--

3

C."2+4,2=1°D.S∕o=4O

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)所給條件，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，直接計(jì)算即可得解.

【詳解】設(shè)數(shù)列｛〃〃｝的公差為d,

則由已知得S'=7?；"),

即21=7(4+5),解得R=L

?

又〃7=〃/+6d,所以d=§.

所以S∕o=lθα∕+lox%=]。+10x9χ2=4Q

223

由｛〃〃｝為等差數(shù)列,知。2+〃/2=2〃7=10.

故選：ACD

10.下列函數(shù)中，最小值為2的是()

1

A.y=x7÷2x÷3B.y=x+-

X

43

C.y=-(x∈[3,9])D.y=X—(x∈[—1,0))

【正確答案】AD

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可求出ACD的最小值，利用基本不等式可判斷B選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A,y=√+2x+3=(x+l)2÷2≥2,所以函數(shù)最小值為2,故A正確;

對(duì)于B,當(dāng)x>0時(shí)，y=x+-≥2,當(dāng)且僅當(dāng)X=L即x=l時(shí)取得等號(hào),

XX

當(dāng)XVo時(shí)，>=-1T+白｝因?yàn)門+J≥2J(τ>E-)=2,

所以y=]r+m≤-2當(dāng)且僅當(dāng)T=5,即LI時(shí)取得等號(hào),

所以y∈(-∞,-2]U[2,y),故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,y=---在X∈[3,9]單調(diào)遞減，

x-l

41

所以當(dāng)x=9時(shí)函數(shù)有最小值為戶7=:,故C錯(cuò)誤;

9-12

對(duì)于D,y=在x∈[-l,0)單調(diào)遞增，

3

所以當(dāng)A—1時(shí)函數(shù)有最小值為T一_-=2,故D正確；

-1

故選:AD.

11.橢圓C：《+)，2=1的左右焦點(diǎn)分別為R名,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，給出以下四個(gè)命題，正確的

4

是()

A.過點(diǎn)鳥的直線與橢圓C交于A3兩點(diǎn)，則仆AB耳的周長(zhǎng)為8；

B.橢圓C上不存在點(diǎn)P,使得Pf；Pg=()；

C.橢圓C離心率為且；

2

D.P為橢圓三+y2=l一點(diǎn)，。為圓V+y2=ι上一點(diǎn)，則點(diǎn)P,Q的最大距離為4.

4'

【正確答案】AC

【分析】根據(jù)橢圓方程寫出。、b.C及焦點(diǎn)坐標(biāo)，由橢圓定義求焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)判斷A；

根據(jù)橢圓的性質(zhì)及余弦定理求/片的最大值，進(jìn)而確定其范圍判斷B；直接法求離心率

判斷C；根據(jù)圓的方程確定與橢圓的位置關(guān)系，進(jìn)而判斷RQ的距離范圍，即可判斷D.

【詳解】由題設(shè)橢圓參數(shù)為α=2*=l,c=6,且月(-6,0)、E(K,0),

對(duì)A：由橢圓定義知：∣4Ml+14用IHB用+18瑪l=2a=4,則aAB[的周長(zhǎng)為8,A正確；

對(duì)B：當(dāng)戶在y軸上時(shí)，I尸耳RpKl=α=2,而∣EE∣=2c=2√L

3

此時(shí)COSWPE==-g,且/耳PR∈(0,),易知=4，

"+I8"23π

9TTTT

故NWpEe[0,丁],則存在點(diǎn)P使得NEPE=耳，

故存在點(diǎn)尸使得P∕[PE=O,B錯(cuò)誤：

對(duì)C：橢圓C的離心率為e=￡=3,C正確；

a2

對(duì)D：由橢圓和圓的方程知：它們?cè)趛軸上的交點(diǎn)為橢圓上下頂點(diǎn)，而圓在X軸上的交點(diǎn)為

(±1,0),所以O(shè)SPQl≤∣OP∣+l≤α+l=3,

故P,Q的最大距離為3,D錯(cuò)誤.

故選：AC.

12.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABa)-AAG。中，M、N分別是棱44、AP的中點(diǎn)，

點(diǎn)P在線段CM上運(yùn)動(dòng)，給出下列四個(gè)結(jié)論正確的是（）

A.平面CMN截正方體ABCD-AqG力所得的截面圖形是五邊形

B.直線瓦。到平面CMN的距離是各叵

17

C.存在點(diǎn)P,使得NBfA=90

D.面積的最小值是空

6

【正確答案】ABC

【分析】作出截面圖形判斷A；利用等積法可判斷B,利用坐標(biāo)法可判斷CD.

【詳解】對(duì)于A,如圖直線MN與eg、GA的延長(zhǎng)線分別交于M∣，M，

連接CMI,CM分別交BB-于加2，N],連接政%,NN2,

則五邊形即為所得的截面圖形，故A正確;

對(duì)于B,由題可知MN〃BQ,MNU平面CMN,Bae平面CMN,

所以與?！ㄆ矫鍯MN,故點(diǎn)B1到平面CMN的距離即為直線B1O1到平面CMN的距離,

設(shè)點(diǎn)見到平面CMV的距離為〃，由正方體ABCD-A耳GP的棱長(zhǎng)為2,

x522=,

可得CM=CN=3,MN=5/2,Scmn-~∕2×yJ3-(~~)~~~

所以VβCMN=JSCWN.力=IX——×h=——h,

珞-LMN3CΛ7∕V326

v

C-B,MN=；SB?MN.CCI=gxgx2=g,

所以由%∣-CMN=VJ^MNf可得力=—?^?>

所以直線用。到平面CMN的距離是岑，故B正確；

對(duì)于C,如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則用(2,0,2),D1(0,2,2),C(2,2,。),,0,

設(shè)PC=/IMC，0≤∕l≤l,所以PC=/MC=,2,-2),

又C(2,2,0),5,(2,0,2),D1(0,2,2),

所以P(2-32-2λ,2Λ),PBi=(λ,2Λ-2,2-2Λ),PDl=(λ-2,24,2-22),

假設(shè)存在點(diǎn)P,使得/B、PD1=90,

2

PB1-PD1=λ{(lán)λ-2)+2Λ(2Λ-2)+(2-2Λ)=O,整理得9萬—14X+4=O,

所以Zl=止叵>1(舍去)或幾=上叵，

99

故存在點(diǎn)P,使得/3/〃=9(),故C正確；

對(duì)于D,由上知P(2T,2-22,22),所以點(diǎn)P(2-4,2-22,2㈤在。A的射影為(0,2,

22),

所以點(diǎn)P(2-zl,2-2Λ,2㈤到。A的距離為：

d=√(2-2)3+(-22)2=√5Λ2-4Λ+4=卜-∣)2+y,

所以當(dāng)時(shí)，dnι,n=羋，

??

故APDR面積的最小值是_lx2X幽=拽，故D錯(cuò)誤.

255

故選：ABC.

三、填空題

13.向量α=(2,0,5),b=(3,1,-2),c=(-1,4,0),則α+6∕>-8c=.

【正確答案】(28,-26,-7)

【分析】根據(jù)向量運(yùn)算求得正確答案.

【詳解】a+6b-8c=(2,0,5)+(18,6,-12)-(-8,32,0)=(28,-26,-7).

故(28,—26,—7)

14.函數(shù)y=log5(f+2x—3)的單調(diào)遞增區(qū)間是.

【正確答案】(1,+∞)

［分析］根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性“同增異減''法則計(jì)算即可.

【詳解】由題意，函數(shù)y=log5(f+2x-3)滿足f+2χ-3>0,解得X<—3或X>1,

即函數(shù)y=1暇K+2x-3)的定義域?yàn)?-∞,-3)51，”0)，

令g(x)=d+2x-3,

則函數(shù)g(x)在(一8,—3)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增,

再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性''同增異減"法則，可得函數(shù)y=log5(f+2x-3)的單調(diào)遞增區(qū)間

是(l,+oo);

故(1,÷∞).

15.已知耳,巴是雙曲線￡-丁=1的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上一點(diǎn)尸滿足IP耳∣+∣P"|=6,

4

則AP"F?的面積是.

【正確答案】2

【分析】假設(shè)戶在左支上，由雙曲線定義及已知條件可得IP8I=5,IPKI=1,再用余弦定理

求CoSNKP鳥，進(jìn)而求其正弦值，利用三角形面積公式求△P耳居的面積.

【詳解】不妨假設(shè)尸在左支上，則IP鳥I-IPKl=2〃=4,又洋斗∣+∣P坊|=6,

-25+1-203

所以IPFj=5,1P耳|=1,而I瑪耳I=2c=2石r，則COS4PM=FW=

TT4

所以〃；尸乙€(0,彳)，故sin/￡P(guān)K=g，

綜上，AP-瑪?shù)拿娣e是gx∣P8∣x∣P∕"χsinNξPg=2.

故2.

16.在平面直角坐標(biāo)系Xoy中有兩定點(diǎn)A、B,且Aδ=4,動(dòng)點(diǎn)尸滿足尸4?PB="∕l>0),

若點(diǎn)P總不在以點(diǎn)B為圓心，1為半徑的圓內(nèi)，則實(shí)數(shù)4的最小值為.

【正確答案】5

【分析】以AB所在直線為X軸，線段AB的垂直平分線為)，軸，建立平面直角坐標(biāo)系，得

到點(diǎn)P的軌跡方程，再結(jié)合兩圓位置關(guān)系求解即可.

【詳解】以AB所在直線為X軸，線段AB的垂直平分線為)，軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則

A(-2,0),8(2,0).

設(shè)尸(X,y),貝IJPA=(-2-X,-y),PB=(2-x,-y),

因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P滿足PA?PB=2,

即(_2_%,_y>(2_x,_y)=九,pl!∣χ2-4+y2=λ,BPx2+y2=4+Λ,

又因?yàn)楱Ml>0時(shí)，點(diǎn)P在以原點(diǎn)為圓心，"TW為半徑的圓上，同時(shí)點(diǎn)P總不在以點(diǎn)B為圓

心，1為半徑的圓內(nèi),

即圓χ2+y2=4+4(4>0)與圓(χ-2α+y2=ι相離或外切或內(nèi)切或內(nèi)含，如圖,

所以j4+2+l≤2或j4+∕-122,解得；l≤-3(舍去)或∕l≥5,

所以實(shí)數(shù)2的最小值為5.

故5.

四、解答題

17.已知等差數(shù)列｛4｝的公差為d(√>1),前"項(xiàng)和為品，等比數(shù)列也“｝的公比為心且

4=4=1,d=q,S3=9,+。5=8b->,

⑴求數(shù)列｛4｝,也,｝的通項(xiàng)公式；

⑵記%=去，求數(shù)列匕｝的前“項(xiàng)和Z,.

【正確答案】(IM=2"-1,2=2”，

(2)7；=6-(2n+3)xW

【分析】(1)通過公式求出公差、公比即可求出通項(xiàng)；(2)用錯(cuò)位相減法求數(shù)列｛c,,｝的前W

項(xiàng)和.

【詳解】ɑ)%=1,S3=3α1÷3rf=9,Λd=2,?*?an=ai+(n-l)d=2n-l

ni,,l

K=I,q=2,bn—biq'=2^；

(2)C“嚕=^:^=(2〃-IW,

ιι-2

4=l+3χg+5x(g)++(2-3)x])

+(2Z7-1)×

+(2"-3)x(j+(2〃一l)x(g),

-(2〃-I)Xi?)

+2+詞,

2

??y,=6-(2"+3)x[;1

18.為了解我校高二數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考情況，年級(jí)組織了一次檢測(cè)考試，并隨機(jī)抽取了IOO人的

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該次檢測(cè)數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)沅及中位數(shù)〃（精確到小數(shù)點(diǎn)后

:像）；

⑵現(xiàn)準(zhǔn)備從成績(jī)?cè)?30,150］的8人中隨機(jī)選出2人交流發(fā)言，求恰好抽到2人成績(jī)?cè)?/p>

（140.150］的概率.

【正確答案】（1）沅=103.2,“=104.2；

【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖平均數(shù)和中位數(shù)計(jì)算方法計(jì)算即可;

(2)利用枚舉法枚舉出8人選2人的基本事件，求出其總數(shù)，再求出2人成績(jī)?cè)?140,150］的

事件數(shù)量，由此即可求出概率.

【詳解】(1)該校此次檢測(cè)理科數(shù)學(xué)成績(jī)平均成績(jī)約為：

m=65×0.05+75×0.08+85×0.12+95×0.15+l05×0.24+115×0.18+?25×0.1+135×0.05+l45×0.03=

103.2.

因?yàn)槌煽?jī)?cè)冢?0,100)的頻率為0.4,設(shè)中位數(shù)〃，則0.024(〃-IOo)=0.1

所以，/1=104.2；

(2)設(shè)成績(jī)?cè)冢?30,140)的5位同學(xué)位A，4,4,成績(jī)?cè)?40,150］的3位同學(xué)為

B∣,B3,B3.從中選出2位同學(xué)，基本事件為：

AiA29AlA39AlA4fAiA59A2A39A2A49A2A5fA3A49A3A59A4A59AlBj9AlB29AlB39A2Bl,

A2B2,A2B3,A3βl,A3B2,A3B39A4βl9A4β2,A4β^,A5B1,A5B2,A5β3,βlβ2,βlβ3,β2β3,

共28個(gè)，而2位同學(xué)成績(jī)恰在［140,150］內(nèi)的事件有3個(gè)，

所以8人中隨機(jī)選出2人交流發(fā)言，恰好抽到2人成績(jī)?cè)?Mal5()］的概率為

28

19.a,b,C分別為-ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊.已知5:cos(π—A)=ICOs(π-C)-CCosB.

⑴求cosA；

2

(2)若匕一C=IM2=4?+C,求AABC的面積.

【正確答案】(I)CoSA=g

(2)6√6

【分析】(1)由誘導(dǎo)公式，正弦和角公式及正弦定理得到5sinAcosA=SinA,因?yàn)镾inA>0,

所以CoSA=(；

2

(2)在第一問的基礎(chǔ)上利用余弦定理得到4=8-yc,結(jié)合c=l,求出〃=6,c=5,再利

用三角形面積公式求出答案.

【詳解】(1)因?yàn)?αcos(π-A)=ACOS(π-C)-CCOsB,

所以一5αcosA=-Z?COSC-CCOS3,BP5d,cosΛ=?cosC+ccosB,

所以5sinAcosA=sinBCoSC÷sinCcosB,

即5sinAcosA=Sin(3+C)=sinA,

又A∈(0,τι),所以SinA>0,所以CoSA=g；

(2)由第一問可知CoSA=",貝IJSinA=Jl-=半,

9

由余弦定理得：a2=h2+c2-2bccosA=h2+c2-^hc,

2

因?yàn)椤?=46+<?,b>0,所以4=6-gC,

又匕一c=l,解得6=6,c=5,

所以/5C的面積S='z>csinA='x30x殛=6?.

225

20.如圖，在正四棱柱ABCf）-AACQl中，A8=2,點(diǎn)E在CG上，且CE=2EC∣=2.

（1）若平面ABE與。G相交于點(diǎn)凡求RF；

（2）求二面角A-BE-A的余弦值.

4

【正確答案】（1）§

⑵鳴

17

【分析】（1）作出輔助線，由線面平行的性質(zhì)得到線線平行，由相似知識(shí)求出RF的長(zhǎng)度:

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的法向量，得到二面角的余弦值.

【詳解】（1）如圖，連接4尸,所，因?yàn)锳B//平面COQG,平面ABEC平面COD￡=EF,

所以AB//EF.

Z

C.FCE1

連接CR,因?yàn)锳8∕∕C",所以E///CD.所以/=W1F=彳,

L√∣ΓCJDZ

24

又GA=2,所以。尸=§Ca=

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,OC,的方向分別為居)，，Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

則A(2,0,0),4(2,0,3),BQ,2,0),E(0,2,2),

ΛB=(0,2,0),BE=(-2,0,2),Λ1B=(0,2,-3),

設(shè)平面ABE1的法向量為m=(Xl,χ,zj,

m?AB=2V1=0

則，解得：Λ=0,令X=I,則Z∣=l,

m?BE=-2x1+2z1=0

故〃?=(1,0,1).

設(shè)平面4∣8E的法向量為〃=(W,%，22)，

n?AB=2y2—3z2=0

則，令為=3,則Z2=2,Λ2=2,

n?BE=-2X2+2z2=0

故刃=(2,3,2).

/、m?n42√34

cos<∕n,Ii)=------=-=——-=

IIl〃I√f2×√i1717

由圖可知二面角A-BE-A為銳角，故二面角A-BE-A的余弦值為筆

21.已知圓C：(x-l)2÷y2=l,過點(diǎn)尸(0,2)的直線/與圓C交于4,B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).

⑴當(dāng)直線/的斜率為-4時(shí)，求.AOB的面積;

(2)若直線/的斜率為4,直線。4,OB的斜率為占，?2.

①求&的取值范圍；

②試判斷K+e的值是否與k有關(guān)?若有關(guān)，求出用+&與k的關(guān)系式；若無關(guān)，請(qǐng)說明理由.

【正確答案】(I)M?

17

⑵①卜S,]);②無關(guān)，理由見解析

2

【分析】(1)由題意可得直線/的方程為y=Tx+2,即可得圓心到直線/的距離d=而,

?AB?=2岳了,再利用SMZj=；?∣48IM求解即可；

(2)①利用"<廠求解即可；

②設(shè)A(X,y),B(x2,yj,聯(lián)立直線與圓的方程由韋達(dá)定理可得%+々=一片I，

IiK

X1X2=-4y,由K+e="+&可得4+￡=1，即可得答案?

1÷K玉/

【詳解】(1)解：當(dāng)直線/的斜率為-4時(shí)，直線/的方程為y=Tχ+2.

2

因?yàn)閳A心(1,0)到直線/的距離d=7萬，

所以IABI=2、尹=孚=26XS

11V17√1717

所以$?=LMBlM=冬叵；

4AUIS2I]7

(2)解：直線/的方程為y=H+2.

①因?yàn)?與圓C相交，所以圓心(1,0)到直線/的距離d=您

3

得k<r

4

即火的取值范圍是卜8，-：)

②設(shè)A(XI,y∣),B(x2,y2),

y=kx+2

聯(lián)立方程組

(?-l)2+y2=1

M(∣+?2)X2+(4?-2)X+4=0,

匚匚I、14k—24

所以芭+"2=一6'中2=T7Q

因?yàn)镵+&=M+2=??^+?^=2JI+21!+-!-]=2JI+2X^?,

X1X2X1X2IX]X2)XxX2

4?-2

所以4+4=2/+2xIy=2"(2氏-1)=1,

1+F

即勺+&為定值，與直線/的斜率&無關(guān).

22.已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在X軸上，其左、右焦點(diǎn)分別為石，F(xiàn)2,短軸長(zhǎng)

為2√L點(diǎn)P在橢圓C上，且滿足△尸月居的周長(zhǎng)為6.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)過點(diǎn)(-1,0)的直線/與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)，試問在X軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)M,

使得AM?"B恒為定值？若存在，求出該定值及點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【正確答案】⑴片+片=1

43

**135J11Q

(2)存在，MI-W,。|