指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)（教師版）-2024年高考二級(jí)結(jié)論速解技巧

專題04指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)

一、結(jié)論

若函數(shù)y=/(x)是定義在非空數(shù)集。上的單調(diào)函數(shù)，則存在反函數(shù)y=/T(x).特別地，丁=疝與

y=logaX(?！?且awl)互為反函數(shù).

在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，兩函數(shù)互為反函數(shù)圖象關(guān)于丁=》對(duì)稱，即(%,/(%))與(/(毛)，/)分別在函

數(shù)y=/(X)與反函數(shù)y=(x)的圖象上.

若方程x+/(%)=左的根為占，方程x+/T(x)=k的根為％2，那么%+%=左.

二、典型例題

例題1.(2022?高三課時(shí)練習(xí))若關(guān)于X的方程)+廄5》=4與尤+5，=4的根分別為加、〃，貝！|〃2+〃的

值為()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【詳解】解：由題意，可知log5X=-x+4,5，=-x+4,作出函數(shù)y=log5X,y=5*,y=-x+4的圖像(如

圖)，

\y=x,

A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為機(jī)、n,且A、B關(guān)于直線y=x對(duì)稱，AB的中點(diǎn)為C,聯(lián)立,，可得點(diǎn)C

[y=r+4,

的橫坐標(biāo)為2,因此〃z+"=4.

【反思】本題也可直接利用結(jié)論解題：若方程x+/(x)=k的根為玉，方程x+/T(x)=Z:的根為馬，那

么%+%=左.在本例中，記/(x)=log；,貝！|尸(%)=5￡,這樣利用結(jié)論，可快速得到：加+〃=4。

例題2.(2022春?河南新鄉(xiāng)?高二封丘一中?？计谀?已知X1是方程x-3*=4的根，%是方程廣1。83尤=4

的根，貝!)占々=()

A.16B.8C.6D.4

【答案】D

44

【詳解】方程％3=4可變形為3"=—,方程+1431=4可變形為log3］=—,

XX

44

所以，為是＞=3"與y=—的圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，巧是y=1。83］與y=—的圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo),

因?yàn)閥=3、與y=logs%互為反函數(shù)，這兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線＞=%對(duì)稱，

在函數(shù)y=-圖象上任取一點(diǎn)",該點(diǎn)關(guān)于直線＞=x的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（瓦。）,

X

由6可得則點(diǎn)（"a）也在函數(shù)＞=：的圖象上，

4

故函數(shù)y=—的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，

X

所以，點(diǎn)［與點(diǎn)［和二］關(guān)于直線y=x對(duì)稱，所以芯=巴，故%々=4.

IVX2）々

故選：D.

【反思】本題主要考查反函數(shù)的性質(zhì)，（a,b）在y=/（x）上，貝1|他,。）在y=/T（x）上，結(jié)合圖形的對(duì)稱性,

從而得到結(jié)論占4=4.

三、針對(duì)訓(xùn)練舉一反三

一、單選題

1.（2023,全國(guó)?高三專題練習(xí)）若A滿足2，=5-無(wú)，巧滿足x+bg?》=5,則無(wú)1+%等于（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【詳解】由題意5-%=23故有5-％=1。82々

故王和N是直線＞=5-x和曲線＞=2*、曲線＞=log?%交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

根據(jù)函數(shù)＞=2,和函數(shù)＞=log,x互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線V=x對(duì)稱，

故曲線y=2'和曲線y=log2x的圖象交點(diǎn)關(guān)于直線V=%對(duì)稱.

即點(diǎn)5,5-X7）和點(diǎn)（比2,5-X2）構(gòu)成的線段的中點(diǎn)在直線y=x上，

即上丁=3Z受產(chǎn)逗，求得打+口=5,

故選：D.

2.(2022?陜西咸陽(yáng)校考模擬預(yù)測(cè))已知王是函數(shù)〃⑼=2'+尤-2的零點(diǎn)，4是函數(shù)g(x)=log2(x-l)+x-3

的零點(diǎn)，則無(wú)i+%的值為()

A.17B.5C.12D.3

【答案】D

【詳解】由已知可得了(%)=24+再一2=0,所以，2為=2-%,

所以，為為直線丁=2-尤與曲線y=2,的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

g(%)=log2(x2-l)+x2-3=0,則log2(x2-l)=2-(x2-l),

則為直線y=2-x與曲線y=log4的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如下圖所示：

\y=x

函數(shù)y=log2X與＞=2'的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，聯(lián)立.0,可得X=y=l,

[y=2-x

所以，直線〉=%與直線y=2-x交于點(diǎn)

由圖象可知，點(diǎn)A、8關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱，所以，%+%-1=2,可得占+%=3.

故選：D.

3.(2020秋?湖南常德?高二臨澧縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))若。＞1,設(shè)函數(shù)/。)=優(yōu)+x-4的零點(diǎn)為根,

g(x)=logax+x-4零點(diǎn)為“，則'的取值范圍是()

mn

A.p+oojB.T100)C.[1,+oo)D.[4,+co)

【答案】C

xx

【詳解】a+x-4=Q^a=4-x,logax+x-4=0logax=4-x,

根，〃可以看作是直線y=4-x與函數(shù)y=優(yōu)和y=log〃％交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

作出圖象，如圖，

》=1。8“％與＞=優(yōu)互為反函數(shù)，圖象關(guān)于直線＞=無(wú)對(duì)稱，而直線＞=4-x與直線y=x垂直，因此直線

y=4-尤與,=優(yōu)和)=logfl%圖象交點(diǎn)P,Q也關(guān)于直線，=無(wú)對(duì)稱，

所以m+〃=4,由圖象知0<"242,2WW<4.

11m+n4

y=—+—=------=------------,

mnmnm(4-m)

Xy=^(4-m)=-m2+4m=-(m-2)2+4,0<m<2,所以0<機(jī)(4一機(jī))44,

m（4-m）

所以所求范圍是［1,+s）.

故選：c.

4.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知。是方程x+lgx=3的解，6是方程2X+100*=3的解，則（）

A.a+b-=—B.a+b~=3

2

3

C.a+2b—3D.a+2b=—

2

【答案】C

【詳解】在2x+100*=3中，令1=2無(wú)，則有f+l（T=3,

因?yàn)閥=igx與y=io*互為反函數(shù)，圖象關(guān)于＞=x對(duì)稱.

依題意可知。，/就是直線y=3-x與曲線y=lgx,y=10,交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

所以9=』，所以a+f=3,即0+26=3.

22

故選：C.

5.（2020秋?高一課時(shí)練習(xí)）關(guān)于x的方程x+lgx=3,彳+10'=3的根分別為2，則&+〃的值為（）.

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【詳解】lgx=3-x,10x=3-x.

作出y=lgx,y=10，和y=3-x的圖象如圖所示.

A,8兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是用，a,點(diǎn)A,8關(guān)于直線>對(duì)稱,

.■.A,B兩點(diǎn)的中點(diǎn)是C.聯(lián)立y=x和y=3-X,

求得C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3:，；.a+夕=2x；3=3.

*13

6.(2。22?全國(guó)?高三專題練習(xí))設(shè)九〃分別是方程，+〃=4和x+el°gd=4m>l)的根,則一+石癡的

最小值是()

13128

A.—B.—C.2v2-1D.

211913

【答案】B

【詳解】方程x+/=4和％+el°g。％=縱。>1)可化為：

X1

ae=(〃e)”=4-x,logix=4-x,

ae

即方程的根分別為函數(shù)y=/］，y=i°g.「圖象與y=4-X的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),

因?yàn)閥=(a\，y=l°g)無(wú)互為反函數(shù)，

所以y=(11，y=i°g.lX的圖象關(guān)于直線y=X對(duì)稱，

因?yàn)橹本€？=4-》與直線>=》垂直且交點(diǎn)為(2,2)

所以根+八=4,

所以加1+3+3〃+4=19,

1333133

故------+--------=---------+--------=—[(3m+3)+(4+3n)](----------1-----)----

m+14+3〃3m+34+3〃193m+34+3〃

;產(chǎn)容Y葭時(shí)產(chǎn)2.哈,

1311

當(dāng)且僅當(dāng)3加+3=4+3〃，即加=二,〃=二時(shí)，等號(hào)成立,

66

故選：B

7.(2017秋?山西太原一高一山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中)若占滿足％+2，=4,尤2滿足苫+/暇苫=4,則％+尤2=(

5-7

A.-B.3C.-D.4

22

【答案】D

【詳解】由題看滿足2'=4-x,Xz滿足logzX=4-x.故畫(huà)出y=4-x與ynlog4和y=2、的圖像可知，因?yàn)?/p>

＞=1。82龍和〉=2工關(guān)于);=%對(duì)稱,且＞7與＞=4-無(wú)交于(2,2),

故玉+/=2x2=4.

二,/:$a*

?I卜/X

故選：D

8.(2022秋?黑龍江牡丹江?高一牡丹江市第三高級(jí)中學(xué)?？计谀?已知三個(gè)函數(shù)/(x)=2，+尤-2,

g(x)=d-8,/z(x)=log2X+x-2的零點(diǎn)依次為a、b、c,則a+6+c=

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

【詳解】令〃x)=。，得出2，=2-x,令力(同=0,得出log?尤=2-尤，

則函數(shù)y=2-x與函數(shù)y=2晨＞=log?X交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為a、C.

函數(shù)y=2、與y=logzX的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，且直線y=x與直線y=2-x垂直，

如下圖所示：

\y=x,、

聯(lián)立.，得x=y=i,則點(diǎn)4(1,1,

[y=2-x

由圖象可知，直線，=2-尤與函數(shù)y=2，、y=log?x的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱，則a+c=2,

由題意得g（6）=6,-8=0,解得6=2,因此，a+b+c=4.

故選：C.

9.（2020?高一課時(shí)練習(xí)）若毛是方程xe*=4的解，x?是方程xlnx=4的解，則工也等于)

A.4B.2C.eD.1

【答案】A

4

【詳解】因?yàn)閍是方程xe，=4的解，所以4是函數(shù)丫=6"與〉=—交點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)；

X

4一

又巧是方程xln尤=4的解，所以巧是函數(shù)丫=足彳與〉=-交點(diǎn)。的橫坐標(biāo)；

X

因?yàn)楹瘮?shù)》=，與y=lnx互為反函數(shù)，所以函數(shù)丁=，與y=lnx圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱，

又y=24的圖像關(guān)于直線y=X對(duì)稱，

x

因此，尸，。兩點(diǎn)關(guān)于直線＞=工對(duì)稱，所以有,“二%,

因止匕&尤2=不％=4.

故選：A

二、填空題

X

10.（2023秋?陜西渭南?高一統(tǒng)考期末）設(shè)方程2m+x-6=0的解為為，方程1叫1+了-6=0的解為當(dāng)，

則x1+x2=.

【答案】6

XX

【詳解】由方程2加+》-6=0得2*=6-x,由方程1鳴：+廠6=0得1暇鼻=6-r

由于=2叫與g⑴=logJ互為反函數(shù)，圖像關(guān)于＞=x對(duì)稱.

x

如圖示，2川=6-x的根為點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，log?2=6-x的根為點(diǎn)2的橫坐標(biāo)，

因?yàn)樾。?2叫與g（x）=logj圖像關(guān)于＞=工對(duì)稱，且y=x與y=6-x垂直，所以

4B兩點(diǎn)為y=x與y=6-x的交點(diǎn)，且關(guān)于＞=彳對(duì)稱.

y=x

由1f,解得：尤=3,則%+z=6.

[y=o-x

故答案為：6.

11.（2022春?湖南?高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=e*+x-兀，g（x）=x+inx-n,若

"㈤=（/（"）=1（。＞0,°片1）,則%+%=.

【答案】無(wú)

【詳解】“⑺=陰"）=1伍＞0,"1）,則〃占）=卜+不一兀=0,得：9=久一占；

令g（N）=X2+ln尤2-兀=°，得：In無(wú)2=冗一尤2；

所以毛，4分別為y=e'和，=lnx與〉=兀-尤的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如圖所示：

因?yàn)閥=e，和y=lnx互為反函數(shù)，所以y=e，和y=lnx的圖像關(guān)于y=x對(duì)稱，所以A、8兩點(diǎn)關(guān)于＞=尤對(duì)

稱.又A、8兩點(diǎn)均在＞=兀-苫的圖像上，所以占=兀-馬，所以%+%=兀.

故答案為：兀

12.（2021秋?陜西安康?高一統(tǒng)考期中）若實(shí)數(shù)。、辦滿足2。=2-a,log2e-1）=3-萬(wàn)，則a+b=

【答案】3

【詳解】因?yàn)?"=2-°,則?？梢暈橹本€＞=2-x與函數(shù)y=2"的圖象交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，

因?yàn)閘og?優(yōu)-1）=3-6=2-伍-1）,則可視為直線y=2-x與函數(shù)1