2023-2024學年天津市高一年級下冊期中數(shù)學試題

2023-2024學年天津市高一下冊期中數(shù)學試題

第I卷選擇題

一、單選題(共9題，每題5分，共45分).

/={-2,-1,0,1,2},6=1X|0VX<31

1.設(shè)集合121，則,06=()

A(0,1,2}B.{-2,-1,0}C.{0,1}D.{152}

【正確答案】A

【分析】根據(jù)集合的交集運算即可解出.

【詳解】因為4={-2,-1,0,1,2},8=卜|0〈》<4，所以/08={0,1,2}.

故選：A.

rr

2.已知向量Z=(2,l)Z=(-2,4),則。一匕()

A.2B.3C.4D.5

【正確答案】D

rr

【分析】先求得B，然后求得。一6.

【詳解】因為Z—書=(2,1)—(—2,4)=(4,—3),所以歸―B卜#H=5.

故選：D

3.已知某圓柱的高為10,底面周長為8%，則該圓柱的體積為()

A.640萬B.250乃C.160萬D.120乃

【正確答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，求出圓柱的底面圓半徑，再利用圓柱體積公式求解作答.

【詳解】設(shè)圓柱底面圓半徑為r，由2M=8兀，得/'=4,

所以圓柱的體積為16兀'10=160兀.

故選：C

4.設(shè)xeR,則“sinx=l"是"cosx=0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充

分也不必要條件

【正確答案】A

【分析】由三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合充分條件、必要條件的定義即可得解.

【詳解】因為sin?x+cos?x=l可得:

當sinx=l時，cosx=0,充分性成立；

當cosx=0時，sinx=±1,必要性不成立；

所以當XER,sinx=l是cosx=0的充分不必要條件.

故選：A.

(兀'

5.為了得到函數(shù)歹=2sin3x的圖象，只要把函數(shù)歹=2sin3%+工圖象上所有的點

()

A.向左平移g個單位長度B.向右平移1個單位長度

C.向左平移△個單位長度D.向右平移。個單位長度

【正確答案】D

【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換法則即可求出.

【詳解】因為y=2sin3x=2sin3^x-,所以把函數(shù)y=2sin(3x+圖象上

7T

的所有點向右平移后個單位長度即可得到函數(shù)y=2sin3x的圖象.

故選：D.

6.長方體48CQ-44GA的體積是240,若石為CG的中點，則三棱錐E—BCD的體

積為()

A.10B.20C.30D.40

【正確答案】B

【分析】利用三棱錐的體積公式結(jié)合已知求解即可.

【詳解】長方體Z8C。一4耳G2的體積為8c?CO?CG=240,

三棱錐￡一BCD的體積為V_=-S^-EC=--5C.CP.-CC,=—x240=20,

cEoBvCzDz3CD322?]2

故選：B

7.己知四面體的棱長都等于2,那么它的外接球的表面積為()

A—7tB.V6?rC.671D.12兀

?2

【正確答案】C

【分析】根據(jù)正四面體的特征可知球心在高上，根據(jù)勾股定理8〃2+0"2=8。2,即可求

解半徑，進而根據(jù)表面積公式即可求解球的表面積.

【詳解】如圖，正四面體48CZ)棱長為2,AH_L平面BCD于“，則〃是△BCD中心,

BH=Bx2=空,AH_L平面88，BHu平面BCD,則

33

設(shè)外接球球心為。，則。在ZH，則。1=08=R為外接半徑，

由BH?+OH?=B0?得(半丫+(當-R￥=片，解得R=咚,

所以其外接球的表面積為4兀叱=4兀x$=6兀，

4

故選：C.

3

8,關(guān)于X的不等式2履27+h—三<0的解集為R,則比的取值范圍是().

8

A.(-3,0)B.(-3,0]C,[-3,0]D.

(-oo,-3)U[0,+oo)

【正確答案】B

【分析】分左=0以及左。0,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式組，求解即可得出答案.

3

【詳解】當左=0時，原不等式可化為-一<0在R上恒成立；

,3

當左時，由不等式2A^+日——<0的解集為R,

8

'2左<0

可知應(yīng)有《人，2,C,（3、,2一八，解得一3〈左<0.

△=《2-4X2"|-§J=F+3A:<0

綜上所述，％的取值范圍是（-3,0].

故選：B.

9.為慶祝國慶，立德中學將舉行全校師生游園活動，其中有一游戲項目是夾彈珠.如圖，

四個半徑都是1cm的玻璃彈珠放在一個半球面形狀的容器中，每顆彈珠的頂端恰好與容器

33

C,2（5+3V3）7icm3D,8（5+3石）兀加3

【正確答案】B

【分析】根據(jù)四個小球和容器的相切關(guān)系，作出對應(yīng)的正視圖和俯視圖，建立球心和半徑之

間的關(guān)系即可得到容器的半徑.

【詳解】分別作出四個小球和容器的正視圖和俯視圖，如圖所示：

正視圖

俯視圖

正視圖中小球球心B,半球球心。與切點4構(gòu)成直角三角形,則有042+232=032,

俯視圖中，四個小球球心的連線圍成正方形，正方形的中心到球心的距離O|A1與正視圖中

的04相等，設(shè)半球半徑為幾已知小球半徑尸1,???04=應(yīng)，AB=i,OB=0

R—OB+尸=^3+1-

半球面形狀的容器的容積是r=lxln/?3=lx4x(石+］丫兀=4(5+3@兀

2323、>3

故選：B

第II卷非選擇題

(共11題，共105分)

二、填空題(共6題，每題5分，共30分)

10.(2+2i)(l-2i)=.

【正確答案】6-2i

【分析】利用復數(shù)乘法法則進行計算.

【詳解】(2+2i)(l-2i)=2-4i+2i-4i2=6-2i

故6-2i

2x+1

11.不等式——>3的解是_________.

x-1

【正確答案】(1,4)

4—x

【分析】將分式不等式化為——>0,則有(x-1)(工-4)<0即可求解集.

x-1

2x+14—x

【詳解】由題設(shè)，-------3=-->0,

x-1x-1

(x-l)(x-4)<0,可得l<x<4,

原不等式的解集為(1,4).

故答案為.(1,4)

12.在AJBC中，若AB=,BC=3,ZC=120°,則NC=.

【正確答案】1

【分析】利用余弦定理列方程，化簡求得ZC.

【詳解】依題意C?=/+/-labcosC>

13=9+Z>2+2X3X/?X—=>/)=1,負根舍去.

2

所以ZC=L

故1

13.如圖，過球。的一條半徑。尸的中點作垂直于該半徑的平面，所得截面圓的半徑

為百，則球。的體積是.

【正確答案】y?r

【分析】設(shè)球。的半徑為R,依題意代一&=（6『即可求出R，再根據(jù)球的體積公式計

算可得.

r>2■）

【詳解】設(shè)球。的半徑為尺，則及2一生=（6丫，解得及=2或&=一2（舍去）,

球。的體積玄=47"r&3=三3?兀.

33

14.圓臺上、下底面面積分別是私4陽側(cè)面積是6私這個圓臺的體積是.

【正確答案】子兀

【詳解】上底半徑r=l,下底半徑R=2.

因為S創(chuàng)=6兀，設(shè)母線長為1,則兀（1+2>1=6兀.

所以1=2,所以高h=p_（R-DR/S.

所以Vg、%l+lx2+2x2）得兀

一1—1—.

15.己知A48c中，AB=3,AC=5,BC=7,若點。滿足Z￡>=—4S+—RC,則

DBDC^__________

【正確答案】72

【分析】根據(jù)AD=-AB+-AC以AB,AC為一組基底，由

32

BC2=（AC-JB）2^AC2+ABi-2AB-AC，得至U方?祝=一￡，再由

DBDC^（AB-AD）（AC-Ab）^-J"）（；'。—/可求解.

【詳解】因為方心2=（就一刀）2=衣？+/一2萬?就

又因為Z8=3,4C=5,BC=7

-------15

所以/8-/C=—」，

2

所以麗.反=（標—而）?（就_而）=（I荔一|■就）（|■就一；刀）=

2——21—.21-------2515

——AB一一AC+-AB-AC=-2------=-12.

94244

故T2

本題主要考查平面向量基本定理和向量的線性運算，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.

三、解答題（共5題，每題15分，共75分）

16.如圖，已知正三棱錐S-48C的底面邊長為2,正三棱錐的高SO=1.

（1）求正三棱錐S-/8C的體積;

（2）求正三棱錐S-ZBC表面積.

【正確答案】（1）巫

3

⑵3百

【分析】（1）由題意分別確定三棱錐的底面積和三棱錐的高即可確定其體積；

（2）連接C。延長交于E,連接SE,則E為48的中點，分別求得底面積和側(cè)面積,

然后計算其表面積即可.

【小問1詳解】

在正三棱錐S-48C中，S=--^-5C-sin60°=—x2x2xV3,

AADC24▼

所以憶=—5ABC-SO=—x>/3x1=.

3A"。33

【小問2詳解】

連接CO延長交N8于￡,連接SE,則E為N8的中點，如圖所示,

所以CE=yl2?—伏=5OE=-C￡=—■

33

在直角三角形SOE中，SE=J（亭2+2=乎,

在△48S中，SA=SB,所以SE_LZ8,

1x2述=空

所以S杵

B

17.已知在直角三角形Z8C中，ACIBC,8c=2,tanABC=2近（如圖所示）

A

（1）若以4C為軸，直角三角形48C旋轉(zhuǎn)一周，求所得幾何體的表面積.

（2）一只螞蟻在問題（1）形成的幾何體上從點8繞著幾何體的側(cè)面爬行一周回到點8,求

螞蚊爬行的最短距離.

【正確答案】（1）16乃

⑵6G

【分析】（1）若以ZC為軸，直角三角形Z8C旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體為以8。=2為半

徑，高2。=4啦的圓錐，由圓錐的表面積公式，即可求出結(jié)果.

（2）利用側(cè)面展開圖，要使螞蟻爬行的最短距離，則沿點B的母線把圓錐側(cè)面展開為平面

圖形（如圖）最短距離就是點B到點片的距離，代入數(shù)值，即可求出結(jié)果.

【小問1詳解】

在直角三角形N3C中，由8C=2,tanN/8C=2j5

AQr-

即tanNZ8C=GK=27，，得/。=4啦，若以ZC為軸旋轉(zhuǎn)一周，

BC

形成的幾何體為以8c=2為半徑，高*C=4后的圓錐，

則/8=）22+（4揚2=6,其表面積為S=^X22+-^-X2^X2X6=16^.

【小問2詳解】

由問題（1）的圓錐，要使螞蟻爬行的最短距離，

則沿點8的母線把圓錐側(cè)面展開為平面圖形，

27rx227r

最短距離就是點B到點坊的距離，/BAB、=——=—,

63

在△力84中，由余弦定理得^^62+62-2x6x6xcos^=6^.

18.已知函數(shù)/(x)=2sinxcosx-273cos2x+V3.

(1)求/(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；

jr

(2)當xe-,TT時，求函數(shù)〃x)的最大值以及取得最大值時x的值.

57r11兀

【正確答案】⑴T=n,單調(diào)遞減區(qū)間為—+kn,—+kn,左eZ

L1212J

(2)最大值為石，%=1

【分析】(1)化簡可得/(x)=2sin(2x-gj,根據(jù)T=當即可得出周期，解

7TTT37r

-+2hi<2x一一4——+2左兀,左€Z即可得出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

232

TT

(2)令X=2x-1,求出X的范圍，根據(jù)_P=sinX的單調(diào)性以及端點處的函數(shù)值，即可

得出/(x)的最大值以及x的值.

【小問1詳解】

由已知可得，/(x)=sin2x-V3(2cos2x-1)=sin2x-6cos2x=2sinf2x-yL

所以，/(x)的最小正周期T=g=兀.

TTTT37r

由一+2左兀<2x---<一+2kn,kGZ可得，

232

5兀，，，11兀，，?

----hkuWx<----hkn,k€Z,

1212

57r1]7T

所以，/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為—+kn,—+kn,ksZ.

【小問2詳解】

令X=2x—。,

3

Tl2717T571

因為一4x?7t,所以一4X=2x——<—.

2333

2兀3兀3冗57r

函數(shù)y二sinX在—上單調(diào)遞減，在—上單調(diào)遞增，

口.2兀.5兀

且sin—=——，sin—=----，

3232

所以，當2x—1=即x=］時，函數(shù)/(x)有最大值=

19.已知448C的內(nèi)角的對邊分別為a,b,c,JI.(Z)cosC+ccos5)tan/l=-V3t?.

(1)求A的大?。?/p>

(2)若a==i,

(i)求AASC的面積；

(ii)求cos(2C-4).

【正確答案】(1)A=—；

(2)(i)g(ii)—.

214

【分析】(1)利用正弦定理化邊為角，結(jié)合兩角和得正弦公式及三角形內(nèi)角關(guān)系即可得出答

案；

(2)利用余弦定理求得邊C,根據(jù)三角形面積公式可得面積，再根據(jù)余弦定理可得cosC,

再利用二倍角公式及和差角公式即得.

【小問1詳解】

因為(6cosC+ccos0tan/=-y/3a,

所以(sinBcosC+sinCcos8)tan/=-gsin/,

即sin(8+C)tan4=一百sin”,

則sinAtanA=一GsinA，

因為力￡(0,兀)，所以sinZwO,

所以tanA=一6，

所以N=

【小問2詳解】

⑴由余弦定理得/=/+，-2^ccos4，

即7=1+C2+C，解得。=一3(舍去)或c=2,

所以AASC的面積為S=—hcsmA=—xlx2x^-=^~；

2222

2

,._r/H「a~-\-b~—c7+1—42A/7_/八、

（ii）由上可得cosC=--------------=-----7=—=------,又CE（O,兀），

lab2777

所以sinC=Vl-cos2C=，

7

所以sin2C=2sinCeosC=，cos2。=cos?C-sin2。=：，

77

所以cos（2C-4）=cos2Ccos/+sin2Csin/=；x11

14

20.已知向量Z=(2,2),向量區(qū)與向量￡的夾角為彳，且1B=-2.

(1)求向量區(qū)的坐標;

(2)若7=(1,0),且c=(cos42cos2今)，其中A,B,C是A/18C的內(nèi)角,

若8=1,求B的取值范圍.

【正確答案】(1)加=(0,-1)或加=(-1,0)

(2)

［分析1(1)求出問=2J5,根據(jù)已知可推得呵=1,根據(jù)數(shù)量積的坐標形式可得加+〃=-1.

"2〃2

聯(lián)立方程組《m+=1,求解即可得出答案；

(2)由已知可推得否=(o,-l),計算化簡可得求出書+"=(cos4cosC),然后即可推得

一\2cos24+cos2C3八兀tf、-口八_ix-r_Li>zi-.

僅+c)=-------------+l.根據(jù)8=§以?及誘導公式可推得

cos2C=-；cos24一乎sin2/，代入整理可得0+q=；cos(2Z+￡j+l,根據(jù)角的

范圍即可得出答案.

【小問I詳解】

設(shè)否=(〃2,〃),

由已知可得，\a\=V22+22=2^2,則44二|小|%0$里=-2同二一2,

所以族=1,所以即/+/=1.

又a.5=—2，所以2m+