2024屆哈爾濱香坊區(qū)數(shù)學九年級上冊期末學業(yè)水平測試模擬試題含解析

2024屆哈爾濱香坊區(qū)數(shù)學九上期末學業(yè)水平測試模擬試題

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。

一、選擇題（每小題3分,共30分）

1.如圖，AABC中，AB=25,BC=7,CA=I.貝!∣SinA的值為（）

A25B

2.在AABC中，若tanA=l,SinB=芋，你認為最確切的判斷是（）

A.AABC是等腰三角形B.AABC是等腰直角三角形

C.AABC是直角三角形D.AABC是一般銳角三角形

3.對一批襯衣進行抽檢，統(tǒng)計合格襯衣的件數(shù)，得到合格襯衣的頻數(shù)表如下:

抽取件數(shù)（件）501001502005008001000

合格頻數(shù)4288141176445724901

若出售1500件襯衣，則其中次品最接近（）件.

A.100B.150C.200D.240

4.如圖為二次函數(shù)y=aχ2+bx+c的圖象，在下列說法中①ac>0；②方程aχ2+bx+c=0的根是Xl=-1,X2=3；③a+b+c

<0；④當x>l時，y隨X的增大而增大，正確的是（）

A.①③B.②④C.①②④D.②③④

5.五張完全相同的卡片上，分別寫有數(shù)字1,2,3,4,5,現(xiàn)從中隨機抽取一張，抽到的卡片上所寫數(shù)字小于3的概

率是（）

3

6.如圖，OO是AABC的外接圓，AD是。O的直徑，連接CD,若。O的半徑r=—,AC=2,則COSB的值是()

2

3

A.-

2

B小

3

C.亞

2

2

D.-

3

7.若反比例函數(shù)y=人的圖象經(jīng)過(-1,3),則這個函數(shù)的圖象一定過()

X

A.(—3,1)B.卜3)C.(-3,-1)D.^—,3

8.下列說法，錯誤的是()

A.為了解一種燈泡的使用壽命，宜采用普查的方法

B.一組數(shù)據(jù)8,8,7,10,6,8,9的眾數(shù)是8

C.方差反映了一組數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的偏離程度

D.對于簡單隨機樣本，可以用樣本的方差去估計總體的方差

9.下列事件中，不可能事件的是()

A.投擲一枚均勻的硬幣10次，正面朝上的次數(shù)為5次

B.任意一個五邊形的外角和等于360。

C.從裝滿白球的袋子里摸出紅球

D.大年初一會下雨

10.如圖，在平面直角坐標系XOy中，以(3,0)為圓心作Θ",。，與X軸交于A、B,與N軸交于點C(0,2),Q為

G）P上不同于A、8的任意一點，連接QA、QB,過P點分別作PEJ于E,PE工QB于F.設(shè)點。的橫坐

標為X,PE2+PF2=y.當Q點在。P上順時針從點A運動到點B的過程中，下列圖象中能表示》與X的函數(shù)關(guān)系

的部分圖象是（）

二、填空題（每小題3分,共24分）

11.某廠一月份的總產(chǎn)量為500噸，通過技術(shù)更新，產(chǎn)量逐月提高，三月份的總產(chǎn)量達到720噸.若平均每月增長率

是N,則可列方程為一.

12.如圖，兩個半徑相等的直角扇形的圓心分別在對方的圓弧上，半徑AE、C尸交于點G,半徑BE、CO交于點H,

且點C是弧AB的中點，若扇形的半徑為夜，則圖中陰影部分的面積等于

13.某種商品每件進價為20元，調(diào)查表明：在某段時間內(nèi)若以每件X元（20<xW30,且X為整數(shù)）出售，可賣出（30

-x）件.若使利潤最大，每件的售價應為.元.

14.如圖，點用在直線/：y=gx上，點發(fā)的橫坐標為2,過耳作4A?U,交X軸于點A，以44為邊，向右作

正方形A4B2G，延長與。1交X軸于點A2;以42鳥為邊，向右作正方形人與員。2,延長&G交X軸于點43；以A3B3

為邊，向右作正方形4B1B4G延長StC,交X軸于點44；…；按照這個規(guī)律進行下去，點G的橫坐標為（結(jié)果

用含正整數(shù)〃的代數(shù)式表示）

15.已知一次函數(shù)y="x+b與反比例函數(shù)的圖象相交于A(4,2),6(—2,，〃)兩點，則一次函數(shù)的表達式為

X

16.已知直線a〃b〃c,直線m,n與直線a,b,C分別交于點A,C,E,B,D,F,AC=4,CE=6,BD=3,貝IJBF=.

17.三角形兩邊長分別是4和2,第三邊長是2χ2-%+4=0的一個根，則三角形的周長是.

18.在一個不透明的袋子中有1個紅球和3個白球，這些球除顏色外都相同，在袋子中再放入X個白球后，從袋子中

隨機摸出1個球，記錄下顏色后放回袋子中并攪勻，經(jīng)大量試驗，發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.95左右，則X=.

三、解答題(共66分)

19.(10分)如圖，在直角坐標系中，以點C(2,0)為圓心，以3為半徑的圓，分別交X軸正半軸于點A，交)'軸正

半軸于點8,過點8的直線交X軸負半軸于點0

(1)求AS兩點的坐標；

(2)求證：直線8。是OC的切線.

20.(6分)已知拋物線的解析式是y=--(Λ+1)x+lk-l.

(1)求證：此拋物線與X軸必有兩個不同的交點；

(1)若拋物線與直線y=χ+P-l的一個交點在y軸上，求該二次函數(shù)的頂點坐標.

21.(6分)某商場為了方便消費者購物，準備將原來的階梯式自動扶梯改造成斜坡式自動扶梯.如圖所示，已知原階

梯式扶梯AB長為IOm,坡角NABD=30。；改造后斜坡式自動扶梯的坡角NACB=9。，請計算改造后的斜坡AC的長

度，（結(jié)果精確到0.01（sin9o≈0.156,cos9o≈0.988,tan9o≈0.158）

22.（8分）定義：我們知道，四邊形的一條對角線把這個四邊形分成了兩個三角形，如果這兩個三角形相似（不全等）,

我們就把這條對角線叫做這個四邊形的“相似對角線”.

（1）如圖1,在四邊形ABCD中，NABC=80。，ZADC=IAOo,對角線30平分NA6C.求證：30是四邊形ABCl）

的“相似對角線”；

（2）如圖2,已知FH是四邊形EFGH的“相似對角線”，NEFH=ZWFG=30°.連接EG,若ΔEFG的面積為,

求FH的長.

23.（8分）如圖，?ABCφ,點E在BC邊上，AE=AB,將線段AC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)到AF的位置，使得NCAF

=ZBAE,連接EF,EF與AC交于點G.求證：EF=BC.

24.（8分）如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線y=-lχ2+L*+3與X軸交于A、B兩點（點A在點8的右側(cè)），與

84

y軸交于點C,過點C作X軸的平行線交拋物線于點P.連接AC

(2)如圖2,過點尸作X軸的垂線，垂足為E,將線段OE繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)得到0尸，旋轉(zhuǎn)角為α(0o<a<90o),

2

連接HI、FC.求A尸+-C尸的最小值；

3

(3)如圖3,點M為線段04上一點，以O(shè)M為邊在第一象限內(nèi)作正方形。MNG,當正方形。MNG的頂點N恰好落

在線段AC上時，將正方形OMNG沿X軸向右平移，記平移中的正方形OMNG為正方形O，MNG,當點M與點A重

合時停止平移.設(shè)平移的距離為f,正方形0,MNG的邊MN與AC交于點R,連接。7\ORPR,是否存在f的值,

使△。尸K為直角三角形？若存在，求出，的值；若不存在，請說明理由.

25.(10分)某地2016年為做好“精準扶貧”，投入資金IOOO萬元用于異地安置，并規(guī)劃投入資金逐年增加，2018年

在2016年的基礎(chǔ)上增加投入資金1250萬元.

(1)從2016年到2018年，該地投入異地安置資金的年平均增長率為多少？

(2)在2018年異地安置的具體實施中，該地計劃投入資金不低于400萬元用于優(yōu)先搬遷租房獎勵，規(guī)定前IOOO戶(含

第1000戶)每戶每天獎勵8元，IOoO戶以后每戶每天補助5元，按租房400天計算，試求今年該地至少有多少戶享受

到優(yōu)先搬遷租房獎勵？

26.(10分)已知：ZXABC是等腰直角三角形，ZBAC=90o,將4A5C繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)得到記旋轉(zhuǎn)

角為a,當90。CaVl80。時，作AT)J_AC,垂足為O,AT)與BP交于點E.

(1)如圖1,當NC47)=15。時，作NA，EC的平分線E尸交BC于點凡

①寫出旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)；

②求證：EA,+EC=EF;

(2)如圖2,在(1)的條件下，設(shè)P是直線AT)上的一個動點，連接Λ4,PF,若AB=應,求線段Λ4+Pf的最小

值.(結(jié)果保留根號)

參考答案

一、選擇題(每小題3分,共30分)

1、A

【分析】根據(jù)勾股定理逆定理推出NC=90°,再根據(jù)SinA=縱進行計算即可；

AB

【詳解】解：VAB=25,BC=7,CA=L

又，：252=242+72.

二AB2=BC2+AC2,

...△ABC是直角三角形，NC=90°,

...BC7

..sinA=----=—；

AB25

故選A.

【點睛】

本題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理逆定理，掌握銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理逆定理是解題的關(guān)鍵.

2、B

【分析】試題分析：由tanA=l,SinB=/結(jié)合特殊角的銳角三角函數(shù)值可得NA、NB的度數(shù)，即可判斷△ABC的

2

形狀.

【詳解】VtanA=I,SinB=^^

2

.?.NA=45°,ZB=45o

.???ABC是等腰直角三角形

故選B.

考點：特殊角的銳角三角函數(shù)值

點評：本題是特殊角的銳角三角函數(shù)值的基礎(chǔ)應用題，在中考中比較常見，一般以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，難度一

般.

3、B

【分析】根據(jù)頻數(shù)表計算出每次的合格頻率，然后估計出任抽一件襯衣的合格頻率，從而可得任抽一件襯衣的次品頻

率，再乘以1500即可得.

【詳解】由合格頻率=阪綾食依次算得各個頻率為:0.84,0.88,0.94,0.88,0.89,0.905,0.901

抽E取件數(shù)

則任抽一件襯衣的合格頻率約為0.9

因此任抽一件襯衣的次品頻率為1—0.9=0.1

所求的次品大概有1500x0.1=150（件）

故選：B.

【點睛】

本題考查了概率估計的方法，理解頻數(shù)和頻率的定義是解題關(guān)鍵.

4、D

【分析】①依據(jù)拋物線開口方向可確定a的符號、與y軸交點確定C的符號進而確定ac的符號；②由拋物線與X軸交

點的坐標可得出一元二次方程aχ2+bx+c=0的根；③由當x=l時yVO,可得出a+b+cVO；④觀察函數(shù)圖象并計算出對

稱軸的位置，即可得出當x>l時，y隨X的增大而增大.

【詳解】①由圖可知：a>0,c<0,

.?.ac<O>故①錯誤；

②由拋物線與X軸的交點的橫坐標為T與3,

，方程Λ√+灰+c=o的根是%=T,々=3,故②正確；

③由圖可知：尤=1時，y<0,

.,.a+b+c<O,故③正確；

-1+3

④由圖象可知：對稱軸為：X=——-=1,

2

.?.x>l時，隨著X的增大而增大，故④正確；

故選D.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、拋物線與X軸的交點以及二次函數(shù)的性質(zhì)，觀察函數(shù)圖象，逐一分析四條說

法的正誤是解題的關(guān)鍵.

5、B

【分析】用小于3的卡片數(shù)除以卡片的總數(shù)量可得答案.

2

【詳解】由題意可知一共有5種結(jié)果，其中數(shù)字小于3的結(jié)果有抽到1和2兩種，所以尸=3.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查概率公式，解題的關(guān)鍵是掌握隨機事件A的概率P(A)=事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)÷所有可能出現(xiàn)的結(jié)

果數(shù).

6、B

【解析】要求COSB,必須將NB放在直角三角形中，由圖可知ND=NB,而AD是直徑，故NACD=9()。，所以可進

行等角轉(zhuǎn)換，即求COSD.在RtAADC中，AC=2,AD=2r=3,根據(jù)勾股定理可求得CQ=石，所以

cosB=cosD=——?

3

7、A

3

【分析】通過已知條件求出攵=-3,即函數(shù)解析式為y=—-，然后將選項逐個代入驗證即可得.

X

【詳解】由題意將(-1,3)代入函數(shù)解析式得3=占，解得％=-3,

-1

3

故函數(shù)解析式為y=--，

X

將每個選項代入函數(shù)解析式可得，只有選項A的(-3,1)符合，

故答案為A.

【點睛】

本題考查了已知函數(shù)圖象經(jīng)過某點，利用代入法求系數(shù)，再根據(jù)函數(shù)解析式分析是否經(jīng)過所給的點.

8、A

【分析】利用抽樣調(diào)查、普查的特點和試用的范圍和眾數(shù)、方差的意義即可做出判斷.

【詳解】A.燈泡數(shù)量很龐大，了解它的使用壽命不宜采用普查的方法，應該采用抽查的方法，所以A錯誤；

B.眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值，所以8,8,7,10,6,8,9的眾數(shù)是8正確；C.方差反映了一組數(shù)據(jù)與

其平均數(shù)的偏離程度，正確；

D.對于簡單隨機樣本，可以用樣本的方差去估計總體的方差，正確；

故選A.

【點睛】

本題考查的是調(diào)查、眾數(shù)、方差的意義，能夠熟練掌握這些知識是解題的關(guān)鍵.

9、C

【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷相應事件的類型即可.

【詳解】解：A、投擲一枚硬幣10次，有5次正面朝上是隨機事件；

B、任意一個五邊形的外角和是360。是確定事件；

C、從裝滿白球的袋子里摸出紅球是不可能事件；

D、大年初一會下雨是隨機事件，

故選：C.

【點睛】

本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念.必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件.不可能事件是

指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.

10、A

【分析】由題意，連接PC、EF,利用勾股定理求出PC=r,然后得到AB的長度，由垂徑定理可得，點E是AQ中

點，點F是BQ的中點，則EF是AQAB的中位線，即防=JAB為定值，由%北=夕爐+「/2=>,即可得到答

案.

【詳解】解：如圖，連接PC,EF,貝U

V點P為(3,0),點C為(0,2),

二PC=√22+32=√B>

.?.半徑尸=pc=√i可，

：.AB=2√13;

?.?產(chǎn)后，。4于七，PELQB于F,

二點E是AQ中點，點F是BQ的中點，

.?.EF是aQAB的中位線，

.?.EF=LAB=LX2如=舊為定值；

22

：AB為直徑，則NAQB=90°,

.?.四邊形PFQE是矩形，

.?.EF2=PE2+PF2=y=13,為定值；

.?.當。點在。P上順時針從點A運動到點B的過程中，y的值不變；

故選：A.

【點睛】

本題考查了圓的性質(zhì)，垂徑定理，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，以及三角形的中位線定理，正確作出輔助線，根據(jù)

22

所學性質(zhì)進行求解，正確找到EF-=PE+PF=y=13是解題的關(guān)鍵.

二、填空題(每小題3分,共24分)

11、500(1+x)2=720

【分析】根據(jù)增長率的定義列方程即可，二月份的產(chǎn)量為：500(1+x),

三月份的產(chǎn)量為：500(1+%)2=720.

【詳解】二月份的產(chǎn)量為：500(1+x),

三月份的產(chǎn)量為：500(1+x)2=720.

【點睛】

本題考查了一元二次方程的增長率問題，解題關(guān)鍵是熟練理解增長率的表示方法，一般用增長后的量=增長前的量X

(1+增長率).

12、π-1

【分析】根據(jù)扇形的面積公式求出面積，再過點C作CALLAE,作CΛLL5E,垂足分別為"、N,然后證明ACMG與

△CN"全等，從而得到中間空白區(qū)域的面積等于以1為對角線的正方形的面積，從而得出陰影部分的面積.

【詳解】兩扇形的面積和為：2X9O"(0)

一〃

360

過點C作CMj_AE,作CΛLL3E,垂足分別為M、N,如圖，

則四邊形EMCN是矩形,

T點C是AB的中點，

：.ECZAEB,

,CM=CN,

二矩形EMCN是正方形，

?：NMCG+NFCN=90°,NNCH+NFCN=9Q°,

二NMCG=NNCH,

"NMCG=ΛNCH

在aCMG與ACNH中，＜CM=CN

NCMG=NCNH=90°

.?.ACMG出ACNH(ASA),

.?.中間空白區(qū)域面積相當于對角線是加的正方形面積，

.?.空白區(qū)域的面積為：^×√2×√2=1,

圖中陰影部分的面積=兩個扇形面積和-1個空白區(qū)域面積的和=?-2.

故答案為：π-1.

【點睛】

本題主要考查了扇形的面積求法，三角形的面積的計算，全等三角形的判定和性質(zhì)，得出四邊形EMCN的面積是解決

問題的關(guān)鍵.

13、3

【解析】試題分析：設(shè)最大利潤為W元，則W=(x-30)(30-χ)=-(x-3)3+3,T30≤x≤30,當x=3時，二次

函數(shù)有最大值3,故答案為3.

考點：3.二次函數(shù)的應用：3.銷售問題.

7⑶a

14、—F-

2⑴

【解析】過點與、CpC2、G、分別作BQ軸，GA_LX軸，C2D2Ixtt,

j

CQ3?%軸，CtA，8軸.....垂足分別為。、%D2,D3、D4……,根據(jù)題意求出。。=2,=1,得到圖中

IMV

所有的直角三角形都相似，兩條直角邊的比都是1:2,可以求出點G的橫坐標為：2+上+-,再依次求出

2⑴

C2C3……C〃即可求解.

【詳解】解：過點與、C1>C2、C3、C4分別作BQ_LX軸，CQ∣J?χ軸，軸，

GALx軸，軸.....垂足分別為。、。、DeD3、2……

點用在直線/：y=；X上，點用的橫坐標為2，

點用的縱坐標為1，

即：OD=2,4。=1

圖中所有的直角三角形都相似，兩條直角邊的比都是1:2,

BlD1D?∣CIDlr>∣4

OD~2~AlDIAq-C1D1一

???點G的橫坐標為：2+g+(∣)，

o

點。2的橫坐標為:^÷m×→f-l

2UJ43

點C3的橫坐標為:

<32

+—

(2

(3?

點的橫坐標為：--+f-1×-+f-1X-+

24(2)4J?

⑶25

點G的橫坐標為:+—X—

4

3

+

(2

554

=—I—o2

24(l)÷(ll÷(l)÷(lj÷s

本題考查的是規(guī)律，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

15>y=x-1

k

【詳解】解：把（4,1）代入了二一，得k=8,

X

Q

???反比例函數(shù)的表達式為y=—,

X

把（一1,m）代入，得m=—4,

???B點的坐標為（-1,-4）,

?4a+b-2

把(4,1),(―1,—4)分別代入y=ax+b,得〈日，“

?-2a+b--4

α=l

解得《

b=-2,

.?.直線的表達式為y=x-L

故答案為：y=χ-l.

16、7.1

【解析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得到比例式，求出DF,根據(jù)BF=BD+DF,計算即可得答案.

【詳解】：a〃b〃c,

＞即=,

*9f

解得DF=4.1,

ΛBF=BD+DF=3+4.1=7.1,

故答案為：7.1.

【點睛】

本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準對應關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

17、1.

【分析】先利用因式分解法求出方程的解，再由三角形的三邊關(guān)系確定出第三邊，最后求周長即可.

【詳解】解：方程2x2-9x+4=0,

分解因式得：(2x-1)(x-4)=0,

解得：X=L或x=4,

2

當X=!時，!+2V4,不能構(gòu)成三角形，舍去；

22

則三角形周長為4+4+2=1.

故答案為：L

【點睛】

本題主要考查了解一元二次方程，正確使用因式分解法解一元二次方程是解答本題的關(guān)鍵.

18、1

【分析】根據(jù)用頻率估計概率即可求出摸到白球的概率，然后利用概率公式列出方程即可求出X的值.

【詳解】解：???經(jīng)大量試驗，發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率穩(wěn)定在0?95左右

???摸到白球的概率為0.95

解得：χ-ι

經(jīng)檢驗：X=I是原方程的解.

故答案為：1.

【點睛】

此題考查的是用頻率估計概率和根據(jù)概率求數(shù)量問題，掌握概率公式是解決此題的關(guān)鍵.

三、解答題(共66分)

19、(1)4(5,0),β(θ,√5)i(2)詳見解析.

【分析】(1)先根據(jù)圓的半徑可求出CA的長，再結(jié)合點C坐標即可得出點A坐標；根據(jù)點C坐標可知OC的長，又

根據(jù)圓的半徑可求出CB的長，然后利用勾股定理可求出OB的長，即可得出點B坐標；

(2)先根據(jù)點3,C,O坐標分別求出8C,8D,CD,再根據(jù)勾股定理的逆定理可得ΔDBC是直角三角形，然后根據(jù)圓

的切線的判定定理即可得證.

【詳解】(DVC(2,0),圓的半徑為3

：,OC-2,CA—3

.?OA=OC+CA=5

點A是X軸正半軸與圓的交點

.?.A(5,0)

如圖，連接CB,則CB=3

在RfAOCB中，OB=dCB?-OC?=M-方=6

點B是y軸正半軸與圓的交點

??.B((),√5);

(2)?.?D(-∣,0),C(2,0)

559

ΛOD=-,CD=2-(——)=-

222

在RfADBO中,BD2=OB2-FOD2=5+—=—

44

、、45810

則在ΔD8C中，BD2+BC2=—+9=—=CD2

44

二ADBC是直角三角形，即BC_LJBo

又TBC是。C半徑

.?.直線BD是。C的切線.

【點睛】

本題是一道較簡單的綜合題，考查了圓的基本性質(zhì)、勾股定理、圓的切線的判定定理等知識點，熟記各定理與性質(zhì)是

解題關(guān)鍵.

39

20、(1)此拋物線與X軸必有兩個不同的交點；(1)(二，-

24

【分析】(1)由4=[-(k+l)]1-4×l×(Ik-I)=k1-4k+ll=(k-l)∣+8>0可得答案;

(1)先根據(jù)拋物線與直線y=x+k∣-l的一個交點在y軸上得出Ik-I=k」，據(jù)此求得k的值，再代入函數(shù)解析式，配方

成頂點式，從而得出答案.

【詳解】(1)V?=[-(k+l)]1-4×l×(Ik-I)

=k,-4k+ll

=(k-1)1+8>0,

二此拋物線與X軸必有兩個不同的交點；

(1)；拋物線與直線y=x+k∣-1的一個交點在y軸上，

.,.Ik-l=k1-1,

解得k=l,

39

則拋物線解析式為y=x,-3x=(x-

24

所以該二次函數(shù)的頂點坐標為(一3，-二9).

24

【點睛】

本題主要考查的是拋物線與X軸的交點，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)y=ax∣+bx+c(a,b,C是常數(shù)，a#0)的交點與一

元二次方程ax,+bx+c=O根之間的關(guān)系及熟練求二次函數(shù)的頂點式.

21、32.05米

【分析】先在RtAABD中，用三角函數(shù)求出AD,最后在RtAACD中用三角函數(shù)即可得出結(jié)論.

【詳解】解：在RtAABD中，NABD=30。，AB=IOm,

ΛAD=ABsinZABD=10×sin30o=5(m),

AD

在RtAACD中，NACD=9°,sin9°=——

AC

55

AC=一——≈32.05(m),

sin900.156

答：改造后的斜坡AC的長度為32.05米.

【點睛】

此題主要考查了解直角三角形的應用，熟練利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出是解題關(guān)鍵.

22、（1）見解析；（2）2√2

【分析】（1）根據(jù)所給的相似對角線的證明方法證明即可；

FFFH

（2）由題可證的ΔF硝s?∕τ∕G,得到一=——,過點E作EQL/G,可得出EQ,根據(jù)切2=所.依即可求

FHFG

解；

【詳解】（1）證明：YNABC=80，B。平分NA3C,

：.ZABD=/DBC=40，

二ZA+ZADB=140.

?：ZADC=MO，

：.ZBDC+ZADB=140?ZA=ZBDC,

：.MBD^ΛDBC

：.3。是四邊形ABCD的“相似對角線”.

(2)VFH是四邊形EFGH的“相似對角線”，

二三角形EFH與三角形HFG相似.

又4EFH=NHFG,

：.?FEHs,HG,

FEFH

----------,

FHFG

：.FH2=FE-FG.

過點E作EQLFG,垂足為Q.

/?

則EQ=FEXSin60=^-FE.

V^FG×Eβ=2√3,

Λ-!-FG×-FE=2√3,

22

ΛFGFE=S,

：.FH?=FE?FG=8,

?'?FH=2-/2.

【點睛】

本題主要考查了四邊形綜合知識點，涉及了相似三角形，解直角三角形等知識，準確分析并能靈活運用相關(guān)知識是解

題的關(guān)鍵.

23、見解析

【分析】由旋轉(zhuǎn)前后圖形全等的性質(zhì)可得AC=AF,由“SAS”可證AABCgAAEF,可得EF=BC.

【詳解】證明：；NCAF=NBAE,

ΛZBAC=ZEAF,

???將線段AC繞A點旋轉(zhuǎn)到AF的位置，

ΛAC=AF,

在AABC與AAEF中，

AB=AE

<NBAC=NEAF,

AC^AF

Λ?ABC^?AEF(SAS),

AEF=BC5

【點睛】

本題主要考查的是旋轉(zhuǎn)前后圖形全等的性質(zhì)以及全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵.

1QIoc2()

24、(1)P(2,3),JΛC=--x+3；(2)如二；(3)存在，，的值為JIT-3或一，理由見解析

237

【分析】(1)由拋物線y=-:*2+,χ+3可求出點c,P,A的坐標，再用待定系數(shù)法，可求出直線AC的解析式；

84

422

(2)在OC上取點"(0,-),連接“尸，AH,求出A”的長度，^HOF<^^FOC,推出HF=-CF,由A尸+-CF

333

=AF+HF>ΛH,即可求解；

(3)先求出正方形的邊長，通過AARMsZVtco將相關(guān)線段用含，的代數(shù)式表示出來，再分三種情況進行討論：當

N0RP=9()。時，當NPO,R=9()。時，當NO∕A=9()。時，分別構(gòu)造相似三角形，即可求出，的值，其中第三種情況不

存在，舍去.

【詳解】(1)在拋物線y=—Lχ2+jLχ+3中,

84

當X=O時，j=3,

：.C(0,3),

當y=3時，Xi=O,X2=2,

：.P(2,3),

當y=0時，貝!∣-1χ2+Lχ+3=0,

84

解得：XI=-4,X2=6,

B(-4,0),A(6,0),

設(shè)直線AC的解析式為y=Ax+3,

將A(6,0)代入，

得，k="-,

2

?*?j=--X+3,

2

二點尸坐標為尸(2,3),直線AC的解析式為y=-gx+3；

4

(2)在OC上取點”(0,-),連接“尸，AH,

3

2122

則OH=I,AH=y∣OH+OA=J(∣)+6=,

4

COF2

OH12,——=-,且aNHOF=NFoC,

-OC3

^OF2

：.4HOFsRFOC,

.HFOF2

''~CF~'OC~3

2

：.HF=-CF,

3

.,.AF+-CF=AF+HF≥AH=,

33

ΛAF+-CF的最小值為馬叵；

33

(3)Y正方形OMNG的頂點N恰好落在線段AC上,

.,.GN=MN,

二設(shè)N(a,a),

將點N代入直線AC解析式，

但1

得，a---4+3,

2

：?a2f

：.正方形OMNG的邊長是2,

V平移的距離為t,

二平移后OM的長為什2,

.,.AM=6-（Z+2）=4-t,

'：RM//OC,

Λ?AΛW<^?AC0,

.AM_RM

''~?δ~~cδ'

απ4-rRM

即^=-ξ-,

63

1

.?.RM=2--t,

2

如圖3-1,當N。R尸=90。時，延長RN交CP的延長線于Q,

VZPRQ+ZO'RM=90°,ZRO,M+ZO'RM=90o,

：.ZPRQ=ZROIM,

又?.?NQ=NO'MR=90°,

Λ∕?PQR^?RMO',

?PQQR

??RM_MO''

1

'：PQ=2+t-2=t,QR=2>-RM=?+-t,

l+-t

t__2_

91.2

2

解得，A=-3-JF7（舍去），,2=JF7-3；

如圖3-2,當NPO∕=90。時，

?：NPO'E+NRO'M=90°,NPo'E+NEPO'=90°,

：.ZRO'M=ZEPO',

又,：NPEo'=NO'Λ∕R=90°,

；.APEO'sAo,MR,

.PEEO'

''O'M~~MR

3_t-2

SP2~

2

解得，t=y

如圖3-3,當NoPK=90。時，延長0G交CP于K,延長MN交CP的延長線于點7,

VNKPO'+NTPR=90°,NKo'P+NKPO'=90°,

；.NKO'P=NTPR,

又TNO'KP=N7=90。，

1AKO'PsATPR,

.KPKO'

^'τΓR^τΓP,

2-t3

即3—(2—1)一一

整理，得產(chǎn)-Lf+3=0,

2

,47

VΔa=?2-4ac=------<0,

4

.?.此方程無解，故不存在NofR=90。的情況;

【點睛】

本題主要考查二次函數(shù)的