2023-2024學(xué)年湖南省長沙市雨花區(qū)雅禮中學(xué)英才大聯(lián)考高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷一（含解析）

2023-2024學(xué)年湖南省長沙市雨花區(qū)雅禮中學(xué)英才大聯(lián)考高三（上）月

考數(shù)學(xué)試卷（一）

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.若集合時(shí)={加1082%<4},N={x\2x>l},則MCN=（）

A.{x|0<%<8}B,{x||<%<8}C.{x|2<x<16}D.{x||<x<16}

2.記等差數(shù)列{斯}的前n項(xiàng)和為Sn,若%=16,S5=35,則{an}的公差為（）

A.-3B.-2C.3D.2

3己知畫,z?是關(guān)于％的方程%2-2%+2=0的兩個(gè)根,若Zi=1+i,則氏|=（）

A.早B.1C.D.2

4.函數(shù)y=需的圖象大致為（）

5.已知2x2+履一m<o的解集為（t,-l）（t<-1）,則k+m的值為（）

A.1B.2C.-1D.-2

6.古代數(shù)學(xué)家劉徽編撰的僮差》是中國最早的一部測量學(xué)著作，也為地圖學(xué)提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ).現(xiàn)根據(jù)劉徽

的僮差力測量一個(gè)球體建筑物的高度，己知點(diǎn)4是球體建筑物與水平地面的接觸點(diǎn)（切點(diǎn)），地面上8,C兩

點(diǎn)與點(diǎn)A在同一條直線上，且在點(diǎn)4的同側(cè),若在B,C處分別測得球體建筑物的最大仰角為60。和20。，且BC=

100m,則該球體建筑物的高度約為（coslO。=0985）（）

BC

A.49.25mB.50.76mC.56.74mD.58.60m

7.已知定義域是R的函數(shù)/(x)滿足：/(4+x)+/(-x)=0,f(l+x)為偶函數(shù)，/(I)=1,則

/(2023)=()

A.1B.-1C.2D.-3

8.如今中國被譽(yù)為基建狂魔，可謂是逢山開路，遇水架橋.公路里程、高鐵里程

雙雙都是世界第一.建設(shè)過程中研制出用于基建的大型龍門吊、平衡盾構(gòu)機(jī)等國

之重器更是世界領(lǐng)先.如圖是某重器上一零件結(jié)構(gòu)模型，中間最大球?yàn)檎拿骟w

4BC0的內(nèi)切球，中等球與最大球和正四面體三個(gè)面均相切，最小球與中等球和

正四面體三個(gè)面均相切，己知正四面體4BC0棱長為2，石，則模型中九個(gè)球的

表面積和為（）

A.6兀B.97rC.手D.21兀

4

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.下列命題為真命題的是（）

A.若sin2a=|,則cos2（a+^）=1

B.函數(shù)/⑶=2s譏（2x+學(xué)的圖象向右平移著個(gè)單位長度得到函數(shù)g（x）=2s譏（2x++的圖象

C.函數(shù)/（x）=2sinxcosx+cos（2x-?）的單調(diào)遞增區(qū)間為［-與+船*+卜兀］（卜GZ）

D.f（x）=盧寫-的最小正周期為￡

l-tanzx2

10.如圖所示，該幾何體由一個(gè)直三棱柱4BC-4當(dāng)6和一個(gè)四棱錐。-4CC141組成,

43=8。=力。=44=2,則下列說法正確的是（）

A.若4。1AC,則4。1&C

B.若平面4G。與平面4C0的交線為I,貝儲(chǔ)C〃1

C.三棱柱ABC-AiBiG的外接球的表面積為學(xué)

D.當(dāng)該幾何體有外接球時(shí)，點(diǎn),到平面4CC14的最大距離為廳7c

11.同學(xué)們，你們是否注意到，自然下垂的鐵鏈;空曠的田野上，兩根電線桿之間的電線;峽谷的上空，橫跨

深洞的觀光索道的鋼索.這些現(xiàn)象中都有相似的曲線形態(tài),事實(shí)上，這些曲線在數(shù)學(xué)上常常被稱為懸鏈線.懸鏈

線的相關(guān)理論在工程、航海、光學(xué)等方面有廣泛的應(yīng)用.在恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，這類函數(shù)的表達(dá)式可以為=

ae'+be-x(其中a,b是非零常數(shù)，無理數(shù)e=2.71828…)，對于函數(shù)/(x)以下結(jié)論正確的是()

A.a=b是函數(shù)/(x)為偶函數(shù)的充分不必要條件；

B.a+b=0是函數(shù)/(x)為奇函數(shù)的充要條件；

C.如果ab<0,那么/(%)為單調(diào)函數(shù)；

D.如果ab>0,那么函數(shù)/(x)存在極值點(diǎn).

12.設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比為q,其前n項(xiàng)和為Sn,前n項(xiàng)積為〃，且滿足條件%>l,a2022-a2023>l,(a2022-

l)-(a2023-l)<0-則下列選項(xiàng)正確的是()

A.｛即｝為遞減數(shù)列B.S2Q22+1<$2023

C.72022是數(shù)歹!)｛〃｝中的最大項(xiàng)D.74045>1

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知己=(-2,1),b=(3,1).若伍+田15，則悶=一.

14.已知函數(shù)f(x)=[(5尸一1/W2,則函數(shù)ga)=f(x)一C的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為____.

14—%,%>2

15.已知正方體的棱長為1,每條棱所在的直線與平面a所成的角相等，則平面a截正方體所得的截面面積的

最大值為.

16.如圖1所示，古箏有多根弦，每根弦下有一個(gè)雁柱，雁柱用于調(diào)整音高和音質(zhì).圖2是根據(jù)圖1繪制的古箏

弦及其雁柱的簡易平面圖.在圖2中，每根弦都垂直于x軸，相鄰兩根弦間的距離為1,雁柱所在曲線的方程為

y=l.lx,第n根弦(n6N,從左數(shù)首根弦在y軸上，稱為第0根弦)分別與雁柱曲線和直線I：y=x+l交于

點(diǎn)4n(Xn，%)和Bn&'，%')，則=.(參考數(shù)據(jù):取1戶=8.14.)

圖1圖2

四、解答題(本大題共6小題，共70.()分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

如圖，在直三棱柱4BC-4B1G中，CA=CB=2,AB=2<2.44]=3,M為4B的中點(diǎn).

(1)證明：4G〃平面/CM；

(2)求點(diǎn)4到平面為CM的距離.

18.(本小題12.0分)

記銳角△力BC的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,已知照守=則竽.

cosBcosC

(1)求證：B=C；

(2)若asinC=1,求去+也的最大值.

19.(本小題12.0分)

甲、乙足球愛好者為了提高球技，兩人輪流進(jìn)行點(diǎn)球訓(xùn)練(每人各踢一次為一輪)，在相同的條件下，每輪甲、

乙兩人在同一位置，一人踢球另一人撲球，甲先踢，每人踢一次球，兩人有1人進(jìn)球另一人不進(jìn)球，進(jìn)球者

得1分，不進(jìn)球者得-1分；兩人都進(jìn)球或都不進(jìn)球，兩人均得0分，設(shè)甲、乙每次踢球命中的概率均為%甲

撲到乙踢出球的概率為:，乙撲到甲踢出球的概率全且各次踢球互不影響.

(1)經(jīng)過1輪踢球，記甲的得分為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

(2)求經(jīng)過3輪踢球累計(jì)得分后，甲得分高于乙得分的概率.

20.(本小題12.0分)

已知數(shù)列｛%｝中，的=0,an+1=2an4-n(nG/V*).

(1)令%=c1n+i—an+l,求證：數(shù)列｛bn｝是等比數(shù)列；

(2)令翁，當(dāng)％取得最大值時(shí)，求n的值.

21.(本小題12.0分)

已知雙曲線E；捻-，=l(a>0,b>0)的焦距為10,且經(jīng)過點(diǎn)M(8,342).4B為雙曲線E的左、右頂點(diǎn)，

P為直線x=2上的動(dòng)點(diǎn)，連接PA,PB交雙曲線E于點(diǎn)C,。(不同于4,B).

(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)直線CD是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由.

22.(本小題12.0分)

設(shè)函數(shù)/(%)=COSX—1+y(X>0).

(1)求/(*)的最值;

11

(2)令g(x)=sinx,g(x)的圖象上有一點(diǎn)列4勺，95))。=1,2，…,n,nGN*),若直線4出+1的斜率為=

7

1,2,…，九一1),證明：七+七+…+%―1>71一石.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：M={x|log2x<4}={x|0<x<16},N={x\x>1),

則MnN={x|gw尤<16}.

故選：D.

直接解出集合M,N,再求交集即可.

本題主要考查了集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：7=16,S5=5a3=35,即=7,

???公差4=臂=等=3.

故選：C.

由=16,S5=5a3=35,即a?=7,可得公差d=用詈.

本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

3.【答案】C

【解析】解：由Z1，Z2是關(guān)于生的方程%2-2X+2=0的兩個(gè)根，得Z1+Z2=2,

所以Z2=2—Z]=2—(l+i)=l—i,

所以區(qū)|=|1-i|=yj~2.

故選：C.

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)模公式，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)/(無)=甯，其定義域?yàn)镽,

有/(一切=鬻=/。)，則函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，排除AB,

又由/(2)=誓>0,排除C,

故選：D.

根據(jù)題意，用排除法分析，由函數(shù)的奇偶性排除力8,求出/(2)的值，排除C,即可得答案.

本題考查函數(shù)的圖象分析，涉及函數(shù)奇偶性和函數(shù)值的分析，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，因?yàn)?/+kx—巾＜0的解集為。一1)?＜一1),

所以x=為方程2M+版一m=o的一個(gè)根，則有2x(-I)?-k-m=0,變形可得k+m=2；

故選：B.

根據(jù)題意，分析可得彳=-1為方程2/+收一??=0的一個(gè)根，將x=-1代入方程計(jì)算可得答案.

本題考查一元二次不等式的解法，涉及不等式與方程的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

【解析】解：如圖，

設(shè)球的半徑為R，則4B=CR，

.??8。=熹一＜^=100,

100100s譏10。

1_cosl00—Us譏10。

tanl00

100sinl0°_50sinl0°_50stnl00_25_25

2sin(30°-10°)=sin20°=2sinl00cosl0°=coslO°=0.985'

50

???2R=50.76,

0.985

故選：B.

根據(jù)三角函數(shù)可得4B=qR/C=4,利用BC=^—qR=10°,求解R即可.

本題考查解三角形問題，數(shù)形結(jié)合思想，化歸轉(zhuǎn)化思想，方程思想，屬中檔題.

7.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，函數(shù)〃l+x)為偶函數(shù)，則/。)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，則有/(2-x)=f(x),

又由：VxeR,/(4+%)+/(-X)=0,則有f(2+x)=—/(2—x),

則有/(x+2)=-/(%),故/(x+4)=-/(x+2)=/(x),即“X)的周期為4,

則有/(2023)=f(3)=-/(I)=-1；

故選：B.

根據(jù)題意，分析函數(shù)的周期，由此可得/(2023)="3)=—f(l),即可得答案.

本題考查函數(shù)的對稱性和周期性，涉及函數(shù)值的計(jì)算，屬于中檔題.

8.【答案】B

【解析】解：如圖，取BC的中點(diǎn)E,連接DE,AE,

則CE=BE=y/~6,AE=DE=V24-6=37-2,

過點(diǎn)4作AFJL底面BCD,垂足在DE上，且DF=2EF,

所以CF=2/7,EF=yT2,

故4F=VAD2-DF2=V24-8=4，

點(diǎn)。為最大球的球心，連接D。并延長，交AE于點(diǎn)M,

則DM14E,

設(shè)最大球的半徑為R,

則OF=0M=R,

因?yàn)镽HAOMsRt△力EF,

所以葬=警，

AEEF

riri4-RR

即外=7T

解得R=1,

即OM=OF=1,

則4。=4-1=3,

故sinz_E4F=黑=J，

/it/3

設(shè)最小球的球心為/，中間球的球心為K,則兩球均與直線AE相切，設(shè)切點(diǎn)分別為，，G,

連接H/,KG,則刃，KG分別為最小球和中間球的半徑，長度分別設(shè)為a,b,

則川=3HJ=3a,AK=3GK=3b,則JK=AK-A]=3b-3a,

又JK=a+b,所以3b—3a=a+b,解得6=2a,

又OK=R+b=AO-AK=3-3b,故4b=3-R=2,解得b=

所以a/

2

模型中九個(gè)球的表面積和為4TTR2,|-47rb2x44-4na、4=4兀+4兀+兀=97r.

故選：B.

先求出正四面體的內(nèi)切球半徑，再利用三個(gè)球的半徑之間的關(guān)系得到另外兩個(gè)球的半徑，得到答案.

本題考查了正四面體的內(nèi)切球，球的表面積公式，難點(diǎn)是求出最大球、中等球及最小球的半徑，屬于中檔

題.

9.【答案】ACD

【解析】解：對于4,若sin2a=會(huì)則cos?(a+2)==1-s加2a='故A正確；

3'4，226

對于B,把/(%)的圖象向右平移著個(gè)單位長度得：/(%—”=2s譏2%的圖象，EP5(x)=2sin2x,故B錯(cuò)誤;

對于C,/(%)=sin2x+?cos2x+|sin2x=|sin2x+?cos2無=V_3sin(2x+勺，

則由一日+2/CTT工2%+g工弓+2/CTT,kWZ,求得：-J+W%工，+/CTT,kEZf

LoZ□o

可得/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[*+k喂+k〃](kez),故C正確；

對于0,由于/(%)=鞏"：-=t—2久,故丫=tan2x的最小正周期為故。正確.

l-tanzx2

故選：ACD.

由題意，利用三角恒等變換，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論.

本題主要考查三角恒等變換，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題.

10.【答案】BD

【解析】解：對于選項(xiàng)4,若A0_L4C,又因?yàn)開L平面ABC,

但是。不一定在平面ABC上，所以4不正確；

對于選項(xiàng)B,因?yàn)?iG//ac,所以AC〃平面4G。，

平面46。CI平面4C0=1,所以4C〃1,所以B正確；

對于選項(xiàng)C,取△ABC的中心0,△48也1的中心。口

。。1的中點(diǎn)為該三棱柱外接球的球心，

所以外接球的半徑R=J/+(亨)2=空，

所以外接球的表面積為4兀/?2=與兀，所以C不正確；

對于選項(xiàng)D該幾何體的外接球即為三棱柱48C-4B1G的外接球，

。。1的中點(diǎn)為該外接球的球心，該球心到平面4CG4的距離為?，

點(diǎn)。到平面力CG4的最大距離為R-?=*與？所以。正確.

故選：BD.

根據(jù)空間線面關(guān)系，結(jié)合題中空間幾何體，逐項(xiàng)分析判斷即可得解.

本題考查線線垂直的判斷，線面平行的判定定理，三棱錐的外接球問題，點(diǎn)面距的最值的求解，屬中檔題.

11.【答案】BCD

【解析】解：對于選項(xiàng)A,當(dāng)Q=b時(shí)，函數(shù)/(%)定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對稱，f(-%)=ae~x+bex=/(%),

故函數(shù)/(%)為偶函數(shù)；

當(dāng)函數(shù)/(%)為偶函數(shù)時(shí)，/(%)-/(-%)=0,故(Q-b)ex+(b-a)e~x=0,

即(a-b}e2x=(a—Z?),又>0,故Q=b,

所以a=b是函數(shù)/(%)為偶函數(shù)的充要條件，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)B,當(dāng)a+b=0時(shí)，函數(shù)f(%)定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對稱,f(x)+/(-%)=(a+b)ex+(a+b}e~x=0,

故函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，

當(dāng)函數(shù)/(%)為奇函數(shù)時(shí)，/(%)+/(—%)=(a+b)ex+(a+b)e~x=0,

因?yàn)閑*>0,e~x>0,故a+b=0.

所以Q+匕=0是函數(shù)/(%)為奇函數(shù)的充要條件，故8選項(xiàng)正確；

對于選項(xiàng)C/z(x)=aex-be~x,因?yàn)閍bV0,

若Q>0,h<0,貝=aex-be~x>0恒成立，則/(%)為單調(diào)遞增函數(shù)，

若Q<0,b>0則f'(x)=ae"—加一"V0恒成立,則/(%)為單調(diào)遞減函數(shù),

故MV0,函數(shù)/(%)為單調(diào)函數(shù)，故。選項(xiàng)正確；

對于選項(xiàng)D,/(X)=aex-be-x=吟士

令f'(%)=°得％=gin，，又ab>0,

若Q>0,Z?>0,

當(dāng)xG(-oo.lln^),f(x)<0,函數(shù)f(x)為單調(diào)遞減.

當(dāng)xe&n，,+8),<(x)>0,函數(shù)/⑶為單調(diào)遞增.函數(shù)f(x)存在唯一的極小值.

若QV0,b<0,

當(dāng)xe(-8』ln9,f(x)>0,函數(shù)f(x)為單調(diào)遞增.

當(dāng)》€(wěn)?111《,+8),f(%)<0,函數(shù)/'(%)為單調(diào)遞減.故函數(shù)/'(X)存在唯一的極大值，

所以函數(shù)存在極值點(diǎn)，故。選項(xiàng)正確.

故答案為：BCD.

根據(jù)奇偶函數(shù)的定義、充分條件和必要條件的定義即可判斷4B；利用導(dǎo)數(shù)，分類討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合

極值點(diǎn)的概念即可判斷CD.

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，函數(shù)奇偶性的判斷與性質(zhì)，考查邏輯推理能力，屬于中

檔題.

12.【答案】AC

【解析】解：(。2022—1).(。2023—1)V0，

則打2022一；：：或L2022一：：1

(。2023一1<。(a2023一1>。

■:%>L。2022，@2023>1，

?，,。2022和。2023同號(hào)，且一個(gè)大于1，一個(gè)小于1，

V的>1,

?'?。2022>1，02023<1，即數(shù)列｛an｝的前2022項(xiàng)大于1,而從第2023項(xiàng)開始都小于即

對于4公比4=產(chǎn)<1,

a2022

vat>1,

an=aiqnT為減函數(shù),

故｛。工為遞減數(shù)列，故A正確，

^2023<1，

，。2023=$2023-52022<1，即$2022+1>S2023，故8錯(cuò)誤，

對于C,等比數(shù)列｛七｝的前n項(xiàng)積為〃，且數(shù)列｛斯｝的前2022項(xiàng)大于1,而從第2023項(xiàng)開始都小于1,

故72022是數(shù)列｛〃｝中的最大項(xiàng)，故C正確，

對于。，74045=a1a2a3a4045=a2023)

a2023<L

a招既<1,即北045<1>故。錯(cuò)誤.

故選：AC.

根據(jù)已知條件，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，推得公比q<l,即可依次求解.

本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

13.［答案】2底

【解析】解：a=(—2,A),b=(3,1)>

則元+9=(1,4+1)，

伍+1)_La

則0+石)石=(1,2+1)-(3,1)=3+1+4=0，解得2=-4,

故五=（一2,—4）,

所以|五|=J(-2)2+(-4尸=2c.

故答案為：2/虧.

根據(jù)已知條件，結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，求出入再結(jié)合向量模公式，即可求解.

本題主要考查向量垂直的性質(zhì)，以及向量模公式，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】3

【解析】解：令g(x)=0,得/(%)=y/~X>

在同一直角坐標(biāo)系中作出y=/(x),y=，子的大致圖象如下:

由圖象可知，函數(shù)y=f(x)與y=>/五的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，

即函數(shù)g。)有3個(gè)零點(diǎn).

故答案為：3.

令g(x)=0,得f(x)=將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=/(x)與y=的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出兩函數(shù)的圖象

即可得答案.

本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)、轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，作出圖象是關(guān)鍵，屬于中檔題.

15.【答案】卑

【解析】解：正方體的所有棱中，實(shí)際上是3組平行的棱，每條棱所在直線與平面a丁書71G

所成的角都相等，如圖：所示的正六邊形平行的平面，并且是正六邊形時(shí)，a截此Y1

正方體所得截面面積的最大，區(qū)一一/Jc

此時(shí)正六邊形的邊長苧，.%一一%

a截此正方體所得截面最大值為：6XGX(￥)2=^1

4'2'4

故答案為：紅1

4

利用正方體棱的關(guān)系，判斷平面a所成的角都相等的位置，然后求解a截此正方體所得截面面積的最大值.

本題考查直線與平面所成角的大小關(guān)系，考查空間想象能力以及計(jì)算能力，有一定的難度.

16.【答案】914

n

【解析】解：由已知條件可得，ynyn'=(n+1)1.l.

???濯0%%'=￡強(qiáng)(n+1)L1n=1x1.1°+2xl.l1+???+20xl.l19+21xl.l20,

122021

1.1x^oynyn'=1xl.l+2xl.l+-+20xl.l+21Xl.l,

兩式作差得：一0.1X2%0%為'=11°+l.l1+???+l.l20-21xl.l21xl.l21

=0""生苴=上或=匕叱

-0.1-0.1-0.1

?'Na為%'=914.

故答案為：914.

由題意，可得%=1-甘，y、=n+l,則有yny'n=(71+1)1.1%利用錯(cuò)位相減法求和得答案.

本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，訓(xùn)練了利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

17.【答案】解：(1)證明：連接BC1交8傳于點(diǎn)N,連接MN,

則有N為8cl的中點(diǎn)，M為48的中點(diǎn)，A,B

所以MN〃/IC】，且AGC平面/CM,MNu平面々CM,/；

所以AC1〃平面&CM./X：：/、

(2)連接AB1，因?yàn)椤?=CB=2,所以CM_LAB,C\

AB

又因?yàn)锳&_L平面ABC,CMu平面ABC,M

所以A41CM,ABCtAA1=A,所以CM_L平面題當(dāng)公，

又因?yàn)镸B】u平面4BB14，所以CM1MB1,

又C42+CB2=4^2,所以△ABC是等腰直角三角形，CM/AB===>TTL,

所以SACMBI=：CM-MBr=5AACM=2sA4c8=2X5C4?CB=1,

設(shè)點(diǎn)4到平面81cM的距離為d,

X

因?yàn)樨?BiCM=%i-ACM,所以/XShB1CMXd=gXSfcM力占,

所斫以d=二潛SA/CM”4上1_3722

【解析】(1)利用線面平行的判定定理證明；

(2)利用等體積法求解.

本題考查線面平行的證明，考查利用等體積法求點(diǎn)到面的距離，屬中檔題.

18.【答案】(1)證明：因?yàn)榘∑?聞竽，

cosBcosC

^XsinAcosBcosC—sinBcosAcosC=sinAcosCcosB-sinCcosAcosB,

整理得siziBcosAcosC=sinCcosAcosBf

因?yàn)?為銳角,cosA>0,

故sinBcosC-sinCcosB=sin(B—C)=0,

由B,C為銳角可得8=C；

(2)解：由(1)得力=的

因?yàn)镼sinC=1,且asiiiC=csinA=bsinA=asinB=1,

所以Q=焉，"=高

^24-p=sin2/l+sin2^=sin2F+siM(B+C)=sin2F+sin22^=+si/ZB=-COS22JS—

13

2cos28+](*)，

因?yàn)閇o<n-2B

所以W<B<-,—1<cos2B<0,

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)皿28=-3寸，(*)取得最大值

【解析】(1)由己知結(jié)合和差角公式進(jìn)行化簡即可證明；

(2)結(jié)合正弦定理先表示a,b,代入到所求式子后進(jìn)行化簡，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求.

本題主要考查了正弦定理，和差角公式，二倍角公式在三角化簡求值中的應(yīng)用，還考出來正弦函數(shù)及二次

函數(shù)的性質(zhì).

19.【答案】解：(1)記一輪踢球，甲進(jìn)球?yàn)槭录?乙進(jìn)球?yàn)槭录﨎,A,B相互獨(dú)立，

由題意得：P(X)=|x(l-1)=1,P(B)=|x(l-1)=|,

甲的得分X的可能取值為-1,0,1,

111

^X=

P(X=-1)=P(AB)=PQ4)P(B)04-6-

17

X+z1XZ1

f=一

P(X=0)=PQ4B)+PQ4B)=PQ4)P(B)+P(4)P(B)4-k-VI-

12

P(X=1)=PQ4B)=P(4)P(B)=gX(1一4=3,

所以X的分布列為:

X-101

171

p6124

EX

(2)經(jīng)過三輪踢球，甲累計(jì)得分高于乙有四種情況：甲3輪各得1分；甲3輪中有2輪各得1分，1輪得0分；甲3

輪中有2輪各得1分，1輪得1分；甲3輪中有1輪得1分，2輪各得0分，

甲3輪各得1分的概率為匕=&)3=±,

甲3輪中有2輪各得1分，1輪得0分的概率為P2=戲(%xa=看

甲3輪中有2輪各得1分，1輪得1分的概率為P3=弓@)2x卷=心，

甲3輪中有1輪得1分，2輪各得。分的概率為P4=廢x；x(a)2=備，

所以經(jīng)過三輪踢球，甲累計(jì)得分高于乙的概率P=2+，+白+普=瞪.

【解析】(1)先分別求甲、乙進(jìn)球的概率，進(jìn)而求甲得分的分布列和期望；

(2)根據(jù)題意得出甲得分高于乙得分的所有可能情況，結(jié)合(1)中的數(shù)據(jù)分析運(yùn)算.

本題主要考查了隨機(jī)變量的分布列及期望的求解，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)數(shù)列｛4｝中，4=0,%1=2即+九①.

所以：。

n+2=2an+1+n+1@

兩式相減，

得aa

n+2-n+i=2azi+i-2an+1,

aa

,n+i-n+i+1=2(an+1-an+1),

即：

b+i=2bn-

由于=1，

所以：瓦=2,

???數(shù)列也｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.

(〃)由(/)可知，n

bn=2,

即@n+l-Qn=2n-1,

a2-=2-1,

an-?n-i=2"T-1，

a-a=(21+22+???+2n-】)-(n-1),

整理得：0=2"-71—1,

當(dāng)n=l時(shí)，%=0(滿足上式)，

故：=271-71-1.

2n-n-l

%=3九，

所以："+1=爺匚

[j|||2n+1-2n

人IJ:Cn+i—Cn=―—,

令/'(n)=2n+l-2n,

則：/(n+l)=2n+3-2n+1,

所以：/(n+l)-/(n)=2-2n,

f(l)=f(2)，

/(2)>/(3)>/(4)>->/(n).

所以：/(I)=f(2)=1>0/(3)=-1<0,

所以：nN3時(shí)，f(n)<0,

故：cx<c2<c3,c3>c4>c5>…，

即：當(dāng)n=3時(shí)，"最大，

即：n=3.

【解析】(1)直接利用定義法求出數(shù)列為等比數(shù)列.

(2)利用疊加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步利用函數(shù)的單調(diào)性確定n的值.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用，疊加法在數(shù)列中的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，主

要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型.

a2+/=25

21.【答案】解：(1)由6427,

3一記=1

解得小=16,b2=9,

???雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為A一q=1.

169

(2)直線CD不可能水平，故設(shè)CD的方程為x=my+3。(乙,%)，。(%2，%)，

x=my+t

x2y2_,消去不得(9m2—16)y24-18mty+9t2-144=0,(9m2-16W0),

{16--9-=1

—18欣=9t2~14424Jt2+9m2-16,

???力+y2

9m2—16'乃乃9m2-1671-y2=±9m2_16

ac的方程為y=+4),令工=2,得為=名口

J11LX］十勺

BD的方程為y=V、(x-4),令x=2,得yp=B，

二黑=若Q3上%-12%+%iy2+4y2=0

<=>3(