中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)課件第24講圖形的性質(zhì)等腰三角形專題練習(xí)

備戰(zhàn)2024中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)第24講圖形的性質(zhì)——等腰三角形專題練習(xí)一．角平分線的性質(zhì)二．線段垂直平分線的性質(zhì)三．等腰三角形的性質(zhì)四．等腰三角形的判定五．等腰三角形的判定與性質(zhì)六．等邊三角形的性質(zhì)七．等邊三角形的判定八．等邊三角形的判定與性質(zhì)一．角平分線的性質(zhì)1.到三角形的三邊距離相等的點(diǎn)是(____)A.三角形三條高的交點(diǎn)B.三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)C.三角形三條中線的交點(diǎn)D.三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)【解析】解：到三角形的三邊距離相等的點(diǎn)是：三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)．故選：B．B

【解析】解：如圖所示，過點(diǎn)F作FD⊥OB于D，∵OF平分∠AOB，F(xiàn)M⊥OA，F(xiàn)D⊥OB，∴FD=FN=3，A∴FN≥FD=3，∴四個(gè)選項(xiàng)中只有A選項(xiàng)符合題意，故選：A．___3.將兩把寬度相同的長(zhǎng)方形直尺按如圖所示方式擺放，兩把直尺的接觸點(diǎn)記為點(diǎn)P，其中一把直尺邊緣和射線OA重合，另一把直尺的下邊緣與射線OB重合，連結(jié)OP并延長(zhǎng)．若∠AOB=54°，則∠AOP的度數(shù)為(____)A.54°B.36°C.27°D.26°【解析】解：∵兩把長(zhǎng)方形直尺的寬度相同，C

4.如圖，AO、BO分別平分∠CAB、∠CBA．點(diǎn)O到AB的距離OD=4，若△ABC的周長(zhǎng)為28，則△ABC的面積為____．【解析】解：連接OC，過點(diǎn)O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，___∵AO，BO分別平分∠CAB，∠CBA，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，∴OE=OF=OD=4，∵△ABC的周長(zhǎng)=AB+AC+BC=28，56

【解析】解：∵∠MCD是△ACM的外角，∴∠MCD＞∠MAC，①②④∵AM平分∠BAC，∴∠MAB=∠MAC，∴∠MCD＞∠MAB，因此①正確；如圖，過點(diǎn)M分別作MN⊥BC，MP⊥AB，MQ⊥AC，垂足分別為N、P、Q，∵AM平分∠BAC，CM平分∠BCD，∴MN=MQ，MP=MQ，∴MN=MP，∴BM平分∠CBE，因此②正確；

6.如圖，在△ABC中，BC=9cm,CD是∠ACB的平分線，DE⊥AC于點(diǎn)E，DE=2cm.則△BCD的面積為____cm2．

97.如圖，在直線MN上求作一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到射線OA和OB的距離相等．(要求用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不必寫作法和證明過程)【解析】解：如圖，點(diǎn)P為所作．___8.如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6cm,AD是∠CAB的平分線，求DC的長(zhǎng)．

二．線段垂直平分線的性質(zhì)9.如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE=3，△ABD的周長(zhǎng)為13，△ABC的周長(zhǎng)為(____)A.16B.13C.19D.10【解析】解：∵DE是AC的垂直平分線，AE=3，∴DA=DC，AC=2AE=6，∵△ABD的周長(zhǎng)為13，C∴AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13，∴△ABC的周長(zhǎng)=AB+BC+AC=13+6=19，故選：C．10.在△ABC的BC邊上找一點(diǎn)P，使得PA+PC=BC．下面找法正確的是(____)A.___以B為圓心，BA為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)P，點(diǎn)P為所求B.___以C為圓心，CA為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)P，點(diǎn)P為所求C.____D作AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)P，點(diǎn)P為所求D.____作AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)P，點(diǎn)P為所求【解析】解：∵PA+PC=BC，PB+PC=BC，∴PA=PB，∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，故選項(xiàng)D正確，故選：D．11.如圖，在△ABC中，AC=10，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)D，△BDC的周長(zhǎng)為18，則BC的長(zhǎng)為(____)A.4B.6C.8D.10【解析】解：∵DE是AB的垂直平分線，∴AD=BD，∴BD+CD=AC=10．∴BC=△BDC的周長(zhǎng)-(BD+CD)=18-10=8，C故選：C．12.如圖，△ABC中，DE是AB的垂直平分線，△AEC的周長(zhǎng)為10cm,AD=3cm,則△ABC的周長(zhǎng)為______．

16cm13.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB交BC于點(diǎn)E，BE=6，則AC=____．【解析】解：∵DE垂直平分AB，∴AE=BE=6，∵∠B=15°，∴∠AEC=∠B+∠BAE=30°．∴AE=2AC．故AC=3．314.如圖，DE是△ABC邊AC的垂直平分線，若BC=18cm,AB=10cm,則△ABD的周長(zhǎng)為______．【解析】解：∵DE是△ABC邊AC的垂直平分線，∴AD=CD，∵BC=18cm,AB=10cm,∴△ABD的周長(zhǎng)為：AB+BD+AD=AB+BC+CD=AB+BC=28cm.故答案為：28cm.28cm15.如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線OM與邊AC的垂直平分線ON交于點(diǎn)O，這兩條直平分線分別交BC于點(diǎn)D、E．已知△ADE的周長(zhǎng)為13cm.(1)線段BC=______；(2)分別連接OA、OB、OC，若∠DOE=80°，則∠BAC=______．【解析】解：(1)∵OM是線段AB的垂直平分線，ON是線段AC的垂直平分線，∴DA=DB，EA=EC，∵△ADE的周長(zhǎng)13cm,13cm100°∴DA+DE+EA=13cm,∴BC=DB+DE+EC=DA+DE+EA=13(cm)，故答案為：13cm；(2)如圖，____∵OM⊥AB，ON⊥AC，∴∠OMA=∠ONA=90°，∵∠DOE=80°，∴∠BAC=360°-90°-90°-80°=100°，故答案為：100°．16.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=15°，AB的垂直平分線與AC交于點(diǎn)D，與AB交于點(diǎn)E，連接BD．若AD=16cm,則BC的長(zhǎng)為____cm.

817.在△ABC中，AC=6，BC=8，作AB的垂直平分線交AB、BC于點(diǎn)E、F，連結(jié)AF，則△AFC的周長(zhǎng)為____．【解析】解：∵EF是AB的垂直平分線，∴AF=BF，∴△AFC的周長(zhǎng)=AC+CF+AF=AC+CF+BF=AC+BC，∵AC=6，BC=8，∴△AFC的周長(zhǎng)=6+8=14．故答案為：14．1418.如圖，AD⊥BC，BD=DC，點(diǎn)C在AE的垂直平分線上．(1)AB，AC，CE的長(zhǎng)度有什么關(guān)系？(2)AB+BD與DE有什么關(guān)系？請(qǐng)說明理由．【解析】解：(1)AB=AC=CE，∵AD⊥BC，BD=DC，∴AB=AC；又∵點(diǎn)C在AE的垂直平分線上，∴AC=EC，∴AB=AC=CE；(2)AB+BD=DE，理由是：∵AB=AC=CE，∵AC+CD=AB+BD，∴DE=EC+CD=AB+BD，即AB+BD=EC+CD=DE．19.如圖，△ABC中，D、E在AB上，且D、E分別是AC、BC的垂直平分線上一點(diǎn)．(1)若△CDE的周長(zhǎng)為4，求AB的長(zhǎng)；(2)若∠ACB=100°，求∠DCE的度數(shù)；(3)若∠ACB=a(90°＜a＜180°)，則∠DCE=___________．【解析】解：(1)∵D、E分別是AC、BC的垂直平分線上一點(diǎn)，∴DC=DA，EC=EB，∵△CDE的周長(zhǎng)=DC+DE+EC=4，∴DA+DE+EB=4，即AB的長(zhǎng)為4；2α-180°(2)∵∠ACB=100°，∴∠A+∠B=80°，∵DC=DA，∴∠DCA=∠A，∵EC=EB，∴∠ECB=∠B，∴∠DCA+∠ECB=80°，∴∠DCE=100°-80°=20°；(3)∵∠ACB=α，∴∠A+∠B=180°-α，∵DC=DA，∴∠DCA=∠A，∵EC=EB，∴∠ECB=∠B，∴∠DCA+∠ECB=180°-α，∴∠DCE=α-180°+α=2α-180°，故答案為：2α-180°．20.已知，如圖，AB平分∠CBD，AB平分∠CAD．求證：AB垂直平分CD．

∴DB=BC，AD=AC，∴B、A都在DC的垂直平分線上，∴AB垂直平分CD．21.已知，△ABC是等邊三角形，過點(diǎn)C作CD∥AB，且CD=AB，連接BD交AC于點(diǎn)O．(1)如圖1，求證：AC垂直平分BD；(2)如圖2，點(diǎn)M在BC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)N在線段CO上，且ND=NM，連接BN．求證：NB=NM．【解析】(1)證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠CAB=60°，∵CD∥AB，且CD=AB，∴CD=CA=BC，∠ACD=∠ACB=60°，∴BO=DO，CO⊥BD，∴AC垂直平分BD；(2)由(1)知AC垂直平分BD，∴NB=ND，∵ND=NM，∴NB=NM．三．等腰三角形的性質(zhì)22.已知等腰三角形的一個(gè)角為70°，則它的頂角為(____)A.70°B.55°C.40°D.40°或70°【解析】解：當(dāng)這個(gè)角是底角時(shí)，其頂角=40°；當(dāng)這個(gè)角是頂角時(shí)，頂角=70°；故選：D．D23.如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD是AC邊上的高，若∠A=36°，則∠DBC的大小是(____)A.18°B.36°C.54°D.72°【解析】解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°∵BD是AC邊上的高，∴BD⊥AC，A∴∠DBC=90°-72°=18°．故選：A．24.如果等腰三角形兩邊長(zhǎng)是5cm和2cm,那么它的周長(zhǎng)是(____)A.7cmB.9cmC.9cm或12cmD.12cm【解析】解：當(dāng)三邊是2cm,2cm,5cm時(shí)，不符合三角形的三邊關(guān)系；當(dāng)三角形的三邊是5cm,5cm,2cm時(shí)，符合三角形的三邊關(guān)系，此時(shí)周長(zhǎng)是5+5+2=12cm.故選：D．D25.如圖，在△ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，且AB=AD=DC，∠BAD=40°，則∠C為(____)____A.25°B.35°C.40°D.50°【解析】解：∵AB=AD，∴∠B=∠ADB，B

26.如圖，AB=AC，AF=AE，∠B=25°，則∠C=(____)A.25°B.30°C.45°D.60°

A∴∠B=∠C=25°．故選：A．27.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD=BD．若∠CAD=27°，則∠BAD的大小為(____)A.50°B.51°C.52°D.54°【解析】解：∵AB=AC，AD=BD，∴∠B=∠C，∠B=∠BAD，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=∠CAD+∠BAD，∴180°-2∠BAD=27°+∠BAD，B∴∠C=51°，故選：B．28.如圖，屋頂鋼架外框是等腰三角形，其中AB=AC，工人師傅在焊接立柱時(shí)，只用找到BC的中點(diǎn)D，這就可以說明豎梁AD垂直于橫梁BC了，工人師傅這種操作方法的依據(jù)是(____)A.等邊對(duì)等角B.等角對(duì)等邊C.垂線段最短D.等腰三角形“三線合一”【解析】解：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，D故工人師傅這種操作方法的依據(jù)是等腰三角形“三線合一”，故選：D．29.等腰三角形的三邊長(zhǎng)分別為m,4，9，則m的值是(____)A.4B.9C.4或9D.17【解析】解：分兩種情況：當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為4時(shí)，∴等腰三角形的三邊長(zhǎng)分別為4，4，9，∵4+4=8＜9，∴不能組成三角形；B當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為9時(shí)，∴等腰三角形的三邊長(zhǎng)分別為4，9，9，∴m=9；綜上所述：m的值是9，故選：B．30.如圖，C、E和B、D、F分別在∠GAH的兩邊上，且AB=BC=CD=DE=EF，若∠A=18°，則∠GEF的度數(shù)為(____)A.75°B.80°C.85°D.90°【解析】解：∵AB=BC，∴∠ACB=∠A=18°，∴∠CBD=∠A+∠ACB=36°，D∵BC=CD，∴∠CDB=∠CBD=36°，∴∠DCE=∠A+∠CDA=18°+36°=54°，∵CD=DE，∴∠CED=∠DCE=54°，∴∠EDF=∠A+∠AED=18°+54°=72°，∵DE=EF，∴∠EFD=∠EDF=72°，∴∠GEF=∠A+∠AFE=18°+72°=90°．故選：D．31.如圖所示，等腰三角形ABC的底邊BC=4，高AD為8，腰AB的垂直平分線EF交AC于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)E，M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△BDM周長(zhǎng)的最小值為____．【解析】解：連接AD，__∵EF是線段AB的垂直平分線，∴點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，∵△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，10

32.如圖，在鈍角△ABC中，∠BAC＞90°，AB＜AC，設(shè)∠ABC=α，∠C=β，過點(diǎn)A的射線l交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在AD延長(zhǎng)線上，且BC=BE，∠E=∠C，請(qǐng)寫出∠BAE、α和β滿足的數(shù)量關(guān)系：____________．【解析】解：∠BAE、α和β滿足的數(shù)量關(guān)系是：∠BAE=a+β，理由如下：在AE上截取HE=AC，連接BH，如圖所示：∠BAE=a+β

∴AB=BH，∠HBE=∠ABC=α，∴∠BAE=∠BHA，∵∠BHA=∠HBE+∠E=α+β∴∠BAE=a+β．

故答案為：45；(2)過點(diǎn)D作DM⊥BC于點(diǎn)M，____∵BD平分∠ABC，DA⊥AB，DM⊥BC，∴AD=DM，∵∠C=45°，∠DMC=90°，∴DM=CM=AD，∵BC=BM+CM，∴BC=AB+DM，

34.在如圖所示的△ABC中，若AB邊上的點(diǎn)D使得AD=CD=BD，則∠ACB=_____．【解析】解：∵AD=CD=BD，∴∠A=∠ACD，∠DCB=∠B，∴∠ACD+∠DCB=∠A+∠B，∴∠ACB=∠A+∠B，∵∠ACB+∠A+∠B=180°，∴∠ACB=90°，故答案為：90°．90°35.等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3和6，則它的周長(zhǎng)為____．【解析】解：當(dāng)3是腰長(zhǎng)時(shí)，三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，3，6，∵3+3=6，∴不能構(gòu)成三角形；當(dāng)6是腰長(zhǎng)時(shí)，三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，6，6，∵3+6=9＞6，∴能構(gòu)成三角形，∴周長(zhǎng)為：3+6+6=15，綜上所述，三角形的周長(zhǎng)為：15，故答案為：15．1536.若等腰三角形有兩條邊長(zhǎng)分別為1和3，則其周長(zhǎng)為____．【解析】解：①1是腰長(zhǎng)時(shí)，三角形的三邊分別為1、1、3，∵1+1=2＜3，∴不能組成三角形；②1是底邊時(shí)，三角形的三邊分別為1、3、3，能組成三角形，周長(zhǎng)=1+3+3=7，綜上所述，三角形的周長(zhǎng)為7．故答案為：7．737.等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是70°，則這個(gè)等腰三角形的底角是____________．【解析】解：①當(dāng)這個(gè)角是頂角時(shí)，底角=(180°-70°)÷2=55°；②當(dāng)這個(gè)角是底角時(shí)，另一個(gè)底角為70°，頂角為40°；故答案為：55°或70°．55°或70°38.如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AD上，找出圖中的全等三角形，并證明它們?nèi)龋窘馕觥拷猓簣D中的全等三角形有：△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE；∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD=DC，AB=AC，AD=AD∴△ABD≌△ACD(SSS)；∵AB=AC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴AE為∠BAC的平分線，即∠BAE=∠CAE，在△ABE和△ACE中，∵AE=AE，∠BAE=∠CAE，AB=AC，∴△ABE≌△ACE；∵△ABE≌△ACE，∴BE=CE，在△BDE和△CDE中，∵BE=CE，BD=DC，DE=DE，∴△BDE≌△CDE．39.如圖，在△ABC中，AB=AC，作AB邊的垂直平分線交直線BC于M，交AB于點(diǎn)N．__________(1)如圖(1)，若∠A=40°，則∠NMB=____度；(2)如圖(2)，若∠A=70°，則∠NMB=____度；(3)如圖(3)，若∠A=120°，則∠NMB=____度；(4)由(1)(2)(3)問，你能發(fā)現(xiàn)∠NMB與∠A有什么關(guān)系？寫出猜想，并證明．203560

40.如圖，△ABC中，AB=AC，AD∥CB，求證：AD平分∠CAE．【解析】解：∵在△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C，∵AD∥CB，∴∠B=∠EAD，∠C=∠CAD，∴∠EAD=∠CAD，∴AD平分∠CAE．41.如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC邊上一點(diǎn)，AD=BD，AC=DC．求∠BAC的度數(shù)．【解析】解：設(shè)∠B=α，∵AB=AC，∴∠B=∠C=α，∵AD=BD，∴∠B=∠BAD=α，∴∠CDA=∠B+∠BAD=2α，∵AC=CD，∴∠CAD=∠CDA=2α，∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=3α，在△CAD中，∠C+∠CAD+∠CDA=180°，∴α+2α+2α=180°，解得：α=36°，∴∠BAC=3α=3×36°=108°．42.【問題背景】如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AC、BC上，連接BD，DE．已知∠ABC=2∠C，BD=CD．【問題探究】(1)若∠A=∠DEC，試說明AB=EC；(2)若AB=BD，求∠A的度數(shù)．【解析】解：(1)∵BD=CD，∴∠C=∠DBC，∵∠ABC=∠ABD+∠DBC=2∠C，∴∠ABD=∠C，

43.如圖，在△ABC中，AB=BD=AC，點(diǎn)D恰好落在線段AC的垂直平分線上，求∠B的度數(shù)．【解析】解：∵點(diǎn)D恰好落在線段AC的垂直平分線上，∴AD=CD，∴∠C=∠DAC，∵∠BDA=∠C+∠DAC，∴∠BDA=2∠C，∵AB=BD=AC，∴∠BAD=∠BDA，∠B=∠C，∴∠BAD=∠BDA=2∠B，∵∠BAD+∠BDA+∠B=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°．44.已知：如圖，在三角形ABC中，AB=AC，過BC邊上一點(diǎn)D作DE∥AC交AB于點(diǎn)E，且AE=DE，求證：AD⊥BC．【解析】證明：∵DE∥AC，∴∠EDA=∠CAD，∵AE=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠EAD=∠CAD，∵AB=AC，∴AD⊥BC．四．等腰三角形的判定45.在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)，已知A，B是網(wǎng)格上兩個(gè)格點(diǎn)，如果點(diǎn)C也是圖中的格點(diǎn)，那個(gè)使得△ABC為等腰三角形的格點(diǎn)C有(____)個(gè)．A.7B.8C.9D.10【解析】解：①以AB為腰的等腰三角形：以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑作圓形成的等腰三角形有5個(gè)，B以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作圓形成的等腰三角形有3個(gè)；②以AB為底邊的格點(diǎn)C不存在．故使得△ABC為等腰三角形的格點(diǎn)C有8個(gè)．故選：B．46.如圖，直線AB∥CD，若∠1=60°，∠2=30°，求證：△FCE是等腰三角形．【解析】證明：∵AB∥CD，∴∠DFE=∠1=60°，∵∠DFE=∠2+∠E，∠DFE=60°，∠2=30°，∴∠2=∠E，∴CF=EF，∴△FCE是等腰三角形．五．等腰三角形的判定與性質(zhì)47.如圖，△ABC中，AB=7cm,BC=5cm,AC=6cm,∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作DE//BC，分別交AB，AB于點(diǎn)D，E，則△ADE的周長(zhǎng)為(____)A.13cmB.14cmC.15cmD.16cm【解析】解：∵BO平分∠ABC，∴∠DBO=∠CBO，∵DE∥BC，A∴∠CBO=∠DOB，∴∠DBO=∠DOB，∴BD=DO，同理OE=EC，∴△ADE的周長(zhǎng)=AD+AE+ED=AB+AC=7+6=13cm.故選：A．48.如圖，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN經(jīng)過點(diǎn)O，與AB，AC相交于點(diǎn)M，N，且MN∥BC，已知△AMN的周長(zhǎng)是18，則AB+AC=(____)A.9B.12C.15D.18【解析】解：∵BO平分∠ABC，∴∠MBO=∠OBC，D∵M(jìn)N∥BC，∴∠MOB=∠OBC，∴∠MBO=∠MOB，∴MO=MB，同理ON=NC，∴OM+ON=MB+NC，∴MN=MB+NC，∴△AMN的周長(zhǎng)=AM+AN+MN=AM+AN+MB+NC=AB+AC，∵△AMN的周長(zhǎng)是18，∴AB+AC=18，故選：D．49.如圖，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作EF∥BC交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．若AB=12，AC=8，BC=13，則△AEF的周長(zhǎng)是(____)A.15B.18C.20D.22【解析】解：∵EF∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，C∴∠ABD=∠DBC，∴∠EBD=∠EDB，∴ED=EB，同理可證得DF=FC，∴AE+AF+EF=AE+EB+AF+FC=AB+AC=20，即△AEF的周長(zhǎng)為20，故選：C．

【解析】解：∵在△ABC中，∠ABC=45°，B∴∠DCB=45°，∴△BDH為等腰直角三角形，∵CD⊥AB，∠ABC=45°，∴△BCD是等腰直角三角形．∴BD=CD．故①正確；連接CG．___∵△BCD是等腰直角三角形，∴BD=CD又DH⊥BC，∴DH垂直平分BC，∴BG=CG，在Rt△CEG中，CG是斜邊，CE是直角邊，∴CE＜CG，∵CE=AE，∴AE＜BG．故②錯(cuò)誤．在Rt△DFB和Rt△DAC中，∵∠DBF=90°-∠BFD，∠DCA=90°-∠EFC，且∠BFD=∠EFC，∴∠DBF=∠DCA．又∵∠BDF=∠CDA=90°，BD=CD，∴△DFB≌△DAC(ASA)．∴BF=AC；DF=AD．∵CD=CF+DF，∴AD+CF=BD；故③正確；在Rt△BEA和Rt△BEC中∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE．又∵BE=BE，∠BEA=∠BEC=90°，∴Rt△BEA≌Rt△BEC(ASA)．

51.如圖，AC平分∠BAD，AB∥CD，BC=4，∠BAD=30°，∠B=90°，則CD的長(zhǎng)為____．【解析】解：∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠BAC，∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∴∠DAC=∠ACD，∴AD=CD，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，8_______∵CD∥AB，∠B=90°，∴四邊形BCDE是矩形，∴DE=BC=4，在Rt△ADE中，∠BAD=30°，∴AD=2DE=2×4=8，∴CD=8．故答案為：8．52.如圖，已知AC和BD相交于點(diǎn)O，且AB∥DC，OA=OB．求證：OC=OD．【解析】證明：∵AB∥DC，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∵OA=OB，∴∠A=∠B，∴∠C=∠D，∴OC=OD．53.如圖，△ABC中，點(diǎn)O是∠BCA與∠ABC的平分線的交點(diǎn)，過O作與BC平行的直線分別交AB、AC于D、E．已知△ABC的周長(zhǎng)為15，BC的長(zhǎng)為6，求△ADE的周長(zhǎng)．【解析】解：∵點(diǎn)O是∠BCA與∠ABC的平分線的交點(diǎn)，∴∠1=∠3，∵DE∥BC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，∴DB=DO，同理可得EO=CE，∴△ADE的周長(zhǎng)=AD+AE+DE=AD+DO+AE+OE=AD+BD+AE+CE=AB+AC，∵△ABC的周長(zhǎng)為15，∴AB+AC+BC=15，而BC的長(zhǎng)為6，∴AB+AC=9，∴△ADE的周長(zhǎng)為9．54.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，CD是∠ACB的平分線，交AB于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作AE∥BC，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．求證：AE=DE．

∵∠B=72°，∠DCB=36°，∴∠ADE=∠BDC=180°-72°-36°=72°，∴∠EAD=∠ADE，∴AE=DE．六．等邊三角形的性質(zhì)55.等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)D在射線CB上，點(diǎn)E在射線AC上，AD=AE，∠EDC=15°，則線段CD的長(zhǎng)為____．【解析】