山東省泰安肥城市2022-2023學(xué)年高一年級(jí)下冊(cè)期中考試數(shù)學(xué) 含解析

高一數(shù)學(xué)試題

本試卷共22題，滿分150分，共6頁.考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.設(shè)z=-2+3i,則在復(fù)平面內(nèi)與對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】首先求出復(fù)數(shù)的共扼復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所在的象限得選項(xiàng).

【詳解】解：因?yàn)閦=-2+3i,所以三=一2—3i，在復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,—3)位于第三象

限，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的共癰復(fù)數(shù)的計(jì)算，復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

2.下列向量的運(yùn)算結(jié)果不正砸的是()

A.AB+BC+CA=0

B.AB—BD-DA=0

C.OA-OD+AD=0

D.AB-AC+BD-CD=Q

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)向量的加減法法則逐個(gè)分析判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,AB+BC+CA=AC+CA=O,所以A正確，

對(duì)于B,AB-BD-DA=AB-(BD-DA)=AB-BA=2AB,所以B錯(cuò)誤，

對(duì)于c,OA-OD+AD^OA+AD-OD^OD-OD^O'所以C正確，

對(duì)于D,AB-AC+BD-CD=AB+BD-(AC+CD)=AD-AD=O,所以D正確，

故選：B

3.在..ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a=3,b=5,sinA=L則sinB=()

3

5J51

A.-B.1C.—D.-

935

【答案】A

【解析】

【分析】直接由正弦定理得解.

35?5.?5

-------3sionB=-,.*.smB=—

【詳解】由正弦定理得1sinB39-

3

故選：A

4.為了得到函數(shù)y=sin(x-g)的圖象，只要把y=5布］》+1］的圖象上所有的點(diǎn)()

A.向右平行移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度

兀

B.向右平行移動(dòng)2半個(gè)單位長(zhǎng)度

7T

C.向左平行移動(dòng)力個(gè)單位長(zhǎng)度

2兀

D.向左平行移動(dòng)W個(gè)單位長(zhǎng)度

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象變換規(guī)律求解即可

【詳解】因?yàn)椴?升［-［)=芥

所以只要把y=sin+的圖象上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng)g個(gè)單位長(zhǎng)度，可得y=sin(x-1］的圖

象，

故選：B

5.湖南岳陽市岳陽樓與湖北武漢黃鶴樓、江西南昌滕王閣并稱為“江南三大名樓”，是“中國(guó)十大歷史文化

名樓”之一，世稱“天下第一樓”.因范仲淹作《岳陽樓記》使得岳陽樓著稱于世.如圖，為了測(cè)量岳陽樓的高

【分析】由三角恒等變換及齊次式弦化切，即可求值.

］_

.…sin2a+2cos2a2sinacosa+2cos2a-2sin2atana+l-tan2aA1

［詳解］---------/.c=----2------=------1------------=----------2------：-----=亍=77

4cos2。-4sm2。4cosa-4sm“a-8smacosa2-2tana-4tan/14

2

故選：A.

8.已知AB=(a)),向量A8繞著A點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)6角得到AP，則AP=()

A.3cose—asina〃cose+asin。)

B.(acos0+bsmO.bcos0-asm0^

C.(Z?cos0+asin0.hcos0-asin0)

D.(6zcos0-/7sin^,6zcos0+Z?sin^)

【答案】B

【解析】

b

【分析】作設(shè)點(diǎn)。在角。終邊上，則cosa=/,sina=獰才然

0C=A3,OO=AP,82

后利用兩角差的正弦和余弦公式可求得點(diǎn)。的坐標(biāo)，即可得答案.

b

【詳解】作0C=A3,0D=AP,設(shè)點(diǎn)C在角a的終邊上，則cosa

4a2+h2

12

則xD=yja+bcos(a-9)

=^a1+b'(cosacos6+sinasin8)

=QCOS6+力sin。，

22

yD=\Ja+bsin(a-8)

=\/a2+b2(sinacos0-cos?sin

=〃cos6-Qsine,

所以0D=AP=^acos0+bsin0,bcos0-asin夕)，

故選：B

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.若Z1,Z2是方程/+辦+1=0的兩個(gè)虛數(shù)根，貝I」()

A.。的取值范圍為[-2,2]B.4的共趣復(fù)數(shù)是Z2

C.Z]Z=1D.馬+^為純虛數(shù)

22

【答案】BCD

【解析】

【分析】Z|,Z2是方程/+依+1=0的兩個(gè)虛數(shù)根，則A<0,得一2<a<2,則根據(jù)一元二次方程方

程的求根公式可知zI的共輾復(fù)數(shù)是z2,

【詳解】由A=a2—4<0,得—2<a<2,A錯(cuò)誤;

因?yàn)樵匠谈鶠榇蚨?4。.,所以馬的共規(guī)復(fù)數(shù)是Z2,B正確;

2

-a+\J4-a2i-a-\j4-a2i1

Z[z、------------x------------=1，C正確;

1222

因?yàn)轳R+0等于"一"i或一"一'i,所以馬+巴為純虛數(shù)，D正確.

2222

故選：BCD.

10.已知向量AB=(Z,2),AC=(2,1),則()

A.當(dāng)左=一1時(shí)，AB±AC

B.當(dāng)&=4時(shí)，三點(diǎn)共線

C.當(dāng)k=I時(shí)，卜也

D.當(dāng)％>—1時(shí)，NB4c是銳角

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據(jù)向量的模、向量的數(shù)量積、向量的共線定理判斷即可;

【詳解】AB±AC'所以2Z+2=0,Z=-1,選項(xiàng)A正確；

A,8,C三點(diǎn)共線，所以Zxl=2x2,k=4,選項(xiàng)B正確；

k=l,BC=AC-AB=（2,1）-（1,2）=（1,-1）,|BC|=V2,選項(xiàng)C正確；

當(dāng)&=4時(shí)，三點(diǎn)共線，由B可知，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

故選：ABC.

11...ABC中，仇c分別為內(nèi)角A,3,C的對(duì)邊，則（）

A.若，一=」一，則ABC為等腰直角三角形

cosBcosA

B.若，一=/一，則一A5C為等腰三角形

sinBsinA

c.若a?=匕2+。2一匕c，則C=?

o

Tl

D.若。=/?$必A+acos3,則力=—

4

【答案】BD

【解析】

【分析】對(duì)于A,化簡(jiǎn)后利用正弦定理統(tǒng)一成角的形式，再化簡(jiǎn)可得答案，對(duì)于B,化簡(jiǎn)后利用正弦定理

統(tǒng)一成邊的形式，再化簡(jiǎn)可得答案，對(duì)于C,利用余弦定理求解，對(duì)于D,利用正弦定理統(tǒng)一成角的形式，

化簡(jiǎn)后可得答案.

ah

【詳解】對(duì)于A,由-----=------,得acosA=Z?cosB,由正弦定理得sinAcosA=sin3cos5,

cosBcosA

所以2sinAcosA=2sinBcosB,所以sin2A=sin2B,

因?yàn)樗?428G（0,2兀）,所以2A=2B或2A+28=兀，

所以A=B或A+B=]TT,所以為等腰三角形或直角三角形，所以A錯(cuò)誤，

ah

對(duì)于B,由——=——，得asinA=Z?sin5,由正弦定理得/，所以。=〃，所以ABC為等

sinBsinA

腰三角形，所以B正確，

對(duì)于C,由42=〃+,2一根，得加+。2-4=根，所以由余弦定理得

從+，2一4

be

cosA=

2hc2bc~2

因?yàn)锳G(O,71),所以A=m，所以C錯(cuò)誤，

對(duì)于D,因?yàn)閏=〃sinA+acosB,所以由正弦定理得sinC=sin8sinA+sinAcosB,

所以sin(A+8)=sin3sinA+sinAcosB,所以sinAcosB+cosAsin3=sin3sinA+sinAcosB,

所以＜：0545指5=5由8$出4,因?yàn)閟inBwO,所以cosA=sinA,

因?yàn)锳W(O,71),所以A=:,所以D正確，

故選：BD

12.某簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象如圖所示.若A8兩點(diǎn)經(jīng)過x秒后分別運(yùn)動(dòng)到圖象上E,F兩點(diǎn)，則()

A.ABGB=EFGB

B.ABAG>EFAG

C.AEGB=BFGB

D.ABEF>BFAG

【答案】ACD

【解析】

【分析】簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象求出三角函數(shù)的表達(dá)式，設(shè)出E,尸兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示逐一驗(yàn)

證四個(gè)選項(xiàng)即可得正確答案.

【詳解】設(shè)〃x)=Asin0>x,

27rTTTT

由圖知A=l,T=4=—，解得啰=彳，所以/(x)=sin=x,

co22

假設(shè)用而/嗚/“則/卜0+l,s嗚(%+1”即尸'o+l,cos-x0

f7rl

AB=(1,1),GB=(1,O),￡F=1l,cos—x0-sinyx0I,AG=(0,1),

AE-\x0,sin-x0,BF=\x0,cos-x0-1

(兀71I

?

對(duì)于選項(xiàng)A：ABGB=lxl+lxO=l>E7-GB=lxl+0xlcos-x0-sin-x01=1,

所以故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：AB-AG=lxO+lxl=b

EF-AG=cos-x0-sin-Jc()=V2cosl-x0+-I,顯然防.AG最大值為,2，

所以AB-AG>￡F-AG不一定成立，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：AEGB=x0,BFGB=%,所以AE-GB=BE-GB，故選項(xiàng)C正確；

TT7T..TT

對(duì)于選項(xiàng)D：AB-EF=1+cos—x0-sin—x,BF-AG=cos—xQ-I

7171(71)71

7

所以ABEF-B/。AG=l+cos—%-sin—x-cos—x0-l=2-sin—x,

Ij

兀71

因?yàn)閟in^xWl,所以Z-sin^x〉。，即/一AG>0，所以A6EF〉BFAG，

故選項(xiàng)D正確，

故選：ACD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

21

13.己知a,/?eR,復(fù)數(shù)。+歷=——；,則a+b=____.

2+i

【答案】I

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算計(jì)算求解.

2i2i(2-i)24i6

【詳解】因?yàn)椤?」=『=小\小所以a+b=*.

2+1(2+i)(2-i)555

故答案為：

14.已知向量用.是平面內(nèi)的一組基底，若向量。=4%—202與6=—四+%02共線，則力=■

【答案】1

【解析】

【分析】根據(jù)向量共線求解即可；

【詳解】因?yàn)橄蛄?,02是平面內(nèi)一組基底，。=44一2^與6=—24+/162共線，

所以a=力，即4q-2e2=t(-2e)+Ae2)

J2f=4,,

所以｛,°解得：X=L

At=-2,

故答案為：1.

15.己知函數(shù)/(x)=Gsin(x+6?)+cos(x+8)是偶函數(shù)，寫出滿足條件的角。的一個(gè)取值_____.

7T7T

【答案】一(只需寫出滿足。=一+也,女62的一個(gè)值)

33

【解析】

【分析】先利用三角函數(shù)恒等變換公式變形得/(x)=2sin[+6,再由其為偶函數(shù)得

TTTT

9+-=-+kn,keZ,從而可求得結(jié)果

62

【詳解】/(x)=Gsin(x+e)+cos(x+。)=2sinx+6+弓)，

因?yàn)?(x)=6sin(x+0)+cos(x+e)是偶函數(shù),

TTTTII

所以夕+—=—+E,Z$Z,得9=—+ku,k￡Z,

623

TTTT

故答案為：-(只需寫出滿足。=一+/?62的一個(gè)值)

33

16.如圖，在等邊三角形ABC中，A5=2,點(diǎn)N為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)M是邊CB(包括端點(diǎn))上的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn),則AM?NM的最小值為.

16

【解析】

【分析】根據(jù)已知，利用圖形以及向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算、二次函數(shù)進(jìn)行計(jì)算求解.

【詳解】因?yàn)榈冗吶切蜛8C中，43=2,點(diǎn)N為AC的中點(diǎn)，設(shè)"8=208,(044W1),則

AM-NM=MA-MN^^MB+BA]-（MC+CN^MB-MC+MBCN+BA-MC+BA-CN

^ACB（A-\）CB+ACBCN+BA（\-A）BC+BACN

—42—-44+2+2（l—2）+l

=4九2_5/1+3=4（/1—91+—

I8j16

5______23

所以當(dāng)4=d時(shí)，AA/,MVf取最小值，最小值為二■.

816

故答案為：—.

16

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知復(fù)數(shù)z=(2sin6+cose)+(sine+2cos6)i,其中。€(0,%).

(1)當(dāng)6=a時(shí)，z表示實(shí)數(shù)；當(dāng)6=，時(shí)，z表示純虛數(shù).求tan(a—力)的值.

(2)復(fù)數(shù)z的長(zhǎng)度記作|z|,求|z|的最大值.

3

【答案】⑴--

4

(2)3

【解析】

【分析】(1)由題意可得sina+2cosa=0,2sin4+cos4=0,且sin/+2cos4。0,從而可求出

tana,tan4,然后利用兩角差的正切公式可求得結(jié)果,

⑵由題意可得，=(20皿+85。)2+(5皿。+285。)2,化簡(jiǎn)后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值.

【小問1詳解】

因?yàn)楫?dāng)6時(shí)，z表示實(shí)數(shù)，所以sina+2cos。=0,

所以tan6z=-2.

又因?yàn)楫?dāng)。=/?時(shí)Z表示純虛數(shù)，所以2sin/?+cos/?=0,且sin/?+2cos/?。0

所以tanp―――.

-2+1

3

從而tan（a-,）=產(chǎn)"血"?=-----4

4

1+tanatanJ3[+2x-

2

【小問2詳解】

因?yàn)槟恐?(2sine+cos6)~+(sin6+2cosOf

=5(sin2O+cos?6)+8sin8cose=5+4sin20.

當(dāng)6時(shí)，sin26=1,則目2取得最大值9,

此時(shí)|z|的最大值為3.

18.已知梯形ABC。中，AB//CD,AB=2CD,三個(gè)頂點(diǎn)A(4,2),3(2,4),C(1,2).

(1)求頂點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)求A3在40上的投影向量.

【答案】(1)(2,1)

⑵(4場(chǎng)2、2

【解析】

【分析】(1)設(shè)頂點(diǎn)。(x,y),利用A8=2Z)C即可求解；

(2)利用向量的數(shù)量積公式求得與AO的夾角為。，再利用投影向量公式即可求解.

【小問1詳解】

設(shè)頂點(diǎn)O(x,y),已知三個(gè)頂點(diǎn)A(4,2),5(2,4),C(1,2),

所以AB=(—2,2),OC=(l—x,2—y).

因?yàn)锳8//CD且A5=2CD,所以A3=2OC，BP(-2,2)=2(l-x,2-y).

所以工2(1工-x\)=-2，解得：(x=2「

[2(2-y)=2[y=l

即頂點(diǎn)Q的坐標(biāo)為頂點(diǎn)(2,1).

【小問2詳解】

可求得AB=(—2,2),AD=(—2,—1),則

ABADV10

設(shè)AgA。的夾角為。，I^cosO

網(wǎng)|叫272x75

所以A8在AO上的投影向量為

|他上0536=2血入亞乂正(—2,_1)=(—±—2)或2/10.

105、55j5

19.一ABC的內(nèi)角A,B.C的對(duì)邊分別為，J^zcosC+asinC=6b.

(1)求A；

(2)若點(diǎn)。在5c邊的延長(zhǎng)上，且NC4￡>=N84C,證明：——.

ACABAD

jr

【答案】(1)A=y

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理及兩角和的正弦公式即可求解；

/八eoo〃、、z.A^ZRsinZBADsinABACsinZCAD

(2)利用寺面積法知S4ABD=^AABC+SAXCD，代入化向得~~二?"，進(jìn)而得

ACADAB

解.

【小問1詳解】

因?yàn)間ocosC+asinC=43b，

由正弦定理得GsinAcosC+sinAsinC=JJsin5,

又sin3=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

所以化簡(jiǎn)為sinAsinC=GsinCcosA.

又sinCW0,所以tanA=V3.

因?yàn)锳e(0,〃)，所以A=5.

【小問2詳解】

=

因?yàn)閊^ABDS^ABC+S4ACD,

所以,AB?AOsin/BAD='AB?ACsinABAC+-ACADsinACAD,

222

,sinZBADsinABACsinZ.CAD

所以----------=----------+----------.

ACADAB

_2萬

由（1）可知：ZBAC=~,所以N840=—

33

所以sinNBAD=sin—=—>sinABAC=sinACAD=—，

322

11

所以----------1------.

ACABAD

20.在直角坐標(biāo)系中，以Qx為始邊分別作角a,B,其終邊分別與單位圓交于點(diǎn)A,B.

(1)證明：cos(￡Z-/?)=cosacos/?+sinasin/?；

(2)己知a,￡為銳角，cosa=y,cos(cz+/?)=--求cos4的值.

【答案】(1)證明見解析

⑵7

【解析】

【分析】(1)設(shè)a=Q4,b=OB，根據(jù)三角函數(shù)的定義、平面向量數(shù)量積的定義和坐標(biāo)表示，結(jié)合三角

恒等變換計(jì)算即可求解；

(2)根據(jù)題意和同角三角函數(shù)關(guān)系求出sine,sin(a+尸)，結(jié)合兩角差的余弦公式計(jì)算即可求解.

【小問1詳解】

由三角函數(shù)的定義知，A=(cosa,sintz),B=(cos/?,sin/7),

設(shè)a=OA=(cosa,sina),b=OB=(cos^,sin^),

設(shè)力與人的夾角為e,則。=口一萬，

得a/=|d||/?|cos(?-/5)=cos(cr-/?),

又a?b=cosacosjS+sinasin/?,

所以cos6=cosacos乃+sinasin〃,

又a=/?+2/CJI士a&cZ,得=2kn±6,RcZ,

因此cos（a-0）=cos（2k?！?）=cos0,

所以cos(a-P)=cosacos4+sinasin￡；

【小問2詳解】

由a,B為銳角，得0<a+尸<兀，

由cosa=—,cos(a+/7)=---

7v'14

得sina=V1-cos2a-，sin(a+￡)=Jl-cos2(a+/7)=，

所以<：054=85［(&+/?)-二］=?)5(=+/?)850+5也(&+￡)51110=g.

21.筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖

畫描繪了筒車的工作原理(如圖1).假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個(gè)盛水筒都做勻速圓周

運(yùn)動(dòng).如圖2,將筒車抽象為一個(gè)半徑為4米的圓，筒車按逆時(shí)針方向每旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)120秒，當(dāng)r=0

時(shí)，筒車上的某個(gè)盛水筒M位于點(diǎn)外僅,-26)處，經(jīng)過1秒后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P(x,y),點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)滿足

y=f(t)=Asin((vt+^>)，20,。>0,|同</).已知筒車的軸心。距離水面的高度為2米，設(shè)盛水筒M

到水面的距離為/?(單位：米)(盛水筒M在水面下時(shí)，則〃為負(fù)數(shù)).

(1)將距離〃表示成旋轉(zhuǎn)時(shí)間f的函數(shù)；

(2)求筒車在［0,240］秒的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，盛水筒M位于水面以下的時(shí)間有多長(zhǎng)？

【答案】⑴t=/(f)+2=4sin但f-g1+2,t>0

16037

(2)70秒鐘

【解析】

【分析】(1)結(jié)合三角函數(shù)圖像的性質(zhì)以及點(diǎn)位置坐標(biāo)判斷求解即可；

(兀7TI

(2)令〃=/(f)+2=4sin左/—片+2<0,求解t的范圍，計(jì)算即可：

【小問1詳解】

由題意可知A=4,由于T=0=120,

CD

71

所以得0二一.

60

因?yàn)椤?0時(shí),y=4sin°=-2百，

所以sincp=

由I同<5‘可求得°=-1'

從而/?)=4sin,一9

[OU5)

所以力=/(。+2=4sin|——f——|+2,其中，之0

\6()3)

【小問2詳解】

(兀兀、1

當(dāng)盛水筒〃位于水面以下時(shí)，應(yīng)滿足〃<0,apsinl—z-y1<--.

7TlTTTT1Ijr

可列不等式2加+——<—t一一<2E+——次eZ,

66036

解得90+120*<Z<130+120&,k&Z,

因?yàn)閒e[0,240],

所以當(dāng)左=0時(shí)，/?90,130)；

當(dāng)％=1時(shí)，Ze(210,240].

由(130-90)+(240-210)=70,

可得盛水筒M位于水面以下的時(shí)間有70秒鐘.

22.如圖在五邊形A8CDE中，Cr)=3AB=33C=2,ZABC=ZBCD=-TI,ZAED=~.

1033

c

(l)求線段AO的長(zhǎng)；

(2)設(shè)ND4E=a,VADE的面積記為S,則有S=/(a),求的表達(dá)式，并求S的最大值.

【答案】(1)=

5

(2)S=^f-sinf2?--l+--|,最大值是馬3

25\_2I6j4J100

【解析】

【分析】(1)解法一：根據(jù)題意可求出A8-BC,8C-CZ),A5-C。，而AO=AB+BC+CQ，兩邊平方

化簡(jiǎn)可求得結(jié)果，解法二：連接AC,在.ABC中利用余弦定理可求得AC,在RtaAC。中可求得AD，

(2)在V4DE中由正弦定理可求得從