貴州羅甸民族中學2023-2024學年數(shù)學九年級上冊期末統(tǒng)考模擬試題含解析

貴州羅甸民族中學2023-2024學年數(shù)學九上期末統(tǒng)考模擬試題

注意事項

1.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3,請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題（每題4分，共48分）

1.如圖，在平行四邊形A3CD中AE：BE=1：2.若5.=2,貝！|5厶。?=（）

A.18B.12C.10D.8

2.如圖，圓。是R3A8C的外接圓，ZACB=90°,NA=25。，過點C作圓。的切線，交A8的延長線于點。，則NO

A.25°B.40°C.50°D.65°

3.如圖，在RtZXABC中，NACB=90。，AC=24,AB=25,CD是斜邊A3上的高，貝（jcosNBC。的值為（）

E

724八724

A.—B.—C.—D.—

2525247

4.對于二次函數(shù)y=3（x—2）?+l的圖象，下列說法正確的是（）

A.開口向下B.頂點坐標是（2,1）

C.對稱軸是直線x=-2D.與x軸有兩個交點

5.拋物線.丫=-3f+12》-3的頂點坐標是（）

A.(2,9)B.-9)

C.(-2,9)D.(-2,-9)

7.如圖，。。的半徑為1,點O到直線。的距離為2,點P是直線”上的一個動點，PA切。O于點A,貝?。軵A的最

小值是（）

B.73C.2D.75

8.在公園內，牡丹按正方形種植，在它的周圍種植芍藥，如圖反映了牡丹的列數(shù)（〃）和芍藥的數(shù)量規(guī)律，那么當〃=11

時，芍藥的數(shù)量為（）

n=ln=2〃=3*n=4

釜釜為我*

為

￥**?

*??圣

**::*

***?.:*

*??**

~*

*n*

**

*

A.84株B.88株C.92株D.121株

9.如圖，已知正方形ABCD,點E是BC邊的中點，DE與AC相交于點F,連接BF,下列結論:

①SABF=SADF；②S<DF=4SCEF；③SADF=2SCEF；④SADF=2SCDF，其中正確的是()

A.①③B.②③C.①④D.②④

10.半徑為6cm的圓上有一段長度為1.5萬cm的弧，則此弧所對的圓心角為（）

A.45B.75C.90D.150

11.關于x的一元一次方程2X“T+m=2的解為x=l,則的值為（）

A.5B.4C.3D.2

12.小思去延慶世界園藝博覽會游覽，如果從永寧瞻勝、萬芳華臺、絲路花雨、九州花境四個景點中隨機選擇一個進

行參觀，那么他選擇的景點恰為絲路花雨的概率為（）

1111

A.-B.-C.-D.—

24816

二、填空題（每題4分，共24分）

13.化簡：Sin220-2J（cos600-l）2=

cos68°'

14.如圖AABC的頂點3在％軸的正半軸上，頂點A在，軸的負半軸上，頂點C在第一象限內，AC交x軸于點￡,

過點E作丄BE交8c的延長線于點O.若反比例函數(shù)y=A經過點。，且EC=8C,5M8￡=3,則左值等于

x

16.分解因式-18根=

17.將矩形紙片ABC。按如下步驟進行操作:

DAD

E..............................FEF

圖1

（1）如圖1,先將紙片對折，使5c和重合，得到折痕EV；

（2）如圖2,再將紙片分別沿EC,80所在直線翻折，折痕EC和8。相交于點0.那么點。到邊AB的距離與點0

到邊CD的距離的比值是.

18.已知0。的半徑3c九點P在）0內，則。尸3cm（填＞或=,＜）

三、解答題（共78分）

19.（8分）某企業(yè)設計了一款工藝品，每件成本40元，出于營銷考慮，要求每件售價不得低于40元，但物價部門要

求每件售價不得高于60元.據(jù)市場調查，銷售單價是50元時，每天的銷售量是100件，而銷售單價每漲1元，每天

就少售出2件，設單價上漲x元(x20).

(1)求當x為多少時每天的利潤是1350元？

(2)設每天的銷售利潤為求銷售單價為多少元時，每天利潤最大？最大利潤是多少？

20.(8分)已知關于x的一元二次方程x2—(2k+l)x+k2+k=0

(1)求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)若AABC的兩邊AB、AC的長是方程的兩個實數(shù)根，第三邊BC的長為1.當AABC是等腰三角形時，求k的

值

21.(8分)甲、乙、丙三個球迷決定通過抓閹來決定誰得到僅有的一張球票.他們準備了三張紙片，其中一張上畫了

個五星，另兩張空白，團成外觀一致的三個紙團.抓中畫有五角星紙片的人才能得到球票.剛要抓閹，甲問：“誰先

抓？先抓的人會不會抓中的機會比別人大？”你認為他的懷疑有沒有道理？談談你的想法并用列表或畫樹狀圖方法說

明原因.

22.(10分)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=av2+〃x+c與x軸交于點4-2,0),點8(4,0),與)，軸交于點

C(0,2百)，連接BC,位于＞軸右側且垂直于x軸的動直線/,沿x軸正方向從。運動到B(不含。點和B點)，且

分別交拋物線、線段8c以及x軸于點P,D,E.連接AC,BC,PA,PB,PC.

(1)求拋物線的表達式；

(2)如圖1,當直線/運動時，求使得APE4和A4OC相似的點尸點的橫坐標；

(3)如圖1,當直線/運動時，求APC3面積的最大值；

(4)如圖2,拋物線的對稱軸交X軸于點Q,過點8作BG//AC交)'軸于點G.點H、K分別在對稱軸和＞軸上

A

運動，連接PH、HK.當?shù)拿娣e最大時，請直接寫出P”+"K+^^KG的最小值.

2

23.(10分)教室里的飲水機接通電源就進入自動程序，開機加熱時每分鐘上升10℃,加熱到100C停止加熱，水溫

開始下降，此時水溫》(℃)與開機后用時x(min)成反比例關系，直至水溫降至30℃,飲水機關機，飲水機關機

后即刻自動開機，重復上述自動程序.若在水溫為30'C時接通電源，水溫N(C)與時間x(min)的關系如圖所示:

（i）分別寫出水溫上升和下降階段y與x之間的函數(shù)關系式；

（2）怡萱同學想喝高于5O'C的水，請問她最多需要等待多長時間？

⑴操作發(fā)現(xiàn):如圖1,在中，ZACB=90°,以點C為中心，把A3C順時針旋轉90°,得到AfC;再

以點A為中心，把A8C逆時針旋轉90。，得到A&G.連接4G.則AG與AC的位置關系為平行;

（2）探究證明:如圖2,當A8C是銳角三角形，NAC5=a（aH60。）時，將「ABC按照（1）中的方式，以點C為

中心，把.ABC順時針旋轉“，得到44。；再以點A為中心，把一A3C逆時針旋轉。，得到A82a.連接4G，

圖2

①探究A&與8C的位置關系，寫出你的探究結論，并加以證明；

②探究4G；與AC的位置關系，寫出你的探究結論，并加以證明.

25.（12分）如圖，已知：拋物線y=a（x+D（x—3）交x軸于A,C兩點，交y軸于點5,且O5=2CO.

(1)求二次函數(shù)解析式；

(2)在二次函數(shù)圖象位于x軸上方部分有兩個動點M、N,且點N在點M的左側，過M、N作x軸的垂線交x軸于點G、

"兩點，當四邊形MN//G為矩形時，求該矩形周長的最大值；

(3)拋物線對稱軸上是否存在點P,使得AAB尸為直角三角形？若存在，請直接寫出點尸的坐標；若不存在，請說

明理由.

26.某籃球隊對隊員進行定點投籃測試，每人每天投籃10次，現(xiàn)對甲、乙兩名隊員在五天中進球數(shù)(單位：個)進行

統(tǒng)計，結果如下：

甲1061068

乙79789

經過計算，甲進球的平均數(shù)為8,方差為3.2.

(1)求乙進球的平均數(shù)和方差；

(2)如果綜合考慮平均成績和成績穩(wěn)定性兩方面的因素，從甲、乙兩名隊員中選出一人去參加定點投籃比賽，應選誰？

為什么？

參考答案

一、選擇題(每題4分，共48分)

1、A

【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質得到AB=CD,AB〃CD,再計算出AE：CD=1：3,接著證明△AEFsaCDF,然

后根據(jù)相似三角形的性質求解.

【詳解】:?四邊形ABCD為平行四邊形，

AAB=CD,AB/7CD,

VAE:EB=1:2,

：?AE:AB=1:3,

???AE:CD=1:39

VAE#CD,

；?AEFsCDF,

?SAEF_（AE2_J_

9

?'SCDF-CD~9

：?SDFC-9>5說=9x2=18（cW）.

故選：A.

【點睛】

本題考查的是相似三角形的判定與性質，熟知相似三角形面積的比等于相似比的平方是解答此題的關鍵.

2、B

【分析】首先連接OC,由NA=25。，可求得NBOC的度數(shù)，由CD是圓O的切線，可得OC丄CD,繼而求得答案.

【詳解】連接。C,

,.咽。是RtAA5c的外接圓，NAC8=90。，

是直徑，

VZA=25°,

:.N3OC=2NA=50°,

是圓。的切線，

：.OCLCD,

:.N￡>=90"NBOC=40。.

故選B.

3、B

【分析】根據(jù)同角的余角相等得NBCD=NA,利用三角函數(shù)即可解題.

【詳解】解：在中，

VAC=24,AB=25,C。是斜邊AB上的高，

.,.ZBCD=ZA（同角的余角相等），

/.cosZBCD=cosZA=,

AB25

故選B.

【點睛】

本題考查了三角函數(shù)的余弦值，屬于簡單題，利用同角的余角相等得NBCD=NA是解題關鍵.

4、B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)基本性質逐個分析即可.

【詳解】A.a=3,開口向上，選項A錯誤

B.頂點坐標是（2,1）,B是正確的

C.對稱軸是直線x=2,選項C錯誤

D.與x軸有沒有交點，選項D錯誤

故選:B

【點睛】

本題考核知識點：二次函數(shù)基本性質：頂點、對稱軸、交點.解題關鍵點：熟記二次函數(shù)基本性質.

5、A

【分析】把拋物線解析式化為頂點式即可求得答案.

【詳解】Vy=-3x2+12x-3=-3（x-2）2+9,

二頂點坐標為（2,9）.

故選：A.

【點睛】

本題主要考査了二次函數(shù)的性質，掌握二次函數(shù)的頂點式是解答此題的關鍵，即在y=a（x-〃）2+左中，對稱軸為x=h,

頂點坐標為（h,k）.

6、B

【解析】根據(jù)中心對稱圖形的概念和各撲克牌的花色排列特點的求解.

解答：解：A、不是中心對稱圖形，不符合題意；

B、是中心對稱圖形，符合題意；

C、不是中心對稱圖形，不符合題意；

D、不是中心對稱圖形，不符合題意.

故選B.

7、B

【分析】因為PA為切線，所以AOPA是直角三角形.又OA為半徑為定值，所以當OP最小時，PA最小.根據(jù)垂線

段最短，知OP=1時PA最小.運用勾股定理求解.

【詳解】解：作OP丄a于P點，則OP=1.

根據(jù)題意，在R3OPA中，

AP=[OP?-。代=V22-12=V3

故選:B.

【點睛】

此題考查了切線的性質及垂線段最短等知識點，如何確定PA最小時點P的位置是解題的關鍵，難度中等偏上.

8、B

【解析】解：由圖可得，芍藥的數(shù)量為：4+x4,.?.當〃=11時，芍藥的數(shù)量為：

4+(2x11-1)x4=4+(22-1)x4=4+21x4=4+84=88,故選B.

點睛：本題考查規(guī)律型：圖形的變化類，解答本題的關鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)題目中圖形的變化規(guī)律.

9、C

【解析】試題解析：①A3尸和AOE的底分別相等，高FP,FN也相等，所以它們的面積也相等，故正

確.

②_CD尸和VCB尸的底CD,CB分別相等，高/也相等，所以它們的面積也相等，并不是4倍的關系.故錯誤.

③由于E是的中點，所以4)/和的相似比為2:1,所以它們的面積之比為4:1.故錯誤.

④.尸和CD廠的底A。,C。相等，高FN和則是2:1的關系，所以它們的面積之比為2:1.故正確.

綜上所述，符合題意的有①和④.

故選C.

10、B

【分析】根據(jù)弧長公式，即可求解.

n冗r

【詳解】vzTso

y)jrxO

.??2.5乃=竺、，解得：n=75,

180

故選B.

【點睛】

ri7[r

本題主要考查弧長公式，掌握/=——是解題的關鍵.

180

11、D

【分析】滿足題意的有兩點，一是此方程為一元一次方程，即未知數(shù)x的次數(shù)為1；二是方程的解為x=l,即1使等式

成立，根據(jù)兩點列式求解.

【詳解】解：根據(jù)題意得，

a-l=l,2+m=2,

解得，a=2,m=0,

a-m=2.

故選：D.

【點睛】

本題考查一元一次方程的定義及方程解的定義，對定義的理解是解答此題的關鍵.

12、B

【分析】根據(jù)概率公式直接解答即可.

【詳解】???共有四個景點，分別是永寧瞻勝、萬芳華臺、絲路花雨、九州花境，

,他選擇的景點恰為絲路花雨的概率為丄；

4

故選：B.

【點睛】

本題考査了概率的知識.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

二、填空題(每題4分，共24分)

13、0

【分析】根據(jù)cos(90°-A)=sinA,以及特殊角的三角函數(shù)值，進行化簡，即可.

【詳解】原式=c°s(90

cos68°

cos68°

2x

cos68°-i

=0.

故答案是：0

【點睛】

本題主要考査三角函數(shù)常用公式以及特殊角三角函數(shù)值，掌握三角函數(shù)的常用公式，是解題的關鍵.

14、6

npnA

【分析】可證二得到靑==，

BEDE

因此求得OEDE=OABE=6

【詳解】解：設。(x,y),

根據(jù)題意，點。在第一象限,

OE-x,DE-y,

EC=BC,

：.ZCEB=ZCBE

又ZCEB=ZOEB

NOEA=NCBE

又/EOA=DEB=90。

：.^OEAEBD

OE0A

因此——=—,OEDE=OABE

BEDE

SMBE=；0ABE=3

OEDE=OABE=6

k=xy=6

【點睛】

本題考查了相似三角形的性質以及反比例函數(shù)的性質.

15、1

【解析】原式=2(m2+2/n/i+w2)-6,

=2(A7J+/1)2-6,

=2x9-6,

=1.

16、2m(m-3)(m+3)

【分析】先提取公因式，再利用平方差公式即可求解.

【詳解】2m3-18m=2m(m2-9)=2m{m-3)(m+3)

故答案為：2w(w-3)(777+3).

【點睛】

此題主要考查因式分解，解題的關鍵是熟知因式分解的方法.

1

17、-

2

【分析】根據(jù)折疊的性質得到砕=丄A3,根據(jù)矩形的性質得到A5=CZ),△BOEsXDOC,再根據(jù)相似三角形的性

2

質即可求解.

【詳解】解：由折疊的性質得到

2

,??四邊形A8C。是矩形，

：.AB=CD,ABOEsADOC,

AABOE與△OOC的相似比是丄，

2

:.點O到邊AB的距離與點O到邊CD的距離的比值是丄.

2

故答案為：—.

2

【點睛】

本題考查了翻折變換(折疊問題)、矩形的性質、相似三角形的判定與性質等知識，綜合性強，還考查了操作、推理、

探究等能力，是一道好題.

18、<

【分析】根據(jù)點與圓的位置關系，即可求解.

【詳解】解：。的半徑為3cm,

點尸在：0內，

OP<3cm.

故答案為:<.

【點睛】

本題考查的是點與圓的位置關系.

三、解答題(共78分)

19、(1)x=5時，每天的利潤是1350元；(2)單價為60元時，每天利潤最大，最大利潤是1600元

【分析】(1)根據(jù)每天的利潤=單件的利潤x銷售數(shù)量列出方程，然后解方程即可；

(2)根據(jù)每天的利潤=單件的利潤x銷售數(shù)量表示出每天的銷售利潤，再利用二次函數(shù)的性質求最大值即可.

2

【詳解】⑴由題意得(50—40+x)(l00—2x)=1350,BPx-40x+175=0.

解得：％=5,*2=35,

???物價部門要求每件不得高于60元，

.?.x=5,即x=5時每天的利潤是1350元；

22

(2)由題意得：y=(50-40+x)(100-2x)=-2x+80x+1000=-2(x-20)+1800(0<x<10),

?.?拋物線開口向下，對稱軸為x=20,在對稱軸左側，y隨x的增大而增大，且04xW10,

...當x=10時，=X=1600(元)，當x=10時，售價為50+x=60(元)，

單價為60元時，每天利潤最大，最大利潤是1600元.

【點睛】

本題主要考查一元二次方程和二次函數(shù)的應用，掌握一元二次方程的解法和二次函數(shù)的性質是解題的關鍵.

20、(5)詳見解析

(4)k=4或k=5

【分析】(5)先計算出4=5,然后根據(jù)判別式的意義即可得到結論；

(4)先利用公式法求出方程的解為xs=k,x,=k+5,然后分類討論：AB=k,AC=k+5,當AB=BC或AC=BC時△ABC為等腰

三角形，然后求出k的值.

【詳解】解：(5)證明：,/△=(4k+5)，-4(k4+k)=5>0,

方程有兩個不相等的實數(shù)根；

(4)解：一元二次方程X，-(4k+5)x+k4+k=O的解為x=丄土生"，即x$=k,x?=k+5,

2

Vk<k+5,

.?.ABKAC.

當AB=k,AC=k+5,且AB=BC時，AABC是等腰三角形，則k=5；

當AB=k,AC=k+5,且AC=BC時，AABC是等腰三角形，則k+5=5,解得k=4,

所以k的值為5或4.

【點睛】

5.根的判別式；4.解一元二次方程-因式分解法；5.三角形三邊關系；4.等腰三角形的性質.

21、甲的懷疑沒有道理，先抓后抓抓中的機會是一樣的，圖表見解析

【分析】先正確畫出樹狀圖，根據(jù)樹狀圖求出每人抓到五星的概率即可解答.

【詳解】答：甲的懷疑沒有道理，先抓后抓抓中的機會是一樣的.

用樹狀圖列舉結果如下：

幵始

空

丙

空

空

22五五2

從圖中發(fā)現(xiàn)無論三個人誰先抓閹，抓到五星紙片的概率都是一樣的，各為

【點睛】

本題考査了游戲的公平性：判斷游戲公平性需要先計算每個事件的概率，然后比較概率的大小，概率相等就公平，否

則就不公平.

22、(1)y=--x2+—X+2A/3;(2)(3)26；(4)1.

42，

【分析】(1)待定系數(shù)法即可求拋物線的表達式；

(2)由ACOP4E得到普=華，從而宿AE=6PE,點P的縱坐標為k,則=0左，找到P點橫縱

PEAE

坐標之間的關系，代入二次函數(shù)的表達式中即可求出k的值，從而可求P的橫坐標；

(3)先用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，然后設點「(加,—日加？+日加+26),。(加,-停加+2百)，從而表

示出Spa，利用二次函數(shù)的性質求最大值即可；

(4)通過構造直角三角形將由KG轉化，要使PH+/7K+且KG取最小值，P,H,K應該與KM共線，通過驗證發(fā)

22

現(xiàn)K點正好在原點，然后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)求值即可.

【詳解】(1)設拋物線的表達式為^=62+/^+。

將A(-2,0),8(4,0),C(0,2百)代入拋物線的表達式中得

a出=-----

4

4。-2b+c=0

,百

16o+4/?+c=0解得<b=——

2

c=2\/3

c=2A/3

???拋物線的表達式為y=-去￡+今+26

(2)?.?直線1丄x軸

/.NPE4=NCQ4=90°

ZACO^ZAPE

：.ZACO=ZPAE

:.^ACOPAE

.AOCO

'~PE~~AE

2,0),C(0,2V3)

:.AO=2,CO=2y/3

.2

"PE~AE

AE=&E

設點P的縱坐標為k,則=左

二OE=y/3k-2

將P(6女-2/)代入二次函數(shù)表達式中，解得

k=W四或4=0(舍去)

9

此時P點的橫坐標為百x曳I-2=§

93

(3)設直線BC的解析式為)，="+匕

將8(4,0),C(0,2g)代入得

L-_vi

4攵+A=0

解得J2

。=26

b=2y/3

；.直線BC的解析式為y=一走x+2百

2

設點P{m,-^-tTT+-^-m+2\/3),D(m,-^-m+2\f3)

:.S.PCB=|PP.(4-0)=2PD

PO=(-3疝+也加+26)一(—3機+26)=一3疝+有m=一走(加一2y+G當機=2時，PD取最大

42244

值，最大值為百

APC3面積的最大值為2G

(4)將y軸繞G點逆時針旋轉60°,作KM丄GM于M,則NKGM=60°，連接OP

要使PH+"K+蟲KG取最小值，P,H,K應該與KM共線，此時NCKP=NMKG=30°

2

而此時APCB面積的最大，點P（2,2石）

tanACOP--2尸=

2733

:.ZCOP=30°

說明此時K點正好在原點O處

：.PK=4

AC//BD

「._AOC_BOD

■_A_O—_C_O_

BO~DO

即2=2^

4DO

：.DO=4^3

:至KG=KD=2x4拒=6

22

APH+HK+—KG的最小值為4+6=1

2

【點睛】

本題主要考査二次函數(shù)與幾何綜合，相似三角形的判定及性質，掌握二次函數(shù)的圖象和性質，相似三角形的判定及性

質是解題的關鍵.

10x+30,0<x<7

23、（1）y與X的函數(shù)關系式為：y=,700r70，）'與X的函數(shù)關系式每一分鐘重復出現(xiàn)一次；（2）她

——，7<x<—3

Ix3

34

最多需要等待二分鐘；

3

【解析】（1）分情況當噫Ik7,當x>7時，用待定系數(shù)法求解；（2）將y=50代入y=10x+30,得x=2,將y=50

代入>=82,得％=14,可得結果.

x

【詳解】（1）由題意可得，

cz=(100-30)4-10=70-10=7,

當怎!k7時，設）'關于x的函數(shù)關系式為：y=kx+b,

7J=30任=10

《，得*!，

7k+b=lOQb=3Q

即當倭Ik7時，關于x的函數(shù)關系式為y=10x+30,

當尤>7時，設丫=@,

x

100=-,得a=700,

7

即當x>7時，關于x的函數(shù)關系式為〉=?,

X

70

當y=30時，》=號，

10x+30,0<x<7

...y與X的函數(shù)關系式為：y=4700r7070

y與x的函數(shù)關系式每——分鐘重復出現(xiàn)一次;

——,7<x<——3

(2)將y=50代入y=10x+30,得x=2,

將y=50代入y=亠，得x=14,

x

70?34

V14-2=12,——12=——

33

34

二怡萱同學想喝高于50℃的水，她最多需要等待了分鐘；

【點睛】

考核知識點：一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合運用.根據(jù)實際結合圖象分析問題是關鍵.

24、①ACJ/BC,證明詳見解析；②AG//AC,證明詳見解析.

【分析】（1）根據(jù)旋轉角的定義即可得到NC4C；=NAC6=a,即可證得AC；與BC的位置關系.

（2）過點4作4E//AG，交AC于點E，證明四邊形AEAG為平行四邊形即可解決問題.

【詳解】①AC"BC.

證明:由旋轉的性質，知NC4￡=a.

又XACB=a>

ZCACt=ZACB.

:.ACJ!BC.

②AG//AC.

證明:過點A作AE//AG，交AC于點E.

Z-\EC-NCAC]=a.

又由旋轉的性質知，NAC4=NC4G=a，4C=AG

Z-A^EC—NACA]=a.

A^E-A^C.

AC,=A^E.

又AE//AG

四邊形AE4G為平行四邊形.

AG//AC.

【點睛】

本題考查旋轉變換，掌握旋轉的性質及平行四邊形的判定和性質是解題的關鍵.

25(1)y-x~H—x+2；(2)——；(3)(1?-3)或(1,—)或(1,1+)或(I，1-V^)

3332

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求出A、B、C的坐標，然后把B點坐標代入y=a(x+l)(x—3),求出a的值，并化簡

二次函數(shù)式即可；

2,424

(2)設點M的坐標為(機，--m2+-m+2'),則點N的坐標為(2-機一二，/+彳〃?+2),可得

3333

24

MN=m-2+m^2m-2,GM=一一nr+-m+2,利用矩形MNHG的周長=2MN+2GM,化簡可得

33

-^(7?-1)2+^,即當龍=2時，C有最大值，最大值為

32323

(3)分三種情況討論：①點P在AB的下方，②點P在AB的上方，③以AB為直徑作圓與對稱軸交，分別討論得出

結果即可.

【詳解】(1)對于拋物線y=a(x+1)(x-3),

令y=0，得到a(x+1)(x-3)=0,

解得x=-l或3,

：.C(-1,0),A(3,0),

AOC=1,

VOB=2OC=2,

AB(0,2),

2

把B(0,2)代入y=a(x+1)(x-3)中得：2=-3a,a=-y

2

，二次函數(shù)解析式為y=--(x+1)(%-3)

224c

=—XH-X+2

33

2c4

(2)設點M的坐標為(m,一一相~+—加+2),

33

則點N的坐標為(2-m,一z+