2022-2023學(xué)年上海市徐匯區(qū)田林三中九年級(jí)上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷含詳解

2022學(xué)年第一學(xué)期田林三中九年級(jí)數(shù)學(xué)期中考試卷2022.11

考試時(shí)間：100分鐘滿分：150分

命題人：翁崢一審卷人：數(shù)學(xué)命題組

一、選擇題（本大題共6題，每題4分，共24分）

1.下列兩個(gè)圖形一定相似的是（）

A.兩個(gè)等腰三角形；B.兩個(gè)等邊三角形；

C.兩個(gè)矩形；D.兩個(gè)梯形.

2.已知線段c是線段〃、。的比例中項(xiàng)，若a=2,c=8,則b的值為（）

A.±4B.4C.32D.1

3如圖，已知BO與CE相交于點(diǎn)4DE//BC,如果A￡>=3,AB=4,AC=8,那么AE等于（）

A.—B.1.5C.14D.6

7

4

4,已知在RJA8C中，/C=90°,AC=3,A5=5,那么下列三角比的值是1的是（）

AsinAB.cosAC.tanAD.cotA

5.已知a、b和c都是非零向量，下列結(jié)論中不能確定a〃b的是（）

A."=卜|B.ac>cbC.2a=3bD.a=—c,b=3c

6.如圖，在梯形A3CD中，AD//BC,BC=3AD,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)。,所是梯形ABC。的中位線,

EF與BD、AC分別交于點(diǎn)G、H,如果AOG”的面積為1，那么梯形ABCD的面積為（）

A12B.14C.16D.18

二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

x2x

7.已知一二彳，則---=______________.

>3y-x

8.在比例尺為1:1000的地圖上，如果點(diǎn)A與點(diǎn)B兩點(diǎn)間的距離為5cm,那么點(diǎn)A、B分別表示的兩地間相距

米，

9.己知點(diǎn)P是線段AB上的點(diǎn)，且BP2=AP?AB,如果AB=2cm,那么BP=cm.

10.己知￡>、E是A4BC的邊43、AC上的點(diǎn)，若A￡>=2,AB=5,DE=4,BC=10,則得到

DE//BC（填“能”或“不能”）

11.已知,ABC與。所是相似三角形，CyABC=10,CDEF=12,若S28C=15,KI]SADEF=.

12計(jì)算：4a-2（a-20）=.

13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（2』）和點(diǎn)B（3,0）,則sin/AOB等于.

14.在中，矩形OEFG的一邊￡>￡在BC邊上，頂點(diǎn)G、F分別在AB、AC上，A/7是5c邊上的高，AH

與GF交與點(diǎn)K,若A〃=32,6c=48,矩形QEFG周長(zhǎng)為76,則。G=.

GF

15.如圖，ZVIBC的中線A。、CE交于點(diǎn)G,點(diǎn)尸在邊AC上，GF//BC,那么——的值是

BC

16.在一ABC中，AB=10,AC=6,/5=30°,則BC=.

17.如果四邊形邊上的點(diǎn)，它與對(duì)邊兩個(gè)端點(diǎn)的連線將這個(gè)四邊形分成的三個(gè)三角形都相似，我們就把這個(gè)點(diǎn)

叫做該四邊形的“強(qiáng)相似點(diǎn)”.如圖1,在四邊形ABC。中，點(diǎn)。在邊AO上，如果“QA3、△QBC和

一QOC都相似，那么點(diǎn)。就是四邊形ABCD的“強(qiáng)相似點(diǎn)”：如圖2,在四邊形ABCD中，AD^BC,

A3=OC=2,BC=8,NB=60。，如果點(diǎn)。是邊AO上的“強(qiáng)相似點(diǎn)”，那么AQ=—.

三、解答題(本大題共7題，滿分78分)

18.計(jì)算：2sin245o+2sin600-tan30o.tan450.

2x—y=

19.解方程組：2U,2

x—5xy+6y=

20.如圖，在ABC中，點(diǎn)￡>、B分別在邊AB、AC上，DE//BC，且AT>=2，DB=4,DE1.

(1)求8C的長(zhǎng);

(2)連接QC如果￡)E=a，BA=b，試用4、b表示向量CO，并在圖中畫(huà)出CO在a、b方向上的分向量-

3

21.如圖，已知Rr,ABC中，ZACB=90°,C￡＞是邊A5上的中線，BC=2,cotZACD^-,求AB的長(zhǎng).

2

22.如圖，在中，80平分/ABC,交4c于點(diǎn)。，E是上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)?！昵襈ADE=NABO.求證:

公BCDS/\BDE

23.如圖，已知:A8C,AB^AC,。是邊AC上的黃金分割點(diǎn)，且AO>OC,AC=3+6，BC=75+1

A

(1)求證：qBCD^ACB

(2)求NC

24.如圖，直角坐標(biāo)系中，4(—1,0),6(2,3),點(diǎn)8繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到3'

備用圖

(1)求直線A8的表達(dá)式

(2)求直線AB'的表達(dá)式

(3)若平面內(nèi)有一點(diǎn)C,使_ABC是以A3為腰的等腰三角形且與..ABB'相似，求點(diǎn)C的坐標(biāo)

2022學(xué)年第一學(xué)期田林三中九年級(jí)數(shù)學(xué)期中考試卷2022.11

考試時(shí)間：100分鐘滿分：150分

命題人：翁崢一審卷人：數(shù)學(xué)命題組

一、選擇題（本大題共6題，每題4分，共24分）

1.下列兩個(gè)圖形一定相似的是（）

A.兩個(gè)等腰三角形；B.兩個(gè)等邊三角形；

C.兩個(gè)矩形；D.兩個(gè)梯形.

【答案】B

【分析】根據(jù)相似三角形及多邊形的判定方法一一判斷即可.

【詳解】解：???兩個(gè)等邊三角形的內(nèi)角都是60。，

兩個(gè)等邊三角形一定相似，

其他選項(xiàng)均不能確定一定相似，不符合題意，

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形及多邊形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型.

2.已知線段c是線段6的比例中項(xiàng)，若a=2,c=8,則6的值為（）

A.±4B.4C.32D—

【答案】C

【分析】根據(jù)比例中項(xiàng)*=ab，然后代入求解即可.

【詳解】解：???線段c是線段〃、6的比例中項(xiàng)，

??c~=ab，

a—2,c=8,

???64=2b,

"=32,

故選：c.

【點(diǎn)睛】題目主要考查比例中項(xiàng)的性質(zhì)，理解比例中項(xiàng)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

3.如圖，已知80與CE相交于點(diǎn)A,DE//BC,如果AP=3,AB=4,AC=8,那么AE等于（）

A.—B.1.5C.14D.6

7

【答案】D

【分析】證明△ABCSZVLDE,由相似三角形的性質(zhì)得出——=——,則可得出答案.

ADAE

詳解】解：七〃8C,

/XABC^>Z\ADE,

.ABAC

?.---=----,

ADAE

?48

即R—=---，

3AE

AE-6，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4

4.已知在RjABC中，NC=90°,AC=3,AB=5,那么下列三角比的值是一的是（）

3

A.sinAB.cosAC.tanAD.cot4

【答案】C

【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的正弦，余弦，正切，余切的定義判斷即可.

【詳解】解：在中，ZC=90°,AB=5,4C=3,

:.BC=^AB--AC2=4>

.BC4

tanA==—

AC3

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握銳角三角函數(shù)的正弦，余弦，正切，余切的區(qū)別.

5.已知人和c都是非零向量，下列結(jié)論中不能確定a〃人的是（）

A.a=卜|B.af0,cbC.2a=3bD.a=—c,b=3c

2

【答案】A

【分析】根據(jù)向量平行的條件：a=Ab>以及平行的傳遞性進(jìn)行判斷即可.

【詳解】A、"="不能證明a〃》，選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意;

B、a"c，cb,可以證明a〃b，選項(xiàng)正確，不符合題意;

C、2a=36,可以證明?！╞，選項(xiàng)正確，不符合題意;

D、a=^c,b=3c,可以證明0〃/,,選項(xiàng)正確，不符合題意；

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查平行向量.熟練掌握兩向量平行，a=Ab＞是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，在梯形ABC。中，AD//BC,BC^3AD,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)。，跖是梯形ABC。的中位線,

EF與BD、AC分別交于點(diǎn)G、H,如果AOGH的面積為1，那么梯形A8CO的面積為（）

AK_______亦

A.12B.14C.16D.18

【答案】C

【分析】設(shè)AD=2x,BC=6x,根據(jù)EF是梯形ABC。的中位線，求得EG=FH=，AO=x,GF=-BC=3x,證得

22

1

GH=AD,由此得到S40G”=S。a,=1,S.0C=3S&0GH=9,S1M()B=葭00c=35AAm=3,即可求出答案.

【詳解】設(shè)AD=2x,BC=6x,

：EF是梯形ABC。的中位線，

二點(diǎn)E、F、G、H分別為AB、CD、BD、AC的中點(diǎn)，EF〃AD〃BC,

.?.EF=g(AZ)+BC)=4x,

AEG=FH=—AD=x,GF=—BC=3x,

22

AGH=2x,

AGH=AD,

VGH/7AD,

??.AOAD^AOHG,

ODAD

?9?-----=-------=1,

OGGH

??OG=OD,S、OGH二^&AOD=1，

???GH〃BC,

.△OGH^AOBC,

'~BC~6x~3

,?^&BOC=9S&OGH=9，

???O是DG的中點(diǎn)，G是BD的中點(diǎn),

?q—v—qq—a

,,2AAOB-UADOC-~」，

SABCD=1+3+3+9=16,

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查梯形中位線的性質(zhì)定理，三角形中位線的性質(zhì)定理，同底或同高三角形面積的關(guān)系，相似三角

形的性質(zhì)，這是一道與中位線相關(guān)的綜合題.

二、填空題(本大題共12題，每題4分，滿分48分)

x2x

7.已知一=彳，則-----=______________.

y3y-x

【答案】2

【分析】由比例的性質(zhì)設(shè)x=2Z,y=3Z,代入即可求解.

【詳解】解：設(shè)x=2攵，＞=3%,

x2k.

則-----=--------=2

y-x3k—2k

故答案為2.

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)比例式求代數(shù)式的值，設(shè)比例參數(shù)是解決本類問(wèn)題的常用方法.

8.在比例尺為1：1()00的地圖上，如果點(diǎn)A與點(diǎn)B兩點(diǎn)間的距離為5cm,那么點(diǎn)A、B分別表示的兩地間相距

____________米.

【答案】50

【分析】設(shè)兩地間的實(shí)際距離是x厘米，根據(jù)比例尺的性質(zhì)列出方程，求出x的值，再進(jìn)行換算即可得出答案.

【詳解】解：設(shè)兩地間的實(shí)際距離是x厘米，

:比例尺為1：1000,量得兩地間的距離為5厘米，

?1-5

"'WOO--x'

解得x=5000,

5000厘米=5（）米，

，兩地間的實(shí)際距離是50米.

故答案為：50.

【點(diǎn)睛】此題考查了比例尺的性質(zhì).解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出方程，還要注意統(tǒng)一單位.

9.已知點(diǎn)P是線段AB上的點(diǎn)，且BP2=AP?AB,如果AB=2cm,那么BP=cm.

【答案】（石-1）

【分析】根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義，可得BP=避二1AB,代入數(shù)據(jù)即可得出BP的長(zhǎng)度.

2

【詳解】解：???點(diǎn)P線段AB上，BP2=AP?AB,

二點(diǎn)P為線段AB的黃金分割點(diǎn)，AB=2cm,

BP—=（加-I）cm.

故答案為（石-1）.

【點(diǎn)睛】此題考查的是黃金分割比,掌握黃金分割比公式是解決此題的關(guān)鍵.

10.已知￡>、E是AABC的邊AB、AC上的點(diǎn)，若AO=2,AB=5,DE=4,BC=W,則得到

DE//BC（填“能”或“不能”）

【答案】不能

【分析】要使OE〃8c則需要或NAE￡>=NC或.ADE^ABC,己知條件得不出，因此不能判斷平

行；

【詳解】如圖：

根據(jù)題意得不出，ZADE=NB，或NAEO=NC,

不能得出￡>E〃BC

VAD=2,AB=5,DE=4,BC=10,

沒(méi)有夾角

.?.不能得出.ADEs,.ABC,

,不能得出。石〃BC

故答案為：不能

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定以及相似三角形的判定及性質(zhì)，注意線段之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

11.已知二ABC與。所是相似三角形，CVASC=10,CDEF=12,若S”BC=15,則%小-=.

【答案】18

【分析】直接利用相似三角形的性質(zhì)，即可出答案.

【詳解】解：?.二ABC與‘.DEE是相似三角形，CVABC=10,CDEF=12

：._ABC的面積與一DEF的面積比為：5：6,

：A3C的面積是15,

，石尸的面積為18,

故答案為：18.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，正確得出三角形的面積比是解題關(guān)鍵.

12.計(jì)算：4a-2（a-2Z?）=.

【答案】2a+46

【分析】直接利用實(shí)數(shù)與向量相乘及平面向量的加減運(yùn)算法則去括號(hào)求解即可求得答案.

詳解】解：4a-2（a-2b）

=4a-2a+4b

=2a+4匕，

故答案為：2a+4b?

【點(diǎn)睛】此題考查了平面向量的運(yùn)算法則.注意掌握去括號(hào)時(shí)的符號(hào)變化是解此題的鍵.

13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（2,l）和點(diǎn)B（3,0）,則sin/AOB等于.

【答案】@#/石

55

【分析】過(guò)A作AC，x軸于C,利用A點(diǎn)坐標(biāo)為（2,1）可得至IJOC=2,AC=1,利用勾股定理可計(jì)算出OA,然

后根據(jù)正弦的定義即可得到sinZAOB的值.

【詳解】如圖，過(guò)A作AC_Lx軸于C,

A

—

Oc3x

：A點(diǎn)坐標(biāo)為（2,1）,

，OC=2,AC=1,

???OA=J℃2+AC2=6，

sinZAOB=-^^=.

OAy[55

故答案為止.

5

【點(diǎn)睛】本題考查了正弦的定義：在直角三角形中，一個(gè)銳角的正弦等于這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊的比值.也考查了

點(diǎn)的坐標(biāo)與勾股定理.

14.在一ABC中，矩形DEFG的一邊。石在邊上，頂點(diǎn)G、尸分別在A8、AC上，AH是8C邊上的高，AH

與GF交與點(diǎn)K,若A〃=32,BC=48,矩形DEFG周長(zhǎng)為76,則。G=

【分析】設(shè)OG為x,根據(jù)矩形的性質(zhì)得出G尸為（38-x）,再由相似三角形的判定和性質(zhì)得出二三=力；，然后

AHBC

將各線段代入求解即可.

【詳解】解：設(shè)OG為x,

???矩形OEFG的周長(zhǎng)為76,

GF為（38-x）,

?.?四邊形。EFG是矩形，

：.GF//BC,

.AGF.ABC,

.??A”是8C邊上的高，AH與GF交于點(diǎn)、K,

.AKGF

,?麗一記’

KH=GD,

.32-x_38-x

32-48,

解得:x=20,

:.DG=20,

故答案為：20.

【點(diǎn)睛】題目主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等，理解題意，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是

解題關(guān)鍵.

15.如圖，ZkABC的中線A。、CE交于點(diǎn)G,點(diǎn)F在邊AC上，GF//BC,那么——的值是_____

BC~

【答案】一

3

【分析】根據(jù)三角形的重心和相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可.

【詳解】解：:△ABC的中線A。、CE交于點(diǎn)G,

；.G是△ABC的重心，

.AG2

??一，

GD1

?.*GF//BC,

GFAG2

-

--A-

。c3

r>

GF1

-

=-

BC-3

故答案為：—

3

【點(diǎn)睛】此題考查三角形重心問(wèn)題，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的重心得出比例關(guān)系.

16.在一ABC中，AB=IQ,AC=6,/3=30。，則BC=.

【答案】5百—而或56+而

【分析】根據(jù)題意分三種情況分析：當(dāng)_ABC為銳角三角形時(shí)；當(dāng)A8C為直角三角形時(shí)；當(dāng)一ABC為鈍角三角

形時(shí)；然后作出輔助線，利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：如圖所示，當(dāng)二A8C為銳角三角形時(shí)：過(guò)點(diǎn)4作AD1BC,

???AB=10,NB=30°,

?**AD=^AB=5,BD=yjAB2-AD2=V102-52=573-

CD=VAC2-AZ)2=762-52=VTi>

二BC=BD+CD=5反拒;

當(dāng)一ABC為直角三角形時(shí)，當(dāng)A8為斜邊時(shí)，不符合題意舍去;

VAC=6,4=30°,

ABC=2AC=12；此時(shí)不滿足勾股定理，應(yīng)舍去

當(dāng)為鈍角三角形時(shí)：過(guò)點(diǎn)C作CE_LBA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,

VAB=10,4=30°,

.?.設(shè)C￡=x,則3c=2CE=2x,

,*BE=VBC2—CE~=y/3x'A.E—y/3x—10>

/.CE2+AE2=AC2-B|JX2+(A/3X-10)2=62,

解得：川=5限癡,

2

BC=56+舊或BC=56-5;

綜上可得：BC=56-而或5百+JTT;

故答案為：5班-舊或5國(guó)后.

【點(diǎn)睛】題目主要考查含30度角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理解三角形，理解題意作出相應(yīng)輔助線進(jìn)行分類討

論是解題關(guān)鍵.

17.如果四邊形邊上的點(diǎn)，它與對(duì)邊兩個(gè)端點(diǎn)的連線將這個(gè)四邊形分成的三個(gè)三角形都相似，我們就把這個(gè)點(diǎn)

叫做該四邊形的“強(qiáng)相似點(diǎn)”.如圖1,在四邊形ABCD中，點(diǎn)。在邊上，如果」.QAB、△QBC和

-QOC都相似，那么點(diǎn)。就是四邊形ABCO的“強(qiáng)相似點(diǎn)”；如圖2,在四邊形A8CD中，AD/BC,

AB=DC=2,3c=8,NB=60°，如果點(diǎn)。是邊AD上的“強(qiáng)相似點(diǎn)”，那么4Q=—.

A

【答案】3+亞或3-也

【分析】過(guò)點(diǎn)A作AE〃CD,交BC于點(diǎn)E,可證四邊形ADCE是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)可得AD的

AQDC

長(zhǎng)，利用“強(qiáng)相似點(diǎn)”的定義可得△ABQs^DQC,則由相似三角形的性質(zhì)可得請(qǐng)==,再根據(jù)線段之間的

ABDQ

數(shù)量關(guān)系建立關(guān)于AQ的方程，求解后即可求出AQ的長(zhǎng).

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE〃CD,交BC于點(diǎn)E,

?.?在四邊形A3CO中，AD^BC,AB=DC=2,

...四邊形ADCE是平行四邊形，

；.AE=CD=AB=2,AD=CE.

.'.△ABE是等邊三角形.

；.BE=AE=AB=2.

.".AD=BC-BE=6.

???點(diǎn)。是邊AO上的“強(qiáng)相似點(diǎn)”，

.".△ABQ^ADQC.

.AQDC

設(shè)AQ=x,則DQ=6—x,

解得力=3+6，x2-3-V5.

故答案為：3+石或3-逐.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)及相似

三角形的性質(zhì)并能靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

三、解答題(本大題共7題，滿分78分)

18.計(jì)算：2sin245o+2sin60o-tan30o.tan450.

【答案】1+空

3

【分析】將各個(gè)銳角三角函數(shù)值代入即可求解.

(萬(wàn)丫r-r-

【詳解】解：原式=2x在+2x@-斗1,

I2J23

=1+6力

3

【點(diǎn)睛】本題主要考查了不同特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

2x-y=3

19.解方程組：<

x2-5xy+6y2=0

9

Xj=2

【答案】

y=i'3

3

【分析】5盯+6y2=。可化為：(％-2>)(尤一3y)=0,再轉(zhuǎn)化為兩個(gè)方程組后，再用代入法求解.

【詳解】解：由丁一5孫+6/=0得：(x-2y)(x-3y)=0

2x-y=3①(2x-y=3①

.?.原方程組可化為《

x-2y=0③x-3y=0@

把③化為％=2y,

代入①得：y=

/.x=2，

.%=2

lx=l

3

把④變形為x=3y代入①得，y=-,

9

x=一，

5

f9

"3

-9

原方程組的解是：〈tA:.

X=13

【點(diǎn)睛】此題比較復(fù)雜，解答此題的關(guān)鍵是把原方程組化為兩個(gè)方程組，再求解.

20.如圖，在..ABC中，點(diǎn)￡>、2分別在邊AB、AC上，DE//BC,且AD=2，DB=4,DE=y-

(1)求8c的長(zhǎng)；

(2)連接。。如果?！?a，BA=b，試用〃、人表示向量CO，并在圖中畫(huà)出CO在d、方向上的分向量.

,2

【答案】(1)10(2)CD=-b—3a,圖見(jiàn)解析

3

【分析】(1)根據(jù)OE〃,即可得出△AOESA45C,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)百年成比例即可求出BC的長(zhǎng);

(2)根據(jù)相似比將80和8C表述出來(lái)，再根據(jù)CO=8O_BC即可用。、Z?表示向量CO，過(guò)點(diǎn)C作

CF//AB,交8E延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,根據(jù)平行四邊形法則可得出結(jié)論.

【小問(wèn)1詳解】

解：?.?￡>￡〃8C,

；./ADE=NABC,

又；ZDAE^ZBAC,

：./XADE^ABC,

.ADDE

??=f

ABBC

VAD=2,08=4,

AB=6,

10

2J,解得：BC=10.

6-5C

【小問(wèn)2詳解】

■:AADEsAABC,

,ADDE1

??==一,

ABBC3

,:DE=a，BA=b，

____―.22-

???BC=3DE=3a>BD=-BA=-b,

2--

：.CD=BD-BC=-b-3a.

3

過(guò)點(diǎn)c作C/〃AB,交延長(zhǎng)線于點(diǎn)凡

A

D,_/........F

B-

則C2和。尸是CO在。、。方向上的分向量.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形相似的判定以及平面向量的相關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形法則以

及平面向量的加減法則.

3

21.如圖，已知RjABC中，ZACB=90°,8是邊A3上的中線，BC=2,cotNACO=—,求A8的長(zhǎng).

2

【答案】AB=yfl3

【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半求出AD=B￡)=CD,所以NACD=NA,然后利用

/ACD的余切值求出AC的值，再利用勾股定理即可求出AB的長(zhǎng)度.

【詳解】解：在RjABC中，

；NACB=90°,AD=BD,

**.CD=AD.

???ZACD=ZA.

3

cotZACD=—,

2

cotZ.A--

2

AC3

BC2

-：BC=2,

AC-3.

工在RfABC中，AB=y]AC2+BC2=732+22=713-

/.AB=413

【點(diǎn)睛】本題考查了余切解直角三角形，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，根據(jù)邊相等求出

NACD=NA是解題的關(guān)鍵，還考查了勾股定理的應(yīng)用.

22.如圖，在_/3。中，8。平分NABC,交AC于點(diǎn)。，E是A3上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)。E且NADE=NA8O.求證：

公BCDS/\BDE

【答案】證明見(jiàn)詳解

【分析】根據(jù)相似三角形的判定得出ADES_ABD，進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)和判定解答即可.

【詳解】證明：VZADE^ZABD,NA=ZA,

^ADE^ABD>

:.ZAED=ZADB,

ZBED=ZBDC,

,/8。平分NABC，

/EBD=NCBD,

：.ABCDS&BDE.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，牢記“兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”是解題的關(guān)鍵.

23.如圖，已知，ABC,AB=AC，。是邊AC上的黃金分割點(diǎn)，且AO>OC,AC=3+V5.BCf+1

A

（1）求證：dBCD^ACB

（2）求NC

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）/。=72。

【分析】（1）根據(jù)黃金分割點(diǎn)得出4。=指+1，8=2,再由對(duì)應(yīng)線段成比例及公共角即可證明；

（2）由（1）得「；=——，ZA^ZDBC，再由等邊對(duì)等角得出NZ=NAB。，確定NABC=/C=2/A,

ACAB

利用三角形內(nèi)角和定理求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

解：???￡>是邊AC上的黃金分割點(diǎn)，且AD>OC,AC=3+石,

??AD=^^AC=^^x(3+司=有+1，CD=AC—AD=2,

.BCCD_y/5-1

'~AC~~BC~2

:NC=NC,

,*.BCD0a..ACB；

【小問(wèn)2詳解】

?,一JBCD0°_ACB,

?岑=嗎NA=NDBC,

ACAB

：AB^AC,

\BD=BC=^+l，

,?AD=BD，

,?NA=NABD,

ZABC=ZC=2ZA,

：ZABC+ZC+ZA=\80°,

?-5/A=180°,

=36。，

:?NC=TT.

【點(diǎn)睛】題目主要考查相似三角形的判定及性質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理等，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)

是解題關(guān)鍵.

24.如圖，在直角坐標(biāo)系中，A(-l,0),3(2,3),點(diǎn)B繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到B'

備用圖

(1)求直線A8的表達(dá)式

(2)求直線A8'的表達(dá)式

(3)若平面內(nèi)有一點(diǎn)C,使,ABC是以A8為腰的等腰三角形且與A5B'相似，求點(diǎn)C的坐標(biāo)

【答案】(1)直線A8為y=x+l

(2)直線AB'為y=(2-+

J373-5373+3Vf373+136-31J1-3G9-3百3-3面

I22J[22)(22)(22J

【分析】(1)設(shè)直線43為丫="+匕，把A(—1,0),3(2,3)代入建立方程組，再解方程組即可；

(2)過(guò)8作軸于0,交A8'于G,過(guò)夕作B77_Lx軸于“，在A”上取點(diǎn)￡使4尸=9尸，證明

ZB'AH=15°,可得N/M8'=NAB'F=15°,ZB'EW=30°,設(shè)B'H=m,則Ab==2機(jī),R"=根，求

解tan/"A"=^=^p=2-6'可得G(2,6—3g),再利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式即可；

(3)由AA3B'為等腰三角形，AB=AB'=372,ZBAB'=30°,而/WC是以A3為腰的等腰三角形且與

ABB'相似，則ZBAC=30°或NABC=30°,再分兩種情況討論即可.

【小問(wèn)1詳解】

解：設(shè)直線4?為丫=履+人，把A(—1,0),8(2,3)代入得:

—k+b=a"k-1

，解得：”

2k+b=3b=\

直線AB為y=x+L

【小問(wèn)2詳解】

如圖，由題意可得NBA9=30°,AB'=AB=^(-1-2)2+(0-3)2=372,

過(guò)8作3Q_Lx軸于0,交43'于G,過(guò)￡作B'HJ_x軸于“，在AH匕取點(diǎn)￡