2023-2024學年山東省臨沂市高二年級上冊期末數學模擬試題(二)(含解析)

2023-2024學年山東省臨沂市高二上冊期末數學模擬試題

一、單選題

1.拋物線y=4加何<0）的焦點坐標是（

0,—

16。

【正確答案】B

【分析】化簡拋物線方程為標準形式，然后求解焦點坐標即可

【詳解】a<0,則拋物線丁=462的標準方程為：x2=^-y,焦點坐標在V軸上，焦點坐標

故選：B

2.已知向量或/二（-1,0,4）,且白黑，則實數〃?的值為（）.

B.-4D.-2

【正確答案】A

【分析】依題意可得根據數量積的坐標表示得到方程，解得即可.

【詳解】解：因為￡（見2,1）,6=（-1,0,4）,且上，,

所以16=-5+4=0，解得"，=4.

故選：A

3.若直線4：?x+4y+8=0與直線4：3x+（a+l）y-6=0平行，則。的值為（）

A.-4B.3C.3或-4D.-3或6

【正確答案】B

【分析】由兩直線平行得到方程，求出。=3或-4,通過檢驗舍去不合要求的解.

【詳解】直線4：ax+4y+8=l與直線4：3x+（a+l）y-6=0平行，

所以a（a+l）=4x3,解得：0=3或-4,

①當a=3時，/,：3x+4y+8=0,l2：3x+4y-6=0,(〃/?，符合題意;

②當a=-4時，11：-4x+4y+8=0,l2：3x-3y-6=0,均為x-y-2=0,此時，，4重合，

舍去，

故a=3,

故選：B

4.已知函數/(x)=e2、+/'⑴則/'⑴=()

A.-2e2B.2e2C.e2D.-e2

【正確答案】A

【分析】先求導，再代入即可求解.

【詳解】因為〃x)=e2，+,⑴爐,

所以/'(x)=2e2、+2/'(l)x,

所以/'⑴=2e2+2/'(l),

所以/'(l)=-2e，

故選：A.

5.已知直線N-x+l=O與圓/+"=1相交于點4,8,點P為圓上一動點，則45P面積

的最大值是()

,y/2+1?5/21—八1

A.--------B.---1-1C*5/2D.~

222

【正確答案】A

【分析】先利用點線距離公式算得圓心到直線的距離，從而利用弦長公式求得|/回，再利用

圓上動點到直線的距離的最值求法求得點尸到直線的最大距離，由此可求得/8P面積的最

大值.

【詳解】因為圓x2+j?=i,所以圓心為(0,0),半徑為『=1,如圖，

所以圓心到直線y-x+i=o的距離d=I°~O+1I=也，

V1+12

則網=2仄不=虛,

又點尸到直線N-x+l=0的距離的最大值為d+r=1&+l,

2

所以/BP面積的最大值S=gx近

6.已知數列｛〃“｝滿足q=2,a“+i=l-J,則。2022=（）

A.IB.2C.-1D.1.5

【正確答案】C

【分析】結合數列的周期性求得正確答案.

一,i11,1,,1c

【詳解】^=--=r3=i--=-u4=i-r2I

所以數列｛“"｝是周期為3的周期數列,

所以。2。22=限3=%=-1.

故選：C

7.已知點尸是曲線＞=:機彳上一動點，a為曲線在點/＞處的切線的傾斜角，則a的取值

e、+j3

范圍是（）

（C萬]「4兀、「萬7]，人乃

A.0,—B.—C.—D.0,—

I6」[62）]63」（3」

【正確答案】A

【分析】求出函數y=的導數，利用均值不等式求出切線斜率的取值范圍即可計算作

e*+V3

答.

4.ev

【詳解】函數'=』的定義域是R,求導得:函數正府而e'>0，

則曲線在點尸（/,%）（/€R）處的切線的斜率

,4.e'4,4#

一3+何，，+=+2加2、以+26-3，

eVe^

3-14-ez

當且僅當e'=2,即S=G，f=；ln3時取“="，而兀-不7>0，

e'2（e'+j3）2

于是得0<tana43，有傾斜角a銳角，因此，0<a4￡,

36

所以a的取值范圍是（0微.

故選：A

關鍵點睛：涉及導數的幾何意義的問題，求解時應把握導數的幾何意義是函數圖象在切點處

的切線斜率，切點未知，設出切點是解題的關鍵.

8.已知"，居是橢圓與雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且怛耳|>|巴4，線段尸石

的垂直平分線過名，若橢圓的離心率為G,雙曲線的離心率為e,,則2+與■的最小值為（）

q2

A.8B.6C.4D.2

【正確答案】B

【分析】由于線段咫的垂直平分線過乙，所以有|百用=|「瑪再根據雙曲線和橢圓的定

義，求出2c的表達式，然后利用基本不等式來求得最小值.

【詳解】設橢圓對應的參數為44,c,雙曲線對應的參數為生也,c,

由于線段班的垂直平分線過小所以有|4勾=附|=2c.

\\PF\+2c=2a.

根據雙曲線和橢圓的定義有1周一2c=2a，

兩式相減得到4c=2（q-出）,即。|-。2=2。，

d2>0,c>0,

所以2+卜陰■+/=4+^24—^>4+2-6）

q2c2a2c2a27c2a2

當且僅當過=9即c=2%等號成立，即最小值為6.

c2a2

故選：B.

思路點睛：本小題考查雙曲線的定義和幾何性質，考查橢圓的定義和幾何性質，是一個綜合

性較強的題目，由于橢圓和雙曲線有公共的焦點，所以焦距相同，也就是有相同C,對于兩

個曲線的公共交點來說，即滿足橢圓的定義，又滿足雙曲線的定義，根據定義可列出方程.

再利用基本不等式可求得最小值.

二、多選題

9.下列函數中，求導正確的是()

A./(x)=-,/<x)=-4

XX

B./(x)=x\nx,/'(x)=lnx+—

x

c.小)=后“(上帚

D./(x)=(x2+2x)e,,/<x)=(x2+4x+2)e'

【正確答案】ACD

【分析】根據基本初等函數的求導公式及運算法則即可求解.

【詳解】解：對于A,/卜)=一，則A正確；

對于B,f(x)=x\nx,f\x)=\nx+x-=lnx+l,則B錯誤；

x

x(\X+1-X1

對于c,/(x)=:，/r(tx)=7_獷=7中，則c正確；

x+l(x+1)(x+1)

對于D,〃丫)=，+2x)e*,/，(x)=(2x+2)e*+(￡+2@e'=(y+4x+@e*,則D正確.

故選：ACD.

10.已知圓C:(x+2)2+/=%直線/：("?+l)x+2y-l+機=0(mwR),則()

A.直線/恒過定點(-U)

B.當加=0時，圓C上恰有三個點到直線/的距離等于1

C.直線/與圓C有一個交點

D.若圓C與圓丁+/一2工+8了+。=0恰有三條公切線，則a=8

【正確答案】AD

【分析】A選項，將直線變形，即可得到直線過的定點.B選項，結合點到直線的距離公式,

可得到結果.C選項，由定點在圓內，即可求解.D選項，由公切線條數可確定兩圓位置關系,

根據圓心距與兩圓半徑之間的關系來求解.

【詳解】對于A選項，直線/:("?+l)x+2y-l+m=0(meR),所以"i(x+l)+x+2p-l=0,

fx+1=0fx=-1

令、I八，解得，，所以直線恒過定點(T，l)，故A選項正確?

[x+2y-l=0[j=l

對于B選項，當加=0時，直線/為：x+2y-｝=0,則圓心C(-2,0)到直線/的距離為

=攣,2-邁<1,所以圓上只有2個點到直線的距離為

”」7Vl2：+°2二2155

1,故B選項錯誤.

對于C選項，因為直線過定點(T1),所以(-l+2y+F<4,所以定點在圓內，則直線與圓

有兩個交點.故C選項錯誤.

對于D選項，由圓的方程f+y2-2x+8y+a=0可得，(x-1)2+(^+4)2=17-?,所以圓心為

(1,-4),半徑為JiF,因為兩圓有三條公切線，所以兩圓的位置關系為外切，則

J(1+2)2+(0+4。=5=2+Jl7-a,解得a=8,故D選項正確.

故選：AD

11.已知等比數列｛凡｝的公比為此其前〃項之積為且滿足0<q<1,做。22a2。23-1>0,

蜂二<0,則()

“2023-1

A.4>1B.%021。2023-1<°

C.心心的值是。中最小的D.使7；<1成立的最大正整數”的值為4043

【正確答案】ABD

【分析】由等比數列的性質得0<出。22<1<。2。23,再對選項逐一判斷，

a—1

2

【詳解】由0<6<1,。2022a2023-1>°，.<0f>?>0,且0<在022<1<。2023，

“2023-1

對于A,g=色空>1,故A正確，

“2022

對于B，^2021^2023=^2022<1，故B正確，

對于C,當14〃K2022時，0<an<1,當〃N2023時,an>\9

故%022的值是北中最小的，故C錯誤,

對于D,T4g3=a黑;<1，幾中=(?2022?2023)2022>1，故使北<1成立的最大正整數〃的值為4043,

故D正確，

故選：ABD

12.如圖，在長方體44GA中，/5=百/。=6/4=百，點p是線段4c上的

動點，則下列結論正確的是()

A.當4。=24P時，B、P、2三點共線

B.當4d時，AP±D,P

C.當4c=34尸時，。1尸//平面8￡>G

D.當4。=54尸時，4c_L平面。|/尸

【正確答案】ACD

【分析】如圖，以。為原點，DA,DC,DD、為x,y,z軸建立空間直角坐標系。-斗，設

A.C=kA}P,表示出4/：萬，%方的坐標，再逐個分析判斷即可.

【詳解】解：如圖，以。為原點，DA,DC,?！閤,y,z軸建立空間直角坐標系。-師：

則。(0,0,0),。(0,百,0),￡>.(0,0,1),

4(1,0,0),4(1,0,1),s(i,V3,0),q(0,73,1),

設4?^c=(-i,71,-1).則42=」3_r

~~k'~k~~k>

(

可得。/=44+4尸=1-_L也」〕

~k'~k~~k)

AP=AA+AP=」

X{k'3k'3k；

對于A：當4c=24尸時，則點p為對角線4c的中點,

根據長方體性質可得民尸,R三點共線，故A正確;

對于B：當4P_L4c時,

,,K101

/?AP'AC——I----1-----1=0,解得左=5,

ykkk

@g、40

所以NP=，D}P=，"

5'T5?

（\RA\

則力尸出尸十;芋巳）但在11

252525

因此NPLRP不正確，故B錯誤：

..(?Ji1、

對于C：當4c=34尸時:D\P=,

\3S5)

設平面5Z)G的法向量為〃=(x,y,z),

D5=(l,^3,0),DC；=(0,V3,l),

n,DB=x+>/3y=0,n-DC}=>J3y+z=0,

當y=T時,x=百，Z=5故工(省

X???JC)R1?、,

??n'D[P=—xy/3—-——x->J3=0，??〃_LOf,

又RPZ平面5QG，???2尸//平面8。4，故C正確；

?、??(1百4)八

對于D：當力。=54P時,可得4/=--，-^-，―,D}A=(1,0-1),

設平面。/尸的法向量為加=①也C),

則加?4尸二一1〃+與+，，m?D、A=a—c=0,

555

取〃二-1,貝(Jb=6，c=-1，?*?tn=(-1,5/3,-1),

而4(?=(-1,宕,-1),二4C)w,4C，平面D/P，故D正確.

故選：ACD

三、填空題

13.已知圓C:(x-iy+(y+l)2=4,若直線y=h+l與圓C相交得到的弦長為26，則

3

【正確答案】--##-0.75

4

【分析】根據圓的標準方程求出圓心坐標和半徑，利用點到直線的距離公式和幾何法求出圓

的弦長，列出關于人的方程，解之即可.

【詳解】由圓C:(X-1)2+3+1)2=4,得圓心C(l,-1),半徑r=2,

則圓心C(l,-1)到直線S=白+1即"7+1=0的距離為

八！"加

有(k+急i+U小?5解得我3

3

故答案為.北

14.在直三棱柱ABC-481G中，/1BCA=90°,D,尸分別是44，4G的中點,

8C=C4=CG，則BO與4尸所成角的余弦值是.

【正確答案】叵##士歷

1010

【分析】己知/8C-48G是直三棱柱，取8c的中點O,連接NO,F。，DF,可得/尸和尸O

所成角即為8。與/尸所成角.求出邊長，利用余弦定理求解角的大小.

【詳解】D,尸分別是4耳，4G的中點，

取8c的中點。，連接/0,尸。，F(xiàn)D,

則8C//尸。且尸D=g8C=BO,所以BDFO為平行四邊形，BD//FO,

那么AF和FO所成角即為8。與AF所成角.

^BC=CA=CC,=2,NBC4=90。，/8C-48c是直三棱柱，

:.AO=45,AF=亞,FO=BD=4f>

故場

10

15.已知等差數列｛%｝的前〃項和為5“生=2,$5=15,則數列的前2017項和

【正確答案】士二

2018

【分析】設等差數列｛4,,｝的公差為d，由”2=2,S，=15,根據基本量法可得4,利用裂項相

消法求解數列的和即可.

【詳解】設等差數列｛%｝的公差為"，由題意￡=5。3=15,故％=3.

又。2=2,故〃=%-。2=1，故%=2+(〃-2)xl=〃.

,---1-------1-----1----1-

??%”「n(n+l)nn+1'

則數列的前2017項和為

11,12017

-------=1----------=------

2017201820182018

,,2017

故而?

16.已知拋物線C:/=2x,過焦點的直線/與C交于43兩點，若以48為直徑的圓與C

的準線切于點則/的斜率為.

【正確答案】2

［分析】當直線I斜率不存在時顯然不成立,當直線/斜率存在時,設/的方程為y=k

設/（3,必），與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理代入癡:加;0的坐標運算可得答案.

【詳解】當直線/斜率不存在時顯然不成立，

當直線/斜率存在時，設/的方程為y=（x-g）,設4（項,必），

聯(lián)立方程組I2）消x化簡，得如2-2y-?=0,A=4+4公2＞0,

y2=2x

2

所以必+為=7=T，代入到。：/=2x中可得,

力+貨_(凹+%尸一2%%_21

-2記+L5-履

2

又以N8為直徑的圓與C的準線切于點可知，物1MB,

所以=0，且M4=卜］+王M一=卜+萬，％-5J，

所以1+乩+￡|+,-{|1-￡|=。，

整理得工/2+；（$+￡）+；+%%-；（必+為）+；=°，

口J1/2八1

即一+—x|—+1+——-1-

42U)42k4

即，一：+；=0,解得k=2.

故2.

四、解答題

I,

17.已知函數/(x)=]x2-x+inx.

(1)求y=/(x)的導數；

(2)求曲線夕=/(x)在點(1,/(I)處的切線方程.

【正確答案】(l)f'(x)=x-l+L

X

(2)2x~2y~3=0.

【分析】(1)根據基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則即可計算；

(2)根據導數幾何意義求出切線斜率，再根據直線點斜式方程即可求切線方程.

【詳解】(1)由題意，/%)=X—1+J：

(2)/(1)=1；

二曲線/=危)在點(1,)1)處的切線方程為:

y+g=x-l,即2x-2y—3=0.

18.已知圓C:x2+y2-2x-4y+2=0和直線/：ax+y-l-a=0.

(1)判斷直線/與圓C的位置關系；

(2)求直線/被圓C截得的最短弦長及此時直線I的方程.

【正確答案】(1)相交

(2)272；y=[

【分析】(1)根據直線過定點以及點與圓的位置關系即可得到結果；

(2)當當直線/_LCM時，直線/被圓C截得的弦長最短，結合弦長公式即可得到最短弦長

及直線/的方程.

【詳解】(1)因為直線/："+”1-。=0,即“x-l)+y—l=0恒過定點

又因為圓C：x2+/-2x-4y+2=0,BP(x-1)2+(y-2)2=3

即圓心C(l,2),半徑為廠=百

因為|CM|=J(l-if+(2-以=1<6

所以點〃在圓內，即直線/與圓C相交.

（2）當直線時，直線/被圓C截得的弦長最短，

此時可得弦長的一半為J戶=萬T=母

即最短弦長為2五

又因為點M,c橫坐標相同，故直線MCLx軸，

則直線/的斜率為0

所以直線/的方程為y=i

19.如圖，在長方體/BCD—44GA中，AB=AD=^AA[=6.

（1）求G到平面48。的距離;

（2）求直線AC與平面A.BD所成角的正弦值.

【正確答案】（1）噂

血

II

【分析】（1）根據題意建立空間直角坐標系，從而求得8C；與平面48。的法向量，進而利

用空間向量法求得點G到平面48。的距離；

（2）結合（I）中結論，求得xd的坐標表示，從而利用空間向量夾角余弦的坐標表示即可

求得結果.

【詳解】（1）根據題意，以點A為原點，建立空間直角坐標系，如圖，

則“（0,0,0）,4（0,0,6）,8（4,0,0,40,4,。?4,4,04,4,6,

則BC,=（0,4,6）,A[B=（4,0,-6）,BD=（-4,4,0）,

A

〃=4x-6z=0

設平面46。的一個法向量為〃=（x,y,z）則

gn=-4x+4y=0

令x=3,則y=3,z=2,故〃=(3,3,2),

（2）由（1）得/C=（4,4,0）,平面的一個法向量為“=（3,3,2）,

設直線AC與平面ABD所成角為。,

線

則sin。=卜0$(/(7,"，|12+12|3vH=-----

劉；-J16+16xj9+9+411

所以直線AC與平面A、BD所成角的正弦值為今?.

20.已知數列a,,=(；］,a+2=31ogJ,("￡N*),數列｛與｝滿足g=a"也.

⑴求數列也｝的通項公式；

（2）求數列｛q,｝的前”項和S”.

【正確答案】（1也=3”-2

⑵S“=4一”當

【分析】（1）首先求bg|°"=〃，再代入即可求數列｛4｝的通項公式;

（2）由（1）可知c.=a”也=（3〃-2）（3）,再利用錯位相減法求和.

【詳解】(1)

，log/“=",

2

又4+2=310gA=3〃,

2

bn=3n-2.

(2)由(1)知”=3"-2,

，。"=4"。=所2)

,2=唱+4x(5+7x(5+

*唔卜唱5(4

故①-②得gs〃:=lx；+3x(3)+3x(7+3x(3++3x8〃-2*(?-

=、3xI(2咱。券

2〃2

.2=4-9

〃2〃

￡=1(4>6>0)的離心率為坐，且經過點

21.已知橢圓C：

(1)求橢圓。的方程.

(2)過點尸(0,2)的直線交橢圓。于A、B兩點，求/O8為原點)面積的最大值.

丫2

【正確答案】(1)5+/=1

cV6

e=-=——

a3

91

【分析】（1）由題意可得才+獷=1,解得b,即可得出答案.

a2=b2+c2

（2）由題意可知直線/的斜率存在，設直線，：丁=代+2,力（不，必），例看,必），聯(lián)立直線/與

橢圓的方程，結合韋達定理可得項+工2,由弦長公式可得點到直線的距離公式

可得點。到直線/的距離/，再計算498的面積，利用基本不等式，即可得出答案.

c-76

e=—=——

a3

91

【詳解】（1）解：由題意可得不+力=1,

4a~46一

a2=h2+c2

解得a=y/3,b=1,

所以橢圓C的標準方程為二+/=1.

3

（2）解：由題意可知直線/的斜率存在，設直線/：卜=丘+2,A（Xl,y,）,B（x2,y2）,

y=kx+2

聯(lián)立X2,,得(3/+l)x?+12米+9=0,

—+V=1

3'

A=144Zr2-36(3Ar2+1)=36(A:2-1)>0,

所以22>1,即左>1或左<-1,

12k9

則nilX.+工2---',XX=—：---,

'23k2+\'23公+1

⑵2(X廠6J(公+1)(公-1)

故M可=y/k2+1?|x,—x,|=yjk2+1?.(―

3k2+lX3/C2+1~3/C2+1

2

點O到直線/的距離d=赤彳,

所以403的面積S=』力外"",

2113F+1

設/="2_]>0,則〃="+],

e_6/_66J7

故‘-3(*+1)+1-小區(qū)位一下，當且僅當2"言時，等號成立，

t

所以面積的最大值為1.

2

22.已知圓A/：(x+2"VJ)~+/=—^-的圓心為A/,圓M(x-2>/^)~+y~=§的圓心為N,

一動圓與圓N內切，與圓M外切，動圓的圓心E的軌跡為曲線C

(1)求曲線C的方程；

(2)已知點尸(6,3),直線/不過尸點并與曲線C交于4B兩點,且K：尸￡10,直線/是否