河南省金科·新未來2023-2024學(xué)年高二年級上冊期中考試數(shù)學(xué)含解析

金科-新未來2023年秋季學(xué)期高二年級10月質(zhì)量檢測

數(shù)學(xué)試卷

全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上

的指定位置.

2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答

題區(qū)域均無效.

3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案+的標(biāo)號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡

上作答；字體工整，筆跡清楚.

4.考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

—7

1.已知復(fù)數(shù)Z滿足2z—z=l+3i,則一二（）

i

A.-1+iB.1—iC.1+iD.-1—i

2.經(jīng)過點(diǎn)傾斜角為12（）。的直線方程為（）

A."\/3x+y-2>/3—0B.\/3x-y=0

C.x+y/3y-4-0D.x-+2-0

3.己知A（l,2,l）,B（0,l,2）,C（3,l,l）,若平面ABC的一個(gè)法向量為“=（x,y,l）,則"=（）

4.若直線4:x+ay—2=0與/2：2x+（/+l）y—2=0平行，則兩直線之間的距離為（）

A.>/2B.1C.D.2

2

5.已知向量。=（一2,1,4）1=（T,2"）,設(shè)甲：“f>一|”；乙：“向量a力的夾角為銳角”，則（）

A.甲是乙的充分不必要條件B.甲是乙的必要不充分條件

C.甲是乙的充要條件D.甲是乙的既不充分也不必要條件

6.已知圓錐PO（P為圓錐的頂點(diǎn)，。為圓錐底面的圓心）的軸截面是等邊三角形，A3,C為底面圓周

上的三點(diǎn)，且為底面圓的直徑，。為PC的中點(diǎn).若三棱錐O—A5C的外接球的表面積為4），則

圓錐PO的外接球的表面積為（）

7.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,8,C的對邊分別為a,。,c,若c=2,且Z?+acosC=（）,則△ABC的面積的最

大值為（）

I

A.4B.2C.1D.一

2

8.如圖，在四面體ABC。中，AC=2AB=2CD=2,BC=AD=6若BD=叵,則二面角

2

A.30°B.45°C.120°D.150°

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知正三棱柱ABC-A與G的所有棱長均為2,則（）

A.正三棱柱ABC—4與G的體積為孚

B.正三棱柱ABC-A4G的側(cè)面積為12+26

C.直線AC；與平面A8C所成的角為45。

D.直線AA,到平面BCC}B}的距離為百

10.不透明的袋子中裝有6個(gè)大小質(zhì)地相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機(jī)

抽取兩次，每次取一個(gè)球.A表示事件“第二次取出的球上標(biāo)有的數(shù)字大于等于3”，B表示事件“兩次

取出的球上標(biāo)有的數(shù)字之和為5,則（）

21J3

A.P（A）=-B.P（B）=—C.P（A+B）=—D.事件A與8相互獨(dú)立

31818

11.已知圓M:（x-2）2+（y-2）2=4與直線/:2入+>-攵-2=0相交于C,O兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn),

則下列說法正確的是（）

(1、3厲

A.直線/過定點(diǎn)T2B.若CD_LQM,則,MC。的面積為、一

8

C.|CD的最小值為20D.AMCD的面積的最大值為2

12.在平行六面體ABC。一AqGO中，AB=AD=AA.==ZA]AD=60°,ZZMB=90°,

若AQumAB+ziAP+pAA,,其中桃,〃,〃￡(0,1],則下列結(jié)論正確的有()

A.若p=；，則三棱錐。一ABO的體積為定值

B.若〃2=力，則QC_LBD

C.若m=n,則與平面Q4C所成的角的正弦值為日

D.當(dāng)“+〃=1時(shí)，線段QC的長度的最小值為兇

4

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.己知4（0,2）,3（3,0）,。（，41—帆）三點(diǎn)共線，則帆=.

14.一組樣本數(shù)據(jù)為l,a,4,5,。,8,若a力是方程|尤一3|=1的兩根，則這個(gè)樣本的方差是.

77r

15.已知圓臺。。的體積為才，且其上、下底面半徑分別為1,2,若AB為下底面圓周的一條直徑，P

為上底面圓周上的一個(gè)動點(diǎn)，則PA2+PB2=.

（Q\2

16.設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，4（3,4）,若+丁+―=/（r>（））上存在點(diǎn)p,使得|/科=2儼。|，則

r的取值范圍是.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.

17.（本小題滿分10分）在平面直角坐標(biāo)系宜萬中，己知A（1,1）,B（3,-1）,C（—1,7）.

（1）求AB邊上的高所在的直線方程；

（2）若點(diǎn)尸在直線5c上，且|24|=歸身，求點(diǎn)P到直線4B的距離.

18.（本小題滿分12分）如圖，在正方體A3C￡>—4BCQI中，AA=2,七,尸分別為AA”C。的中點(diǎn).

DFC

(1)求異面直線所與耳力的夾角的余弦值；

(2)求點(diǎn)A到平面的距離.

19.(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐P-A5CD中，平面?平面ABCD,AA8P為等邊三角形,

底面A3CO為等腰梯形，AB//CD,且AB=2CD=2AO=4.

P

(1)在棱尸B上是否存在點(diǎn)尸，使得b〃平面B4￡)?若存在，請確定點(diǎn)尸的位置；若不存在，請說明

理由；

(2)求PC與平面PAD所成角的正弦值.

20.(本小題滿分12分)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓E:(x—&)2+(y—限)2=3公，直線/:x+^[3y=k,

其中%>0.

(1)當(dāng)k=1時(shí)，過點(diǎn)。作圓E的兩條切線，切點(diǎn)分別為A8,求直線48的方程；

(2)若直線/與圓￡相交于C,。兩點(diǎn)，求NCED.

21.(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐P-A3CD中，底面A8CD是正方形，平面J_底面ABCD,

側(cè)棱PC與底面所成的角為60°.

(1)證明：平面尸AB_L平面尸AD；

(2)若平面PBOJ_平面P4C,求二面角PC—。的正弦值.

1

22.(本小題滿分12分)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知：-M:(X—If+y=4與直線ll:y=kx(k>0)相交于A,B

兩點(diǎn).

(1)若04=230,求人的值；

(2)過點(diǎn)。的直線4與乙相互垂直，直線4與圓河相交于兩點(diǎn)，求四邊形ABCQ的面積的最大值.

金科-新未來2023年秋季學(xué)期高二年級10月質(zhì)量檢測-數(shù)學(xué)

參考答案、提示及評分細(xì)則

題號123456789101112

答案BACCBADCCDACABDAB

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.【答案】B

【解析】設(shè)z=Q+>i(Q￡R,b￡R)，則z=a-bi,所以2z-z=a+3歷=l+3i,所以

z1+i

a=b=l,—==1—i,故選B.

ii

2.【答案】A

【解析】直線斜率為tanl20°=—JL所以該直線方程為y—G=—即Gx+y-2G=0,

故選A.

3.【答案】C

【解析AB=(—L—1』),AC=(2,—1,0),所以〃?A8=0,〃-AC=0,即—x—y+l=(),2x—y=0,解

1?<12>

得x=—,y=—,所以〃=不不1,故選C.

33U3J

4.【答案】C

【解析】依題意，2。=/+1,解得。=1,所以兩直線分別為x+y—2=0,x+y—1=0,所以兩直線

之間的距離為嚀［=也，故選C.

V22

5.【答案】B

【解析】由向量a力夾角為銳角，則-。=8+2+41>0,解得/>一*,當(dāng)?！ㄈ藭r(shí)，=='=3,得。=8,

2-42t

所以r的取值范圍為(-|,8)U(8,+8)，所以甲是乙的必要不充分條件，故選B.

6.【答案】A

【解析】因?yàn)閳A錐PO的軸截面是等邊三角形，設(shè)底面半徑為R,則圓錐的高為、6/?,且

0D=OA=QB=OC=A,從而4萬7?2=4萬，所以火=1,且圓錐的外接球的半徑為-------=*R,

2sin6003

u._,,IU..(2丫_16萬

其表面積為47rx[J=———.故選A.

7.【答案】D

〃22_22,/2_2

【解析】由余弦定理，cosC=^~~^b+ax-~~-=0,整理可得/+3Z?2=C2=4,

2ab2ab

li…2「_L/_>/6一層一J4—4從一2^/i^F右。_1,

又由sine=v1-cosC=J1y=--------=--------=--------，有S/MBC=-abx-------=

NcTaaa2a

bh)=.(-2)=g(當(dāng)且僅當(dāng)。=#時(shí)取"=”)，故選D.

8.【答案】C

【解析】作垂直AC于垂直AC于N,則BM=DN=：,MN=1,所以

BD=BM+MN+ND,設(shè)二面角B-AC-D的大小為6,則

2.22?

|BD|2=(BM+MN+ND)2=BM+MN、ND+2BM-ND+2BM-MN+2ND-MN=

—IF1+2x—x—COS(TT-3\,有cos。=—,解得6=120°,故選C.

4422'，2

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.【答案】CD

【解析】正三棱柱ABC—A的體積為2X手X22=26，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

正三棱柱ABC-AB?的側(cè)面積為3x2x2=12,B選項(xiàng)錯(cuò)誤;

AG與平面A3C所成角即為NGAC=45°,C選項(xiàng)正確；

過A作AO垂直BC于。，則AD為AA1與平面8CC內(nèi)之間的距離，AD=^,D選項(xiàng)正確，故選

CD.

10.【答案】AC

49

【解析】第二次取出球?yàn)?,4,5,6,所以P(A)=k=§,A選項(xiàng)正確;

、41

8=（（4,1）,（3,2）,（2,3）,（1,4）},所以P（6）=1=x，B選項(xiàng)錯(cuò)誤;

oxo9

A8=｛（2,3）,（1,4）｝,所以P（AB）=-^-=—,所以P（A+B）=P（A）+P（3）—P（AB）=

6x618

21113

—+———=—C選項(xiàng)正確;

391818

因?yàn)?5(146)*「(4)><。(8),口選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選AC.

11.【答案】ABD

【解析】直線/:A(2x—l)+y—2=0,所以直線/過定點(diǎn)21A選項(xiàng)正確;

易知道Z°M=1,若直線CD_LOM,則一2%=-1,此時(shí)直線/:x+y—|=0,M到/的距離

3

d=-^==迫,4MCD的面積為-x"=主匡,B選項(xiàng)正確；

VT+T428

由A知直線/過定點(diǎn)2),所以O(shè)Wdvg,所以當(dāng)"二^時(shí)，|8|取得最小值為S，C選項(xiàng)錯(cuò)誤;

AMCD面積為」x2j4_d2xd="-d2:+(=2,當(dāng)且僅當(dāng)d=&時(shí)，等號成立，D

22

選項(xiàng)正確.故選ABD.

12.【答案】AB

【解析】若〃=；,則點(diǎn)。到平面A3。的距離為定值，所以三棱錐。-A8D的體積為定值，A選項(xiàng)正

確；

若m=n,則CQ^AQ-AC^AQ-(AB+AD}^(m-l)AB+(n-l)AD+pAAt,且

DB=AB-AD,CQDB=(m-1)-(n-^=O,所以QC_LBO,B選項(xiàng)正確；

若m=〃，由B可知QC_La),且ACL3Z),所以8。為平面Q4C的一個(gè)法向量，且

\BD\=y[2,BDi=ADi-AB=AAi+AD-AB,(BD^=^AAl+AD-AB^=3,\BD]\=y/3,又因?yàn)?/p>

-------/——\/—\BD-BD2J6

BDBD}=^AD-AB].(裕+AO—A3)=2,所以口=與平面QAC

\BD\,\BD}V2xV33

所成角的正弦值為理，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

3

|CQ|2=|(/n-1)AB+(n-1)/40+pAAj=(m—I)2+(n—I)24-p2+p(m-1)+p(〃-1)=z/i2+/i2+/2

一生+(p—=當(dāng)且僅當(dāng)〃2=〃=p=；時(shí)等號成立，所以QC長度的最小

值為L,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選AB.

2

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.【答案】-3

【解析】直線AB的方程為'+上=1,代人'+上%=1,解得加=一3.

3232

14.【答案】5

【解析】|x—3|=1，解得x=2或4,不妨設(shè)。=2力=4,則樣本平均數(shù)是4,根據(jù)方差公式得

2(1-4)2+(2-4)2+(4-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(8-4)2=

s=-------------------------------------------------=5.

6

15.【答案】12

【解析】設(shè)圓臺。。的高為〃，則g(%X12+%X22+;TXJi74)=g,解得〃=1,

不妨設(shè)A(-2,0,0),8(2,0,0),則P(cosasinai),

所以PT+PB?=(cos6+2)2+sin26?+1+(cos?！?f+sir?。+1=12.

16.【答案】—,5

【解析】設(shè)點(diǎn)P(x,y),由|PA|=2|PO|,可知J(x—3)2+(y_4)2=2舊+y?,整理可得點(diǎn)P的軌跡

方程為ON:(x+l)2+(y+g)=(號)，即存在交點(diǎn)，易知圓心距為：，因此

10

<-解得re|,5

一33

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.

17.【答案】（1）x-y+8=0（2）—

【解析】（1）直線——即x+y-2=0,直線AB的斜率為-12

以邊AB上的高所在直線的斜率為1,

所以邊AB上的高所在的直線方程為y-7=x+l,整理得x—y+8=0；

（2）直線3C:y+l=―^（x-3）,即2x+y—5=0,

-1—3

AB的中點(diǎn)為（2,0）,所以的垂直平分線所在的直線方程為%—y-2=0,

2x+y-5=0,

因?yàn)镻為A3垂直平分線與直線3c的交點(diǎn)，所以1,

x-y-2=0,

解得p1，3

74-25

所以P到直線AB的距離為33=±_.

VI+13

18.【答案】（1）—（2）拽①

329

【解析】由。兩兩垂直，以正交基底｛AA，2G，A。｝建系如圖，。（0,0,o），A（2,0,0）,

B,（2,2,0）,C,（0,2,0）,A（2,0,2）,B（2,2,2）,C（0,2,2）,E（2,0,l）,F（0,l,2）,

D,￡=（2,0,l）,D,F=（0,l,2）,所以EF=RF-RE=,

又40=(-2,-2,2),

設(shè)異面直線EF與BQ的夾角為6,

BXDEF46

則cos（9=

^D[\EF~273x76-3，

即異面直線所與與。夾角的余弦值為

(2)設(shè)平面的法向量為〃=(x,y,z,

由旦￡=（0,-2,1）,￡￡=（-2,1,1）,

B,En=0,—2y+z=0,、

得即〈,取〃=z（3,2,4）,

7

EF-71=0,[-2x+y+z=0,1

4_4729

又AE=(0,0,-1)，則點(diǎn)A到平面EFB］的距離d=

HV29-29

19.【答案】(1)存在，當(dāng)產(chǎn)為依中點(diǎn)時(shí)，CF〃平面尸4)

【解析】(1)如圖，分別取中點(diǎn)E,尸，連接則E/〃AB,E/=gAB,

因?yàn)镃D〃AB,O)=LAB,

2

所以CD〃EF,CD=EF,四邊形COEE為平行四邊形，

所以CF〃DE,又因?yàn)镈Eu平面平面PAD,

所以CE〃平面PAO,即當(dāng)尸為依中點(diǎn)時(shí)，C戶〃平面PAO；

(2)取AB的中點(diǎn)0,8的中點(diǎn)M,連接0M,0P,

因?yàn)镼4=PB,所以QPJ.A5,

因?yàn)槠矫鍼AB，平面ABCD,平面PABQ平面ABCD=AB,OP1.AB,OPu平面PAB,

所以O(shè)PJ■平面ABCD,

又因?yàn)镼Wu平面ABCD,

所以O(shè)PLOM,

如圖，以。為原點(diǎn)，OP,Q3,QM方向分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系。一孫z,

可求得梯形AB8的高為

可得P（26,0,0）,4（0,-2,0）,￡＞（0,-1,6）,以0,2,0）,。（0,1,百）,正=卜26,1,@,

所以AD=（0,l,V3）,AP=（273,2,0）,

設(shè)律=（x,y,z）為平面P4O的法向量,

n-AD=0,,{y+6z=0,

則由〈得〈L

n-AP=0,[2j3x+2y=0,

令y=Y,則x=l,z=l,即〃=

設(shè)PC與平面24。所成角為6,有尸?！?一26,,4=4,何=6,

/.\PCn\2J3J\5

則sin。=cos(PC,/?)=U=^4=="，

'/小料4x7510

所以PC與平面PAD所成角的正弦值為*.

20.【答案】(1)x+道y—l=0(2)60°

【解析】(1)當(dāng)％=1時(shí)，圓E:(x-l)2+(y—6)2=3,

以O(shè)E為直徑的圓的方程為x(x—l)+y(y—6)=0,

兩圓方程相減，則直線AB:x+6y—1=0；

(2)點(diǎn)E到直線/的距離為4=-^=二，

V1+32

3k

3k盟:+=爭可得"吁30。,

設(shè)M為CO中點(diǎn)，即|財(cái)/|=萬，所以COS/CEM

所以NCEZ)=60°.

4J3

21.【答案】（1）略（2）」一

7

【解析】（1）證明：在正方形ABCD中，AD1AB.

因?yàn)槠矫鍼AB，底面ABCD,平面PABc平面ABCD=AB,,A￡>u平面ABCD

所以AO_L平面而AOu平面Q4O,所以平面218,平面A4O；

(2)設(shè)AC與8。交于點(diǎn)O,則平面24。、平面P8D=PO,

作A”垂直PO于”，則47_1平面/歸。，所以A”,班)，又AC_L3O,

且A”AC=A,