分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

第六章計數(shù)原理6.1.2分類加法原理與分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用2.區(qū)別

分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理區(qū)別一完成一件事共有n類辦法,關(guān)鍵詞是“分類”完成一件事共有n個步驟,關(guān)鍵詞是“分步”區(qū)別二每類辦法中的每種方法都能獨立地完成這件事,它是獨立的、一次的且每種方法得到的都是最后結(jié)果,只需一種方法就可完成這件事除最后一步外,其他每步得到的只是中間結(jié)果,任何一步都不能獨立完成這件事,缺少任何一步也不能完成這件事,只有各個步驟都完成了,才能完成這件事區(qū)別三各類辦法之間是互斥的、并列的、獨立的各步之間是關(guān)聯(lián)的、獨立的,“關(guān)聯(lián)”確保不遺漏,“獨立”確保不重復(fù)

兩個原理的聯(lián)系與區(qū)別1.聯(lián)系:分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理都是解決計數(shù)問題最基本、最重要的方法.溫故知新例1.高三年級的四個班到甲、乙、丙、丁、戊五個工廠進行社會實踐，其中工廠甲必須有班級去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有(

) A．360種

B．420種 C．369種

D．396種解析法一(直接法)以甲工廠分配班級情況進行分類，共分為四類：①四個班級都去甲工廠，此時分配方案只有1種情況；②有三個班級去甲工廠，剩下的班級去另外四個工廠，其分配方案共有4×4＝16(種)；題型一分配與抽取問題③有兩個班級去甲工廠，另外兩個班級去其他四個工廠，其分配方案共有6×4×4＝96(種)；④有一個班級去甲工廠，其他班級去另外四個工廠，其分配方案有4×4×4×4＝256(種)．綜上所述，不同的分配方案有1＋16＋96＋256＝369(種)．法二(間接法)先計算四個班自由選擇去何工廠的總數(shù)，再扣除甲工廠無人去的情況，即：5×5×5×5－4×4×4×4＝369(種)方案．答案C方法解析

選(抽)取與分配問題的常見類型及其解法(1)當(dāng)涉及對象數(shù)目不大時，一般選用枚舉法、樹形圖法、框圖法或者圖表法．(2)當(dāng)涉及對象數(shù)目很大時，一般有兩種方法：①直接使用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理．一般地，若抽取是有順序的就按分步進行；若按對象特征抽取的，則按分類進行．②間接法：去掉限制條件計算所有的抽取方法數(shù)，然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可．練習(xí)：有4位老師在同一年級的4個班級中各教一個班的數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)考試時，要求每位老師均不在本班監(jiān)考，則安排監(jiān)考的方法種數(shù)是(

) A．11 B．10

C．9 D．8C 練習(xí)：有4位老師在同一年級的4個班級中各教一個班的數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)考試時，要求每位老師均不在本班監(jiān)考，則安排監(jiān)考的方法種數(shù)是(

) A．11 B．10

C．9 D．8C 例2.用0，1，2，3，4五個數(shù)字， (1)可以排成多少個無重復(fù)數(shù)字四位密碼？ (2)可以排成多少個四位數(shù)？ (3)可以排成多少個四位奇數(shù)？

題型二

組數(shù)問題(1)完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位密碼”這件事，可以分為四步:第一步,選取左邊第一個位置上的數(shù)字,有5種選取方法;第二步,選取左邊第二個位置上的數(shù)字，有4種選取方法;第三步,選取左邊第三個位置上的數(shù)字，有3種選取方法;第四步,選取左邊第四個位置上的數(shù)字,有2種選取方法.由分步乘法計數(shù)原理，可以組成不同的四位密碼共有N=5X4X3X2=120(個)(2)法一(直接法):完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)”這件事，可以分四步:第一步，從1,2,3,4中選取一個數(shù)字作千位數(shù)字，有4種不同的選取方法;第二步，從1,2,3,4中剩余的三個數(shù)字和0共四個數(shù)字中選取一個數(shù)字作百位數(shù)字,有4種不同的選取方法;第三步，從剩余的三個數(shù)字中選取一個數(shù)字作十位數(shù)字,有3種不同的選取方法;第四步，從剩余的兩個數(shù)字中選取一個數(shù)字作個位數(shù)字，有2種不同的選取方法.由分步乘法計數(shù)原理，可以組成不同的四位數(shù)共有N=4X4X3X2=96(個).法二(間接法):將5個數(shù)字不重復(fù)排在4個位置上有5X4X3X2=120種排法，其中不合要求的有4X3X2=24種排法，所以排成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)為120-24=96(個).(3)完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)”這件事，可以分四步:第一步，定個位，只能從1,3中任取一個有2種方法;第二步,定首位，把1,2,3,4中除去用過的一個還有3個，可任取一個有3種方法;第三步，第四步把剩下的包括0在內(nèi)的還有3個數(shù)字先排百位有3種方法，再排十位有2種方法.由分步乘法計數(shù)原理共有2X3X3X2=36(個)，方法解析對于組數(shù)問題，應(yīng)掌握以下原則(1)明確特殊位置或特殊數(shù)字，是我們采用“分類”還是“分步”的關(guān)鍵.一般按特殊位置(末位或首位)分類，分類中再按特殊位置(特殊元素)優(yōu)先的策略分步完成，如果正面分類較多，可采用間接法求解.(2)要注意數(shù)字“0”不能排在兩位數(shù)或兩位數(shù)以上的數(shù)的最高位.練習(xí)：用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有(

)A．144個 B．120個

C．96個 D．72個解：①首位為5，末位為0：4×3×2＝24(個)；②首位為5，末位為2：4×3×2＝24(個)；③首位為5，末位為4：4×3×2＝24(個)；④首位為4，末位為0：4×3×2＝24(個)；⑤首位為4，末位為2：4×3×2＝24(個)．由分類加法計數(shù)原理，得共有24＋24＋24＋24＋24＝120(個)．故選B．B 題型三

涂色與種植問題例5.將紅、黃、藍、白、黑五種顏色涂在如圖所示“田”字形的4個小方格內(nèi)，每格涂一種顏色，相鄰兩格涂不同的顏色，如果顏色可以反復(fù)使用，共有多少種不同的涂色方法？解第1個小方格可以從5種顏色中任取一種顏色涂上，有5種不同的涂法.①當(dāng)?shù)?個、第3個小方格涂不同顏色時，有4×3＝12(種)不同的涂法，第4個小方格有3種不同的涂法，由分步乘法計數(shù)原理可知有5×12×3＝180(種)不同的涂法.②當(dāng)?shù)?個、第3個小方格涂相同顏色時，有4種涂法，由于相鄰兩格不同色，因此，第4個小方格也有4種不同的涂法，由分步乘法計數(shù)原理可知有5×4×4＝80(種)不同的涂法.由分類加法計數(shù)原理可得共有180＋80＝260(種)不同的涂法.方法解析解決涂色問題的一般思路(1)按區(qū)域的不同，以區(qū)域為主分步計數(shù)，用分步乘法計數(shù)原理分析.(2)以顏色為主分類討論，適用于“區(qū)域、點、線段”等問題，用分類加法計數(shù)原理分析.(3)將空間問題平面化，轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域的涂色問題.練習(xí)：如圖，用6種不同的顏色分別給圖中A，B，C，D四塊區(qū)域涂色，若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有 (

)A．400種 B．460種

C．480種 D．496種C 解：完成此事可能使用4種顏色，也可能使用3種顏色．①當(dāng)使用4種顏色時：從A開始，有