2024高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文-怎樣避免犯導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)中常見錯(cuò)誤-蘇教版選修2-2

2024高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文-怎樣避免犯導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)中常見錯(cuò)誤-蘇教版選修2-2怎樣避免犯導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)中的常見錯(cuò)誤一、誤認(rèn)為導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)一定是極值點(diǎn)例1．函數(shù)在處有極值，求,b的值．錯(cuò)解由題意得，且，即，解得或．分析：是可導(dǎo)函數(shù)在處有極值的必要條件而非充分條件．只有加之附近導(dǎo)數(shù)的符號(hào)相反，才能判定在處取得極值，因此上述解法在解出,的值后，還應(yīng)檢驗(yàn)和分別在附近導(dǎo)數(shù)符號(hào)的變化情況．經(jīng)檢驗(yàn)只有,符合條件．二、誤認(rèn)為極值只能在導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)處取得例2．求函數(shù)的極值．錯(cuò)解：由于，于是令，得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值．分析：在確定極值時(shí)，只討論滿足的點(diǎn)附近導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化情況是不全面的，在導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)處也可能存在極值．在上述解法中，顯然忽視了討論和處左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化情況，從而產(chǎn)生了丟根現(xiàn)象．正確的結(jié)果還應(yīng)包括在和處函數(shù)取到極小值0．三、判斷單調(diào)性時(shí)忽視特殊情況例3．已知函數(shù)在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．錯(cuò)解：因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，所以在上恒成立，即△解得，所以的取值范圍為．分析：恒成立的充要條件并不是在上是減函數(shù)．事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，，則：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．而函數(shù)在處連續(xù)，因此在上是減函數(shù)．同理可知當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，所以的取值范圍為．四、誤用求導(dǎo)法則例4．的導(dǎo)數(shù)是_______．錯(cuò)解：．分析：應(yīng)分情況求導(dǎo)．（）當(dāng)時(shí)，；（）當(dāng)時(shí)，．故例5．求的導(dǎo)數(shù)．錯(cuò)解：設(shè)，，則正解：設(shè)，，，則五、求曲線的切線方程時(shí)審題不細(xì)例6．求曲線過(guò)原點(diǎn)的切線方程．錯(cuò)解：，設(shè)切線的斜率為，則，所以所求曲線切線方程為．分析：“過(guò)某點(diǎn)”與“在某點(diǎn)處”是不同的，在某點(diǎn)處的切線表明此點(diǎn)是切點(diǎn),而過(guò)某點(diǎn)的切線，此點(diǎn)并不一定是切點(diǎn)．正解：，設(shè)切線的斜率為．（）當(dāng)切點(diǎn)是原點(diǎn)時(shí)，，所以所求曲線的切線方程為．（）當(dāng)切點(diǎn)不是原點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)是，則有，①，又②，由①、②得，，故所求曲線的切線方程為．例7．考察在點(diǎn)處的切線．錯(cuò)解：，顯然在處的導(dǎo)數(shù)不存在，所以曲線在該點(diǎn)處沒(méi)有切線．分析：處的導(dǎo)數(shù)不存在，這說(shuō)明曲線在點(diǎn)處的切線斜率趨于無(wú)窮大，傾斜角為，所以在點(diǎn)處的切線方程為．怎樣判斷和證明有關(guān)充要條件問(wèn)題判斷充要條件常用下面三種方法：1．定義法：通過(guò)定義借助于推出方向判斷．2．等價(jià)法：利用原命題與其逆否命題等價(jià)，逆命題與其否命題等價(jià)來(lái)判斷；對(duì)于條件或結(jié)論是不等關(guān)系的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法．3．利用集合間的包含關(guān)系判斷，若，則是的充分條件或是的必要條件；若，則是的充要條件．例1．（1）下列四組條件中，甲是乙的充分不必要條件的是（）．A．甲：>；乙：<B．甲：<；乙：<C．甲：；乙：D．甲：；乙：（2）<的一個(gè)必要不充分條件是（）．A．<<B．<<C．<<D．<<（3）設(shè)命題甲：<<；命題乙：<．則命題甲是命題乙的（）．A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件（4）設(shè)拋物線及直線，的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則“<”是“與有兩個(gè)公共點(diǎn)”的（）．A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件（5）若，則“>3”是“方程表示雙曲線”的（）．A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：（1）D．命題A、C不是充分條件；命題B是充要條件．（2）A．利用集合間的包含關(guān)系判斷．（3）A．利用集合間的包含關(guān)系判斷．（4）A．由<知頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)在同側(cè)，且開口向上，故與有兩個(gè)公共點(diǎn)．（5）A．“方程表示雙曲線”等價(jià)于>，等價(jià)于>或<．例2．（1）已知，為任意平面向量，有下列命題：①；②；③，其中可作為的必要不充分條件的命題是（）．A．①②B．②③C．①②③D．①（2）已知,,為非零的平面向量，甲：；乙：，則（）．A．甲是乙的充分不必要條件B．甲是乙的必要不充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲是乙的既不充分也不必要條件解析：（1）C．由能推出①②③，反之不行．（2）B．由甲推不出乙，因?yàn)閿?shù)量積運(yùn)算不滿足消去律．例3．（1）在中，“>”是“>”的（）．A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件（2）如果，是實(shí)數(shù)，那么“”是的（）．A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：（1）B．注意“在中”這個(gè)條件，否則是既不充分也不必要條件．（2）D．可舉反例．例4．（1）關(guān)于的方程的兩根同號(hào)的充要條件是（）．A．或≥B．C．≤或<≤1D．≤≤1（2）已知數(shù)列，那么“對(duì)任意的，點(diǎn)都在直線上”是“為等差數(shù)列”的（）．A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：（1）C．判別式大于等于0且兩根之積大于0．（2）A．由知“為等差數(shù)列”；反之不成立．例5．（1）已知：>3，：≥0，試判斷是的什么條件．（2）已知是的充分條件，而是的必要條件，同時(shí)又是的充分條件，是的必要條件，試判斷①是的什么條件；②是的什么條件；③其中有哪幾對(duì)條件互為充要條件？解析：（1）：≤≤1；：≤≤1，從而可判定是的充分不必要條件．（2），，，，∴．①由知：是的必要條件；②由知：是的充分條件；③其中與，與，與三對(duì)互為充要條件．例6．已知，，均為正數(shù)，求證：的充要條件是．證明：充分性：若，顯然成立．必要性：若，即，則，因?yàn)椋裕实某湟獥l件是．例7．求方程與有一個(gè)公共根的充要條件．解析：所以兩方程與有一個(gè)公共根的充要條件是．例8．已知≤0，<(>0)，若是的充分不必要條件，求的范圍．．解析：設(shè)={≤0}={≤≤5}，<<，因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，從而有，故,解得>4．怎樣培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)教學(xué)中的創(chuàng)新能力

創(chuàng)新能力是在前人發(fā)現(xiàn)或發(fā)明基礎(chǔ)上,通過(guò)自身的努力,創(chuàng)造性地提出新的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明和新的改進(jìn)、革新方案的能力。創(chuàng)新能力由多種能力構(gòu)成,它們包括學(xué)習(xí)能力、分析能力、綜合能力、想象能力、批判能力、創(chuàng)造能力以及整合多種能力的能力。

創(chuàng)新人才的培養(yǎng),需要自由、寬松的探究問(wèn)題的環(huán)境,教師平等、開放、誠(chéng)實(shí)的態(tài)度,對(duì)于增強(qiáng)學(xué)生的自信心,形成激烈思考,勇于創(chuàng)新,不怕出錯(cuò)露短的氛圍,大有好處。

下面就數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)談一點(diǎn)看法:

一、發(fā)揮知識(shí)的智力因素,鼓勵(lì)學(xué)生創(chuàng)新思維

恩格斯說(shuō):“人的思維是宇宙間最美麗的花朵?！?/p>

科學(xué)

知識(shí)是人類智慧的結(jié)晶,是人們長(zhǎng)期探索、研究的成果。

鄧小平指出:“要尊重知識(shí),尊重人才”?？茖W(xué)知識(shí)的創(chuàng)新充滿勇于進(jìn)取的人文精神,記載著人類發(fā)明、創(chuàng)造的光輝

歷史

,凝聚著人類思索與奮斗的成功經(jīng)驗(yàn)。它既有巧奪天工的構(gòu)思,傳承著人類的聰明與機(jī)智,又深刻地反映了人們對(duì)社會(huì)和

自然

規(guī)律

的認(rèn)識(shí),閃耀著真理的光芒?？傊?知識(shí)蘊(yùn)藏著豐富的智力因素,是我們知識(shí)

經(jīng)濟(jì)

時(shí)代的財(cái)富,也是人類社會(huì)

發(fā)展

不可或缺的精神食糧!

這大量的智力因素,讓我們站在巨人的肩上,看得更遠(yuǎn)。這大量的智力因素,正是我們培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維能力的智力源泉,也是啟迪我們進(jìn)行創(chuàng)新思維活動(dòng)的根據(jù)。

我們之所以在學(xué)習(xí)中反對(duì)“死記硬背”,就是要突出知識(shí)的智力因素,掌握真才實(shí)學(xué),學(xué)會(huì)過(guò)硬本領(lǐng),培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去分析綜合、探索聯(lián)想,創(chuàng)造性地解決社會(huì)發(fā)展的實(shí)際問(wèn)題,全面提高學(xué)生的能力和素質(zhì)。

廣義的創(chuàng)造,是從個(gè)人的活動(dòng)來(lái)考察的,是指?jìng)€(gè)人從事的活動(dòng)和思維,只要相對(duì)于自己的過(guò)去來(lái)說(shuō),是新穎的、獨(dú)特的、具有突破性的,就是創(chuàng)造性活動(dòng)。學(xué)生在學(xué)校里要培養(yǎng)的創(chuàng)造性,就是這種廣義上的創(chuàng)造性。創(chuàng)造意味著從無(wú)到有,創(chuàng)新具有更新與日臻完善的含義:創(chuàng)新體現(xiàn)現(xiàn)有事物更新改造的過(guò)程;創(chuàng)新意味著一種舊貌換新顏和推陳出新的感覺;創(chuàng)新更多地被應(yīng)用于技術(shù)、制度、管理等具體的事物方面。創(chuàng)新是建立在創(chuàng)造結(jié)果基礎(chǔ)之上,是對(duì)具有原創(chuàng)性的東西的具體應(yīng)用。創(chuàng)造和創(chuàng)新都是推動(dòng)人類社會(huì)發(fā)展和進(jìn)步的永恒動(dòng)力。我們說(shuō),一個(gè)民族的真正偉力根植于它的創(chuàng)造與創(chuàng)新精神,這是人類社會(huì)迄今所能找到的對(duì)社會(huì)進(jìn)步和發(fā)展的原因所做出的一個(gè)最有效的解釋。

二、課堂教學(xué)要發(fā)揮知識(shí)的智力因素,培養(yǎng)創(chuàng)新能力

1、重新認(rèn)識(shí)教材,從中挖掘創(chuàng)新素材,發(fā)揮知識(shí)的智力因素,從而創(chuàng)設(shè)教學(xué)活動(dòng)情景,激發(fā)興趣,進(jìn)行創(chuàng)新探索,培養(yǎng)創(chuàng)新能力。靈活多變的教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的嶄新途徑。例如,教學(xué)中的一些概念、公式、定理,或因內(nèi)容相似相近,或因形式相似相近,易造成混淆。在教學(xué)中,運(yùn)用對(duì)比分析教學(xué),就能促使學(xué)生在錯(cuò)綜復(fù)雜的事物聯(lián)系中,發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的實(shí)質(zhì),學(xué)會(huì)客觀地評(píng)價(jià)事物,加深對(duì)本質(zhì)的理解。類比是思維的一種重要形式,經(jīng)類比能使知識(shí)向更深的層次或更廣闊的領(lǐng)域遷移、拓展。在教學(xué)中,教師可從知識(shí)的順延、從屬、引伸、互逆、相似等方面考慮發(fā)掘類比因素,進(jìn)行類比創(chuàng)新,培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。又如,構(gòu)造新命題,將原題的條件或結(jié)論,甚至整個(gè)題用等價(jià)的形式替代,得到新題目稱為原題的等價(jià)變式,這是由于一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題常有許多不同的表現(xiàn)形式或不同表達(dá)方式而決定的,這有利于學(xué)生創(chuàng)新思維能力的發(fā)展。在數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師引導(dǎo)學(xué)生從平常中發(fā)現(xiàn)不平常,不受“定勢(shì)”或“模式”的束縛,去探索各種結(jié)論或未確定條件的各種可能性。這可以充分發(fā)揮知識(shí)的智力因素,有利于學(xué)生創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)和發(fā)展。多種思路(方法)解題特別能調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極性和創(chuàng)造性。知識(shí)的綜合性就決定了思維活動(dòng)發(fā)展的多樣性。

2、發(fā)揮知識(shí)的智力因素,做到發(fā)散思維與收斂思維的辯證統(tǒng)一,發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。數(shù)學(xué)的創(chuàng)造往往開始于不嚴(yán)格的發(fā)散思維,而繼之以嚴(yán)格的邏輯分析思維,即收斂思維。發(fā)散思維雖然能夠提供有價(jià)值的重要設(shè)想,但其成果必須嚴(yán)格驗(yàn)證。發(fā)散思維富于創(chuàng)造性,能夠提供大量新思路、新方法。但是,單靠發(fā)散思維還不能完成創(chuàng)造性思維活動(dòng)。因此,發(fā)散思維和收斂思維要相輔相成、辯證統(tǒng)一,偏視任何一面都是不可取的。

運(yùn)用“普遍聯(lián)系和發(fā)展”的觀點(diǎn)處理課本的例題、習(xí)題,發(fā)揮知識(shí)的智力因素,深入挖掘創(chuàng)新素材及潛在功能。在保持已知條件不變的情況下。探索能否得出更深刻、更廣泛的結(jié)論,或改變命題條件、結(jié)論的若干元素,組成新型的更一般的命題,并探究其正確性,不落俗套,培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性。另一方面,要注重知識(shí)的縱向延伸,使學(xué)生的思維由表及里,由淺入深地不斷遞進(jìn),培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性。三、激勵(lì)學(xué)生大膽探究,培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力

教育

家第斯多惠曾說(shuō):“教學(xué)的

藝術(shù)

不僅僅在于傳授本領(lǐng),而在于激勵(lì)、呼喚、鼓勵(lì)。”在美國(guó)教學(xué)中,教師認(rèn)為好學(xué)生總是充滿好奇和疑問(wèn)。教師并不以知識(shí)的傳授為目的,而是以激發(fā)學(xué)的問(wèn)題意識(shí),加深問(wèn)題的深度,探求解決問(wèn)題的方法,特別是形成自己對(duì)解決問(wèn)題的獨(dú)立見解為目的。青少年的天性是好奇和求異,凡事喜歡問(wèn)個(gè)究竟和另辟蹊徑。對(duì)此,教師絕不能壓抑而應(yīng)引導(dǎo)和鼓勵(lì)。

教育激勵(lì)常常有如下的幾種方式:(1)榜樣激勵(lì),要以學(xué)生中創(chuàng)新的事例為榜樣,常言道:榜樣的力量是無(wú)窮的。(2)前景激勵(lì),青少年學(xué)生向往美好的理想,積極進(jìn)取,大膽創(chuàng)新,開拓前進(jìn)的道路。(3)參與激勵(lì),實(shí)踐出真知,訓(xùn)練出才干,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。(4)表現(xiàn)激勵(lì),勇于表現(xiàn)自我是青少年的特點(diǎn),要讓學(xué)生充分地展示自己的特長(zhǎng),對(duì)培養(yǎng)和

發(fā)展

學(xué)生的愛好與技能產(chǎn)生無(wú)形的推動(dòng)力。(5)競(jìng)爭(zhēng)激勵(lì),有競(jìng)爭(zhēng)才有發(fā)展,同學(xué)們你追我趕,爭(zhēng)先恐后,發(fā)揮主體作用,能有效地推動(dòng)數(shù)學(xué)創(chuàng)新活動(dòng)的開展。(6)成功激勵(lì),成功給人帶來(lái)光榮、幸福等美好的感受,更能鼓勵(lì)成功者不斷進(jìn)取,發(fā)揮同學(xué)的創(chuàng)造性。(7)表?yè)P(yáng)激勵(lì),及時(shí)、充分地肯定學(xué)生的閃光點(diǎn),熱情地表?yè)P(yáng)學(xué)生的聰明智慧,是激勵(lì)學(xué)生大膽創(chuàng)新的良好方法。

陶行知先生說(shuō):“發(fā)明千千萬(wàn)萬(wàn),起點(diǎn)是一問(wèn)?！币怀厮浪?風(fēng)平浪靜,投去一石,碧波漣漪,可謂一石擊起千層浪。教師教學(xué)要溫故知新,巧妙設(shè)疑,去撞擊學(xué)生思維的火花,進(jìn)而激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造思維的波瀾。教師要提倡和鼓勵(lì)學(xué)生“標(biāo)新立異”、“無(wú)中生有”、“異想天開”和“縱橫馳騁”,從而培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、敢于創(chuàng)造的獨(dú)創(chuàng)精神。引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考,大膽探索,在學(xué)習(xí)知識(shí)的過(guò)程中體驗(yàn)、發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造。指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已有的知識(shí)、學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)、演習(xí)方法去