運籌學第6章圖與網(wǎng)絡(luò)分析

圖與網(wǎng)絡(luò)分析(GraphTheoryandNetworkAnalysis)圖與網(wǎng)絡(luò)的基本知識最短路問題樹及最小樹問題最大流問題最小費用最大流問題1可編輯ppt哥尼斯堡七橋問題哥尼斯堡（現(xiàn)名加里寧格勒）是歐洲一個城市，Pregei河把該城分成兩部分，河中有兩個小島，十八世紀時，河兩邊及小島之間共有七座橋，當時人們提出這樣的問題：有沒有辦法從某處（如A）出發(fā)，經(jīng)過各橋一次且僅一次最后回到原地呢？2可編輯pptBDACABCD哥尼斯堡七空橋一筆畫問題3可編輯ppt哈密爾頓（Hamilton）回路是十九世紀英國數(shù)學家哈密頓提出，給出一個正12面體圖形，共有20個頂點表示20個城市，要求從某個城市出發(fā)沿著棱線尋找一條經(jīng)過每個城市一次而且僅一次，最后回到原處的周游世界線路（并不要求經(jīng)過每條邊）。4可編輯ppt5可編輯ppt6可編輯ppt7可編輯ppt8可編輯ppt9可編輯ppt10可編輯ppt11可編輯ppt12可編輯ppt13可編輯ppt14可編輯ppt15可編輯ppt16可編輯ppt17可編輯ppt18可編輯ppt19可編輯ppt20可編輯ppt21可編輯ppt有7個人圍桌而坐，如果要求每次相鄰的人都與以前完全不同，試問不同的就座方案共有多少種？用頂點表示人，用邊表示兩者相鄰，因為最初任何兩個人都允許相鄰，所以任何兩點都可以有邊相連。22可編輯ppt123764523可編輯ppt123764524可編輯ppt123764525可編輯ppt123764526可編輯ppt123764527可編輯ppt123764528可編輯ppt123764529可編輯ppt123764530可編輯ppt得到第一次就座方案是（1，2，3，4，5，6，7，1），繼續(xù)尋求第二次就座方案時就不允許這些頂點之間繼續(xù)相鄰，因此需要從圖中刪去這些邊。31可編輯ppt123764532可編輯ppt123764533可編輯ppt123764534可編輯ppt123764535可編輯ppt123764536可編輯ppt123764537可編輯ppt123764538可編輯ppt123764539可編輯ppt得出第二次就座方案是（1，3，5，7，2，4，6，1），那么第三次就座方案就不允許這些頂點之間繼續(xù)相鄰，只能從圖中刪去這些邊。40可編輯ppt123764541可編輯ppt123764542可編輯ppt123764543可編輯ppt123764544可編輯ppt123764545可編輯ppt123764546可編輯ppt123764547可編輯ppt123764548可編輯ppt得到第三次就座方案是（1，4，7，3，6，2，5，1），那么第四次就座方案就不允許這些頂點之間繼續(xù)相鄰，只能從圖中刪去這些邊，只留下7點孤立點，所以該問題只有三個就座方案。49可編輯ppt123764550可編輯ppt引論圖的用處某公司的組織機構(gòu)設(shè)置圖總公司分公司工廠或辦事處51可編輯ppt一、圖與網(wǎng)絡(luò)的基本知識（一）、圖與網(wǎng)絡(luò)的基本概念

EADCB1、一個圖是由點和連線組成。（連線可帶箭頭，也可不帶，前者叫弧，后者叫邊）52可編輯ppt一個圖是由點集和中元素的無序?qū)Φ囊粋€集合構(gòu)成的二元組，記為G=(V，E)，其中V中的元素叫做頂點，V表示圖G

的點集合；E

中的元素叫做邊，E表示圖G

的邊集合。v1v2v3v4v5v6e1e2e3e4e5e6e7e8e9e10例圖153可編輯ppt2、如果一個圖是由點和邊所構(gòu)成的，則稱其為無向圖，記作G=(V，E)，連接點的邊記作[vi,vj]，或者[vj,vi]。3、如果一個圖是由點和弧所構(gòu)成的，那么稱它為有向圖，記作D=(V,A)，其中V表示有向圖D的點集合，A表示有向圖D的弧集合。一條方向從vi指向vj

的弧，記作(vi,vj)。v4v6v1v2v3v5V={v1,v2,v3,v4,v5,v6}，A={(v1,v3),(v2,v1),(v2,v3),(v2,v5),(v3,v5),(v4,v5),(v5,v4),(v5,v6)}圖254可編輯ppt4、一條邊的兩個端點是相同的,那么稱為這條邊是環(huán)。5、如果兩個端點之間有兩條以上的邊，那么稱為它們?yōu)槎嘀剡叀?、一個無環(huán)，無多重邊的圖稱為簡單圖，一個無環(huán)，有多重邊的圖稱為多重圖。7、每一對頂點間都有邊相連的無向簡單圖稱為完全圖。有向完全圖則是指任意兩個頂點之間有且僅有一條有向邊的簡單圖。55可編輯pptv1v2v3v4v5v6e1e2e3e4e5e6e7e8e9e10度為零的點稱為弧立點，度為1的點稱為懸掛點。懸掛點的關(guān)聯(lián)邊稱為懸掛邊。度為奇數(shù)的點稱為奇點，度為偶數(shù)的點稱為偶點。8、以點v為端點的邊的個數(shù)稱為點v的度（次），記作。圖中

d(v1)=4，d(v6)=4（環(huán)計兩度）56可編輯ppt定理1所有頂點度數(shù)之和等于所有邊數(shù)的2倍。定理2在任一圖中，奇點的個數(shù)必為偶數(shù)。所有頂點的入次之和等于所有頂點的出次之和。有向圖中，以

vi為始點的邊數(shù)稱為點vi的出次，用表示；以

vi為終點的邊數(shù)稱為點vi的入次，用表示；vi點的出次和入次之和就是該點的次。57可編輯ppt9、設(shè)G1=（V1,E1），G2=（V2,E2）如果V2

V1,E2

E1

稱G2

是G1

的子圖；如果V2=V1,E2

E1

稱G2

是G1

的部分圖或支撐子圖。v1v2v3v4v5v6v7e1e2e3e4e5e6e7e8e9e10e11(a)e5e7v1v2v5v6v7e1e6e8(b)子圖v1v2v3v4v5v6v7e1e6e7e9e10e11(c)支撐子圖58可編輯ppt在實際應(yīng)用中，給定一個圖G=（V，E）或有向圖D=（V，A），在V中指定兩個點，一個稱為始點（或發(fā)點），記作v1，一個稱為終點（或收點），記作vn，其余的點稱為中間點。對每一條弧，對應(yīng)一個數(shù)，稱為弧上的“權(quán)”。通常把這種賦權(quán)的圖稱為網(wǎng)絡(luò)。10、由兩兩相鄰的點及其相關(guān)聯(lián)的邊構(gòu)成的點邊序列稱為鏈。如:v0，e1，v1，e2，v2，e3，v3,…,vn-1,en

，vn，記作（v0，v1，v2，v3,…,vn-1，vn），

59可編輯ppte3v1v2v3v4v5v6e7e8e1e2e4e5e6e9e1011、圖中任意兩點之間均至少有一條通路，則稱此圖為連通圖，否則稱為不連通圖。其鏈長為n

，其中v0，vn分別稱為鏈的起點和終點。若鏈中所含的邊均不相同，則稱此鏈為簡單鏈；所含的點均不相同的鏈稱為初等鏈,也稱通路。60可編輯ppt（二）、圖的矩陣表示對于網(wǎng)絡(luò)（賦權(quán)圖）G=（V，E），其中邊有權(quán)，構(gòu)造矩陣，其中：稱矩陣A為網(wǎng)絡(luò)G的權(quán)矩陣。設(shè)圖G=（V，E）中頂點的個數(shù)為n，構(gòu)造一個矩陣，其中：稱矩陣A為網(wǎng)絡(luò)G的鄰接矩陣。61可編輯ppt例權(quán)矩陣為：鄰接矩陣為：v5v1v2v3v4v6433225643762可編輯ppt

二、樹及最小樹問題

已知有六個城市，它們之間要架設(shè)電話線，要求任意兩個城市均可以互相通話，并且電話線的總長度最短。v1v2v3v4v5v61、一個連通的無圈的無向圖叫做樹。樹中次為1的點稱為樹葉，次大于1的點稱為分支點。63可編輯ppt

樹的性質(zhì)：（1）樹必連通，但無回路（圈）。（2）n個頂點的樹必有n-1條邊。（3）樹

中任意兩個頂點之間，恰有且僅有一條鏈（初等鏈）。（4）樹

連通，但去掉任一條邊，必變?yōu)椴贿B通。（5）樹無回路（圈），但不相鄰的兩個點之間加一條邊，恰得到一個回路（圈）。v1v2v3v4v5v664可編輯ppt一個圖G有生成樹的充要條件是G

是連通圖。v1v2v3v4v5v1v2v3v4v52、設(shè)圖是圖G=(V,E)的一支撐子圖，如果圖是一個樹,那么稱K是G的一個生成樹（支撐樹），或簡稱為圖G的樹。圖G中屬于生成樹的邊稱為樹枝，不在生成樹中的邊稱為弦。65可編輯ppt（一）破圈法：在圖中任選一個圈，從這個圈中去掉一條邊。在余下的圖中重復(fù)這個步驟，直到得到一不含圈的圖為止。66可編輯ppt67可編輯ppt用破圈法求出下圖的一個生成樹。v1v2v3v4v5e1e2e3e4e5e6e7e8v1v2v3v4v5e2e4e6e8v1v2v3v4v5e1e2e3e4e5e6e7e868可編輯ppt（二）避圈法：開始選一條邊，以后每一步中，總從未被選取的邊中選出一條與已選邊不構(gòu)成圈的邊，重復(fù)這個過程，直到不能進行為止。69可編輯pptv1v2v3v4v5v6v1v3v1v3v2v1v3v2v5v6v1v3v2v5v6v4v1v3v2v570可編輯ppt根據(jù)破圈法和避圈法兩種方式得到了圖的兩個不同的生成樹，由此可以看到連通圖的生成樹不是唯一的。71可編輯ppt3、最小生成樹問題

一棵生成樹所有樹枝上權(quán)的總和為這個生成樹的權(quán)。具有最小權(quán)的生成樹，稱為最小生成樹。求賦權(quán)圖G的最小支撐樹的方法也有兩種，“破圈法”和“避圈法”。

破圈法：在原圖中，任選一個圈，從圈中去掉權(quán)最大的一條邊。在余下的圖中重復(fù)這個步驟，直到得到一不含圈的圖為止。655172344v1v2v3v4v5v672可編輯pptv1v7v4v3v2v5v62015916253281741233673可編輯pptv1v7v4v3v2v5v62015916253281741233674可編輯pptv1v7v4v3v2v5v620159162532817412375可編輯pptv1v7v4v3v2v5v620159162532817412376可編輯pptv1v7v4v3v2v5v6159162532817412377可編輯pptv1v7v4v3v2v5v6159162532817412378可編輯pptv1v7v4v3v2v5v692532817412379可編輯pptv1v7v4v3v2v5v692532817412380可編輯pptv1v7v4v3v2v5v6932817412381可編輯pptv1v7v4v3v2v5v6932817412382可編輯pptv1v7v4v3v2v5v693174123總造價=1+4+9+3+17+23=5783可編輯pptv1v2v3v4v514231352

避圈法：開始選一條權(quán)最小的邊，以后每一步中，總從未被選取的邊中選一條權(quán)盡可能小，且與已選邊不構(gòu)成圈的邊。84可編輯ppt某六個城市之間的道路網(wǎng)如圖

所示，要求沿著已知長度的道路聯(lián)結(jié)六個城市的電話線網(wǎng)，使電話線的總長度最短。v1v2v3v4v5v66515723445v1v2v3v4v5v6123485可編輯ppt

最短路的一般提法為：設(shè)為連通圖，圖中各邊有權(quán)（表示之間沒有邊），為圖中任意兩點，求一條路，使它為從到的所有路中總權(quán)最短。即：最小。(一)、狄克斯屈拉(Dijkstra)算法適用于wij≥0，給出了從vs到任意一個點vj的最短路。三、最短路問題86可編輯ppt算法步驟：1.給始點vs以P標號，這表示從vs到

vs的最短距離為0，其余節(jié)點均給T標號，。2.設(shè)節(jié)點vi

為剛得到P標號的點，考慮點vj，其中，且vj為T標號。對vj的T標號進行如下修改：3.比較所有具有T標號的節(jié)點，把最小者改為P標號，即：

當存在兩個以上最小者時，可同時改為P標號。若全部節(jié)點均為P標號，則停止，否則用vk代替vi，返回步驟（2）。87可編輯ppt例一、用Dijkstra算法求下圖從v1到v6的最短路。v1v2v3v4v6v5352242421

解（1）首先給v1以P標號，給其余所有點T標號。（2）（3)（4）88可編輯pptv1v2v3v4v6v5352242421（5）（6）（7）（8）（9）（10）反向追蹤得v1到v6的最短路為：89可編輯ppt237184566134105275934682練習\作業(yè):求從1到8的最短路徑90可編輯ppt237184566134105275934682X={1},w1=0min{c12,c14,c16}=min{0+2,0+1,0+3}=min{2,1,3}=1X={1,4},p4=1p4=1p1=091可編輯ppt237184566134105275934682X={1,4}min{c12,c16,c42,c47}=min{0+2,0+3,1+10,1+2}=min{2,3,11,3}=2X={1,2,4},p2=2p1=0p4=1p2=292可編輯ppt237184566134105275934682X={1,2,4}min{c13,c23,c25,c47}=min{0+3,2+6,2+5,1+2}=min{3,8,7,3}=3X={1,2,4,6},p6=3p2=2p4=1p1=0p6=393可編輯ppt237184566134105275934682X={1,2,4,6}min{c23,c25,c47,c67}=min{2+6,2+5,1+2,3+4}=min{8,7,3,7}=3X={1,2,4,6,7},p7=3p2=2p4=1p1=0p6=3p7=394可編輯ppt237184566134105275934682X={1,2,4,6,7}min{c23,c25,c75,c78}=min{2+6,2+5,3+3,3+8}=min{8,7,6,11}=6X={1,2,4,5,6,7},p5=6p2=2p4=1p1=0p6=3p7=3p5=695可編輯ppt237184566134105275934682X={1,2,4,6,7}min{c23,c53,c58,c78}=min{2+6,6+9,6+4,3+8}=min{8,15,10,11}=8X={1,2,3,4,5,6,7},p3=8p2=2p4=1p1=0p6=3p7=3p5=6p3=896可編輯ppt237184566134105275934682X={1,2,3,4,6,7}min{c38,c58,c78}=min{8+6,6+4,3+7}=min{14,10,11}=10X={1,2,3,4,5,6,7,8},p8=10p2=2p4=1p1=0p6=3p7=3p5=6p3=8p8=1097可編輯ppt237184566134105275934682X={1,2,3,4,6,7,8}1到8的最短路徑為{1，4，7，5，8}，長度為10。p2=2p4=1p1=0p6=3p7=3p5=6p3=8p8=1098可編輯ppt求從V1

到V8

的最短路線。99可編輯pptV1V2V3V4V5V6V7V8①P=0T=+∞T=+∞T=+∞T=+∞T=+∞T=+∞T=+∞②P=T=3T=+∞T=7T=+∞T=+∞T=+∞T=+∞

③T=6T=7P=T=5T=+∞T=+∞T=+∞

④P=T=6T=6

T=8T=+∞T=+∞

⑤P=T=6

T=8T=9T=12

⑥P=T=8T=10T=10

⑦P=T=9T=11再無其它T標號，所以

T(V8)=P(V8)=10;minL(μ)=10⑧P=T=10100可編輯ppt由此看到，此方法不僅求出了從V1

到V8

的最短路長，同時也求出了從V1

到任意一點的最短路長。將從V1

到任一點的最短路權(quán)標在圖上，即可求出從V1

到任一點的最短路線。本例中V1

到V8

的最短路線是：

v1→v2→v5→v6→v8

101可編輯ppt623121641036234210102可編輯ppt（二）、逐次逼近法算法的基本思路與步驟：首先設(shè)任一點vi到任一點vj都有一條弧。顯然，從v1到vj的最短路是從v1出發(fā)，沿著這條路到某個點vi再沿弧(vi,vj)到vj。則v1到vi的這條路必然也是v1到vi的所有路中的最短路。設(shè)P1j表示從v1到vj的最短路長，P1i表示從v1到vi的最短路長，則有下列方程：開始時，令即用v1到vj的直接距離做初始解。從第二步起，使用遞推公式：求，當進行到第t步，若出現(xiàn)則停止計算，即為v1到各點的最短路長。103可編輯ppt例二、

－18v1v2v3v4v5－26－3－5－1－3－521－1211v6v7v837v1v2v3v4v5v6v7v8P(1)P(2)P(3)P(4)v10-1-23

0000v260

2

-1-5-5-5v3

-30-5

1

-2-2-2-2v48

0

2

3-7-7-7v5

-1

0

1-3-3v6

1017

-1-1-1v7

-1

0

5-5-5v8

-3

-50

66求圖中v1到各點的最短路104可編輯ppt

－18v1v2v3v4v5－26－3－5－1－3－521－1211v6v7v837（0，0）（v3，-5）（v1，-2）（v3，-7）（v2，-3）（v4，-5）（v3，-1）（v6，6）105可編輯ppt例三、求：5年內(nèi)，哪些年初購置新設(shè)備，使5年內(nèi)的總費用最小。解：（1）分析：可行的購置方案（更新計劃）是很多的，如：1）每年購置一臺新的，則對應(yīng)的費用為：

11+11+12+12+13+5+5+5+5+5=842)第一年購置新的，一直用到第五年年底，則總費用為：11+5+6+8+11+18=59

顯然不同的方案對應(yīng)不同的費用。第i年度

12345購置費1111121213設(shè)備役齡0-11-22-33-44-5維修費用

5681118106可編輯ppt（2）方法：將此問題用一個賦權(quán)有向圖來描述，然后求這個賦權(quán)有向圖的最短路。求解步驟：1）畫賦權(quán)有向圖：設(shè)Vi

表示第i年初，(Vi,Vj)表示第i年初購買新設(shè)備用到第j年初（j-1年底），而Wij

表示相應(yīng)費用，則5年的一個更新計劃相當于從V1

到V6的一條路。2）求解（標號法）107可編輯pptW12=11+5=16W13=11+5+6=22W14=11+5+6+8=30W15=11+5+6+8+11=41W16=11+5+6++8+11+18=59W23=11+5=16W24=11+5+6=22W25=11+5+6+8=30W26=11+5+6+8+11=41W45=12+5=17W46=12+5+6=23W56=13+5=18W34=12+5=17W35=12+5+6=23W36=12+5+6+8=31108可編輯ppt例四、某工廠使用一種設(shè)備，這種設(shè)備在一定的年限內(nèi)隨著時間的推移逐漸損壞。所以工廠在每年年初都要決定設(shè)備是否更新。若購置設(shè)備，每年需支付購置費用；若繼續(xù)使用舊設(shè)備，需要支付維修與運行費用，而且隨著設(shè)備的老化會逐年增加。計劃期（五年）內(nèi)中每年的購置費、維修費與運行費如表所示，工廠要制定今后五年設(shè)備更新計劃，問采用何種方案才能使包括購置費、維修費與運行費在內(nèi)的總費用最小。年份12345購置費1820212324使用年數(shù)0~11~22~33~44~5維修費57121825109可編輯ppt年份12345購置費1820212324使用年數(shù)0~11~22~33~44~5維修費5712182528v1v2v3v4v5v62325262930426085324462334530110可編輯ppt四、最大流問題（一）、基本概念1、設(shè)一個賦權(quán)有向圖D=（V,E）,在V中指定一個發(fā)點vs和一個收點vt

,其它的點叫做中間點。對于D中的每一個?。╲i

,vj）∈E,都有一個非負數(shù)cij,叫做弧的容量。我們把這樣的圖D叫做一個容量網(wǎng)絡(luò)，簡稱網(wǎng)絡(luò)，記做D=（V，E，C）。網(wǎng)絡(luò)D上的流，是指定義在弧集合E上的一個函數(shù)其中f(vi

,vj)=fij

叫做弧(vi，vj)上的流量。

111可編輯ppt2、稱滿足下列條件的流為可行流：（1）容量條件：對于每一個?。╲i,vj）∈E 有 0≤

fij

≤

cij

。（2）平衡條件：對于發(fā)點vs，有對于收點vt

，有對于中間點，有可行流中fij＝cij

的弧叫做飽和弧，fij＜cij的弧叫做非飽和弧。fij＞0的弧為非零流弧，fij＝0的弧叫做零流弧。112可編輯ppt13(5)9(3)4(1)5(3)6(3)5(2)5(2)5(0)4(2)4(1)9(5)10(1)圖中為零流弧，其余為非飽和弧。113可編輯ppt3、容量網(wǎng)絡(luò)G，若為網(wǎng)絡(luò)中從vs到vt的一條鏈，給定向為從vs到vt，上的弧凡與方向相同的稱為前向弧，凡與方向相反的稱為后向弧，其集合分別用和表示。f

是一個可行流，如果滿足：

則稱為從vs到vt

的關(guān)于f的一條增廣鏈。推論可行流f是最大流的充分必要條件是不存在從vs到vt

的關(guān)于f的一條可增廣鏈。即中的每一條弧都是非飽和弧即中的每一條弧都是非零流弧114可編輯ppt13(5)9(3)4(1)5(3)6(3)5(2)5(2)5(0)4(2)4(1)9(5)10(1)是一個增廣鏈顯然圖中增廣鏈不止一條115可編輯ppt4、容量網(wǎng)絡(luò)G=（V，E，C），vs為始點，vt為終點。如果把V分成兩個非空集合使，則所有始點屬于S，而終點屬于的弧的集合，稱為由S決定的截集,記作。截集中所有弧的容量之和，稱為這個截集的容量，記為。vsv1v2v4v3vt374556378S116可編輯ppt13(5)9(3)4(1)5(3)6(3)5(2)5(2)5(0)4(2)4(1)9(5)10(1)設(shè)，則截集為容量為24117可編輯ppt13(5)9(3)4(1)5(3)6(3)5(2)5(2)5(0)4(2)4(1)9(5)10(1)設(shè)，則截集為容量為20118可編輯ppt（二）、求最大流的標號法標號過程：1．給發(fā)點vs

標號（0，+∞）。2．取一個已標號的點vi，對于vi一切未標號的鄰接點vj

按下列規(guī)則處理：（1）如果邊，且，那么給vj

標號，其中：（2）如果邊，且，那么給vj

標號，其中：3．重復(fù)步驟2，直到vt被標號或標號過程無法進行下去，則標號結(jié)束。若vt被標號，則存在一條增廣鏈，轉(zhuǎn)調(diào)整過程；若vt未被標號，而標號過程無法進行下去，這時的可行流就是最大流。119可編輯ppt調(diào)整過程設(shè)1．令2．去掉所有標號，回到第一步，對可行流重新標號。120可編輯ppt求下圖所示網(wǎng)絡(luò)中的最大流，弧旁數(shù)為(1,1)v2v1v4v3vsvt(3,3)(5,1)(1,1)(4,3)(2,2)(3,0)(5,3)(2,1)(1,1)v2v1v4v3vsvt(3,3)(5,1)(1,1)(4,3)(2,2)(3,0)(5,3)(2,1)（0，+∞）（-v1,1）（+vs,4）（-v2，1）（+v2，1）(+v3，1)121可編輯ppt(1,0)v2v1v4v3vsvt(3,3)(5,2)(1,0)(4,3)(2,2)(3,0)(5,3)(2,2)(1,0)v2v1v4v3vsvt(3,3)(5,2)(1,0)(4,3)(2,2)(3,0)(5,3)(2,2)（0，+∞）（+vs,3）最小截集122可編輯ppt13(5)9(3)4(1)5(3)6(3)5(2)5(2)5(0)4(2)4(1)9(5)10(1)123可編輯ppt13(11)9(9)4(0)5(5)6(6)5(5)5(4)5(4)4(4)4(3)9(9)10(7)截集1截集2最小截量為：9+6+5=20124可編輯ppt70（70）70（50）130（100）150（130）150（150）50（20）50（50）120（30）100（100）∞（120）∞（230）∞（150）∞（200）125可編輯ppt第五節(jié)最小費用最大流問題定義已知網(wǎng)絡(luò)G=（V，E，C，d），f是G上的一個可行流，為一條從vs到vt的增廣鏈，稱為鏈的費用。

若*是從vs到vt的增廣鏈中費用最小的增廣鏈，則稱*是最小費用增廣鏈。結(jié)論：如果可行流f在流量為W(f)的所有可行流中的費用最小，并且*是關(guān)于f的所有增廣鏈中的費用最小的增廣鏈，那么沿增廣鏈*調(diào)整可行流f，得到的新可行流f*也是流量為W(f*)的所有可行流中的最小費用流。當f*

是最大流時，就是最小費用最大流。126可編輯ppt尋找關(guān)于f的最小費用增廣鏈：構(gòu)造一個關(guān)于f的賦權(quán)有向圖L(f)，其頂點是原網(wǎng)絡(luò)G的頂點，而將G中的每一條弧(vi,vj

)變成兩個相反方向的?。╲i，vj）和(vj

,vi)，并且定義圖中弧的權(quán)l(xiāng)ij為：1.當，令

2.當（vj，vi）為原來網(wǎng)絡(luò)G中（vi，vj）的反向弧，令在網(wǎng)絡(luò)G中尋找關(guān)于f的最小費用增廣鏈等價于在L(f)中尋求從vs

到vt

的最短路。127可編輯ppt步驟：（1）取零流為初始可行流，f(0)={0}。（2）一般地，如果在第k-1步得到最小費用流f(k-1)，則構(gòu)造圖L(f(k-1)

)。（3）在L(f(k-1)

)中，尋求從vs到vt的最短路。若不存在最短路，則f(k-1)就是最小費用最大流；否則轉(zhuǎn)(4)。（4）如果存在最短路，則在可行流f

(k－1)的圖中得到與此最短路相對應(yīng)的增廣鏈，在增廣鏈上，對f

(k－1)進行調(diào)整，調(diào)整量為：128可編輯ppt令得到新可行流f

(k)。對f

(k)重復(fù)上面步驟，返回（2）。例8.11求網(wǎng)絡(luò)的最小費用最大流，弧旁權(quán)是（bij,cij）(3,2)vsv2v1vtv3(1,4)(6,7)(4,8)(1,6)(2,5)(2,3)129可編輯ppt3vsv2v1vtv3164122(1)L(f(0))(3,2)vsv2v1vtv3(1,4)(6,7)(4,8)(1,6)(2,5)(2,3)0vsv2v1vtv3300333(2)f(1)

1=3W(f(1))=3－1(3)L(f(1))－23vsv2v1vtv316412－1－2130可編輯