2024圓錐曲線定點(diǎn)、定直線、定值問題

2024圓錐曲線定點(diǎn)、定直線、定值問題定點(diǎn)、定直線、定值專題1、已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為，最小值為．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)（不是左右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．【標(biāo)準(zhǔn)答案】(I)由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，(II)設(shè)，由得，，.以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，，(最好是用向量點(diǎn)乘來)，，，解得，且滿足.當(dāng)時(shí)，，直線過定點(diǎn)與已知矛盾；當(dāng)時(shí)，，直線過定點(diǎn)綜上可知，直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為2、已知橢圓C的離心率，長(zhǎng)軸的左右端點(diǎn)分別為，。（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)S。試問：當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)S是否恒在一條定直線上？若是，請(qǐng)寫出這條直線方程，并證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說明理由。解法一：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為。 … 1分∵，，∴，。 ……………… 4分∴橢圓的方程為。 ……… 5分（Ⅱ）取得，直線的方程是直線的方程是交點(diǎn)為 …………7分,若，由對(duì)稱性可知交點(diǎn)為若點(diǎn)在同一條直線上，則直線只能為?！?分以下證明對(duì)于任意的直線與直線的交點(diǎn)均在直線上。事實(shí)上，由得即，記，則?！? 9分設(shè)與交于點(diǎn)由得設(shè)與交于點(diǎn)由得……… 10，……12分∴，即與重合，這說明，當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)恒在定直線上。 13分解法二：（Ⅱ）取得，直線的方程是直線的方程是交點(diǎn)為 ………… 7分取得，直線的方程是直線的方程是交點(diǎn)為∴若交點(diǎn)在同一條直線上，則直線只能為。 ……………8分以下證明對(duì)于任意的直線與直線的交點(diǎn)均在直線上。事實(shí)上，由得即，記，則?！?分的方程是的方程是消去得… ①以下用分析法證明時(shí)，①式恒成立。要證明①式恒成立，只需證明即證即證……………… ②∵∴②式恒成立。這說明，當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)恒在定直線上。解法三：（Ⅱ）由得即。記，則?！? 6分的方程是的方程是 …… 7分由得 … 9分即 ……………… 12分這說明，當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)恒在定直線上?！? 13分3、已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為，離心率為﹒（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過點(diǎn)作直線交于、兩點(diǎn)，試問：在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，為定值？若存在，求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由﹒解：（I）設(shè)橢圓E的方程為,由已知得： 。。。。。2分橢圓E的方程為。。。。 3分（Ⅱ）法一：假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)，又設(shè)，則：。。。。。 5分①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，則由得 7分所以 9分對(duì)于任意的值，為定值，所以，得，所以； 11分②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線由得綜上述①②知，符合條件的點(diǎn)存在，起坐標(biāo)為﹒ 13分法二：假設(shè)存在點(diǎn)，又設(shè)則：=…. 5分①當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，由得 7分 9分設(shè)則 11分②當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，直線，由得：綜上述①②知，符合條件的點(diǎn)存在，其坐標(biāo)為 。。。。13分4、已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，離心率，過橢圓的右焦點(diǎn)作與坐標(biāo)軸不垂直的直線，交橢圓于、兩點(diǎn)。（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，求的取值范圍；（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得、、三點(diǎn)共線？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由。解法一：（I）設(shè)橢圓方程為，由題意知故橢圓方程為（Ⅱ）由（I）得，所以，設(shè)的方程為（）代入，得設(shè)則,由，當(dāng)時(shí)，有成立。（Ⅲ）在軸上存在定點(diǎn)，使得、、三點(diǎn)共線。依題意知，直線BC的方程為，令，則的方程為、在直線上，在軸上存在定點(diǎn)，使得三點(diǎn)共線。解法二：（Ⅱ）由（I）得，所以。設(shè)的方程為代入，得設(shè)則當(dāng)時(shí)，有成立。（Ⅲ）在軸上存在定點(diǎn)，使得、、三點(diǎn)共線。設(shè)存在使得、、三點(diǎn)共線，則，，即，存在，使得三點(diǎn)共線。6、（福建卷）已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。（Ⅰ）求過點(diǎn)O、F，并且與橢圓的左準(zhǔn)線l相切的圓的方程；（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G，求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍.本小題主要考查直線、圓、橢圓和不等式等基本知識(shí)，考查平面解析幾何的基本方法，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力。解：（I）圓過點(diǎn)O、F，M在直線上。 設(shè)則圓半徑 由得 解得 所求圓的方程為 （II）設(shè)直線AB的方程為 代入整理得 直線AB過橢圓的左焦點(diǎn)F，方程有兩個(gè)不等實(shí)根。 記中點(diǎn) 則 的垂直平分線NG的方程為令得 點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍為圓錐曲線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)新解關(guān)于直線與圓錐曲線相交求弦長(zhǎng)，通用方法是將直線代入曲線方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式求出弦長(zhǎng)，這種整體代換，設(shè)而不求的思想方法對(duì)于求直線與曲線相交弦長(zhǎng)是十分有效的，然而對(duì)于過焦點(diǎn)的圓錐曲線弦長(zhǎng)求解利用這種方法相比較而言有點(diǎn)繁瑣，利用圓錐曲線定義及有關(guān)定理導(dǎo)出各種曲線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式就更為簡(jiǎn)捷。一.橢圓的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)若橢圓方程為，半焦距為，焦點(diǎn)，設(shè)過的直線的傾斜角為交橢圓于A、B兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)。解：連結(jié)，設(shè)，由橢圓定義得，由余弦定理得，整理可得，同理可求得，則弦長(zhǎng)。同理可求得焦點(diǎn)在y軸上的過焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為（a為長(zhǎng)半軸，b為短半軸，c為半焦距）結(jié)論：橢圓過焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式：二.雙曲線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)設(shè)雙曲線，其中兩焦點(diǎn)坐標(biāo)為，過的直線的傾斜角為，交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)|AB|。解：（1）當(dāng)時(shí)，（如圖2）直線與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)A、B在同一交點(diǎn)上，連，設(shè)，由雙曲線定義可得，由余弦定理可得整理可得，同理，則可求得弦長(zhǎng)。（2）當(dāng)或時(shí)，如圖3，直線l與雙曲線交點(diǎn)A、B在兩支上，連，設(shè)，則，，由余弦定理可得，整理可得，則因此焦點(diǎn)在x軸的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為同理可得焦點(diǎn)在y軸上的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式其中a為實(shí)半軸，b為虛半軸，c為半焦距，為AB的傾斜角。三.拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)若拋物線與過焦點(diǎn)的直線相交于A、B兩點(diǎn)，若的傾斜角為，求弦長(zhǎng)|AB|？（圖4）解：過A、B兩點(diǎn)分別向x軸作垂線為垂足，設(shè)，，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)B橫坐標(biāo)為，由拋物線定義可得即則同理的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為，所以拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為由以上三種情況可知利用直線傾斜角求過焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)，非常簡(jiǎn)單明確，應(yīng)予以掌握。圓系方程及其應(yīng)用一、常見的圓系方程有如下幾種：1、以為圓心的同心圓系方程：與圓＋＋＋Ｆ＝０同心的圓系方程為：＋＋＋＝０2、過直線＋＋Ｃ＝０與圓＋＋＋Ｆ＝０交點(diǎn)的圓系方程為：＋＋＋Ｆ＋（＋＋Ｃ）＝０（Ｒ）3、過兩圓:＋＝0，:＋＝０交點(diǎn)的圓系方程為：＋＋（＋）＝0（≠-１，此圓系不含:＋＝０）特別地，當(dāng)＝－１時(shí)，上述方程為根軸方程．兩圓相交時(shí)，表示公共弦方程；兩圓相切時(shí)，表示公切線方程．注：為了避免利用上述圓系方程時(shí)討論圓，可等價(jià)轉(zhuǎn)化為過圓和兩圓公共弦所在直線交點(diǎn)的圓系方程:二、圓系方程在解題中的應(yīng)用：1、利用圓系方程求圓的方程：例1求經(jīng)過兩圓x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交點(diǎn)，并且圓心在直線x-y-4=0上的圓的方程。解一：求出兩交點(diǎn)（-1,3）（-6,-2），再用待定系數(shù)法：1．用一般式；2．用標(biāo)準(zhǔn)式。（注：標(biāo)準(zhǔn)式中可先求圓心的兩個(gè)坐標(biāo)，而圓心正好在兩交點(diǎn)的中垂線上。）解二：用兩點(diǎn)的中垂線與直線的交點(diǎn)得圓心：1．兩交點(diǎn)的中垂線與直線相交；2．過圓心與公共弦垂直的直線與直線相交；3．兩圓心連線與直線相交。解三：利用圓系方程求出圓心坐標(biāo)，圓心在直線方程上，代入直線方程求解。例１、求經(jīng)過兩圓＋3－－2＝０和＋2＋＋１＝０交點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程．解：方法3：由題可設(shè)所求圓的方程為：（＋3－－2）＋（＋2＋＋１）＝０∵（0，0）在所求的圓上，∴有－2＋＝０．從而＝２故所求的圓的方程為：即＋7＋＝０。2、利用圓系方程求最小面積的圓的方程：例2（1）：求過兩圓和的交點(diǎn)且面積最小的圓的方程。分析：本題若先聯(lián)立方程求交點(diǎn)，再設(shè)所求圓方程，尋求各變量關(guān)系，求半徑最值，雖然可行，但運(yùn)算量較大。自然選用過兩圓交點(diǎn)的圓系方程簡(jiǎn)便易行。為了避免討論，先求出兩圓公共弦所在直線方程。則問題可轉(zhuǎn)化為求過兩圓公共弦及圓交點(diǎn)且面積最小的圓的問題。解：圓和的公共弦方程為過直線與圓的交點(diǎn)的圓系方程為，即依題意，欲使所求圓面積最小，只需圓半徑最小，則兩圓的公共弦必為所求圓的直徑，圓心必在公共弦所在直線上。即，則代回圓系方程得所求圓方程例２（2）;求經(jīng)過直線：2＋＋4＝０與圓Ｃ：＋2－4＋1＝０的交點(diǎn)且面積最小的圓的方程．解：設(shè)圓的方程為：＋2－4＋1＋（2＋＋4）＝０即＋＋（1＋4）＝０則，當(dāng)＝時(shí)，最小，從而圓的面積最小，故所求圓的方程為：＋26－12＋37＝０練習(xí)：1．求經(jīng)過圓x2+y2+8x-6y+21=0與直線x-y+7=0的兩個(gè)交點(diǎn)且過原點(diǎn)的圓的方程。（常數(shù)項(xiàng)為零）2．求經(jīng)過圓x2+y2+8x-6y+21=0與直線x-y+5=0的兩個(gè)交點(diǎn)且圓心在x軸上的圓的方程。（圓心的縱坐標(biāo)為零）3．求經(jīng)過圓x2+y2+8x-6y+21=0與直線x-y+5=0的兩個(gè)交點(diǎn)且面積最小的圓方程。（半徑最小或圓心在直線上）4．求經(jīng)過圓x2+y2+8x-6y+21=0與直線x-y+5=0的兩個(gè)交點(diǎn)且與x軸相切的圓的方程；并求出切點(diǎn)坐標(biāo)。（圓心到x軸的距離等于半徑）3、利用圓系方程求參數(shù)的值：例3：已知圓與直線相交于P，Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)m的值。分析：此題最易想到設(shè)出，由得到，利用設(shè)而不求的思想，聯(lián)立方程，由根與系數(shù)關(guān)系得出關(guān)于m的方程，最后驗(yàn)證得解。倘若充分挖掘本題的幾何關(guān)系，不難得出O在以PQ為直徑的圓上。而P，Q剛好為直線與圓的交點(diǎn)，選取過直線與圓交點(diǎn)的圓系方程，可極大地簡(jiǎn)化運(yùn)算過程。解：過直線與圓的交點(diǎn)的圓系方程為：，即….①依題意，O在以PQ為直徑的圓上，則圓心顯然在直線上，則，解之可得又滿足方程①，則，故。4、利用圓系方程判斷直線與圓的位置關(guān)系：例4圓系＋2＋（4＋10）＋10＋20＝０（