2024指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的交點(diǎn)個數(shù)問題

2024指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的交點(diǎn)個數(shù)問題指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)交點(diǎn)個數(shù)問題論題：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)交點(diǎn)個數(shù)問題．分及兩種情況進(jìn)行討論．（一）：當(dāng)時，過原點(diǎn)作的切線，設(shè)切點(diǎn)為∵∴又∵∴∴從而當(dāng)，即，亦即時，P在上，∴這樣就有，∴∴是與的公共點(diǎn).當(dāng),即，亦即時，與相離,與沒有公共點(diǎn).當(dāng),即，亦即時，與有兩個公共點(diǎn),,同理可知,均是與的公共點(diǎn).引理：當(dāng)時，與不可能有不在上的公共點(diǎn).證明：用反證法.假設(shè)與有公共點(diǎn),,當(dāng)時,①,②由②得③∵單增,又∵∴由此式結(jié)合①③可知,與矛盾.同理當(dāng)時亦矛盾.從而假設(shè)不真.所以,引理得證.由上可知：當(dāng)時,與有兩個公共點(diǎn),當(dāng)時,與有唯一公共點(diǎn),當(dāng)時,與沒有公共點(diǎn).（二）：當(dāng)時,作函數(shù),易知,不妨設(shè),則,過原點(diǎn)作的切線,則切線的斜率當(dāng),即時,恒成立.從而單增,∴有唯一的零點(diǎn).當(dāng),即時,不妨設(shè)與交于兩點(diǎn),,()則當(dāng)時,,當(dāng)時,,當(dāng)時,∴的單增區(qū)間為,,單減區(qū)間為在處取得極大值,且,在處取得極小值,且,再由零點(diǎn)存在定理可知,有三個零點(diǎn),分別在區(qū)間,,之內(nèi).對上述及的結(jié)論,可證明如下：設(shè)（）與的交點(diǎn)為∵∴∴即當(dāng)時，的函數(shù)值小于的函數(shù)值，數(shù)形結(jié)合可知∵（）與的交點(diǎn)為∴從而于是又∵∵，∴，又∵，∴，∴∴，又∵當(dāng)時,,當(dāng)時,,當(dāng)時,∴又∵在區(qū)間單減及可知且由上可知：當(dāng)即時，與有唯一公共點(diǎn),且此公共點(diǎn)在上，當(dāng)即時，與有三個公共點(diǎn),且有兩個不在直線上，但關(guān)于對稱，而第三個公共點(diǎn)在直線上.綜合上述,我們可以得到如下結(jié)論：當(dāng)時,與有兩個公共點(diǎn),且兩個公共點(diǎn)均在直線上.當(dāng)時,與有唯一公共點(diǎn),且該公共點(diǎn)在直線上.當(dāng)時,與沒有公共點(diǎn).當(dāng)時，與有唯一公共點(diǎn),且此公共點(diǎn)在上，當(dāng)時，與有三個公共點(diǎn),且有兩個不在直線上，但關(guān)于對稱，而第三個公共點(diǎn)在直線上.正交圓錐曲線的交點(diǎn)特性及相關(guān)的角度范圍問題任意圓錐曲線的交點(diǎn)問題實(shí)質(zhì)都是四次方程解的問題，通常較為復(fù)雜。但是對于正交的圓錐曲線的交點(diǎn)特性，我們卻可以得到一些好的幾何特性，并加以利用。本文意在利用圓錐曲線系的解析方法得到正交圓錐曲線交點(diǎn)的一個重要性質(zhì)，并且利用這一性質(zhì)分析圓錐曲線中任意弦所對角的取值范圍。我們先看一個常規(guī)問題：問題1：橢圓上兩端點(diǎn)A（-5,0）、B(5,0)，在橢圓上求一點(diǎn)P，使得∠APB最大。方法1：常規(guī)解析法，可以設(shè)P的參數(shù)坐標(biāo)，然后利用兩直線的夾角公式以及基本不等式的方法求出P點(diǎn)就在短軸頂點(diǎn)。方法2：可以設(shè)想過AB的圓，當(dāng)圓與橢圓相切時，顯然切點(diǎn)就是我們要找的P點(diǎn)。此法優(yōu)點(diǎn)在于簡結(jié)，但是有個缺陷，因?yàn)槲覀兛梢哉f圓與橢圓相切于橢圓對稱的兩側(cè)而非短軸頂點(diǎn)（雖然實(shí)際并非如此）。另外，如果A，B兩點(diǎn)是橢圓上的任意點(diǎn)，以上的方法1就比較繁瑣，方法2雖然依舊得到過AB的圓與橢圓的切點(diǎn)即為所求的簡潔結(jié)論，但是除了仍然面臨上文的那條缺陷外，具體求P點(diǎn)也成為問題。利用本文得到的關(guān)于正交圓錐曲線交點(diǎn)的一個重要性質(zhì)可以完善方法2，更為本質(zhì)的認(rèn)識這類問題。一、準(zhǔn)備工作1、正交的定義：若平面上兩條曲線都是軸對稱圖形，并且這兩條曲線存在相互垂直的對稱軸，則稱這兩條曲線相互正交。顯然圓與所有圓錐曲線都正交。我們這里將對稱軸垂直坐標(biāo)軸的圓錐曲線稱為標(biāo)準(zhǔn)圓錐曲線。所以標(biāo)準(zhǔn)圓錐曲線都不含交叉項(xiàng)。2、兩圓錐曲線相切的定義：兩條圓錐曲線C1、C2有公共點(diǎn)P，且過P點(diǎn)C1、C2有同一條切線，則稱這兩條圓錐曲線相切于P點(diǎn)。P稱為C1,C2的切點(diǎn)。直觀上，我們設(shè)想C1、C2原來相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)我們適當(dāng)移動C1，C2中的一條或兩條，使得AB越來越接近，最終重合與P，根據(jù)切線的定義，割線AB最終同時成為C1，C2的過P的切線。這樣C1，C2就相切于P點(diǎn)。所以，從方程解的角度看，AB本來是C1，C2聯(lián)列得到的四次實(shí)系數(shù)方程的兩個相異實(shí)根，而當(dāng)他們重合于P后，就成為重根。即切點(diǎn)就是實(shí)重根點(diǎn)，對應(yīng)兩實(shí)數(shù)解。3、圓錐曲線交點(diǎn)、切點(diǎn)的個數(shù)：引理：任意兩條圓錐曲線最多有4個不同的公共點(diǎn)，并且只有以下幾種情況：（1）若共有4個不同的公共點(diǎn)，則其中不存在兩曲線的切點(diǎn)。（2）若共有3個不同的公共點(diǎn)，則其中有且只有1個是切點(diǎn)。（3）若共有2個不同的公共點(diǎn)，則這兩個點(diǎn)要么都是個切點(diǎn)，要么都不是。（4）若共有1個公共點(diǎn)，則這個點(diǎn)必是切點(diǎn)。（5）沒有公共點(diǎn)。證明：根據(jù)代數(shù)基本定理，C1，C2聯(lián)列得到的四次實(shí)系數(shù)方程在復(fù)數(shù)域內(nèi)有且只有4個根，其中實(shí)根和虛根都是成對出現(xiàn)。所以根的所有情況是：Ⅰ4個相異實(shí)根，對應(yīng)上文的（1）Ⅱ4個實(shí)根，其中兩個相等，另外兩個不等。對應(yīng)（2）Ⅲ4個實(shí)根，兩兩相等對應(yīng)（3）中的兩個切點(diǎn)。Ⅳ2個相異實(shí)根，2個虛根，對應(yīng)（3）中的都不是切點(diǎn)的情況。Ⅴ2個相等的實(shí)根，2個虛根，對應(yīng)（4）。Ⅵ4個虛根，對應(yīng)（5）。到這里我們已經(jīng)可以解釋問題1的方法2中為何圓與橢圓只能相切于橢圓短軸頂點(diǎn)了。根據(jù)圓與橢圓的對稱性，假如切點(diǎn)不是短軸頂點(diǎn)，比如說切點(diǎn)在短軸左邊，則右邊對稱位置也是切點(diǎn)。那么這樣相當(dāng)于圓與橢圓有六解，這與最多四解矛盾。二、正交圓錐曲線的交點(diǎn)特性定理1：若圓與其它圓錐曲線C相交于4個不同的點(diǎn)，則這4點(diǎn)兩兩連線所成的角的角平分線都垂直或平行于C的對稱軸。（連線平行的情況除外）此定理等價于圓與標(biāo)準(zhǔn)的圓錐曲線的4交點(diǎn)，任意兩兩分組連線的斜率相反。（若兩點(diǎn)連線斜率不存在，則另外兩點(diǎn)連線斜率也不存在）證明：如圖1我們先證C為橢圓時，不妨以C的中心為原點(diǎn)，對稱軸為軸建立直角坐標(biāo)系。設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為，橢圓為，直線AB為：，直線CD為：

利用曲線系方程：

這個方程代表一個圓方程。

此時的系數(shù)為，因此必須即斜率相反。若不存在，則也不存在。圖1同理,AC的斜率與BD的斜率相反，AD的斜率與BC的斜率相反。從上面的證明過程我們看到，將橢圓換成其它的圓錐曲線我們同樣可以證明這個結(jié)論。因?yàn)?，其它?biāo)準(zhǔn)的圓錐曲線同樣不含交叉項(xiàng)。這就證明了定理1。推論1：兩條正交的圓錐曲線相交于4點(diǎn)，則4點(diǎn)兩兩分組連線的角平分線垂直或平行于圓錐曲線的對稱軸。（連線平行除外）此推論等價于兩條正交的標(biāo)準(zhǔn)的圓錐曲線相交于4點(diǎn)，則4點(diǎn)兩兩分組連線的斜率相反。在定理1的證明中我們看到，只要①式表示一個不含項(xiàng)的曲線，就有。兩條正交的圓錐曲線，以其中一條對稱軸為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系，另外一條也就是標(biāo)準(zhǔn)的。所以推論成立。推論2：兩條正交的圓錐曲線相交于4點(diǎn)，則4點(diǎn)共圓。由推論1，因?yàn)橄嘟怀傻乃倪厡呅甭氏喾矗愿鶕?jù)到角公式，四邊形的對角互補(bǔ)，即四點(diǎn)共圓。推論3：兩條斜率相反的直線與標(biāo)準(zhǔn)的圓錐曲線C：相交于4點(diǎn)，則這4點(diǎn)共圓。利用過交點(diǎn)的曲線系方程：隨著t的變化，上式表示所有過4交點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)的圓錐曲線。當(dāng)然其中也包括圓，也就是說4交點(diǎn)共圓。三、應(yīng)用我們這里只對橢圓中的任意弦所對角的范圍問題應(yīng)用以上結(jié)論求解圖2圖3問題2:AB兩點(diǎn)是橢圓上任意給定的兩點(diǎn)，橢圓上動點(diǎn)P，求∠APB的取值范圍。為了討論方便，規(guī)定本文中提到的交點(diǎn)都是非切點(diǎn)。首先，根據(jù)圓錐曲線交點(diǎn)、切點(diǎn)個數(shù)的情況，我們知道當(dāng)過A、B的圓C1與橢圓C2相切時，切點(diǎn)P只有一個，且除A、B外沒有其它交點(diǎn)，如圖2、圖3所示。根據(jù)定理1，過切點(diǎn)P的切線的斜率與AB連線的斜率相反（切點(diǎn)P看成圖1中D、C兩點(diǎn)的重合）。A、B已知，過切點(diǎn)P的切線的斜率已確定。顯然在橢圓上有且只有兩個點(diǎn)滿足斜率與AB的斜率相反，且它們關(guān)于橢圓中心對稱。記作P1，P2。另外A、B也可以成為C1與C2的切點(diǎn)。而橢圓C2上其它點(diǎn)只能是C1與C2的交點(diǎn)。如圖4所示。圖4而交點(diǎn)都不可能成為角度的最值點(diǎn)，因?yàn)樵赑的兩側(cè)始終同時存在比∠APB大和比∠APB小的角。所以，我們最后只需要考察這四個點(diǎn)：P1、P2、A、B.P1、P2在橢圓上AB的同側(cè)。當(dāng)P在這一側(cè)運(yùn)動時，角度變化是連續(xù)變化，這四個點(diǎn)對應(yīng)的角度最小值記為，最大值記為則當(dāng)P在這一側(cè)運(yùn)動時角度的范圍就是（，）。（A、B點(diǎn)得到的角度取不到.）而對于另一側(cè)，因?yàn)槎际窃贏、B點(diǎn)趨向于最值，且P在這側(cè)運(yùn)動過程中角度連續(xù)變化，所以只要考察A、B兩點(diǎn)對應(yīng)的較小和較大角度分別為，,則當(dāng)P在這一側(cè)運(yùn)動時角度的范圍就是（，）.所以最終角度范圍：（，）（，）.P1、P2在橢圓上AB的異側(cè)，當(dāng)P在一側(cè)運(yùn)動時，角度變化是連續(xù)變化，A、P1、B對應(yīng)角度最小值記為，最大值記為，則當(dāng)P在這一側(cè)運(yùn)動時角度的范圍就是（，）。（A、B點(diǎn)得到的角度取不到.）另一側(cè)，A、P2、B對應(yīng)角度最小值記為，最大值記為，當(dāng)P在這一側(cè)運(yùn)動時角度的范圍就是（，）。（A、B點(diǎn)得到的角度取不到.）最終角度范圍：（，）（，）至此，我們圓滿的解決橢圓中任意弦所對的角的范圍問題。其它圓錐曲線中弦所對的角的范圍問題可以類似解決。再談等軸雙曲線的典型性質(zhì)江西師范大學(xué)《中學(xué)數(shù)學(xué)研究》月刊2000年第5期曾刊登了本人的拙作《等軸雙曲線的幾個典型性質(zhì)及其證明》，文中給出并證明了具有高度對稱美的等軸雙曲線所獨(dú)有的五個典型性質(zhì)。經(jīng)過本人的進(jìn)一步研究，發(fā)現(xiàn)等軸雙曲線還有另外幾個典型性質(zhì)。下面一一列出，并加以證明。性質(zhì)一等軸雙曲線上關(guān)于實(shí)軸對稱的兩點(diǎn)分別與此雙曲線兩個頂點(diǎn)的連線互相垂直。證明：如圖1，設(shè)等軸雙曲線方程為兩頂點(diǎn)為、，雙曲線上關(guān)于實(shí)軸對稱的兩點(diǎn)為、，則，且、、、諸直線的斜率分別為：，，，?！?，即，。性質(zhì)二等軸雙曲線上一點(diǎn)張直角之弦平行于過此點(diǎn)的法線。證明：設(shè)等軸雙曲線的參數(shù)方程為，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，在點(diǎn)P張直角之弦的兩端點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，則的斜率為。同理，、的斜率分別為，。，∴，∴。而過點(diǎn)P的法線PN的斜率為過點(diǎn)P的切線斜率的負(fù)倒數(shù)，∴。故。性質(zhì)三過等軸雙曲線上任意一點(diǎn)的法線截實(shí)軸、虛軸所得線段中點(diǎn)的軌跡是此等軸雙曲線本身。證明：如圖2，設(shè)等軸雙曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則。過點(diǎn)M的切線方程為。由于雙曲線在同一點(diǎn)上的切線與法線互相垂直，故可令過點(diǎn)M的法線方程為，將M點(diǎn)坐標(biāo)代入，可得，∴此法線方程為。且此法線與實(shí)軸、虛軸都相交，故，。由此可得法線與實(shí)軸、虛軸的交點(diǎn)分別為、。設(shè)線段KL的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，?！?，即線段KL的中點(diǎn)軌跡是等軸雙曲線本身。性質(zhì)四等軸雙曲線中通過焦點(diǎn)且平行于一對共軛直徑的兩條弦彼此相等。證明：如圖3，設(shè)等軸雙曲曲線方程為，過焦點(diǎn)分別與兩共軛直徑平行的兩弦、的傾角為、（其中不妨設(shè)為銳角），則兩共軛直徑的斜率之積為（見“注（2）”），即，從而。設(shè)的方程為①將①代入雙曲線方程，得，∴的長度。同理可證的長度。所以的長度和的長度相等。注：（1）雙曲線不與漸近線平行的平行弦系中點(diǎn)的軌跡稱為雙曲線的直徑；（2）若雙曲線的一條直徑為，則其共軛直徑為（限于篇幅，這里不作證明），故兩條共軛直徑的斜率之積為。性質(zhì)五若等軸雙曲線經(jīng)過直角三角形的三個頂點(diǎn)，則直角頂點(diǎn)處的切線垂直于斜邊。證明：如圖4，設(shè)等軸雙曲線方程為，直角三角形ABC的三頂點(diǎn)在等軸雙曲線上，設(shè)直角頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為，其余兩頂點(diǎn)為、，則直線AB、AC、BC的斜率分別為，，?！撸?。過點(diǎn)A的切線為，此切線的斜率為，∴，