(滬教版2020選修二)2022年上海高二數(shù)學同步講義-第6章-計數(shù)原理(典型題專練)(教師版)

第6章計數(shù)原理典型題專練一、單選題1．（2019·上海嘉定·高二期末）已知n，，，下面哪一個等式是恒成立的（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用排列數(shù)、組合數(shù)公式以及組合數(shù)的性質可對各選項中的等式的正誤進行判斷.【詳解】由組合數(shù)的定義可知，A選項錯誤；由排列數(shù)的定義可知，B選項正確；由組合數(shù)的性質可知，則C、D選項均錯誤.故選B.【點睛】本題考查排列數(shù)、組合數(shù)的定義以及組合數(shù)的性質的應用，意在考查對這些公式與性質的理解應用，屬于基礎題.2．（2021·上海·高二專題練習）5本不同的書全部分給4個學生，每個學生至少一本，不同的分法種數(shù)為()A．240種 B．120種 C．96種 D．480種【答案】A【分析】由題先把5本書的兩本捆起來看作一個元素，這一個元素和其他的三個元素在四個位置全排列，根據(jù)分步計數(shù)原理兩個過程的結果數(shù)相乘即可得答案．【詳解】由題先把5本書的兩本捆起來看作一個元素共有種可能，這一個元素和其他的三個元素在四個位置全排列共有種可能，所以不同的分法種數(shù)為種，故選A.【點睛】本題考查排列組合與分步計數(shù)原理，屬于一般題．3．（2019·上海松江·高二期末）如圖所示的陰影部分由方格紙上3個小方格組成，我們稱這樣的圖案為形（每次旋轉90°仍為形的圖案），那么在個小方格組成的方格紙上可以畫出不同位置的形需案的個數(shù)是A．36 B．64 C．80 D．96【答案】C【分析】把問題分割成每一個“田”字里，求解.【詳解】每一個“田”字里有個“”形，如圖因為的方格紙內共有個“田”字，所以共有個“”形..【點睛】本題考查排列組合問題，關鍵在于把“要做什么”轉化成“能做什么”，屬于中檔題.4．（2018·上海中學高三階段練習）現(xiàn)有種不同顏色，要對如圖所示的四個部分進行著色，要求有公共邊界的兩部分不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有（）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】D【分析】將原圖從上而下的個區(qū)域標為、、、，分類討論、同色與不同色這兩種情況，利用分步乘法計數(shù)原理和分類加法計數(shù)原理可得出結果.【詳解】將原圖從上而下的個區(qū)域標為、、、，因為、、之間不能同色，與可以同色，因此，要分類討論、同色與不同色這兩種情況.①若、同色，則區(qū)域、有種選擇，區(qū)域有種選擇，區(qū)域有種選擇，由分步乘法計數(shù)原理可知，此時共有種涂色方法；②若、不同色，則區(qū)域有種選擇，區(qū)域有種選擇，區(qū)域有種選擇，區(qū)域只有種選擇，此時共有種涂色方法.故不同的著色方法種數(shù)為.故選：D.【點睛】本題考查涂色問題，涉及分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的應用，考查計算能力，屬于中等題.5．（2020·上海市七寶中學高二階段練習）某個比賽安排4名志愿者完成6項工作，每人至少完成一項，每項工作由一人完成，則不同的安排方式有多少種（）A．7200種 B．4800種 C．2640種 D．1560種【答案】D【分析】分兩類，第一類，4人完成的工作數(shù)是3，1，1，1，第二類，4人完成的工作數(shù)是2，2，1，1，再將工作分組，進行分配即可.【詳解】由題意，分兩類：第一類，當4人完成的工作數(shù)是3，1，1，1時，首先將6項工作分成4組，一組3項，另外三組各1項，共有種不同方式，再分配給4個人共種不同方式；第二類，當4人完成的工作數(shù)是2，2，1，1時，首先將6項工作分成4組，兩組2項，另外兩組各1項，共有種不同方式，再分配給4個人共種不同方式；綜上，共有1560種不同安排方式.故選：D【點睛】本題考查排列與組合的綜合應用問題，涉及到部分均勻分組問題，考查學生的邏輯推理能力，是一道中檔題.6．（2021·上?！じ叨ｎ}練習）若是小于的正整數(shù)，則等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用排列數(shù)的定義可得出正確選項.【詳解】，由排列數(shù)的定義可得.故選D.【點睛】本題考查排列數(shù)的表示，解題的關鍵就是依據(jù)排列數(shù)的定義將代數(shù)式表示為階乘的形式，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.二、填空題7．（2020·上海·高三專題練習）現(xiàn)有某病毒記作其中正整數(shù)、（）可以任意選取，則、都取到奇數(shù)的概率為_____【答案】【詳解】∵，，且、，基本事件的總數(shù)是種，、都取到奇數(shù)的事件有種，由古典概型公式，、都取到奇數(shù)的概率為.【考點定位】考查奇數(shù)、偶數(shù)的定義，古典概型.注意古典概型與幾何概型的區(qū)別.容易題.8．（2019·上海松江·高二期末）若，則實數(shù)________.【答案】或【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質得解.【詳解】由組合數(shù)的性質得或，所以或【點睛】本題考查組合數(shù)的性質，屬于基礎題.9．（2019·上海市延安中學高二期末）的不同正約數(shù)共有______個．【答案】【分析】將進行質因數(shù)分解為，然后利用約數(shù)和定理可得出的不同正約數(shù)個數(shù).【詳解】將進行質因數(shù)分解為，因此，的不同正約數(shù)共有.故答案為：.【點睛】本題考查合數(shù)的正約數(shù)個數(shù)的計算，一般將合數(shù)質因數(shù)分解，并利用約數(shù)和定理進行計算，也可以采用列舉法，考查計算能力，屬于中等題.10．（2021·上海·高二專題練習）的展開式中的系數(shù)為________________．【答案】【分析】在二項展開式的通項中令的指數(shù)為，求出參數(shù)值，然后代入通項可得出結果.【詳解】的展開式的通項為，令，因此，的展開式中的系數(shù)為.故答案為：.【點睛】本題考查二項展開式中指定項系數(shù)的求解，涉及二項展開式通項的應用，考查計算能力，屬于基礎題.11．（2022·上海·高三專題練習）設常數(shù)，若的二項展開式中項的系數(shù)為-10，則________．【答案】-2【詳解】試題分析：∵的展開式的通項為，令，得，∴的系數(shù)是，∵項的系數(shù)為-10，∴，得.考點：二項式定理.12．（2019·上海市七寶中學高三開學考試）若二項式展開式的常項數(shù)為20，則______．【答案】1【分析】利用二項式展開的通項公式，令其指數(shù)為0，可得出，再寫出常數(shù)項，得到的值．【詳解】解：二項式展開式的通項公式：，令，解得．常項數(shù)為，則．故答案為1．【點睛】本題考查了二項式定理的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．13．（2019·上海市川沙中學高二期末）在二項式展開式中，第五項為________.【答案】60【分析】根據(jù)二項式的通項公式求解.【詳解】二項式的展開式的通項公式為：，令，則，故第五項為60.【點睛】本題考查二項式定理的通項公式，注意是第項.14．（2020·上海市大同中學高三階段練習）在報名的名男教師和名女教師中，選取人參加義務獻血，要求男、女教師都有，則不同的選取方式的種數(shù)為________（結果用數(shù)值表示）.【答案】【分析】分兩種情況討論，兩男一女和兩女一男，然后利用分類計算原理可得出選取的方法種數(shù).【詳解】由題意可知，所選的人中應為兩男一女和兩女一男，由分類計數(shù)原理可知，不同的選取方式的種數(shù)為.故答案為.【點睛】本題考分類計數(shù)原理的應用，對問題合理進行分類討論是解題的關鍵，考查分類討論思想的應用，屬于中等題.15．（2019·上海市延安中學高二期末）不等式的解為______．【答案】或或或【分析】利用組合數(shù)公式得出關于的不等式，解出的取值范圍，即可得出正整數(shù)的取值.【詳解】，由組合數(shù)公式得，得，整理得，即，解得，由題意可知且，因此，不等式的解為或或或.故答案為：或或或.【點睛】本題考查組合不等式的求解，解題的關鍵就是利用組合數(shù)公式列出不等式，考查運算求解能力，屬于中等題.16．（2021·上海中學高二階段練習）計算：________（用數(shù)值作答）【答案】46【分析】由已知，，解不等式組可得，再代入原式計算即可.【詳解】由已知，，解得，又，所以，所以.故答案為：46【點睛】本題考查組合數(shù)公式的計算，要注意題目中隱含的條件，考查學生的基本計算能力，是一道容易題.17．（2020·上海市行知中學高二階段練習）從位女生，位男生中選人參加科技比賽，且至少有位女生入選，則不同的選法共有_____________種．（用數(shù)字填寫答案）【答案】【分析】首先想到所選的人中沒有女生，有多少種選法，再者需要確定從人中任選人的選法種數(shù)，之后應用減法運算，求得結果.【詳解】根據(jù)題意，沒有女生入選有種選法，從名學生中任意選人有種選法，故至少有位女生入選，則不同的選法共有種，故答案是.【點睛】該題是一道關于組合計數(shù)的題目，并且在涉及到“至多、至少”問題時多采用間接法，一般方法是得出選人的選法種數(shù)，間接法就是利用總的減去沒有女生的選法種數(shù)，該題還可以用直接法，分別求出有名女生和有兩名女生分別有多少種選法，之后用加法運算求解.18．（2019·上海交大附中高三期末）已知，且，那么的展開式中的常數(shù)項為______．【答案】-20【分析】由題意令x＝1，可得n＝6，再利用二項展開式的通項公式，求得展開式中的常數(shù)項．【詳解】∵已知，且，∴令，可得，∴，那么的展開式的通項公式為，令，求得，可得展開式中的常數(shù)項為，故答案為﹣20．【點睛】本題主要考查二項式定理的應用，賦值法，求展開式的系數(shù)和，項的系數(shù)，準確計算是關鍵，屬于基礎題．19．（2019·上海市七寶中學三模）求值：________【答案】【分析】根據(jù)二項式定理展開式配湊，即可求出．【詳解】．故答案為．【點睛】本題主要考查二項式定理的應用,考查學生對二項展開式的理解．20．（2019·上海市延安中學高二期末）計算：______．【答案】【分析】將變?yōu)?，然后利用組合數(shù)性質即可計算出所求代數(shù)式的值.【詳解】，.故答案為：.【點睛】本題考查組合數(shù)的計算，利用組合數(shù)的性質進行計算是解題的關鍵，考查計算能力，屬于中等題.21．（2020·上海市七寶中學高三階段練習）已知，若數(shù)列、、、是一個單調遞增數(shù)列，則的最大值為____.【答案】【分析】先由展開式通項求得，根據(jù)可得最大，由此求得的最大值.【詳解】，展開式通項為，，由于數(shù)列、、、是一個單調遞增數(shù)列，，即，解得，因此，的最大值為.故答案為：.【點睛】本題主要考查二項式定理的應用，考查項的系數(shù)最大值的求法，屬于中檔題．22．（2022·上海·高三專題練習）已知正項等比數(shù)列中，，，用表示實數(shù)的小數(shù)部分，如，，記，則數(shù)列的前15項的和為______.【答案】5【分析】通過和可計算出數(shù)列的通項公式，即，由二項式定理結合題意可得，進而可得結果.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，由得，則，由和，解得，，則.由，，則，故答案為：5.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列中基本量的計算，二項式定理的應用，對新定義的理解是解題的關鍵，屬于中檔題.23．（2021·上海·高二專題練習）如圖，我們在第一行填寫整數(shù)到，在第二行計算第一行相鄰兩數(shù)的和，像在三角（楊輝三角）中那樣，如此進行下去，在最后一行我們會得到的整數(shù)是______.【答案】【分析】將數(shù)陣倒置，記第行第個數(shù)為，由此可得出所求的數(shù)為，且有性質并且，通過結合規(guī)律逐項推導得出，利用組合數(shù)公式以及二項式定理可得出結果.【詳解】將數(shù)陣倒置，計第行第個數(shù)為，則倒置后的數(shù)陣為：則有，且有.，，.依此類推，，因此，.故答案為.【點睛】本題考查歸納推理，解題的關鍵在于找出一般規(guī)律并借助二項式定理進行計算，考查邏輯推理能力與計算能力，屬于難題.24．（2021·上海·高二專題練習）對任意正整數(shù)，設函數(shù)的零點為，數(shù)列的前項和為，則使得能被整除的正整數(shù)的個數(shù)是________．【答案】0【分析】要求零點，應先把函數(shù)解析式中的對數(shù)化為相同底數(shù)，再求函數(shù)的零點可得，進而寫出數(shù)列的前項和，用二項式定理和整除思想說明不能被整除即可。【詳解】函數(shù)，令，解得。所以，數(shù)列的前項和為，因為，上式等號右邊的最后一個數(shù)不能被整除，所以不存在這樣的正整數(shù)?！军c睛】本題考查對數(shù)運算性質及換底公式、函數(shù)的零點、二項式定理等知識，難度較大，考查學生綜合運用知識解決問題的能力。三、解答題25．（2019·上?！偷└街懈叨谀┮阎麛?shù),.(1)若的展開式中,各項系數(shù)之和比二項式系數(shù)之和大992,求的值；(2)若,且是中的最大值,求的值.【答案】(1)；(2)或.【分析】(1)令求出的展開式中各項系數(shù)和,結合二項式系數(shù)和公式,可由題意列出方程,解方程即可求出的值(2)根據(jù)數(shù)列最大項的定義,可以列出不等式組,解這個不等式組即可求出的值.【詳解】(1)令,所以的展開式中各項系數(shù)和為：,二項式系數(shù)和為：,由題意可知：或(舍去),所以；(2)二項式的通項公式為：.因為是中的最大項,所以有：,因此或.【點睛】本題考查了二項式系數(shù)之和公式和展開式系數(shù)之和算法,考查了二項式展開式系數(shù)最大值問題,考查了數(shù)學運算能力.26．（2019·上海·曹楊二中高二期末）已知的展開式的二項式系數(shù)之和為．（1）求展開式中的常數(shù)項；（2）求展開式中的系數(shù)最大的項．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)二項式系數(shù)和為，求出的值，然后寫出二項展開式的通項，令的指數(shù)為零，求出參數(shù)的值，再代入通項可得出展開式中的常數(shù)項；（2）設，利用作商法求出的最大值，以及對應的值，再將的值代入展開式通項可得出所求的項.【詳解】（1）的展開式的二項式系數(shù)之和為，得.的展開式的通項為.令，解得，因此，的展開式中的常數(shù)項為；（2）設，則.當時，，則有；當時，，則有.所以，當時，最大，因此，展開式中的系數(shù)最大的項為.【點睛】本題考查二項展開式常數(shù)項的求解，同時也考查了二項式系數(shù)和以及系數(shù)最大項的求解，一般要利用項的系數(shù)的單調性來求解，考查計算能力，屬于中等題.27．（2019·上海·曹楊二中高二期末）如圖所示是豎直平面內的一個“通道游戲”，圖中豎直線段和斜線都表示通道，并且在交點處相遇．若有一條豎直線段的為第一層，第二條豎直線段的為第二層，以此類推，現(xiàn)有一顆小球從第一層的通道向下運動，在通道的交叉處，小球可以落入左右兩個通道中的任意一個，記小球落入第層的第個豎直通道（從左向右計）的不同路徑數(shù)為．（