第3章 三視圖與表面展開圖（單元測試）（解析版）

班級________姓名________學號________分數(shù)________第3章三視圖與表面展開圖注意事項：本試卷滿分120分，考試時間120分鐘，試題共24題。答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置選擇題（10小題，每小題3分，共30分）1．（2023·浙江湖州·統(tǒng)考中考真題）已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看所得到的圖形，從而得出答案．【詳解】解：∵主視圖和左視圖是長方形，∴幾何體是柱體，∵俯視圖是圓，∴該幾何體是圓柱，故D正確．故選：D．【點睛】本題主要考查了由三視圖確定幾何體的形狀，主要考查學生空間想象能力．2．（2023上·浙江臺州·九年級?？计谥校┮粋€圓錐的底面直徑是6cm，母線長5cm，則其側(cè)面展開圖的圓心角為（

）A．90° B．108° C．120° D．216°【答案】D【分析】本題考查求圓錐側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)．根據(jù)圓錐的底面圓的周長等于扇形的弧長，列式計算即可．【詳解】解：由題意，得：，∴，故選D．3．（2023下·浙江杭州·九年級校聯(lián)考期中）由若干個相同的小立方體搭成的幾何體的三視圖如圖所示，則搭成這個幾何體的小立方體的個數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】從俯視圖中可以看出最底層小正方體的個數(shù)及形狀，從主視圖可以看出每一層小正方體的層數(shù)和個數(shù)，從而算出總的個數(shù)．【詳解】解：從俯視圖中可以看出最底層小正方體有3個，從主視圖看第一列兩個正方體，說明俯視圖中的左邊一列有兩個正方體，所以此幾何體共有四個正方體．故選B．【點睛】本題考查由三視圖想象立體圖形．做這類題時要借助三種視圖表示物體的特點，從主視圖上弄清物體的上下和左右形狀；從俯視圖上弄清物體的左右和前后形狀；從左視圖上弄清楚物體的上下和前后形狀，綜合分析，合理猜想，結合生活經(jīng)驗描繪出草圖后，再檢驗是否符合題意．4．（2023·浙江嘉興·?？家荒＃囊粔K半徑是4m的圓形鐵片上剪出一個圓心角為的扇形，將剪下的扇形圍成一個圓錐，圓錐的高是（）A． B．2m C．4m D．【答案】D【詳解】設圓錐的底面圓的半徑為r，利用圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長和弧長公式，得到，解得，然后利用勾股定理計算圓錐的高．【分析】解：設圓錐的底面圓的半徑為r，根據(jù)題意得，解得所以圓錐的高．故選：D．【點睛】此題主要考查了圓錐的計算，勾股定理，解答此題的關鍵是求出扇形圍成的圓錐的底面半徑是多少．5．（2022下·浙江杭州·九年級?？茧A段練習）如圖，從一塊半徑是的圓形鐵皮上剪出一個圓心角為60°的扇形，如果剪出來的扇形圍成一個圓錐，那么圍成的圓錐的半徑是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，過點O作于H．想辦法求出圓錐的母線長即的長，進而求出底面圓半徑即可解決問題．【詳解】解：連接，過點O作于H．∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，∴圓錐底面圓的周長，∴圓錐底面圓的半徑為．故選：A．【點睛】本題考查圓錐的計算，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理和含度角的直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．6．（2023下·安徽淮北·九年級淮北一中校聯(lián)考階段練習）如圖，在矩形中，以點為圓心，以長為半徑畫弧交于點，將扇形剪下來做成圓錐，若，則該圓錐底面半徑為（

）A． B． C．3 D．【答案】B【分析】首先得到是等腰直角三角形，進而得到，然后由勾股定理求出，然后根據(jù)扇形的弧長等于圍成的圓錐的底面圓的周長列方程求解即可．【詳解】∵在矩形中，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，，∴，∵扇形的弧長等于圍成的圓錐的底面圓的周長∴設圓錐的底面圓的半徑為r∴，∴解得．故選：B．【點睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，圓錐的底面圓周長和扇形的弧長的關系等知識，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．7．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標系中，點是一個光源，木桿兩端的坐標分別是，，則木桿在x軸上的投影的長是（

）A．4 B． C． D．5【答案】B【分析】根據(jù)題意畫出圖形，分別求得直線的解析式，進而即可求解．【詳解】解：如圖所示，∵，，，設直線的解析式為：，直線的解析式為：，∴解得：，∴，中，當時，，則,中，當時，，則∴，故選：B．【點睛】本題考查了中心投影，一次函數(shù)的應用，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．8．（2022·浙江金華·校聯(lián)考一模）已知圓錐底面半徑為1，母線長為4，地面圓周上有一點A，一只螞蟻從點A出發(fā)沿圓錐側(cè)面運動一周后到達母線PA中點B，則螞蟻爬行的最短路程為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】要求螞蟻爬行的最短距離，需將圓錐的側(cè)面展開，連接AB，根據(jù)展開所得扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長求得扇形的圓心角，進而解三角形即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，將該圓錐展開如下圖所示的扇形，則線段AB就是螞蟻爬行的最短距離．∵點B是母線PA的中點，，∴，∵圓錐的底面圓的周長=扇形的弧長，又∵圓錐底面半徑為1，∴扇形的弧長=圓錐底面周長，即，扇形的半徑=圓錐的母線=PA=4，由弧長公式可得：∴扇形的圓心角，在Rt△APB中，由勾股定理可得：，所以螞蟻爬行的最短路程為，故選：C．【點睛】.本題考查平面展開--最短路徑問題、圓的周長計算公式、弧長計算公式，勾股定理等知識，解題的關鍵是“化曲為直”，將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形．9．（2021·浙江寧波·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝，若把△ABC繞邊AB所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，則所得幾何體的表面積為（

）A．（+3）π B．π C．2π D．（2+3）π【答案】B【詳解】根據(jù)所得幾何體的表面積為兩個圓錐側(cè)面積的和進行求解即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝，∴AB＝＝2，設AB邊上的高為h，則×2h＝×1×，解得：h＝，∴所得兩個圓錐底面半徑為．∴幾何體的表面積＝×2π××1+×2π××＝．故選：B．【點睛】本題主要考查了求圓錐的表面積，勾股定理，三角形面積公式，正確理解題意得知旋轉(zhuǎn)后的圖形是兩個圓錐是解題的關鍵．10．（2021·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，線段，點、在上，．已知點從點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿著向點移動，到達點后停止移動，在點移動過程中作如下操作：先以點為圓心，、的長為半徑分別作兩個圓心角均為60°的扇形，再將兩個扇形分別圍成兩個圓錐的側(cè)面．設點的移動時間為（秒）．兩個圓錐的底面面積之和為．則關于的函數(shù)圖像大致是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意，先求出，，然后利用再求出圓錐的底面積進行計算，即可求出函數(shù)表達式，然后進行判斷即可．【詳解】解：根據(jù)題意，∵，，且已知點從點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿著向點移動，到達點后停止移動，則，∴，∴，由的長為半徑的扇形的弧長為：∴用的長為半徑的扇形圍成的圓錐的底面半徑為∴其底面的面積為由的長為半徑的扇形的弧長為：∴用的長為半徑的扇形圍成的圓錐的底面半徑為∴其底面的面積為∴兩者的面積和∴圖像為開后向上的拋物線，且當時有最小值；故選：D．【點睛】本題考查了扇形的面積公式，二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)，線段的動點問題，解題的關鍵是熟練掌握扇所學的知識，正確的求出函數(shù)的表達式．二、填空題（6小題，每小題4分，共24分）11．（2023上·浙江臺州·九年級校考期中）若圓錐的母線長為，高為，則側(cè)面積為．【答案】【分析】先由勾股定理求出圓錐底面的半徑，再根根據(jù)圓錐側(cè)面積=×底面周長×母線長計算．本題考查圓錐的相關計算，解題的關鍵是牢記圓錐的側(cè)面積公式．【詳解】解：由題意得：圓錐的底面半徑為，圓錐側(cè)面積=．故答案為：．12．（2023·浙江·模擬預測）用半徑為r的圓形鐵皮，做成n個相同圓錐的側(cè)面(不浪費材料，不計接縫處的材料損耗)，則每個圓錐的底面半徑為．【答案】【分析】先求得圓形鐵皮的周長，除以即為圓錐容器的側(cè)面展開圖的弧長，除以2π就是所求的圓錐容器的底面半徑．【詳解】解：∵半徑為的圓形鐵皮，∴圓形鐵皮的周長為，∴圓錐容器的側(cè)面展開圖的弧長為∴每個圓錐容器的底面半徑為故答案為：．【點睛】題考查了圓錐的計算，用到的知識點為：圓錐的側(cè)面展開圖的弧長等于底面周長．13．（2023·浙江寧波·校考三模）已知圓錐的底面半徑和母線的長分別是一元二次方程的兩個根，則圓錐的側(cè)面積為．【答案】【分析】設圓錐底面半徑為r，母線長為h，根據(jù)圓錐的側(cè)面積計算公式可得：圓錐的側(cè)面積，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關系即可求解．【詳解】解：設圓錐底面半徑為r，母線長為h，∵圓錐的側(cè)面積，圓錐的底面半徑和母線的長分別是一元二次方程的兩個根，∴，∴圓錐的側(cè)面積，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關系，以及圓錐側(cè)面積的計算，解題的關鍵是牢記圓錐的側(cè)面積計算公式，難度不大．14．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考一模）公元前6世紀，古希臘學者泰勒斯用圖1的方法巧測金字塔的高度．如圖2，小明仿照這個方法，測量圓錐形小山包的高度，已知圓錐底面周長為．先在小山包旁邊立起一根木棒，當木棒影子長度等于木棒高度時，測得小山包影子長為（直線過底面圓心），則小山包的高為（?。敬鸢浮俊痉治觥看祟}為平行投影，即可得相似三角形，那么可得到，根據(jù)圓錐底面周長求出圓錐底面圓的半徑，最后推論出高．【詳解】連接，過作于，由題意可知，∴∵圓錐底面周長為．∴，解得，∵,∴∴小山包的高為．故答案為：．【點睛】此題考查平行投影，解題關鍵是根據(jù)通過三角形相似，將小山包的高轉(zhuǎn)化為的長進行求解．15．（2022·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）如圖是某風車示意圖，其相同的四個葉片均勻分布，水平地面上的點M在旋轉(zhuǎn)中心O的正下方．某一時刻，太陽光線恰好垂直照射葉片，此時各葉片影子在點M右側(cè)成線段，測得，垂直于地面的木棒與影子的比為2∶3，則點O，M之間的距離等于米．轉(zhuǎn)動時，葉片外端離地面的最大高度等于米．【答案】10【分析】過點O作AC、BD的平行線，交CD于H，過點O作水平線OJ交BD于點J，過點B作BI⊥OJ，垂足為I，延長MO，使得OK＝OB，求出CH的長度，根據(jù)，求出OM的長度，證明，得出，，求出IJ、BI、OI的長度，用勾股定理求出OB的長，即可算出所求長度．【詳解】如圖，過點O作AC、BD的平行線，交CD于H，過點O作水平線OJ交BD于點J，過點B作BI⊥OJ，垂足為I，延長MO，使得OK＝OB，由題意可知，點O是AB的中點，∵，∴點H是CD的中點，∵，∴，∴，又∵由題意可知：，∴，解得，∴點O、M之間的距離等于，∵BI⊥OJ，∴，∵由題意可知：，又∵，∴，∴，∴，∴，，∵，∴四邊形OHDJ是平行四邊形，∴，∵，∴，，，∵在中，由勾股定理得：，∴，∴，∴，∴葉片外端離地面的最大高度等于，故答案為：10，．【點睛】本題主要考查了投影和相似的應用，及勾股定理和平行四邊形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解答本題的關鍵．16．（2023·浙江·一模）日晷是我國古代利用日影測定時刻的一種計時儀器，它由“晷面”和“晷針”組成，古人常用的日晷有水平式日晷（圖1）和赤道式日晷（圖2）．其中水平式日晷的“晷針”與“晷面”的夾角就是其所在位置的地理緯度且“晷面”與地面平行；赤道式日晷的“晷面”與赤道面平行當太陽光照在日晷上時，晷針的影子就會投向晷面．隨著時間的推移，晷針的影子在晷面上慢慢地移動，以此來顯示時刻．此外，水平式日晷的“晷面”刻度不均勻，赤道式日晷的“晷面”刻度則是均勻的．

（1）如圖1，當水平式日晷放在緯度為（即）位置時，晷針與晷面的夾角為°．（2）如圖3，將兩種日晷的“晷針”重合，n小時后，兩種日晷對應的時刻一致，即兩種晷“晷針”的影子所在的直線相交于點．此時與滿足的關系式．【答案】【分析】（1）根據(jù)水平式日晷的“晷針”與“晷面”的夾角就是其所在位置的地理緯度求解即可；（2）過點作于點，證明，根據(jù)平行投影證明，根據(jù)，得出即可．【詳解】解：（1）∵水平式日晷的“晷針”與“晷面”的夾角就是其所在位置的地理緯度，∴當水平式日晷放在緯度為（即）位置時，晷針與晷面的夾角為；故答案為：；（2）過點作于點，如圖所示：

則，∴，根據(jù)題意可知，赤道日晷的晷面與晷針垂直，∴，∴，∴，∴，根據(jù)平行投影可知，當12點時，點在水平方向的投影為點E，經(jīng)過n小時后，的投影在上，因此，∵，

∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了平移投影的有關知識，解題的關鍵是數(shù)形結合，發(fā)揮空間想象能力，根據(jù)平行投影得出．三、解答題（8小題，共66分）17．（2022上·陜西榆林·九年級?？计谀睦忾L為的正方體的一角，挖去一個棱長為的小正方體，得到如圖所示的幾何體，請畫出該幾何體的三視圖．【答案】見解析【分析】根據(jù)三視圖的定義，即可．【詳解】解：所畫三視圖如圖所示：【點睛】本題考查三視圖的知識，解題的關鍵是掌握三視圖的性質(zhì)．18．（2021上·江蘇鹽城·七年級統(tǒng)考期末）在平整的地面上，有若干個完全相同棱長為1的小正方體堆成一個幾何圖所示.(1)請畫出這個幾何體的三視圖.(2)若現(xiàn)在你手頭還有一些相同的小正方體，如果保持俯視圖和左視圖不變，最多可以再添加______個小正方體.(3)如果需要給原來這個幾何體表面噴上紅漆，則噴漆面積是多少？【答案】(1)畫圖見解析；(2)4；(3)32【分析】（1）根據(jù)三視圖的畫法，畫出從正面、左面、上面看到的形狀即可；（2）俯視圖和左視圖不變，構成圖形即可解決問題；（3）求出這個幾何體的表面積即可解決問題．【詳解】（1）這個幾何體有10個立方體構成，三視圖如圖所示；（2）（2）在第二層第二列第二行和第三行各加一個；第三層第二列第三行加一個，第三列第三行加1個，（個），故最多可再添加4個小正方體，故答案為：4；（3）這個幾何體的表面有38個正方形，去了地面上的6個，32個面需要噴上紅色的漆，∴表面積為32，故噴漆面積為32．【點睛】本題考查了三視圖的畫法，主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形；注意看到的用實線表示，看不到的用虛線表示，注意涂色面積指組成幾何體的外表面積．19．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）下圖是一個幾何體的三視圖，其中俯視圖為正三角形．(1)這個幾何體的名稱為______．(2)求該幾何體的左視圖中的值．【答案】(1)正三棱柱(2)【分析】（1）根據(jù)俯視圖為正三角形和棱柱的概念解答即可；（2）由條件可知所求的的值是等邊三角形的高，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）這個幾何體的名稱為正三棱柱；故答案為正三棱柱．（2）如圖，過點作于．∵是正三角形，∴，∴，∴，∴左視圖中的值為．【點睛】本題考查了幾何體的三視圖和等邊三角形的相關知識，屬于基礎題型，正確理解題意、熟練掌握基本知識是解題的關鍵．20．（2022上·河南鄭州·九年級?？计谀┬∪A想利用太陽光測量樓的高，他帶著尺子來到樓下，發(fā)現(xiàn)地面和對面斜坡（坡角為45°）上都有這棟樓的影子，針對這種情況，他設計了一種測量方案，具體測量情況如下：先測得在此時刻1.2m高的物體垂直于地面放置時，影長是1m；樓落在地面上的影長，落在斜坡上的影長，請你幫小華求出樓的高．【答案】【分析】過點作于點，作于點，先解直角三角形可得的長，從而可得的長，再根據(jù)“測得在此時刻高的物體垂直于地面放置時，影長是”可求出的長，然后根據(jù)即可得．【詳解】解：如圖，過點作于點，作于點，則四邊形是矩形，，，，，，，，測得在此時刻高的物體垂直于地面放置時，影長是，，即，解得，則，答：樓的高為．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應用，通過作輔助線，構造直角三角形是解題關鍵．21．（2021上·廣東佛山·九年級?？茧A段練習）如圖，陽光下，小亮的身高如圖中線段AB所示，他在地面上的影子如圖中線段BC所示，線段DE表示旗桿的高，線段FG表示一堵高墻(1)請你在圖中畫出旗桿在同一時刻陽光照射下形成的影子的示意圖；(2)如果小亮的身高，他的影子，旗桿的高，旗桿與高墻的距離，請求出旗桿的影子落在墻上的長度．【答案】(1)見解析(2)旗桿的影子落在墻上的長度為【分析】（1）連接，過點作的平行線即可；（2）過作于，利用相似三角形列出比例式求出旗桿的高度即可．【詳解】（1）解：如圖：線段和就表示旗桿在陽光下形成的影子．（2）過作于，設旗桿的影子落在墻上的長度為，由題意得：，∴，又∵，，，∴，解得：，答：旗桿的影子落在墻上的長度為米．【點睛】本題考查了相似三角形的知識，解題的關鍵是正確的構造直角三角形．22．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考二模）物體在太陽光照射下，影子的長度與時間變化直接相關．小明在某天的8點至16點之間，測量了一根米長的直桿垂直于地面時的影子長度，發(fā)現(xiàn)影子長度y與時間之間近似二次函數(shù)關系，可滿足關系式．已知該天11點時影子長度為1．31米，12點時影子長度為1．08米．

(1)請確定a，c的值．(2)如圖，太陽光線和與地面之間的夾角為，求14點時的值．(3)若另有一垂直于地面的旗桿長度為米，請確定該天9點至14點間這根旗桿影子長度m的范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；（2）求得時，，再利用正切函數(shù)即可求解；（3）先求得時，函數(shù)的最大值和最小值，再相似比即可求解．【詳解】（1）解：由題意可知，代入函數(shù)解析式得，把，代入函數(shù)解析式得，即，解得．（2）解：由（1）得函數(shù)解析式為，把代入得，則．（3）解：∵，∴當時，y取得最小值，，當時，y取得最大值，，

∵旗桿與直桿的長度比為，∴，∴m的取值范圍為，即．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應用，正切函數(shù)的定義，相似比的意義，用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的解析式是解題的關鍵．23．（2022·江西·模擬預測）如圖1所示的是一戶外遮陽傘支架張開的狀態(tài)，圖1可抽象成圖2，在圖2中，點A可在BD上滑動，當傘完全折疊成圖3時，傘的下端點F落在處，點C落在處，，，．(1)BD的長為______．(2)如圖2，當時．①求的度數(shù)；（參考數(shù)據(jù)：，，，）②求傘能遮雨的面積（傘的正投影可以看作一個圓）．【答案】(1)250cm(2)①35°；②【分析】（1）根據(jù)題意可得，當傘完全折疊成圖3時，傘的下端點F落在處，點C落在處，可得，代入數(shù)據(jù)求解即可；（2）①過點作，根據(jù)，可得，根據(jù)，，即可求解；②根據(jù)題意可知，則，根據(jù)求得，根據(jù)勾股定理可得