2023-2024學(xué)年福建省福州市鼓樓區(qū)三牧中學(xué)九年級（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年福建省福州市鼓樓區(qū)三牧中學(xué)九年級（上）開學(xué)

數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（―2023,2024）在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.化簡的結(jié)果是（）

A.2V-3B.3C.2AT2D.2

3.下列式子運(yùn)算結(jié)果為2a的是（）

A.a-aB.2+aC.a+a

4.如圖，直線a〃b,zl=40。,則42=（）

A.30°

B.40°

C.50°

D.60°

5.方程%2一%=0的解是（）

A.x=0B.%=1

C.Xj=0,x2=1D.X]=0,x2=-1

6.下列函數(shù)中，y隨x增大而增大的是()

11

A.y=—xB.y=—x+5C.y=-xD.y=-x2(x<0)

7.關(guān)于函數(shù)丫=一2尤一4的圖象，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.過第二、三、四象限B.與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,-4）

C.經(jīng)過點(diǎn)（1,2）D.可由函數(shù)y=-2x的圖象平移得到

8.已知菱形的兩條對角線長分別為6cm和8cm,則菱形的邊長等于（）

A.10cmB.8cmC.6cmD.5cm

9.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四條拋物線如圖所示，其解析式中的二次項(xiàng)系數(shù)一定小于1的

是（）

A.yiB.y2C.y3D.y4

10.△AB。滿足4。=3,BO=C，以AB為邊作正方形ABCD,使點(diǎn)C和點(diǎn)。在直線AB的兩

側(cè)，則線段。。的最大值為（）

A.2/3+3B.3V-2+CC.3+CD.3+V-6

二、填空題（本大題共6小題，共24.0分）

11.因式分解：X2-9=.

12.拋物線y=2x2+4x-1頂點(diǎn)坐標(biāo)是.

13.若一元二次方程/—4x—3=0的兩個(gè)根是X],x2＞則％「刀2的值是?

14.若x=2是關(guān)于x的方程ax+b=3的解，則代數(shù)式一號一。的值是.

15.已知正方形ABC。邊長為2,E是BC邊上一點(diǎn)，將此正方形的一只角DCE沿直線DE折疊,

使C點(diǎn)恰好落在對角線BD上，貝UBE的長等于.

16.若點(diǎn)（p,0）,（q,0）是二次函數(shù)y=x2+bx+c與x軸正半軸的兩個(gè)交點(diǎn)，且滿足：在p,q,

-2這三個(gè)數(shù)中，有一個(gè)數(shù)可以作為另兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，也有一個(gè)數(shù)可以作為另兩個(gè)數(shù)之積的

平方根，則該二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)為.

三、計(jì)算題（本大題共1小題，共8.0分）

17.解方程：擊一七=1-

四、解答題（本大題共8小題，共78.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

18.（本小題8.0分）

計(jì)算：（-1）2023.

19.（本小題8.0分）

2x+1<3①

解不等式組:

9平②.

20.（本小題8.0分）

如圖，已知/40C=乙BOC,點(diǎn)P在OC上,PD1OA,PE1OB,垂足分別為。，E.求證:0D=OE.

21.（本小題8.0分）

我國古典數(shù)學(xué)文獻(xiàn)西刪算法統(tǒng)宗.六均輸》中有一個(gè)“隔溝計(jì)算”的問題：“甲乙隔溝牧放,

二人暗里參詳.甲云得乙九只羊，多乙一倍之上.乙說得甲九只，兩家之?dāng)?shù)相當(dāng)翻譯成現(xiàn)代

文，其大意如下：甲乙兩人隔一條溝放牧，二人心里暗中合計(jì).甲對乙說：“我得到你的九只

羊，我的羊就比你多一倍.”乙對甲說：“我得到你的九只羊，咱倆家的羊就一樣多.”求甲、

乙各有多少只羊？

22.（本小題10.0分）

綜合與實(shí)踐

【問題情境】數(shù)學(xué)課上，老師帶領(lǐng)同學(xué)們開展“利用樹葉的特征對樹木進(jìn)行分類”的實(shí)踐活

動(dòng).

【實(shí)踐發(fā)現(xiàn)】同學(xué)們隨機(jī)收集芒果樹、荔枝樹的樹葉各1片，通過測量得到這些樹葉的長y（單

位：cm）,寬x（單位：cm）的數(shù)據(jù)后，分別計(jì)算長寬比，整理數(shù)據(jù)如下：

12345678910

芒果樹葉的長寬比3.83.73.53.43.84.03.64.03.64.0

荔枝樹葉的長寬比2.02.02.02.41.81.91.82.01.31.9

【實(shí)踐探究】分析數(shù)據(jù)如下:

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差

芒果樹葉的長寬比3.74m4.00.0424

荔枝樹葉的長寬比1.912.0n0.0669

【問題解決】

(1)上述表格中：m=,n=.

(2)通過數(shù)據(jù)，同學(xué)們總結(jié)出了一些結(jié)論：

①4同學(xué)說：“從樹葉的長寬比的方差來看，芒果樹葉的形狀差別比荔枝樹葉”.(填

“小”或者“大”)

②B同學(xué)說：“從樹葉的長寬比的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)來看，我發(fā)現(xiàn)荔枝樹葉的長約為寬

的倍

(3)現(xiàn)有一片長11cm,寬5.6cm的樹葉，請判斷這片樹葉更可能來自于芒果、荔枝中的哪種樹？

并給出你的理由.

23.(本小題10.0分)

如圖，四邊形ABC。是正方形，點(diǎn)E,尸分別在8C,4B上，點(diǎn)”在8c的延長線上，且4F=BE=

CH.

(1)尺規(guī)作圖：作出點(diǎn)M(與點(diǎn)D不重合)，使其滿足MF=且NFMH=90。(要求：只保留作

圖痕跡，不寫作法和證明)；

(2)連接(1)中的EM,猜想并寫出四邊形AFME是怎樣的特殊四邊形，并證明.

24.(本小題12.0分)

如圖1,在△ABC中，ZC=90°,AC=BC,AC平分NBAC交BC于。.

(1)求SAAB。：的值；

(2)若SMBD=2+/攵，求CD的長度；

(3)如圖2,/.DAE=90°,AD=AE,BE交AC于點(diǎn)M,判斷BD和CM的數(shù)量關(guān)系并證明.

E

圖1融

25.(本小題14.0分)

已知二次函數(shù)y=ax24-(1-4a)x+3a-l(a＞》與x軸交于4(匕,0)、8(次,0)兩點(diǎn)(4在B的

左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為點(diǎn)。.

(1)證明：函數(shù)圖象與x軸正半軸有兩個(gè)交點(diǎn)；

(2)無論a取何值，函數(shù)經(jīng)過某(兒)個(gè)定點(diǎn).若定點(diǎn)與0、C兩點(diǎn)構(gòu)成的三角形中，存在等腰三角

形，求此時(shí)a的值；

(3)設(shè)直線BC與直線力。交于點(diǎn)M(?n,7i),求m,n滿足的數(shù)量關(guān)系.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：一2023<0,2024>0,

.?.點(diǎn)(-2023,2024)在第二象限.

故選:B.

根據(jù)第二象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)解答即可.

本題考查的是點(diǎn)的坐標(biāo)，熟知各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

2.【答案】A

【解析】解：V12=V4X3=V22X3=2y/~3>

故選：A.

將被開方數(shù)12寫成平方數(shù)4與3的乘積，再將4開出來為2,易知化簡結(jié)果為2，？.

本題考查了二次根式的化筒，關(guān)鍵在于被開方數(shù)要寫成平方數(shù)乘積的形式再進(jìn)行化簡.

3.【答案】C

【解析】【分析】

此題主要考查了同底數(shù)幕的乘除運(yùn)算以及合并同類項(xiàng)，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

直接利用同底數(shù)幕的乘除運(yùn)算法則以及合并同類項(xiàng)法則分別判斷得出答案.

【解答】

解：4、a-a=a2,故此選項(xiàng)不合題意；

B、2+a,無法計(jì)算，故此選項(xiàng)不合題意；

C、a+a=2a,符合題意；

D、a3-T-a=a2,故此選項(xiàng)不合題意；

故選：C.

4.【答案】B

【解析】解：a//b,zl=40°)

Z.2=Z1=40°.

故選:B.

利用平行線的性質(zhì)可得結(jié)論.

本題考查了平行線的性質(zhì)，掌握“兩直線平行，同位角相等”是解決本題的關(guān)鍵.

5.【答案】C

【解析】解：x2-x=0,

x(x-1)=0>

得x=0或x-1=0,

X]=0,%2=1,

故選：C.

先分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可.

本題考查了解一元二次方程，能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程是解此題的關(guān)鍵.

6.【答案】C

【解析】解：由題意，?.?對于y=kx+b,當(dāng)k>0時(shí)，y隨x增大而增大；當(dāng)k<0時(shí)，y隨x增大而

減小，

???4、B不符合題意，C符合題意.

對于。選項(xiàng)，y=|x2,當(dāng)x<0時(shí)，y隨x增大而減小，

。不符合題意.

故選：C.

依據(jù)題意，分別根據(jù)一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行判斷可以得解.

本題主要考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題時(shí)要熟練掌握并理解是關(guān)

鍵.

7.【答案】C

【解析】解：A.k=-2<0,b=-4<0,.?.圖象經(jīng)過第二、三、四象限，故結(jié)論正確，不合

題意；

8、,.,當(dāng)x=0時(shí)，y=-4,.?.圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-4),故結(jié)論正確，不合題意；

C、：當(dāng)x=l時(shí)，y=-2-4=-6。2,.?.圖象不經(jīng)過點(diǎn)(1,2),故結(jié)論錯(cuò)誤，符合題意；

D,函數(shù)y=-2x的圖象向下平移4個(gè)單位得到y(tǒng)=-2%-4,故結(jié)論正確，不合題意.

故選：C.

根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)對各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可.

本題考查的是一次函數(shù)的性質(zhì)，熟知一次函數(shù)y=kx+b(k40),當(dāng)k<0,￡><0時(shí)函數(shù)圖象經(jīng)

過二、三、四象限是解答此題的關(guān)鍵.

8.【答案】D

【解析】解：如圖：菱形4BCD中BD=8cm,AC=6cm,

11

??.OD=-BD=4cm,OA=-AC=3cm,

在直角三角形4。。中ZD=VOD2+AO2=742+32=5cm.

故選：D.

根據(jù)菱形的性質(zhì)求得OD，。4的長，再根據(jù)勾股定理求得邊長4。的長.

此題主要考查學(xué)生對菱形的性質(zhì)及勾股定理的理解及運(yùn)用.

9.【答案】A

【解析】解：由圖象可知:

拋物線yi的頂點(diǎn)為(-2,-2),與y軸的交點(diǎn)為(0,1),根據(jù)待定系數(shù)法求得yi==(X+2)2-2=

32

-X+5

43X

拋物線丫2的頂點(diǎn)為(0,-1)，與X軸的一個(gè)交點(diǎn)為(1,0),根據(jù)待定系數(shù)法求得y2=/—1；

拋物線為的頂點(diǎn)為(1,1)，與y軸的交點(diǎn)為(0,2),根據(jù)待定系數(shù)法求得丫3=(X-I)2+1=x2-2X+

2；

拋物線的頂點(diǎn)為(1，—3)，與y軸的交點(diǎn)為(0,-1)，根據(jù)待定系數(shù)法求得以=2(x-1)2-3=

2x2-4x-l；

綜上，解析式中的二次項(xiàng)系數(shù)一定小于1的是為

故選：A.

由圖象的點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法求得解析式即可判定.

本題考查了二次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，根據(jù)點(diǎn)的坐

標(biāo)求得解析式是解題的關(guān)鍵.

10.【答案】D

【解析】解：將40圍繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AQ,連接OQ、AQ.OD,

???Z.OAB+Z.QAB=90°,Z.QAB+Z.DAQ=90°,

???Z.OAB=Z-QAD,

vAO—AQ,AB—AD,

???△408w/k4QD(S4S),

:.DQ=OB=3,

在等腰40。中，OQ=fOA=R,

在^ODQ中，OD<QD+OQ,

故當(dāng)點(diǎn)D、Q、。共線時(shí)，OD最大，

則0。=OQ+DQ=3+y/~6,

故選：D.

證明aAOB三△AQD(SAS),當(dāng)點(diǎn)。、Q、。共線時(shí)，OD最大,即可求解.

本題為正方形綜合題，涉及到三角形全等、圖形的旋轉(zhuǎn)，確定點(diǎn)￡>、Q、。共線時(shí)，0。最大是解題

的關(guān)鍵.

11.【答案】0+3)(%-3)

【解析】解：原式=(x+3)(%—3),

故答案為：(x+3)(x-3).

【分析】本題考查了因式分解-運(yùn)用公式法，熟練掌握平方差公式的特點(diǎn)是解本題的關(guān)鍵.

原式利用平方差公式分解即可.

12.【答案】(一1,一3)

【解析】解：「y=2爐+4x—1=2(x+1)2—3,

???拋物線y=2x2+4x-1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(一1,一3),

故答案為:(―1,—3).

將拋物線解析式配方成頂點(diǎn)式即可得出答案.

本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練將拋物線的一般式配方成頂點(diǎn)式.

13.【答案】-3

【解析】解：一元二次方程/+4x-3=0的兩根為%i，x2,

**?%1,%2=—3?

故答案為：-3.

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得出-亞=-3,此題得解.

本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握兩根之積為:是解題的關(guān)鍵.

14.【答案】一：

【解析】解：將％=2代入原方程得：2a+b=3,

-=-1(2a+b)=-1x3=-1.

故答案為：-|.

將x=2代入原方程，可得出2a+b=3,再將其代入-3-&=一2(2。+。)中，即可求出結(jié)論.

本題考查了一元一次方程的解，牢記“把方程的解代入原方程，等式左右兩邊相等”是解題的關(guān)

鍵.

15.【答案】4-27-2

【解析】【分析】

本題考查了翻折變換(折疊問題)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)正方形的性質(zhì)得到CO=2,80=2/2,NEB。=45。，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到DC'=0C=2,

Z.DCE=4C=90。，由等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】

解：???四邊形ABCD是正方形，

???CD=2,BD=2V_2>乙EBD=45°,

??,將此正方形的一只角OCE沿直線0E折疊，使C點(diǎn)恰好落在對角線8。上，

DC'=DC=2,Z.DCE="=90°,

BC=2^T2-2，zBC'E=90°,

BE=yJ~2BC=4-24，

故答案為：4-2/1.

16.【答案】(|,一令

【解析】解：?.,點(diǎn)(p,0),(q,0)是二次函數(shù)y=公+b%+c與％軸正半軸的兩個(gè)交點(diǎn),

???p>0,q>0,

??.一2是pq的平方根，

???pq=4①，

對稱軸為直線》=皇>0,p,q,-2這三個(gè)數(shù)中，有一個(gè)數(shù)可以作為另兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，

???亨=q②或竽=P③，

由②得p=2(q+1),

把p=2(q+1)代入①并整理得：q2+q-2=0

解得qi=1，q2=-2(舍去)，

此時(shí)p=4；

同理聯(lián)立①③得p=l,q=4,

???二次函數(shù)y=%2+fax+c與不軸正半軸的兩個(gè)交點(diǎn)為(1,0)和(4,0),

把(1,0)和(4,0)代入y=%2+hx4-c得：

(1+b+c=0

ll4+4b+c=0'

解得

二二次函數(shù)解析式為y=x2—5%+4=(x—|)2-

???頂點(diǎn)坐標(biāo)為(|,一務(wù)

故答案為：(|,一務(wù)

根據(jù)題意可以得出pq=4①，子=q②或竽=p③，聯(lián)立①②或①③求出p，q的值，再用待

定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，再化為頂點(diǎn)式即可.

本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，關(guān)鍵是求出拋物

線與X軸的交點(diǎn).

17.【答案】解：去分母得，%4-2-4=%2-4,

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得，X2-X-2=0,

解得—2,x2=—1)

經(jīng)檢驗(yàn)x=2是增根，舍去；x=-1是原方程的根，

所以原方程的根是x=-1.

【解析】本題考查了解分式方程，熟記解分式方程的步驟：去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、

系數(shù)化為1是解題的關(guān)鍵，注意驗(yàn)根.

根據(jù)解分式方程的步驟進(jìn)行計(jì)算即可.

18.【答案】解：(，至一1)°+(I)-1-(-1)2023

=1+3+1

=5.

【解析】先計(jì)算零次塞、負(fù)整數(shù)指數(shù)幕和乘方，再計(jì)算加減.

此題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確確定運(yùn)算順序和方法，并能進(jìn)行正確地計(jì)算.

19.【答案】解：解不等式①，得x<l.

解不等式②，得％2-3.

所以原不等式組的解集為-3<%<1.

【解析】先求出每個(gè)不等式的解集，再根據(jù)“大小小大取中間”原則求出不等式組的解集即可.

本題主要考查了解一元一次不等式組，正確求出每個(gè)不等式的解集是解題的關(guān)鍵.

20.【答案】證明：丫P。_L。4PE1OB,

???Z.PDO=Z.PEO=90°,

在△POD和aPOE中，

ZPOD=Z.POE

乙PDO=乙PEO=90°,

0P=0P

???△P0Dw4P0E(44S),

??.0D=0E.

【解析】證明△POD三△POE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論.

本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

21.【答案】解：設(shè)甲有羊x只，乙有羊y只，

由題意得:仁贄/)，

解得:仁那

答：甲有羊63只，乙有羊45只.

【解析】設(shè)甲有羊支只，乙有羊y只，根據(jù)甲對乙說：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍."

乙對甲說：“我得到你的九只羊，咱倆家的羊就一樣多.”列出二元一次方程組，解方程組即可.

本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵.

22.【答案】3.752.0小2.0

【解析】解：(1)把10片芒果樹葉的長寬比從小到大排列，排在中間的兩個(gè)數(shù)分別為3.7、3.8,

10片荔枝樹葉的長寬比中出現(xiàn)次數(shù)最多的是2.0,故n=2.0.

故答案為：3.75；2.0；

(2),??從樹葉的長寬比的方差來比較，0.0424<0.0669,

二芒果樹葉的形狀差別比荔枝樹葉差別小，

?.?荔枝樹葉的長寬比的平均數(shù)1.91,中位數(shù)是1.95,眾數(shù)是2.0,

???荔枝樹葉的長約為寬的2.0倍.

故答案為：?。?.0；

⑶???11+5.6x1.96,

.?.這片樹葉更可能是荔枝樹葉.

(1)根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義解答即可；

(2)根據(jù)題目給出的數(shù)據(jù)判斷即可；

(3)根據(jù)樹葉的長寬比判斷即可.

本題考查了眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)和方差，掌握相關(guān)定義是解答本題的關(guān)鍵.

23.【答案】解：(1)如圖：分別以F,H為圓心，以FC的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M,

點(diǎn)M即為所求；

(2)四邊形4FME是平行四邊形；

證明：連接FH,

???四邊形ABCD是正方形，

Z.DAB=Z.B=LBCD=Z.ADC=90°,AB=BC=CD=DA,

?：AF=BE=CH,

???△ABE^LDAF。DCH(SAS),

DF=AE=DH,乙H=LAEB,乙ADF=KCDH,

AE//DH,AFDH=90°,

???乙DFH=乙DHF=45°,

???MF=MH,4FMH=90。,

???乙MFH=Z-FHM=45°,

???乙DFM=乙DHM=4M=90°,

，四邊形DFMH為矩形，

??,MF=DH,MF“DH,

:,AEI〃M,AE=FM,

，四邊形4FME為平行四邊形.

【解析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)作圖；

(2)根據(jù)矩形和平行四邊形的判定定理進(jìn)行證明.

本題考查了復(fù)雜作圖，掌握矩形的判定定理和性質(zhì)及平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

24.【答案】解:(1)在中,

???"=90。，AC=BC,

???48=45。，AB=CAC,

如圖1,過點(diǎn)。作于點(diǎn)E,

：?DC1AC,Z-AED=4C=90°,

.?.DE=CD,

11

?,■SAXeD：ShACD=(_-AB-DE)：(-AC-CD)=ABAC=AC-AC=

?1,^A4BD:SAAC。的值為V"2；

(2)設(shè)CD=DE=x,

"DE1AB,NB=45°,

.?.△DBE是等腰直角三角形，

:.BE=DE=x,

???BD=yT~2xy

???AC=BC=CD+BD=x+yl~~2x>

vAD=ADyCD=ED,

：?RtAACD三RtAAED(HL),

??.AC=AE=%+-\A~2X?

???AB=AE+BE=%+%+y/~2x=2%+>J~2x=(2+V-2)x>

,**S“BD=2+V2,

:.^AB-DE=^AB-CD=2+。，

???：(2+V-2)x-x=2+y/~l,

???x=，―2(負(fù)值舍去)，

???CD的長度為，2;

(3)8。=2cM,

證明：如圖2,過點(diǎn)E作EFlAC于點(diǎn)F,

:.2LAFE=Z.CFE=90°,

???Z,AEF+Z.EAF=90°,

???/,DAE=90°,

??.Z.EAF+Z.DAC=90°,

:.Z-AEF=4DAC,

在△力EF和△￡MC中，

Z-AEF=乙DAC

Z-AFE=￡.DCA,

AE=AD

???△4EFwZk￡h4C(7L4S),

--EF=AC,AF=DC,

-AC=BC,

：,EF=BC,AC-AF=BC-DC.

ACF=BD,

在ABCM和AEFM中，

/.BCM=4EFM

乙BMC=Z.EMF,

BC=EF

???△BCM=AEFM(AAS),

：.CM=FM=1CF,

CF=2CM,

BD=2CM.

【解析】(1)過點(diǎn)。作DE_LAB于點(diǎn)E,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得DE=CD,然后利用三角形的面積

即可解決問題：

(2)設(shè)C。=0E=x,由^OBE是等腰直角三角形，得BE=DE=x,所以BD=Mx,得4c=BC=

x+然后證明Rt/iACD三Rt44ED(HL),得4c=4E=x+Cx,然后利用三角形的面積

求出x的值，即可解決問題；

(3)過點(diǎn)E作EF1AC于點(diǎn)F,證明△AEF^^DACHAS),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得EF=AC,AF=

DC,推出CF=8D,再證ABCM三AEFMQL4S),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得CM=FM=；CF,可

得CF=2CM,即8。=2CM.

此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，

角平分線的性質(zhì)，利用全等三角形的判定和性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

25.【答案】(1)證明：由y=