2023-2024學年初中數(shù)學12 將軍飲馬模型培優(yōu)訓練

專題12將軍飲馬模型

模型1、將軍飲馬-兩定一動求線段和的最小值

【模型探究】4B為定點，%為定直線，P為直線加上的一個動點，求NP+8尸的最小。

A.

4<

?J?

6■???A*

圖1圖2

(1)如圖1,點4、5在直線〃，兩側(cè)：

輔助線：連接43交直線機于點尸，則4P+AP的最小值為48.

(2)如圖2,點4、5在直線同側(cè)：

輔助線：過點A作關(guān)于定直線m的對稱點A',連接A'B交直線m于點P,則AP+BP的最小值為A'B.

例1.如圖，在上△NBC中，ZACB=90a,NC=BC,點C在直線MV上，NBCN=30。，點、P為MN上一

動點，連結(jié)4P,BP.當4P+AP的值最小時，NCBP的度數(shù)為.

例2.如圖，等邊三角形/3C的邊3c上的高為6,是8C邊上的中線，M是線段AD上的-一個動點，E

是/C中點，則EM+CW的最小值為

例3.如圖，等邊三角形/3C的邊長為5,/、2、4三點在一條直線上，且A/8C2A4BC1.若。為線段8Q

上一動點，則4D+CD的最小值是.

例4.如圖，等邊4ABC的邊長為4,AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上的動點，E是AC邊上一點，若AE

=2,當EF+CF取得最小值時，則/ECF的度數(shù)為多少？

模型2、將軍飲馬-兩動一定求線段和的最小值

【模型探究】已知定點/位于定直線機,”的內(nèi)側(cè)，在直線加、〃分別上求點P、。點B4+PQ+Q4周長最短.

輔助線：過點/作關(guān)于定直線加、〃的對稱點/'、A",連接ZN”交直線〃?、及于點、P、Q,則E4+PQ+Q4

的最小值為

例L如圖，已知/N08的大小為a,尸是內(nèi)部的一個定點，且。尸=4,點￡、/分別是。/、。8上

的動點，若周長的最小值等于4,貝lja=()

A.30°B.45°C.60°D.90°

例2.如圖，在四邊形N3CD中，/B4D=100。,NB=/D=90。.在BC,CD上分別找一點M,N,使A4W

周長最小，則NAMN+ZANM的度數(shù)為.

C

例3.如圖，RtAABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,D,E,F分另U是AB,BC,AC邊上的動點,貝必OEF的周長

例4.如圖所示，NAOB=30。，點、P為/4OB內(nèi)一點,0P=8,點MN分別在CM,上，求APACV周長

的最小值.

模型3、將軍飲馬-兩動兩定求線段和的最小值

【模型探究】4B為定點，在定直線加、〃上分別找兩點尸、Q,使我+尸。+。8最小。

(1)如圖1,兩個點都在直線外側(cè)：

輔助線：連接48交直線加、〃于點尸、Q,則出+尸0+。2的最小值為48.

(2)如圖2,一個點在內(nèi)側(cè)，一個點在外側(cè)：

輔助線：過點3作關(guān)于定直線"的對稱點夕，連接48'交直線叭”于點P、Q,則以+尸的最小值為

AB,.

圖1圖2

(3)如圖3,兩個點都在內(nèi)側(cè)：

輔助線：過點48作關(guān)于定直線加、"的對稱點/‘、8,，連接/'8,交直線小〃于點P、Q,貝UB1+PQ+。/

的最小值為/'8'.

(4)如圖4,臺球兩次碰壁模型:

輔助線：同圖3輔助線作法。

例L如圖，NAOB=25°,點、M,N分別是邊CM,上的定點，點P,Q分別是邊08,CM上的動點,

記=ZPQN=p,當"P+尸。+QV的值最小時，6-c的大小=—.

例2.如圖，點A在y軸上，G、B兩點在x軸上，且G(-3,0),B(-2,0),HC與GB關(guān)于y軸對稱,

ZGAH=60°,P、Q分別是AG、AH上的動點，則BP+PQ+CQ的最小值是()

例3.如圖，在Rt"BC中，ZACB=90°,ZABC=30°,AC=2,以BC為邊向左作等邊△BCE,點。為中

點，連接CO,點P、Q分別為CE、CD上的動點.

(1)求證：△ADC為等邊三角形；(2)求PD+PQ+QE的最小值.

模型4、將軍飲馬-線段差的最大值

【模型探究】/,8為定點，在定直線加上分別找兩點尸，使我與網(wǎng)的差最大。

(1)如圖1,點4、3在直線，"同側(cè)：

輔助線：延長48交直線機于點P,根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，P'A—P'B<AB,而出一產(chǎn)2=45此時

最大，因此點尸為所求的點。

(2)如圖2,點4、5在直線“，異側(cè)：

輔助線：過B作關(guān)于直線m的對稱點9,連接48'交點直線m于尸，此時PB=PB',PA-PB最大值為AB'

/,『?

一~~fF**aH

圖1圖2

例1.如圖，在等邊中，E是/C邊的中點，尸是“8C的中線上的動點，S.AB=6,則3尸-尸￡

的最大值是

例2.如圖，AB=AC=5,N8/C=110。，是/A4c內(nèi)的一條射線，且48/。=25。，尸為上一動

點，則附-尸C|的最大值是

例3.如圖，4B//DP,E為DP上一動點,4B=C3=CD,過A作/N_L￡C交直線EC于N,過。作。河_L￡C

交直線EC于點若NB=114。，當ZN-DM的值最大時，則NNCE=.

課后專項訓練

1.如圖，在銳角三角形N3C中，AB=4,A4BC的面積為10,BD平分NABC,若W、N分別是B。、BC

上的動點，則CA/+跖V的最小值為（）

A.4B.5C.4.5D.6

2.如圖，在A48C中，ABLAC,AB=3,BC=5,AC=4,即垂直平分2C,點尸為直線所上的任意

一點，則△AS尸周長的最小值是（）

3.如圖，在AZBC中，DE是邊/C的垂直平分線，交/C于點。，交45于點E,點尸是直線上的一

個動點，若48=5,則P8+尸C的最小值為（）

A.5B.6C.7D.8

4如圖，在四邊形48co中，ZC=70°,NB=ND=90°,E、F分別是BC、DC上的點，當△《￡下的周長最

小時，/EAF的度數(shù)為（）

A.30°B.40°C.50°D.70°

5.如圖，已知NZO3的大小為a,尸是NZO5內(nèi)部的一個定點，且。尸=4,點、E、尸分別是04、。5上的

動點，若△尸斯周長的最小值等于4,貝布=（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

6.如圖，在等邊△43C中，3C邊上的高40=6,E是高4。上的一個動點，廠是邊48的中點，在點E運

動的過程中，酸+E/存在最小值，則這個最小值是（）

A.5B.6C.7D.8

7.如圖，在△ZBC中，AC=BC,AB=6,△48C的面積為12,于點D,直線EF垂直平

分8c交AB于點E,交BC于點F,P是線段EF上的一個動點，則△尸AD的周長的最小值是（）

A.6B.7C.10D.12

8.如圖，在銳角三角形ZBC中，AB=4,△/3c的面積為8,BD平分NZBC.若M、/V分別是8。、BC上的

A.2B.4C.6D.8

9.如圖，在A4BC中，AB=AC,邊NC的垂直平分線MN分別交,/C于點M,N,點。是邊5c的

中點，點尸是上任意一點，連接PD,PC,若NX=tz,NCPD=。，APCD周長最小時，a,夕之間

B.a</3C.a=PD.a=90°-。

10.如圖，點。是內(nèi)的定點且/D=2,若點C、E分別是射線NR上異于點4的動點，且△COE

周長的最小值是2時，/科3的度數(shù)是（)

C.60°D.90°

11.如圖，/AOB=30。，點P是它內(nèi)部一點,OP=2,如果點Q、點R分別是。4OB上的兩個動點，那么

90°,NC=3C,點C在直線MN上，/BCN=30。，點、P為MN上一動

點，連結(jié)/P,BP.當4P+AP的值最小時，/C3P的度數(shù)為

MP

13.如圖，AB=AC=5,N8/C=110。，/D是乙B/C內(nèi)的一條射線，且/B4D=25。，P為/。上一動點,

則戶3-PC\的最大值是

14.如圖，在等邊A4BC中，E是4C邊的中點，尸是A48C的中線上的動點，且48=6,則8尸-尸E的

最大值是.

15.如圖，在RtZkABC中，4c3=90。，AC=3,BC=4,AB=5,4D平分NC4B交BC于點,D,E,F分

別是4D,/C邊上的動點，則CE+斯的最小值為.

16.如圖，分別以線段的兩個端點為圓心，以大于;長為半徑作弧，兩弧交于點〃和點N,在直線

兒加上取一點C,連接C4,C8,點。是線段/C的延長線上一點，且CD=g/C,點尸是直線兒W上一動

點，連接尸。，PB,若3C=4,則尸￡>+尸8的最小值為

17.如圖，在Rt44BC中.AC1BC,若/C=5,8c=12,/2=13,將Rt4/BC折疊，使得點C恰好

落在AB邊上的點E處，折痕為AD,點P為AD上一動點，則△PE2的周長最小值為—.

18.如圖，AB//DP,E為DP上一動點、,/8=C8=C。，過A作ZNLEC交