曲線的凹凸性及曲率

關(guān)于曲線的凹凸性及曲率問題:如何研究曲線的彎曲方向?問題:如何用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言描述曲線的凹凸性?第2頁,共32頁，2024年2月25日，星期天定義如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線弧位于其上任意一點(diǎn)的切線的上方，則稱曲線在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是凹的；如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線弧位于其上任意一點(diǎn)的切線的下方，則稱曲線在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是凸的．一、（一）曲線的凹凸性與拐點(diǎn)第3頁,共32頁，2024年2月25日，星期天曲線凹凸的判定:第4頁,共32頁，2024年2月25日，星期天定理設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)，

(2)若時(shí)，恒有，則曲線在內(nèi)凸的．

(1)若時(shí)，恒有，則曲線在內(nèi)凹的；第5頁,共32頁，2024年2月25日，星期天例解注意到,第6頁,共32頁，2024年2月25日，星期天（二）曲線的拐點(diǎn)

第7頁,共32頁，2024年2月25日，星期天求拐點(diǎn)的一般步驟：②令，解出全部根，并求出所有二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；①求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)；③對步驟②求出的每一個(gè)點(diǎn)，檢查其左、右鄰近的的符號，如果異號則該點(diǎn)為曲線的拐點(diǎn)；如果同號則該點(diǎn)不是曲線的拐點(diǎn)．第8頁,共32頁，2024年2月25日，星期天第9頁,共32頁，2024年2月25日，星期天第10頁,共32頁，2024年2月25日，星期天練習(xí).求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).解:1)求2)求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)坐標(biāo)令得對應(yīng)3)列表判別故該曲線在及上是凹的,是凸的,點(diǎn)(0,1)

及均為拐點(diǎn).凹凹凸第11頁,共32頁，2024年2月25日，星期天xoyl．二、漸近線

第12頁,共32頁，2024年2月25日，星期天15.04.202413

曲線漸近線的分類第13頁,共32頁，2024年2月25日，星期天第14頁,共32頁，2024年2月25日，星期天注意：只有當(dāng)函數(shù)的定義域是無窮區(qū)間時(shí)，其曲線才有可能存在水平漸近線．第15頁,共32頁，2024年2月25日，星期天解因?yàn)?，所以是曲線的水平漸近線．又因?yàn)?是的間斷點(diǎn),且，所以是曲線的鉛垂?jié)u近線．

例求曲線的水平漸近線和鉛垂?jié)u近線.第16頁,共32頁，2024年2月25日，星期天例求曲線的水平漸近線和鉛垂?jié)u近線.解因?yàn)?，所以是曲線的水平漸近線．又因?yàn)?和-1是的間斷點(diǎn)，且，，所以和是曲線的鉛垂?jié)u近線．第17頁,共32頁，2024年2月25日，星期天三、復(fù)雜函數(shù)圖形的描繪步驟:1.確定函數(shù)的定義域,期性

;2.求并求出及3.列表判別增減及凹凸區(qū)間

,求出極值和拐點(diǎn)

;4.求漸近線

;5.確定某些特殊點(diǎn)

,描繪函數(shù)圖形.為

0

和不存在的點(diǎn);并考察其對稱性及周第18頁,共32頁，2024年2月25日，星期天例3.

描繪的圖形.解:1)定義域?yàn)闊o對稱性及周期性.2)3)(極大)(拐點(diǎn)）(極小)4)第19頁,共32頁，2024年2月25日，星期天第20頁,共32頁，2024年2月25日，星期天第21頁,共32頁，2024年2月25日，星期天2-

1-12o1第22頁,共32頁，2024年2月25日，星期天⌒⌒⌒⌒四、平面曲線的曲率---曲線的彎曲程度決定于描述曲線在一點(diǎn)的彎曲程度第23頁,共32頁，2024年2月25日，星期天4、1曲率及其計(jì)算公式在光滑弧上自點(diǎn)M

取弧段對應(yīng)切線轉(zhuǎn)角定義弧段上的平均曲率點(diǎn)

M

處的曲率曲率K的計(jì)算公式第24頁,共32頁，2024年2月25日，星期天例.

求半徑為R

的圓上任意點(diǎn)處的曲率.解:

如圖所示,可見:R

愈小,則K

愈大,圓弧彎曲得愈厲害;R

愈大,則K

愈小,圓弧彎曲得愈小.第25頁,共32頁，2024年2月25日，星期天拋物線例上哪一點(diǎn)處的曲率最大？解：根據(jù)曲率的計(jì)算公式由代入公式得若a,b給定，則時(shí)，曲率K最大，即即拋物線的頂點(diǎn)處曲率最大第26頁,共32頁，2024年2月25日，星期天4、2曲率圓與曲率半徑設(shè)P

為曲線C

上任一點(diǎn),在點(diǎn)在曲線把以D

為中心,R

為半徑的圓叫做曲線在點(diǎn)

P

處的曲率圓(密切圓

),R

叫做曲率半徑,D

叫做曲率中心.P

處作曲線的切線和法線,的凹向一側(cè)法線上取點(diǎn)D

使第27頁,共32頁，2024年2月25日，星期天第28頁,共32頁，2024年2月25日，星期天第29頁,共32頁，2024年2月25日，星期天內(nèi)容小結(jié)1.可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別在I

上單調(diào)遞增在I

上單調(diào)遞減2.曲線凹凸與拐點(diǎn)的判別+–拐點(diǎn)—連續(xù)曲線上的凹凸分界點(diǎn)曲線在I上向下凹第30頁,共32頁，2024年2月25日，星期天3.連續(xù)函數(shù)的極值(1)極值可疑點(diǎn):使導(dǎo)數(shù)為0或不存在的點(diǎn)(2)第一充分條件過由正變負(fù)為極大值過由負(fù)