上海市育民中學(xué)2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)期中試卷

2022學(xué)年第一學(xué)期初三數(shù)學(xué)練習(xí)試卷

一、選擇題

1.已知線段匕是線段〃、C的比例中項(xiàng)，如果a=4,C=9,那么線段匕的長為()

9

A.-B.6C.±6D.36

4

【答案】B

【解析】

【分析】利用比例中項(xiàng)的平方等于兩個(gè)外項(xiàng)的積，進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：由題意，得：b1=4zc=4x9=36>

?：b>0,

b—6；

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查比例選段.熟練掌握比例中項(xiàng)的平方等于兩個(gè)外項(xiàng)的積，是解題的關(guān)鍵.

2.如果把一個(gè)三角形的三邊的長擴(kuò)大為原來的100倍，那么這個(gè)三角形的面積擴(kuò)大為原來的()

A.10倍B.50倍C.200倍D.10000倍

【答案】D

【解析】

【分析】將一個(gè)三角形的三邊擴(kuò)大為原來的100倍，新的三角形與原三角形相似，相似比為：100:1,利用

面積比是相似比的平方，即可得解.

【詳解】解：由題意，得：新的三角形與原三角形相似，相似比為：1()():1,

...兩個(gè)三角形的面積比為：1(XXX):1,

即：這個(gè)三角形的面積擴(kuò)大為原來的10000倍；

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì).熟練掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方，是解題的

關(guān)鍵.

3.在Rt^ABC中，ZC=90°,若AC=6,8c=8,那么下列等式中正確的是()

4343

AsinA=-B.tanA=—C.cotA--D.cosB--

5435

【答案】A

【解析】

【分析】利用勾股定理求出AB=1(),根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，分別計(jì)算NA的三角函數(shù)值即可.

【詳解】解：如圖所示,

VZC=90°,AC=6,BC=8,

；?AB=VAC2+BC2=^62+82=10,

2A

；.sinA=——=一=一,選項(xiàng)A正確，符合題意；

AB105

tanA=—=-=選項(xiàng)B錯(cuò)誤，不符合題意；

AC63

AXQ

cotA=—=-=選項(xiàng)C錯(cuò)誤，不符合題意；

6c84

cosB='—=—,選項(xiàng)D錯(cuò)誤，不符合題意.

AB105

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義以及勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題

的關(guān)鍵.

4.在_?$。中，點(diǎn)。、E分別在二ABC的邊AB、AC上，下列條件中能判定BC的是（）

ADAEDEAEADECDBEC

A.------------D.------------

DBAC~BC~~ACABAC

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)平行線分線段對應(yīng)成比例定理，對各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

AV）A.p

【詳解】解：A、?；——,不能判定。石〃BC；符合題意；

DBAC

n/7Ap

B'-DE//BC-,符合題意；

BCAC

AnFC

C、——=—）不能判定。E〃8C,不符合題意；

DBAE

d..DB=E￡；,DE//BC,符合題意；

ABAC

故答案為：BD.

A

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理.熟練掌握如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延

長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.

5.下列說法中不正確的是（）

A.0〃=0

-1一_

B.對于非零向量〃、b、c?。=一］。，b=2c，則a〃匕

C.若卜卜W，那么。=〃或。=

D.若“、方均為單位向量，那么卜|=忖

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)平面向量的性質(zhì)一一判斷即可.

【詳解】A.Oa=O,說法正確，不符合題意；

B.對于非零向量〃、b、c?Q=—QC，b=2c，則Q〃/?，說法正確，不符合題意；

C.若卜|=1|,那么a=〃或a=—人，說法錯(cuò)誤，模相等的兩個(gè)向量不一定平行，符合題意；

D.若。、〃均為單位向量，那么慟=忖，說法正確，不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查平面向量，平行向量等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.

6.依據(jù)下列條件不能判定一回。和』）所相似的是（）

A.ZA=35°,ZB=ZE=65°,ZF=80°

B.ZA=35°,A3=4cm,AC=6cm,Z￡>=35°,ED=8cm,￡F=12cm

C.AB=4cm,BC=5cm,C4=6cm,DE=8cm,￡F=10cm,ZD=12cm

D.Z_C=Z-F=90°,AB=10cm,AC=8cm,￡）￡=15cm,EF=9cm

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理逐項(xiàng)分析即可.

【詳解】A.；ZA=35°,NB=NE=65。,/尸=80°,

二NC=180°-ZA-=180°-35°-65°=80°，

NC=NF,NB=NE,

:.△ABCsaDEF,不符合題意;

B.VZA=35°,AB-4cm.AC=6cm-ZD=35°,ED=8cm,￡F=12cm,

.AB_4_2ED82

"7c-6-35EF-12-31

.ABED

"AC-EF

但NAxZE,

A不能判斷_ABC和_DEF相似，符合題意；

C.VAB=4cm.BC=5cm,CA=6cm,DE=8cm,￡F=10cm,FD=12cm,

.AB41BC_5iAC_6_1

,?瓦―3-5'￡F-10-2'~DF~12~2

.ABBCAC

''~DE~~EF~~DF'

:.△ABCs^DEF,不符合題意；

D.ZC=ZF=90°,AB=10cm,AC=8cm,Z>E=15cm,EF=9cm

,BC=4AB1-AC1=6cm-DF=NDE?-EF?=12cm，

?AB-lQ..2或AC_8_2

D￡-L5-3'~EF~9~3'~DF~V2~3

.ABBCAC

：.AABCs^DEF,不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

7.已知2x=5y(y?0),則^=

【答案】--

2

【解析】

【分析】根據(jù)兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積解答即可.

【詳解】v2x=5yf

x5

???1子

故答案為：

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例的性質(zhì)，可根據(jù)比例的基本性質(zhì)直接求解.

8.已知線段4B的長度為4厘米，點(diǎn)P是AB的黃金分割點(diǎn)，PA>PB,線段外的長是一厘米.

【答案】（26-2卜#（2+2石）

【解析】

【分析】根據(jù)黃金比值可知”=絲=1二1,將4B代入計(jì)算即可.

APAB2

【詳解】解：點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)（

,PBAPV5-1

--....------------f

APAB2

可知==26—2（厘米），

2

故答案為：（2后-2）.

【點(diǎn)睛】本題考查的是黃金分割比，屬于基礎(chǔ)題，掌握黃金比值叵［是解題的關(guān)鍵.

2

9.計(jì)算：-（a+20）=.

【答案】a-106

【解析】

【分析】利用平面向量的加減運(yùn)算法則直接計(jì)算即可.

【詳解】2（a-4b）-（a+2b）=2a-8b-a-2b=a-l0b.

故答案為：a-10Z??

【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的線性運(yùn)算，掌握平面向量的加減運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

10.已知Q的長度為2,〃的長度為6且a與。方向相反，則/,=fl.

【答案】-3

【解析】

【分析】根據(jù)。的長度為2,。的長度為6,且/，和a方向相反，即可得到8=_3..

【詳解】解：：a的長度為2,/,的長度為6,且/，和&方向相反，

.1I

b=—3a9

故答案為：—3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的計(jì)算，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握向量的相關(guān)知識.

11.在中，ZC=90°,若生=無，那么NB=.

AB2

【答案】300##30度

【解析】

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，得出sinA=、2,可得NA=60°,即可求解.

2

【詳解】解:如圖,

??,RtzXABC中，ZC=90°,—=—,sinA=—,

AB2AB

..4G

?"sinA=——，

2

NA=60°,

N8=30°

故答案：30°

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，根據(jù)題意畫出圖形是解題的關(guān)鍵.

12.已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)A（3,4）,那么直線AO與x軸的夾角的余弦值為.

3

【答案】1##0.6

【解析】

【分析】過點(diǎn)A作ABIx軸于點(diǎn)8,勾股定理求得AO,進(jìn)而根據(jù)余弦的定義，即可求解.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作A3工x軸于點(diǎn)B,

VA（3,4）,

AB=4,OB=3

,AC>=V32+42=5>

???cosZAOB=—=-,

AO5

3

即直線AO與x軸的夾角的余弦值為g,

3

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，解直角三角形，根據(jù)題意畫出圖形是解題的關(guān)鍵.

13.已知二ABC的邊AB上的中線C￡＞長10cm,點(diǎn)3是〃記。的重心，那么CG=cm

20

【答案】—

3

【解析】

【分析】根據(jù)重心的性質(zhì)即可求出CG.

【詳解】解：：ABC的邊A8上的中線CO長l()cm,點(diǎn)G是.ABC的重心,

CG=-CD=—,

33

20

故答案為：—.

3

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形重心的性質(zhì)，掌握三角形重心的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.在中，ZC=90°,CO是A6邊上高，若8D=3，BC=4,那么AZ）=

7

【答案】3

3

【解析】

【分析】在Rt_3c。中，由勾股定理得出CO的長度，然后證明△AOCs^cag求得AO的長度.

【詳解】CO是A3邊上的高,

CDA.BD,

BO=3,BC=4,

CD=y/BC2-BD2=代吁=V7,

在“ABC中，ZACB=90°,

?1.ZACD+ZDCB=90°,

ZDCB+ZB=90°,

ZACD=ZB,

ZADC=ZCDB=90°,

二.二ADCs一CDB,

ADCD

一而一訪’

CD2=ADBD,

即7=3A。,

7

AD=~,

7

故答案為：一.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

15.如圖，已知直線4〃4〃/3，77=1-AD=2，BE=5,那么b=.

【答案】7

【解析】

【分析】過。作DV〃AC交BE于M,交CF于N,得出四邊形是平行四邊形、四邊形

BCNM是平行四邊形，進(jìn)而得出也=3,證明二DMEs^DNF,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得NF,

DN5

進(jìn)而即可求解.

【詳解】解：如圖：過。作DN〃AC交跖于M,交CF于N,

四邊形ABAQ是平行四邊形、四邊形BOVW是平行四邊形，

AD=2,BE=5,

DM=AB，MN=BC,AD=BM=CN=2,ME=3,

AB3

=-?

AC5

DM_3

~DN~5,

4〃4〃k

二DMES_DNF

MEDM3

1^F~~DN~~5

NF=5,

CF=C7V+7VF=2+5=7.

故答案為：7.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題

的關(guān)鍵.

AP

16.如圖，在平行四邊形A6C。中，點(diǎn)E是AD邊上的點(diǎn)，BE、AC相交于點(diǎn)0,若——=2,則

ED

S&E0C

D

BC

【答案】|2

【解析】

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得到.AOESCQB,利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，得

到SAOE和的關(guān)系，利用相似三角形的高線比等于相似比，推出S^cos與Sc￡”的關(guān)系，進(jìn)而推出

S.COE和S/kCOB的關(guān)系，即可得解?

【詳解】解：..?四邊形A6CO是平行四邊形，

AD〃BC,AD=BC,

_AOE^COB

S&BOC\BC)

AE-

—=2,

ED

.AE_2

"AD-3)

AE2

???—―,

BC3

?口」卸，

..SgocIscJ9'

._4

..S&AOE=§S&BOC，

過。作OG_LAE,Q"_LBC,垂足分別為：G,H,過點(diǎn)E作EFJ.BC,垂足為：F，

A、G￡D

丁

BHFc

'：AD//BC,

...O,G,”三點(diǎn)共線，GH=EF,

上2

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì).熟練掌握平行四邊形對邊平行且相等，相似三角形對應(yīng)邊上

的高線比等于相似比，面積比等于相似比的平方，是解題的關(guān)鍵.

17.如圖，已知正方形反才6的頂點(diǎn)。、G分別在的邊AB、AC上，頂點(diǎn)E、尸在的邊

BC上，若BC=4,SAABC=10,那么這個(gè)正方形的邊長是

【解析】

【分析】作高AH交DG于設(shè)正方形。EFG邊長為x,則OE=MH=x,所以AM=5-x,再證

X5—x

明AADG-AABC,即可得到一=——，然后根據(jù)比例的性質(zhì)求出x的值即可.

45

【詳解】解：作高AH交。GFM,如圖,

A

EHF

?BC-4>=10，

：.AH^5,

設(shè)正方形。瓦G的邊長為x,

則==

:.AM=AH-MH=5-x,

DG//BC

：._ADG^ABC,

.DGAM

.x_5-x

??=f

45

正方形的邊長為一，

9

故答案為：—.

9

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共

角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相

似三角形；也考查了正方形的性質(zhì).

18.如圖，已知四邊形ABCD的對角線AC、BO互相垂直于點(diǎn)O,CD=BD=5BC=2,

/BAC=/BDC,那么.

a

B

【答案】好#/百

22

【解析】

【分析】過點(diǎn)。作OEL8C于E，由等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可知C￡=，8C=1,在

2

乙△8E中，由勾股定理可得0E=JCD2_CE2=2,然后借助△BCD的面積求出0C=述，再

.______9R

在Rt4QBC中，由勾股定理可得06=0。2=管；證明△AOBS2\￡)OC,由相似三角形

的性質(zhì)計(jì)算A3的長即可.

【詳解】解：如下圖，過點(diǎn)。作OELBC于E，

?:CD=BD,DE1BC,

：.CE=BE=-BC=\,

2

22

RtACDE中，DE=yJCD-CE=小(小=2，

又：ACJ.BD,

：.SRcn^-BCDE^BD0C,

BCD22

BCDE=BD0C,

.八〃BCDE2x24A/5

??C/Cx---------——------，

BD也5

.?.在Rt^OBC中，OB=JBC?-0c2=/2—(^92=

???NBAC=NBDC,

又?；ZAOB=NDOC=90°,

/\AOB^/\DOC,

2A/5

，理=也即與邛

OCDC4V5V5

工

解得=

2

故答案為：立.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形面積等知識,

熟練運(yùn)用勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

2cos30°-cot45°

19.計(jì)算:sin245°+-cot230°.

4sin30°

【答案】B-3

2

【解析】

【分析】原式利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可求出值.

＜、斗陋、AU2cos30°-cot45°

【詳解】si.n2-450。+------------------cot230°

4sin30°

(萬Y2x^-12

律+f-(G)

-63

2

【點(diǎn)睛】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算和特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

20.如圖，A。、破是的邊8C、AC上的中線，A。、BE相交于點(diǎn)G,聯(lián)結(jié)￡>￡，設(shè)A8=”，

AC—b-

(1)用。、6來表示3￡)=________，DE=________，BG=一

(2)在圖中，畫出向量AG在a和b方向上的分向量.(不要求寫作法,但要保留作圖痕跡，并寫明結(jié)

論)

【答'菜】(1)—b—a；—a；—aH—b

22233

(2)圖見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)平面向量運(yùn)算法則即可求出答案；

(2)根據(jù)平面向量的基本定理進(jìn)行求解即可.

【小問1詳解】

解：AD，破分別是邊BC,AC上的中線，

；.G是的重心，。是的中位線，

BG=-BE,ED=-AB,

32

ED=—a,

2

.\DE=--a

2

BE=BA+AE=BA+AC^

??BE=—ciH—bt

2

BG=—{—a+—b)=——a+—b,

3233

BD=AD-AB^-(AB+AC)-AB^-AC--AB=-h--a.

22222

故答案為：一ba；—a；—a—b

22233

【小問2詳解】

解：作圖如下：AM,AN為所求,

A

:.AG=AM+AN

【點(diǎn)睛】本題考查平面向量，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用平面向量的運(yùn)算法則，本題屬于中等題型.

ApAjT)

21.如圖，在ABC中，點(diǎn)。、￡分別在邊A8、AC上且。石〃8C,——=——

FDDB

(1)求證：EF//DC-.

(2)若A尸=3,FD=6,DE=66,求BC的值.

【答案】(1)證明見解析

⑵18G

【解析】

4J7AD4Z7Ap

【分析】(1)根據(jù)可得：一=—,進(jìn)而推出"二把，然后證明ZXA石尸s/vic。,

ECDBFDEC

得出ZAEF=ZACD,即可證明EF//DC；

r)pAnAr\ArAD

(2)根據(jù)得到△?!￡>￡8心必5。，得到?~?=-再利用空!=&,得到：一

BCABFDDBADAB

從而得到匕=c二，即可得到8C的值.

BCAD

【小問1詳解】

證明：*/DE//BC,

.AEAD

9，~EC~~DB

AFAD

?~FD~~DB'

.AFAE

??—,

FDEC

又NA=NA，

AAEFsaACD，

：.ZAEF^ZACD,

，EF//DC；

【小問2詳解】

解：?：DE〃BC,

AADEsAABC,

.DEAD

??—，

BCAB

..AFAD

?而一拓’

.AFAD

??=9

ADAB

.DEAFAF31

AF+FD~3+6~3,

DE=6?

，BC=3DE=186.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段對應(yīng)成比例，相似三角形的判定和性質(zhì).熟練掌握平行線分線段對應(yīng)成比

例，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4

22.如圖，已知在ABC中，AB=5,BC=1,sinfi=-.

(1)求tanNACB；

(2)求AC.

【答案】(1)1(2)472

【解析】

4

【分析】(I)過點(diǎn)A作于點(diǎn)。，利用sin8=g,求出AD，利用勾股定理求出80,再利用

BC-8D求出CD,進(jìn)而求出tanZACB；

(2)利用勾股定理求出AC即可.

【小問1詳解】

解：過點(diǎn)A作于點(diǎn)￡>,

則sin8=?4

AB5

AB=5,

AT>=4,

?*-BD=dAB2-AD2=3>

CD=BC—BD=1—3=4,

tanZACB——=—=1；

CD4

【小問2詳解】

解：由（1）知，在Rt_ADC中，

AC=yjADr+CD1=742+42=472?

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形.通過作高，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

23.如圖，在_43。中，點(diǎn)。、E分別在邊AB、BC上，點(diǎn)F是AE上一點(diǎn)且

AB=ZAFD=ZACD,連接CF.

（1）求證：ADAB=AFAEx

（2）求證：ZAFC=ZACB.

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)NZM/=NE鉆結(jié)合已知條件，直接證明_ADES_AEB根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得

證；

（2）證明，得出AC?=AZZAB，根據(jù)（1）的結(jié)論得出AC2=A/7.AE，根據(jù)公共角

AFAC=ACAE,證明「AFCsqACE，即可得證.

【小問1詳解】

VZB=ZAFD>ZDAF^ZEAB,

r.,ADFs.、AEB，

.ADAF

??法―布’

???ADAB^AFAE^

【小問2詳解】

VZB^ZACD,ZDAC^ZCAB,

，AADC^AACB，

.ACAD

"~AB~~AC'

；?AC2=AD-AB

ADAB=AFAE>

AC2=AFAE,

ACAE

即Rn——=——，

AFAC

又?；ZFAC=ZCAE,

：?一AFC^^二ACE>

ZAFC^ZACE,

即NAFC=NACB.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

24.如圖，已知四邊形ABCD中，過點(diǎn)。作OE〃BC、ABCD,分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，且

ABAE=EDBC.

（1）求證：ZAFE=/BAD；

AE_DF2

（2）求證:

~AB~CD2

【答案】（1）見詳解（2）見詳解

【解析】

【分析】（1）根據(jù)OE〃8C,可得NB=NA￡R,根據(jù)A*A￡=￡??我?.證明進(jìn)

而可以解決問題；

DFFFDF2FF2

(2)由△AE'Fs^CD/z,可得布=酢，所以而T=W再由可得AE2=DE-EF，

EF4/7

由AEFsABC?得---=—,進(jìn)而可得結(jié)論.

BCAB

【小問1詳解】

證明：???￡)￡〃BC,

；.?AFE?ACB,4B=NAEF，

ARFD

又,：ABAE=EDBC,即：一=——

BCAE

/\ABCS&DEA,

...ZACB=ZDAE,

：.ZAFE=ZDAE,

即：ZAFE=ZBAD；

【小問2詳解】

證明:ABCD,

△AEFs/^CDF,

,DFEF

貝nlj：—=—

CDAE

DF?EF?

CD2-AE2，

由(1)知：ZAFE=ZDAE,

又,:ZAEF=ZDEA

/\AFE^/\DAE

AEEF

則:

DE~AE'

?*-AE1=DEEF

.DF°EF?EF?EFEF

"CD7一AE7-DEEF~~DE~~BC

又?.?ABCD,DE//BC

，西邊形8C0E是平行四邊形，且二4EFs.A3。

.DF2_EFEF__AE

*■CD7"BC>~BC~'AB

.AE_DF2

"~AB~CD2'

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，得到

^AEF^.ABC.

25.在矩形438中，A5=6,AD=8,點(diǎn)E是邊BC上的一點(diǎn)，AELEF交8于點(diǎn)尸，點(diǎn)G在射

線上且滿足EC2=CFCG-

D

(1)如圖1,求證NEGC=NB4E；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)G在線段CO上，聯(lián)結(jié)AC,