曲線與方程講義(一)學生講義

曲線和方程(一)教學目標教學知識點：曲線的方程、方程的曲線.能力訓練要求:會用曲線與方程的概念直接比擬簡單的曲線和方程的關(guān)系.德育滲透目的:滲透數(shù)形結(jié)合思想、辨證思想.教學重點：理解曲線上的點與方程的解之間的一一對應關(guān)系.領會“曲線的方程”與“方程的曲線”的含義.教學難點：對“曲線的方程”和“方程的曲線”的對應關(guān)系的理解.教學方法：啟發(fā)引導法.教學過程情境設置：1、求第一、三象限里兩軸間夾角平分線的坐標滿足的關(guān)系X-Y=0結(jié)論：〔1〕L上點的坐標都是方程x-y=0的解〔2〕以方程x-y=0的解為坐標的點都在L上這個方程叫做這條直線的方程，這條直線叫做這個方程的直線.這種一一對應關(guān)系完全能推廣到平面直角坐標系中的曲線和方程.講授新課：實例分析:〔1〕方程表示如圖的圓，圖像上的點M與此方程有什么關(guān)系？··0xyM·滿足關(guān)系：1〕如果是圓上的點，那么一定是這個方程的解2〕如果是的解，那么以它為坐標的點一定在圓上?！?〕函數(shù)的圖象是關(guān)于y軸對稱的拋物線，這條拋物線是所有以方程的解為坐標的點組成的.由此可知1)、如果點M(x0,y0)在拋物線上，那么一定有y0=ax02，即(x0,y0)一定是方程的解.2)、如果(x0,y0)是方程的解，即，那么點(x0,y0)一定在這條拋物線上.〔3〕、說明過A〔2，0〕平行于y軸的直線與方程︱x︱=2的關(guān)系1)、直線上的點的坐標都滿足方程︱x︱=22)、滿足方程︱x︱=2的點不一定在直線上結(jié)論：過A〔2，0〕平行于y軸的直線的方程不是︱x︱=22.曲線的方程和方程的曲線的關(guān)系：綜上可知，一般地，在直角坐標系中，如果某曲線C〔包括直線〕〔看作適合某種條件的點的集合或軌跡〕上的點與一個二元方程f(x,y)=0的實數(shù)解建立如下的關(guān)系：曲線上的點的坐標都是這個方程的解.以這個方程的解為坐標的點都在曲線上.那么，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線.由曲線的方程的定義可知：如果曲線C的方程是f(x,y)=0，那么點P0(x0,y0)在曲線C上的充要條件是f(x0,y0)=0.理解：〔1〕“曲線上的點的坐標都是這個方程的解”說明了曲線上沒有坐標不滿足方程的點，也就是說曲線上的所有點都符合這個條件而毫無例外〔純粹性〕.〔2〕“以這個方程的解為坐標的點都在曲線上”說明了符合條件的所有點都在曲線上而毫無遺漏〔完備性〕.同時具備上述兩個性質(zhì)，才能稱為“曲線的方程”和“方程的曲線”，說明了曲線與方程的一一對應關(guān)系.思考：1、判斷以下結(jié)論的正誤并說明理由〔1〕過點A〔3，0〕且垂直于x軸的直線為x=3〔2〕到x軸距離為2的點的軌跡方程為y=2〔3〕到兩坐標軸距離乘積等于1的點的軌跡方程為xy=12、以下各題中，圖3表示的曲線方程是所列出的方程嗎？如果不是，不符合定義中的關(guān)系①還是關(guān)系②？(1)曲線C為過點A(1，1)，B(-1，1)的折線，方程為(x-y)(x+y)=0;(2)曲線C是頂點在原點的拋物線，方程為x+=0;(3)曲線C是Ⅰ,Ⅱ象限內(nèi)到X軸，Y軸的距離乘積為1的點集，方程為y=110xy-110xy-11-2210xy-11-221典型例題分析：【例1】如果曲線C上的點滿足方程F(x,y)=0，那么以下說法正確的選項是〔〕A曲線C的方程是F(x,y)=0B方程F(x,y)=0的曲線是CC坐標滿足方程F(x,y)=0的點都在曲線C上D.坐標不滿足方程F(x,y)=0的點不在C上【例2】證明圓心為坐標原點半徑為5的圓的方程是x2+y2=25，并判斷點M1(3,-4)、M2是否在這個圓上.練習：證明與兩坐標軸的距離的積是常數(shù)k(k>0)的點的軌跡方程是歸納:證明曲線的方程的方法和步驟第一步，設M(x0,y0)是曲線C上任一點，證明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；第二步，設(x0,y0)是f(x,y)=0的解，證明點M(x0,y0)在曲線C上〔三〕課時小結(jié)：在軌跡的根底上將軌跡和條件化為曲線和方程，當說某方程是曲線的方程或某曲線是方程的曲線時就意味著具備上述兩個條件，只有具備上述兩個方面的要求，才能將曲線的研究化為方程的研究,幾何問題化為代數(shù)問題，以數(shù)助形正是解析幾何的思想，本節(jié)課正是這一思想的根底。〔四〕課后作業(yè)：1．以下各對方程中，表示相同曲線的一對方程是()A．y＝eq\r(x)與y2＝xB．y＝x與eq\f(x,y)＝1C．y2－x2＝0與|y|＝|x|D．y＝lgx2與y＝2lgx2．如圖中方程表示圖中曲線的是()ABCD3．假設P(2，－3)在曲線x2－ay2＝1上，那么a的值為________．4．方程x2＋(y－1)2＝10.(1)判斷點P(1，－2)，Q(eq\r(2)，3)是否在此