正弦定理、余弦定理的綜合運用高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

第六章

平面向量及其應(yīng)用

正弦定理、余弦定理的綜合運用人教2019A版必修第二冊學(xué)習(xí)目標(biāo)【教學(xué)目標(biāo)】1.利用正弦、余弦定理了解三角形中邊與角的關(guān)系.2.利用正弦、余弦定理判斷三角形的形狀.3.掌握正弦、余弦定理的簡單應(yīng)用.4.面積公式1.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則△ABC的面積公式為S＝

＝

＝

.2.△ABC中的常用結(jié)論(1)A＋B＋C＝

，sin(A＋B)＝

，cos(A＋B)＝

；(2)大邊對大角，即a>b?A>B?sinA>sinB?cosA<cosB.180°sinC－cosC新知講授例1

(1)在△ABC中，已知a＝5，b＝7，B＝120°，則△ABC的面積為

.解析①求C的大?。虎谇蟆鰽BC的面積.解析（1）解析（2）復(fù)習(xí)回顧

正弦定理：在一個三角形中,各邊和它所對角的正弦的比相等.即

余弦定理：三角形中任何一邊的平方,等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦積的兩倍.即問題

利用正、余弦定理可以解決哪幾類問題？復(fù)習(xí)回顧①已知兩邊和夾角的問題②已知三邊的問題③已知兩邊和其中一邊對角的問題④已知兩角和任一邊的問題一、利用正弦、余弦定理解三角形

在△ABC中，已知b＝3，c＝

，B＝30°，解三角形.例2已知三角形的兩邊及其一邊的對角：(1)處理一：直接應(yīng)用正弦定理求出另一邊的對角；(2)處理二：可用余弦定理求解，在△ABC中，已知a，b和A，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，求出c；注意：不管利用正弦定理還是余弦定理，都需要檢驗，利用大邊對大角、小邊對小角、兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊以及內(nèi)角和為180°等進行檢驗.反思感悟

已知⊙O的半徑為R，在它的內(nèi)接△ABC中有2R(sin2A－sin2C)＝(a－b)sinB成立，求角C的大小.練習(xí)2(1)已知在△ABC中，角A，B所對的邊分別是a和b，若acosB＝bcosA，則△ABC一定是A.等腰三角形 B.等邊三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形√二、利用正弦、余弦定理判斷三角形的形狀4.若acosA＝bcosB，則△ABC是

三角形.等腰或直角例3(2)在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，試判斷△ABC的形狀.判斷三角形形狀的方法及注意事項：(1)利用余弦定理、正弦定理把條件轉(zhuǎn)化統(tǒng)一為邊(或角)的關(guān)系，通過因式分解、配方等得出邊(或角)關(guān)系，判斷三角形形狀.(2)統(tǒng)一成邊(或角)關(guān)系后，注意等式兩邊不要輕易約分，否則可能會出現(xiàn)漏解.反思感悟(1)在△ABC中，已知3b＝2asinB，且cosB＝cosC，角A是銳角，則△ABC的形狀是A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等邊三角形√(2)在△ABC中，若acosC＋ccosA＝bsinB，則此三角形為A.等邊三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形√練習(xí)3

設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且bsinA＝

acosB.(1)求B的大??；三、正弦、余弦定理的綜合應(yīng)用(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值.例4反思感悟利用正弦、余弦定理解三角形的注意點：正、余弦定理都是用來解三角形的，但在解題過程中要有意識地考慮用哪個定理更合適，或是兩個定理都要用，應(yīng)抓住兩個定理的特點：正弦定理“邊對角”，余弦定理“邊夾角”，正確選擇定理是解決此類題目的關(guān)鍵.

△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，asinA＋csinC－

asinC＝bsinB.(1)求B的大?。?2)若A＝75°，b＝2，求a，c的值.練習(xí)4練習(xí)5：如果將直角三角形的三邊各增加同樣的長度，則新三角形的形狀是A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.由增加的長度確定的√