高三數(shù)學(xué)不等式練習(xí)題

不等式（山東省鄆城第一中學(xué)274700）張鐘誼不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)其它各部分學(xué)問(wèn)所必不行少的工具，也是歷年高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容。復(fù)習(xí)提要因?yàn)椴坏仁降男再|(zhì)、不等式的證明、不等式的解法、含有肯定值的不等式是高考考試內(nèi)容，因此必需：（1）駕馭不等式的性質(zhì)及其證明，駕馭證明不等式的幾種常用方法，駕馭兩個(gè)和三個(gè)（不要求四個(gè)和四個(gè)以上）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)這兩個(gè)定理。并能運(yùn)用上述性質(zhì)、定理和方法解決一些問(wèn)題；（2）在嫻熟駕馭一元一次不等式（組）、一元二次不等式的解法的基礎(chǔ)上，初步駕馭其他的一些簡(jiǎn)潔的不等式的解法；（3）會(huì)用不等式例題及評(píng)注例1（1996年上海高考題）假如，則間的關(guān)系是（）（A）（B）（C）（D）解：分別在同一坐標(biāo)系中作的圖像（如圖1）便知應(yīng)選（B）。評(píng)注：利用特例分析法，并嫻熟駕馭對(duì)數(shù)函數(shù)圖像性質(zhì)是確保解決對(duì)數(shù)問(wèn)題的基本保證。例2不等式的解集為_(kāi)_________。（1995年全國(guó)高考題）解：原不等式等價(jià)于，由指數(shù)函數(shù)在R上單調(diào)遞增可知：。所以原不等式的解集為。評(píng)注：指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的純熟運(yùn)用是解本題的關(guān)鍵。例3解不等式（1985年全國(guó)高考題）解法1：原不等式等價(jià)：或解（1）、（2）得原不等式的解集為解法2：設(shè)且，則從而解得。評(píng)注：對(duì)于無(wú)理不等式的解法一般采納等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式組來(lái)處理，留意分類探討，同時(shí)還應(yīng)采納正難則反的策略求解。例4已知，對(duì)于的的值都有成立，則對(duì)這些的值都有。證明：令評(píng)注：本例論證突破的關(guān)鍵有兩處：一是對(duì)的恒等變形；二是對(duì)的恒等變形。在此基礎(chǔ)上運(yùn)用條件及肯定值不等式性質(zhì)達(dá)到證明的目的。近年高考題中的高檔題都考查到這些思想方法的運(yùn)用。例5已知，問(wèn)是否存在正整數(shù)，使不等式恒成立？假如存在，求出全部值；假如不存在，試說(shuō)明理由。解：，原不等式等價(jià)于，此式恒成立的充要條件是，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)依次成（遞減）等差數(shù)列時(shí)，上式取“=”號(hào)。，而且，故存在正整數(shù)，使原不等式恒成立。評(píng)注：這道探究問(wèn)題較難求解，但適當(dāng)拆分因式，用基本不等式求解，不但解法新奇，而且過(guò)程也簡(jiǎn)捷。例6過(guò)曲線的直線軸交于點(diǎn)，其中。（1）用；（2）證明；（3）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：（1）點(diǎn)，直線方程為，令可解得（2）由欲證，只需證，即，只需證。可用數(shù)學(xué)歸納法證明。（3）要使恒成立，只需。評(píng)注：這是一道不等式、數(shù)列、函數(shù)的綜合問(wèn)題，它以二次曲線為背景，以直線方程為基礎(chǔ)，建立數(shù)列的遞推關(guān)系式，進(jìn)而證明不等式，并通過(guò)證明數(shù)列是遞減數(shù)列完成解不等式。診斷檢測(cè)（一）選擇題1.若（）2.已知中最大的為（）3.設(shè)，則下列各式中正確的是（）4.與不等式解集相同的不等式（）5.已知都是不等于1的正數(shù)，則的最小值是（）（A）3（B）-3（C）0（D）不存在（二）填空題6.設(shè)從小到大排列是_______________。7.使不等式都成立的的關(guān)系式為_(kāi)_______________。8.不等式的解集為_(kāi)__________。9.不等式的解集為_(kāi)_____________。10.若函數(shù)能取得負(fù)值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________。（三）解答題11.已知。12.定義在（-2，2）上的奇函數(shù)是減函數(shù)，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍。13.已知的最小值。14.設(shè)的最值。答案與提示：（一）1.D2.C3.A4.B5.D（二）6.7.8.9.10.（三）11.略證：（逆向運(yùn)用公式）由,三式相加并留意，則。12.略解：首先考慮定義域有：，因?yàn)樯蠟闇p函數(shù)，所以。取兩個(gè)范圍的交集得。留意：求解不等式問(wèn)題切勿忽視函數(shù)的定義域。13.略解：，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為9。留意：若另解為：，最小值為8。這種解法是錯(cuò)誤的，因?yàn)閮纱芜\(yùn)用均值不等式，但取等號(hào)條件分別為和，而這兩式不能同時(shí)成立。14.略解：設(shè)，即，比較此式兩邊的系數(shù)，得，依題意，得，的最小值是5，最大值是10。留意：有時(shí)變形是不行逆的，本題忽視這一點(diǎn)，易出錯(cuò)。思想與方法結(jié)合下面實(shí)例，挖掘解決不等式問(wèn)題的思路與方法。例7（1985年上海市高考題）對(duì)于一切大于1的自然數(shù)，證明：。證法1：（1）當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，左邊>右邊，不等式成立。（2）假設(shè)時(shí)不等式成立，即，兩邊乘以依據(jù)（1）、（2）對(duì)于大于1的自然數(shù)，原不等式成立。證法2：設(shè)說(shuō)明：證明不等式，常用的方法有比較法、綜合法、分析法、數(shù)學(xué)歸納法和反證法。本題留意了依據(jù)欲證不等式的特點(diǎn)敏捷選擇，并恰當(dāng)?shù)亍胺趴s代換”，這是證不等式不行忽視的兩點(diǎn)。例8解不等式解法1：（轉(zhuǎn)化為等價(jià)不等式組）原式等價(jià)于解（1）得，解集為時(shí)，解集為。解法2：（整體換元）令解法3：（通過(guò)局部換元后，用數(shù)形結(jié)合或探討法求解）令，，由圖像視察可得：說(shuō)明：嫻熟駕馭代數(shù)（有理、無(wú)理）及超越（指數(shù)、對(duì)數(shù)、三角）不等式的解法是高考中檔試題的一個(gè)較為穩(wěn)定的命題重點(diǎn)和熱點(diǎn)，化高次為低次，化無(wú)理為有理，化多元為一元，化超越為代數(shù)，以及等價(jià)轉(zhuǎn)化，分類探討，數(shù)形結(jié)合，換元法等數(shù)學(xué)思想方法在本題多種解法中均有體現(xiàn)。例9二次函數(shù)的系數(shù)都是整數(shù)且，在（0，1）內(nèi)有兩個(gè)不等的根，求最小的正整數(shù)。解：令的兩根為，且，于是，，，得，。同理，且等號(hào)不同時(shí)成立，所以，，而，所以，故最小的正整數(shù)。說(shuō)明：實(shí)系數(shù)一元一次、一元二次方程的實(shí)根與系數(shù)的關(guān)系，構(gòu)成了高考重點(diǎn)、難點(diǎn)、熱點(diǎn)問(wèn)題，這類問(wèn)題的解決要運(yùn)用實(shí)系數(shù)方程實(shí)根分布的理論，這也是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，它體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想及數(shù)形結(jié)合的方法，不等式與方程互化的思想，本題正是運(yùn)用了這些思想方法，才使問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)，順當(dāng)獲解。例10設(shè)，，為常數(shù)，，試求的最小值。解法1：明顯，于是有當(dāng)時(shí)，的最小值為。解法2：本題也可用判別式法。令,，有最小值。解法3：用三角換元法設(shè)，則說(shuō)明：最值問(wèn)題也構(gòu)成不等式在高考中的重點(diǎn)、難點(diǎn)、熱點(diǎn)問(wèn)題，駕馭和運(yùn)用兩個(gè)和三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)定理是解決這類問(wèn)題必不行少的基本技能與技巧。強(qiáng)化訓(xùn)練（一）選擇題1.已知?jiǎng)t（）2.若的最大值為（）3.已知函數(shù)的圖像如圖2，當(dāng)時(shí)，有，則正確的結(jié)論是（）4.不等式的解集是（）5.不等式組的解集是（）6.不等式的解集是（）7.母線長(zhǎng)為1的圓錐體積最大時(shí)，其側(cè)面綻開(kāi)圖圓心角等于（）（二）填空題8.給出下列四個(gè)命題：（1）若；（3）若，則；（4）若，其中真命題的序號(hào)是__________。9.，則的大小關(guān)系為_(kāi)__________。10.若，使不等式在R上不是空集的的取值范圍是__________。11.不等式的解集是___________。12.設(shè)一長(zhǎng)方體的體積為，則它的表面積的最小值為_(kāi)___________。13.若點(diǎn)在直線圖像上（其中為直角三角形三邊長(zhǎng)，為斜邊），則的最小值為_(kāi)____________。14.已知三個(gè)不等式：（1），（2），（3）。以其中兩個(gè)作為條件，余下的一個(gè)作為結(jié)論，則可組成_______個(gè)正確的命題。（三）解答題15.設(shè)，解關(guān)于的不等式，16.給出函數(shù)，對(duì)隨意，且，試比較的大小關(guān)系。17.若。18.在某兩個(gè)正數(shù)之間，若插入一個(gè)數(shù)，使成等差數(shù)列；若插入兩個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，求證：。19.某工廠用平爐（主要運(yùn)用焦炭，同時(shí)也用電）或電爐冶煉合金鋼，用平爐冶煉每噸鋼的費(fèi)用為S元，用電爐冶煉每噸鋼的費(fèi)用為P元，若每噸焦炭為元，工業(yè)用電每百度為元，則的關(guān)系為：，假如平爐比電爐煉一噸的費(fèi)用低或相同，則用平爐生產(chǎn)，否則用電爐生產(chǎn)。（1）假如平爐與電爐冶煉費(fèi)用相同，試將每噸焦炭?jī)r(jià)格表示為百度電費(fèi)價(jià)的函數(shù)；（2）假如每百度工業(yè)用電的價(jià)格在60元以上，用平爐生產(chǎn)，則每噸焦炭的最高限價(jià)是多少元？20.是否存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，若存在，求出的范圍，若不存在，說(shuō)明理由。答案與提示：1.A2.C3.D4.A5.C6.C7.A8.（1）（2）（3）9.10.11.12.13.414.315.解：原不等式等價(jià)于不等式組當(dāng)且。當(dāng)。當(dāng)，故此時(shí)不等式組的解為。16.解：故17.證明：要證，就是要證，即要證，即證，成立。成立。18.解：由題意可知：用，應(yīng)用均值不等式，得19.解：本題是采納兩種方式冶煉合金鋼問(wèn)題。（1）由題意S=P，得；（2）用平爐生產(chǎn)時(shí)，，即，故若每百度工業(yè)用電的價(jià)格在60元以上，用平爐生產(chǎn)時(shí)每噸焦炭的最高價(jià)是1530元。20.略解：假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使題中的不等式恒成立，即使（1）恒成立。令取得最小值2，故要證（1）恒成立，需且只需。復(fù)習(xí)建議1.利用函數(shù)思想處理不等式有關(guān)問(wèn)題利用函數(shù)思想處理不等式問(wèn)題，不但能供應(yīng)有效的思路方法，而且對(duì)于提高學(xué)問(wèn)的遷移實(shí)力，培育創(chuàng)建性思維也是大有裨益的。如：利用二次函數(shù)的圖像探討實(shí)系數(shù)一元二次方程根的分布問(wèn)題，解（或證明）不等式問(wèn)題。例11當(dāng)恒成立，求的取值范圍。簡(jiǎn)析：對(duì)于這個(gè)含參數(shù)的不等式，若將不等式分別成含參數(shù)與不含參數(shù)兩部分，把不含參數(shù)的部分視為一個(gè)函數(shù)，利用其最值處理，參數(shù)的取值范圍將能快捷求出。解：由要使原不等式在[1，2]上恒能成立，即不等式（1）、（2）在[1，2]上恒成立，只需。例12正數(shù)。分析：簡(jiǎn)潔看出互為倒數(shù)，右式的示意我們不能用均值不等式來(lái)證明，但正數(shù)“”，又示意我們可能要用到均值不等式，此時(shí)若能利用函數(shù)思想來(lái)處理，將會(huì)得到簡(jiǎn)捷的證明。事實(shí)上，由于函數(shù)上是增函數(shù)，且。證明：（略）總之，復(fù)習(xí)中應(yīng)重視利用函數(shù)思想處理不等式有關(guān)問(wèn)題，以培育和提高自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。2.重視不等式的應(yīng)用不等式在方程、函數(shù)、參數(shù)及最值（值域或范圍）中的廣泛應(yīng)用，幾乎滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的各個(gè)章節(jié)，在解應(yīng)用題中應(yīng)用也非常廣泛，近年來(lái)高考試題中的不等式的分?jǐn)?shù)比重居高不下，特殊是均值不等式的應(yīng)用出現(xiàn)的頻率很高，因而復(fù)習(xí)中應(yīng)特殊留意。例13（2000年全國(guó)新教材高考題）用總長(zhǎng)14.8m的鋼條制作一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架，假如所制作容器的底面的一邊比另一邊長(zhǎng)0.5m，則高為多少時(shí)容器的容積最大？并求它的最大容積。分析：本題的原解法是用導(dǎo)數(shù)學(xué)問(wèn)實(shí)施的，但據(jù)題意及列式特點(diǎn)，配湊“和”為定值，借用均值不等式仍可獲簡(jiǎn)解。解：設(shè)容器的底面短邊長(zhǎng)為，則長(zhǎng)邊長(zhǎng)為，其高為。于是，長(zhǎng)方體的容積為：當(dāng)且僅當(dāng)，故所制作的容器的高是1.2m時(shí)，其容積取得最大值。例14某機(jī)關(guān)在“精減人員”中，對(duì)部分人員實(shí)行分流，規(guī)定分流人員第一年可以到原單位領(lǐng)取工資的100%，從其次年起，以后每年只能在原單位按上一年的領(lǐng)取工資。該機(jī)關(guān)依據(jù)分流人員的特長(zhǎng)，安排創(chuàng)辦新的經(jīng)濟(jì)實(shí)體，該經(jīng)濟(jì)實(shí)體預(yù)料第一年屬投資階段，沒(méi)有利潤(rùn)，其次年每人可獲b元收入，從第三年起每人每年的收入可在上一年基礎(chǔ)上遞增50%。假