2023-2024學(xué)年上海市黃浦區(qū)大同中學(xué)高三下學(xué)期第六次檢測數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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2023-2024學(xué)年上海市黃浦區(qū)大同中學(xué)高三下學(xué)期第六次檢測數(shù)學(xué)試卷注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù),則下列結(jié)論錯誤的是()A.函數(shù)的最小正周期為πB.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C.函數(shù)在上單調(diào)遞增D.函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到2.函數(shù)的部分圖像如圖所示,若,點的坐標為,若將函數(shù)向右平移個單位后函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱,則的最小值為()A. B. C. D.3.已知三棱錐且平面,其外接球體積為()A. B. C. D.4.如圖所示,已知某幾何體的三視圖及其尺寸(單位:),則該幾何體的表面積為()A. B.C. D.5.數(shù)列{an},滿足對任意的n∈N+,均有an+an+1+an+2為定值.若a7=2,a9=3,a98=4,則數(shù)列{an}的前100項的和S100=()A.132 B.299 C.68 D.996.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的最長棱的長為()A. B. C. D.7.已知非零向量,滿足,,則與的夾角為()A. B. C. D.8.已知函數(shù),則的最小值為()A. B. C. D.9.已知函數(shù)的值域為,函數(shù),則的圖象的對稱中心為()A. B.C. D.10.將函數(shù)的圖象先向右平移個單位長度,在把所得函數(shù)圖象的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?,縱坐標不變,得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)在上沒有零點,則的取值范圍是()A. B.C. D.11.拋物線y2=ax(a>0)的準線與雙曲線C:x28A.8 B.6 C.4 D.212.在中,,則=()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,在平面四邊形ABCD中,|AC|=3,|BD|=4,則(AB14.展開式中的系數(shù)為_________.(用數(shù)字做答)15.在一塊土地上種植某種農(nóng)作物,連續(xù)5年的產(chǎn)量(單位:噸)分別為9.4,9.7,9.8,10.3,10.8.則該農(nóng)作物的年平均產(chǎn)量是______噸.16.如圖,在△ABC中,AB=4,D是AB的中點,E在邊AC上,AE=2EC,CD與BE交于點O,若OB=OC,則△ABC面積的最大值為_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓的離心率為,且過點.為橢圓的右焦點,為橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點,連接分別交橢圓于兩點.⑴求橢圓的標準方程;⑵若,求的值;⑶設(shè)直線,的斜率分別為,,是否存在實數(shù),使得,若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.18.(12分)在△ABC中,分別為三個內(nèi)角A、B、C的對邊,且(1)求角A;(2)若且求△ABC的面積.19.(12分)設(shè)函數(shù),直線與函數(shù)圖象相鄰兩交點的距離為.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)在中,角所對的邊分別是,若點是函數(shù)圖象的一個對稱中心,且,求面積的最大值.20.(12分)已知x,y,z均為正數(shù).(1)若xy<1,證明:|x+z|?|y+z|>4xyz;(2)若=,求2xy?2yz?2xz的最小值.21.(12分)在中,內(nèi)角所對的邊分別為,已知,且.(I)求角的大小;(Ⅱ)若,求面積的取值范圍.22.(10分)已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列,是數(shù)列的前項和,且、、成等比數(shù)列,.設(shè)數(shù)列的前項和為,且滿足.(1)求數(shù)列、的通項公式;(2)令,證明:.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

由可判斷選項A;當時,可判斷選項B;利用整體換元法可判斷選項C;可判斷選項D.【詳解】由題知,最小正周期,所以A正確;當時,,所以B正確;當時,,所以C正確;由的圖象向左平移個單位,得,所以D錯誤.故選:D.【點睛】本題考查余弦型函數(shù)的性質(zhì),涉及到周期性、對稱性、單調(diào)性以及圖象變換后的解析式等知識,是一道中檔題.2、B【解析】

根據(jù)圖象以及題中所給的條件,求出和,即可求得的解析式,再通過平移變換函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱,求得的最小值.【詳解】由于,函數(shù)最高點與最低點的高度差為,所以函數(shù)的半個周期,所以,又,,則有,可得,所以,將函數(shù)向右平移個單位后函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱,即平移后為偶函數(shù),所以的最小值為1,故選:B.【點睛】該題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式是解決該題的關(guān)鍵,要求熟練掌握函數(shù)圖象之間的變換關(guān)系,屬于簡單題目.3、A【解析】

由,平面,可將三棱錐還原成長方體,則三棱錐的外接球即為長方體的外接球,進而求解.【詳解】由題,因為,所以,設(shè),則由,可得,解得,可將三棱錐還原成如圖所示的長方體,則三棱錐的外接球即為長方體的外接球,設(shè)外接球的半徑為,則,所以,所以外接球的體積.故選:A【點睛】本題考查三棱錐的外接球體積,考查空間想象能力.4、C【解析】

由三視圖知,該幾何體是一個圓錐,其母線長是5,底面直徑是6,據(jù)此可計算出答案.【詳解】由三視圖知,該幾何體是一個圓錐,其母線長是5,底面直徑是6,該幾何體的表面積.故選:C【點睛】本題主要考查了三視圖的知識,幾何體的表面積的計算.由三視圖正確恢復(fù)幾何體是解題的關(guān)鍵.5、B【解析】

由為定值,可得,則是以3為周期的數(shù)列,求出,即求.【詳解】對任意的,均有為定值,,故,是以3為周期的數(shù)列,故,.故選:.【點睛】本題考查周期數(shù)列求和,屬于中檔題.6、D【解析】

先根據(jù)三視圖還原幾何體是一個四棱錐,根據(jù)三視圖的數(shù)據(jù),計算各棱的長度.【詳解】根據(jù)三視圖可知,幾何體是一個四棱錐,如圖所示:由三視圖知:,所以,所以,所以該幾何體的最長棱的長為故選:D【點睛】本題主要考查三視圖的應(yīng)用,還考查了空間想象和運算求解的能力,屬于中檔題.7、B【解析】

由平面向量垂直的數(shù)量積關(guān)系化簡,即可由平面向量數(shù)量積定義求得與的夾角.【詳解】根據(jù)平面向量數(shù)量積的垂直關(guān)系可得,,所以,即,由平面向量數(shù)量積定義可得,所以,而,即與的夾角為.故選:B【點睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的運算,平面向量夾角的求法,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

利用三角恒等變換化簡三角函數(shù)為標準正弦型三角函數(shù),即可容易求得最小值.【詳解】由于,故其最小值為:.故選:C.【點睛】本題考查利用降冪擴角公式、輔助角公式化簡三角函數(shù),以及求三角函數(shù)的最值,屬綜合基礎(chǔ)題.9、B【解析】

由值域為確定的值,得,利用對稱中心列方程求解即可【詳解】因為,又依題意知的值域為,所以得,,所以,令,得,則的圖象的對稱中心為.故選:B【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖像及性質(zhì),考查函數(shù)的對稱中心,重點考查值域的求解,易錯點是對稱中心縱坐標錯寫為010、A【解析】

根據(jù)y=Acos(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律,求得g(x)的解析式,根據(jù)定義域求出的范圍,再利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),求得ω的取值范圍.【詳解】函數(shù)的圖象先向右平移個單位長度,可得的圖象,再將圖象上每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?縱坐標不變),得到函數(shù)的圖象,∴周期,若函數(shù)在上沒有零點,∴,∴,,解得,又,解得,當k=0時,解,當k=-1時,,可得,.故答案為:A.【點睛】本題考查函數(shù)y=Acos(ωx+φ)的圖象變換及零點問題,此類問題通常采用數(shù)形結(jié)合思想,構(gòu)建不等關(guān)系式,求解可得,屬于較難題.11、A【解析】

求得拋物線的準線方程和雙曲線的漸近線方程,解得兩交點,由三角形的面積公式,計算即可得到所求值.【詳解】拋物線y2=ax(a>0)的準線為x=-a4,雙曲線C:x28-y24【點睛】本題考查三角形的面積的求法,注意運用拋物線的準線方程和雙曲線的漸近線方程,考查運算能力,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

在上分別取點,使得,可知為平行四邊形,從而可得到,即可得到答案.【詳解】如下圖,,在上分別取點,使得,則為平行四邊形,故,故答案為B.【點睛】本題考查了平面向量的線性運算,考查了學(xué)生邏輯推理能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、-7【解析】

由題意得AB+【詳解】由題意得ABBC+∴AB+【點睛】突破本題的關(guān)鍵是抓住題中所給圖形的特點,利用平面向量基本定理和向量的加減運算,將所給向量統(tǒng)一用AC,14、210【解析】

轉(zhuǎn)化,只有中含有,即得解.【詳解】只有中含有,其中的系數(shù)為故答案為:210【點睛】本題考查了二項式系數(shù)的求解,考查了學(xué)生概念理解,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于中檔題.15、10【解析】

根據(jù)已知數(shù)據(jù)直接計算即得.【詳解】由題得,.故答案為:10【點睛】本題考查求平均數(shù),是基礎(chǔ)題.16、【解析】

先根據(jù)點共線得到,從而得到O的軌跡為阿氏圓,結(jié)合三角形和三角形的面積關(guān)系可求.【詳解】設(shè)B,O,E共線,則,解得,從而O為CD中點,故.在△BOD中,BD=2,,易知O的軌跡為阿氏圓,其半徑,故.故答案為:.【點睛】本題主要考查三角形的面積問題,把所求面積進行轉(zhuǎn)化是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)(3)【解析】試題分析:(1);(2)由橢圓對稱性,知,所以,此時直線方程為,故.(3)設(shè),則,通過直線和橢圓方程,解得,,所以,即存在.試題解析:(1)設(shè)橢圓方程為,由題意知:解之得:,所以橢圓方程為:(2)若,由橢圓對稱性,知,所以,此時直線方程為,由,得,解得(舍去),故.(3)設(shè),則,直線的方程為,代入橢圓方程,得,因為是該方程的一個解,所以點的橫坐標,又在直線上,所以,同理,點坐標為,,所以,即存在,使得.18、(1);(2).【解析】

(1)整理得:,再由余弦定理可得,問題得解.(2)由正弦定理得:,,,再代入即可得解.【詳解】(1)由題意,得,∴;(2)由正弦定理,得,,∴.【點睛】本題主要考查了正、余弦定理及三角形面積公式,考查了轉(zhuǎn)化思想及化簡能力,屬于基礎(chǔ)題.19、(Ⅰ)3;(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)函數(shù),利用和差公式和倍角公式,化簡即可求得;(Ⅱ)由(Ⅰ)知函數(shù),根據(jù)點是函數(shù)圖象的一個對稱中心,代入可得,利用余弦定理、基本不等式的性質(zhì)即可得出.【詳解】(Ⅰ)的最大值為最小正周期為(Ⅱ)由題意及(Ⅰ)知,,故故的面積的最大值為.【點睛】本題考查三角函數(shù)的和差公式、倍角公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、余弦定理、基本不等式的性質(zhì),考查理解辨析能力與運算求解能力,屬于中檔基礎(chǔ)題.20、(1)證明見解析;(2)最小值為1【解析】

(1)利用基本不等式可得,再根據(jù)0<xy<1時,即可證明|x+z|?|y+z|>4xyz.(2)由=,得,然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz≥3,從而求出2xy?2yz?2xz的最小值.【詳解】(1)證明:∵x,y,z均為正數(shù),∴|x+z|?|y+z|=(x+z)(y+z)≥=,當且僅當x=y(tǒng)=z時取等號.又∵0<xy<1,∴,∴|x+z|?|y+z|>4xyz;(2)∵=,即.∵,,,當且僅當x=y(tǒng)=z=1時取等號,∴,∴xy+yz+xz≥3,∴2xy?2yz?2xz=2xy+yz+xz≥1,∴2xy?2yz?2xz的最小值為1.【點睛】本題考查了利用綜合法證明不等式和利用基本不等式求最值,考查了轉(zhuǎn)化思想和運算能力,屬中檔題.21、(Ⅰ);(Ⅱ)【解析】

(I)根據(jù),利用二倍角公式得到,再由輔助角公式得到,然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.(Ⅱ)根據(jù)(I)由余弦定理得到,再利用重要不等式得到,然后由求解.【詳解】(I)因為,所以,,,或,或,因為,所以所以;(Ⅱ)由余弦定理得:,所以,所以,當且僅當取等號,又因為,所以,所以【點睛】本題主要考查二倍角公式,輔助角公式以及余弦定理,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.22、(1),(2)證明

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