專題15函數(shù)與平行四邊形綜合問題-【壓軸必刷】2022中考數(shù)學壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案含答案

【壓軸必刷】2022中考數(shù)學壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案專題15函數(shù)與平行四邊形綜合問題經(jīng)典例題經(jīng)典例題【例1】如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，且經(jīng)過點(2，﹣3a)，對稱軸是直線x＝1，頂點是M．(1)求拋物線對應的函數(shù)表達式；(2)經(jīng)過C，M兩點作直線與x軸交于點N，在拋物線上是否存在這樣的點P，滿足以點P，A，C，N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；(3)設(shè)直線y＝﹣x+3與y軸的交點是D，在線段BD上任取一點E(不與B，D重合)，經(jīng)過A，B，E三點的圓交直線BC于點F，試判斷△AEF的形狀，并說明理由．【例2】已知拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè))．與y軸交于點C．其中OC＝OB，tan∠CAO＝3．(1)求拋物線的解析式；(2)P是第一象限內(nèi)的拋物線上一動點，Q為線段PB的中點，求△CPQ面積的最大值時P點坐標：(3)將拋物線沿射線CB方向平移2個單位得新拋物線y'．M為新拋物線y′的頂點．D為新拋物線y'上任意一點，N為x軸上一點．當以M、N、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形時，直接寫出所有符合條件的點N的坐標．并選擇一個你喜歡的N點．寫出求解過程．【例3】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點A(﹣4，0)，點M為拋物線的頂點，點B在y軸上，且OA＝OB，直線AB與拋物線在第一象限交于點C(2，6)．(1)求拋物線的解析式及頂點M的坐標；(2)求直線AB的函數(shù)解析式及sin∠ABO的值；連接OC．若過點O的直線交線段AC于點P，將三角形AOC的面積分成1：2的兩部分，請求出點P的坐標；(3)在坐標平面內(nèi)是否存在點N，使以點A、O、C、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．【例4】．如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3的圖象與x軸交于A(﹣1，0)，B(3，0)兩點，與y軸交于點C，直線l與拋物線交于點B，交y軸于點D(0，3)．(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；(2)點P(m，0)為線段OB上一動點，過點P作x軸的垂線EF，分別交拋物線于直線l于點E，F(xiàn)，連接CE，CF，BE，求四邊形CEBF面積的最大值及此時m的值；(3)點M為y軸右側(cè)拋物線上一動點，過點M作直線MN∥AC交直線l于點N，是否存在點M，使以A，C，M，N四點為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【例5】如圖1，二次函數(shù)y＝ax2+bx的圖象過點A(﹣1，3)，頂點B的橫坐標為1．(1)求這個二次函數(shù)的表達式；(2)點P在該二次函數(shù)的圖象上，點Q在x軸上，若以A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的坐標；(3)如圖3，一次函數(shù)y＝kx(k＞0)的圖象與該二次函數(shù)的圖象交于O、C兩點，點T為該二次函數(shù)圖象上位于直線OC下方的動點，過點T作直線TM⊥OC，垂足為點M，且M在線段OC上(不與O、C重合)，過點T作直線TN∥y軸交OC于點N．若在點T運動的過程中，ON2OM培優(yōu)訓練培優(yōu)訓練1．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，已知B(3，0)，C(0，﹣3)，連接BC，點P是拋物線上的一個動點，點N是對稱軸上的一個動點．(1)求該拋物線的函數(shù)解析式．(2)當△PAB的面積為8時，求點P的坐標．(3)若點P在直線BC的下方，當點P到直線BC的距離最大時，在拋物線上是否存在點Q，使得以點P，C，N，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．2．如圖所示，拋物線y＝ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且點A的坐標為A(﹣2，0)，點C的坐標為C(0，6)，對稱軸為直線x＝1．點D是拋物線上一個動點，設(shè)點D的橫坐標為m(1＜m＜4)，連接AC，BC，DC，DB．(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)當△BCD的面積等于△AOC的面積的時，求m的值；(3)在(2)的條件下，若點M是x軸上一動點，點N是拋物線上一動點，試判斷是否存在這樣的點M，使得以點B，D，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形．若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．3．如圖1(注：與圖2完全相同)所示，拋物線y＝﹣+bx+c經(jīng)過B、D兩點，與x軸的另一個交點為A，與y軸相交于點C．(1)求拋物線的解析式．(2)設(shè)拋物線的頂點為M，求四邊形ABMC的面積．(請在圖1中探索)(3)設(shè)點Q在y軸上，點P在拋物線上．要使以點A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件的點P的坐標．(請在圖2中探索)4．已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A(﹣1，0)，點B(3，0)，與y軸交于點C(0，3)．頂點為點D．(1)求拋物線的解析式；(2)若過點C的直線交線段AB于點E，且S△ACE：S△CEB＝3：5，求直線CE的解析式；(3)若點P在拋物線上，點Q在x軸上，當以點D，C，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點P的坐標；(4)已知點H(0，)，G(2，0)，在拋物線對稱軸上找一點F，使HF+AF的值最?。藭r，在拋物線上是否存在一點K，使KF+KG的值最??？若存在，求出點K的坐標；若不存在，請說明理由．5．如圖，已知拋物線：y1＝﹣x2﹣2x+3與x軸交于A，B兩點(A在B的左側(cè))，與y軸交于點C．(1)直接寫出點A，B，C的坐標；(2)將拋物線y1經(jīng)過向右與向下平移，使得到的拋物線y2與x軸交于B，B'兩點(B'在B的右側(cè))，頂點D的對應點為點D'，若∠BD'B'＝90°，求點B'的坐標及拋物線y2的解析式；(3)在(2)的條件下，若點Q在x軸上，則在拋物線y1或y2上是否存在點P，使以B′，C，Q，P為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有符合條件的點P的坐標；如果不存在，請說明理由．6．如圖，拋物線過點A(0，1)和C，頂點為D，直線AC與拋物線的對稱軸BD的交點為B(，0)，平行于y軸的直線EF與拋物線交于點E，與直線AC交于點F，點F的橫坐標為，四邊形BDEF為平行四邊形．(1)求點F的坐標及拋物線的解析式；(2)若點P為拋物線上的動點，且在直線AC上方，當△PAB面積最大時，求點P的坐標及△PAB面積的最大值；(3)在拋物線的對稱軸上取一點Q，同時在拋物線上取一點R，使以AC為一邊且以A，C，Q，R為頂點的四邊形為平行四邊形，求點Q和點R的坐標．7．如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣5(a≠0)經(jīng)過x軸上的點A(1，0)和點B(5，0)及y軸上的點C，經(jīng)過B、C兩點的直線為y＝kx+b(k≠0)．(1)求拋物線的解析式．(2)點P從A出發(fā)，在線段AB上以每秒1個單位的速度向B運動，同時點E從B出發(fā)，在線段BC上以每秒2個單位的速度向C運動．當其中一個點到達終點時，另一點也停止運動．設(shè)運動時間為t秒，求t為何值時，△PBE的面積最大并求出最大值．(3)過點A作AM⊥BC于點M，過拋物線上一動點N(不與點B、C重合)作直線AM的平行線交直線BC于點Q．若點A、M、N、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點N的橫坐標．8．如圖1，拋物線y＝ax2+bx+4交x軸于A(﹣3，0)，B(4，0)兩點，與y軸交于點C，連接AC，BC．點P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，設(shè)點P的橫坐標為m，過點P作PM⊥x軸，垂足為點M，PM交BC于點Q，過點P作PN⊥BC，交BC于點N．(1)求此拋物線的解析式；(2)請用含m的代數(shù)式表示PN，并求出PN的最大值以及此時點P的坐標；(3)如圖2，將拋物線y＝ax2+bx+4沿著射線CB的方向平移，使得新拋物線y'過原點，點D為原拋物線y與新拋物線y'的交點，若點E為原拋物線的對稱軸上一動點，點F為新拋物線y'上一動點，求點F使得以A，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形為平行四邊形，請直接寫出點F的坐標，并寫出一個F點的求解過程．9．如圖，拋物線M：y＝ax2+bx+b﹣a經(jīng)過點(1，﹣3)和(﹣4，12)，與兩坐標軸的交點分別為A，B，C，頂點為D．(1)求拋物線M的表達式和頂點D的坐標；(2)若拋物線N：y＝﹣(x﹣h)2+與拋物線M有一個公共點為E，則在拋物線N上是否存在一點F，使得以B、C、E、F為頂點的四邊形是以BC為邊的平行四邊形？若存在，請求出h的值；若不存在，請說明理由．10．如圖，平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A(﹣，0)，B(3，0)兩點，與y軸交于點C，拋物線的頂點為點E．(1)填空：△ABC的形狀是．(2)求拋物線的解析式；(3)經(jīng)過B，C兩點的直線交拋物線的對稱軸于點D，點P為直線BC上方拋物線上的一動點，當△PCD的面積最大時，求P點坐標；(4)M在直線BC上，N在拋物線上，以M、N、E、D為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出符合條件的點M的坐標．11．如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點A(﹣1，0)，與y軸交于點C(0，﹣3)．(1)求該拋物線的解析式及頂點坐標；(2)若P是線段OB上一動點，過P作y軸的平行線交拋物線于點H，交BC于點N，設(shè)OP＝t時，△BCH的面積為S．求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；若S有最大值，請求出S的最大值，若沒有，請說明理由．(3)若P是x軸上一個動點，過P作射線PQ∥AC交拋物線于點Q，在拋物線上是否存在這樣的點Q，使以A，P，Q，C為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出P點的坐標；若不存在，請說明理由．12．如圖1，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝ax2﹣2ax﹣8a與x軸相交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè))，與y軸交于點C(0，﹣4)．(1)點A的坐標為，點B的坐標為，線段AC的長為25，拋物線的解析式為．(2)點P是線段BC下方拋物線上的一個動點．①如果在x軸上存在點Q，使得以點B、C、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形．求點Q的坐標．②如圖2，過點P作PE∥CA交線段BC于點E，過點P作直線x＝t交BC于點F，交x軸于點G，記PE＝f，求f關(guān)于t的函數(shù)解析式；當t取m和4-12m(0＜m＜2)時，試比較f的對應函數(shù)值f1和f13．拋物線y＝﹣x2+2x+n經(jīng)過點M(﹣1，0)，頂點為C．(1)求點C的坐標；(2)設(shè)直線y＝2x與拋物線交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè))．①在拋物線的對稱軸上是否存在點G．使∠AGC＝∠BGC？若存在，求出點G的坐標；若不存在，請說明理由；②點P在直線y＝2x上，點Q在拋物線上，當以O(shè)，M，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點Q的坐標．14圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y＝kx+b與x軸交于點A(4，0)與y軸交于點B(0，8)．(1)求這個一次函數(shù)的解析式；(2)若點P是線段AB上一動點，過點P作PC⊥x軸于點C，PD⊥y軸于點D，當四邊形PCOD的鄰邊之比為2：1時，求線段PC的長．(3)若點Q是平面內(nèi)任意一點，是否存在以A，O，B，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在請直接寫出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．15．在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y＝kx+4(k＜0)交x軸于點A，交y軸于點B．已知△ABO為等腰直角三角形．(1)請直接寫出k的值為；(2)將一次函數(shù)y＝kx+4(k≠0)中，直線y＝﹣1下方的部分沿直線y＝﹣1翻折，其余部分保持不變，得到的新圖象記為圖象G．已知在x軸有一動點P(n，0)，過點P作x軸的垂線，交y=12x+2于點M，交圖象G于點N．當點M在點N上方時，且MN＜2(3)記圖象G交x軸于另一點C，點D為圖象G上一點，點E為圖象G的對稱軸上一點．當以A，C，D，E為頂點的四邊形為平行四邊形時，則點D的坐標為．16．拋物線y＝ax2+bx的頂點M(3，3)關(guān)于x軸的對稱點為B，點A為拋物線與x軸的一個交點，點A關(guān)于原點O的對稱點為A′；已知C為A′B的中點，P為拋物線上一動點，作CD⊥x軸，PE⊥x軸，垂足分別為D，E．(1)求點A的坐標及拋物線的解析式；(2)當0＜x＜23時，是否存在點P使以點C，D，P，E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．17．已知：二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象的頂點為(﹣1，4)，與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C(0，3)，如圖．(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)在拋物線的對稱軸上有一點M，使得△BCM的周長最小，求出點M的坐標；(3)連接AD、CD，求cos∠ADC的值；(4)若點Q在拋物線的對稱軸上，拋物線上是否存在點P，使得以A、B、Q、P四點為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出滿足條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．18．已知拋物線L：y＝x2+bx+c經(jīng)過點A(﹣1，0)和(1，﹣2)兩點，拋物線L關(guān)于原點O的對稱的為拋物線L′，點A的對應點為點A′．(1)求拋物線L和L′的表達式；(2)是否在拋物線L上存在一點P，拋物線L′上存在一點Q，使得以AA′為邊，且以A、A′、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由．19．如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y＝x+b的圖象經(jīng)過點C(0，2)，與反比例函數(shù)y=kx(x＞0)的圖象交于點A(1，(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；(2)一次函數(shù)y＝x+b的圖象與x軸交于B點，求△ABO的面積；(3)設(shè)M是反比例函數(shù)y=kx(x＞0)圖象上一點，N是直線AB上一點，若以點O、M、C、N為頂點的四邊形是平行四邊形，求點20．如圖，反比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象與一次函數(shù)y＝mx﹣2相交于A(6，1)，B(n，﹣3)，直線AB與x軸，y軸分別交于點C，(1)求k，m的值；(2)求出B點坐標，再直接寫出不等式mx﹣2＜k(3)點M在函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象上，點N在x軸上，若以C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，請你直接寫出21．如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y＝x+b的圖象經(jīng)過點C(0，2)，與反比例函數(shù)y=kx(x＞0)的圖象交于點A(1，(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；(2)設(shè)M是反比例函數(shù)y=kx(x＞0)圖象上一點，N是直線AB上一點，若以點O、M、C、N為頂點的四邊形是平行四邊形，求點22．如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝2x+6與x軸交于點A，與y軸交點C，拋物線y＝﹣2x2+bx+c過A，C兩點，與x軸交于另一點B．(1)求拋物線的解析式．(2)在直線AC上方的拋物線上有一動點E，連接BE，與直線AC相交于點F，當EF=12BF時，求sin∠(3)點N是拋物線對稱軸上一點，在(2)的條件下，若點E位于對稱軸左側(cè)，在拋物線上是否存在一點M，使以M，N，E，B為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【壓軸必刷】2022中考數(shù)學壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案專題15函數(shù)與平行四邊形綜合問題經(jīng)典例題經(jīng)典例題【例1】．如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，且經(jīng)過點(2，﹣3a)，對稱軸是直線x＝1，頂點是M．(1)求拋物線對應的函數(shù)表達式；(2)經(jīng)過C，M兩點作直線與x軸交于點N，在拋物線上是否存在這樣的點P，滿足以點P，A，C，N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；(3)設(shè)直線y＝﹣x+3與y軸的交點是D，在線段BD上任取一點E(不與B，D重合)，經(jīng)過A，B，E三點的圓交直線BC于點F，試判斷△AEF的形狀，并說明理由．【分析】(1)因為拋物線經(jīng)過點(2，﹣3a)，代入到解析式中，得到關(guān)于a和b的方程，由于拋物線對稱軸為直線x＝1，所以，聯(lián)立兩個方程，解方程組，即可求出a和b；(2)先將解析式配成頂點式，求出M坐標，然后求出C點坐標，利用待定系數(shù)法，求出直線MC的解析式，再求出MC和x軸交點N的坐標，利用拋物線解析式分別求出A和C坐標，以A，C，N，P為頂點構(gòu)造平行四邊形，并且P點必須在拋物線上，通過構(gòu)圖可以發(fā)現(xiàn)，只有當AC為對角線時，才有可能構(gòu)造出符合條件的P點，所以過C作CP∥AN，使CP＝AN，由于AN＝2，所以可以得到P(2，﹣3)，將P代入到拋物線解析式中，滿足解析式，P即為所求；(3)利用y＝﹣x+3，可以求出直線與y軸交點D的坐標，可以證得△DOB是等腰直角三角形，同理可以證得△BOC也是等腰直角三角形，根據(jù)題意畫出圖形，利用同弧所對的圓周角相等，可以證得∠AEF＝∠AFE＝45°，所以△AEF是等腰直角三角形．【解析】(1)∵拋物線經(jīng)過點(2，﹣3a)，∴4a+2b﹣3＝﹣3a①，又因為拋物線對稱為x＝1，∴②，聯(lián)立①②，解得，∴拋物線對應的函數(shù)表達式為y＝x2﹣2x﹣3；(2)如圖1，∵y＝(x﹣1)2﹣4，∴M(1，﹣4)，令x＝0，則y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，∴C(0，﹣3)，設(shè)直線MC為y＝kx﹣3，代入點M得k＝﹣1，∴直線MC為y＝﹣x﹣3，令y＝0，則x＝﹣3，∴N(﹣3，0)，令y＝0，則x2﹣2x﹣3＝0，∴x＝﹣1或3，∴A(﹣1，0)，B(3，0)，過C作CP∥AN，使CP＝AN，則四邊形ANCP為平行四邊形，∴CP＝AN＝﹣1﹣(﹣3)＝2，∴P(2，﹣3)，∵P的坐標滿足拋物線解析式，∴P(2，﹣3)在拋物線上，即P(2，﹣3)；(3)如圖2，令x＝0，則y＝﹣x+3＝3，∴D(0，3)，∴OB＝OD＝3，又∠DOB＝90°，∴∠DBO＝45°，同理，∠ABC＝45°，∵同弧所對的圓周角相等，∴∠AEF＝∠ABC＝45°，∠AFE＝∠DBO＝45°，∴∠AEF＝∠AFE＝45°，∴△AEF為等腰直角三角形．【例2】已知拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè))．與y軸交于點C．其中OC＝OB，tan∠CAO＝3．(1)求拋物線的解析式；(2)P是第一象限內(nèi)的拋物線上一動點，Q為線段PB的中點，求△CPQ面積的最大值時P點坐標：(3)將拋物線沿射線CB方向平移2個單位得新拋物線y'．M為新拋物線y′的頂點．D為新拋物線y'上任意一點，N為x軸上一點．當以M、N、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形時，直接寫出所有符合條件的點N的坐標．并選擇一個你喜歡的N點．寫出求解過程．【分析】(1)第一題將ABC三個點坐標表示后，代入求值即可．(2)第二題求面積最大值，可用鉛錘法將面積轉(zhuǎn)化為求鉛垂高的最大值．(3)第三題平行四邊形存在性問題，利用平行四邊形對角線互相平分，套用中點坐標公式即可求出相應的點．【解析】(1)∵拋物線解析式為y＝ax2+bx+3，令x＝0得y＝3，∴點C坐標為(0，3)，∵OG﹣OB＝3，∴B坐標為(3，0)，∵tan∠CAO＝3，∴＝3，∴OA＝1，∴點A坐標為(﹣1，0)，∴設(shè)解析式為y＝a(x+1)(x﹣3)，代入(0，3)得a＝﹣1，∴y＝﹣(x+1)(x﹣3)，＝﹣(x2﹣2x﹣3)＝﹣x2+2x+3＝﹣(x﹣1)2+4，∴拋物線解析式為：y＝﹣(x﹣1)2+4；(2)∵Q為線段PB中點，∴S△CPQ＝S△CPB，當S△CPB面積最大時，△CPQ面積最大．設(shè)P坐標(a，﹣a2+2a+3)，過點P作PH∥y軸交BC于點H，H坐標為(a，﹣a+3)，∴PH＝(﹣a2+2a+3)﹣(﹣a+3)＝﹣a2+2a+3+a﹣3＝﹣a2+3a，S△CPB＝?PH?(xB﹣xC)＝?PH?3＝PH＝(﹣a2+3a)＝﹣(a2﹣3a+﹣)＝﹣(a﹣)2+，當a＝時，即P坐標為(，)時，最大S△CPQ＝S△CPB＝，∴P坐標為(，)；(3)沿CB方向平移2個單位，即向右2個單位，向下2個單位，∴新拋物線解析式為y＝﹣(x﹣3)2+2，M坐標為(3，2)C坐標為(0，3)，點N坐標設(shè)為(n，0)，∵＝，∴＝，∴yD＝1，則1＝﹣(x﹣3)2+2﹣1＝﹣(x﹣3)2，(x﹣3)2＝1，x﹣3＝±1，∴x＝4或2，∴xD＝4或xD＝2，＝?＝，∴xN＝7，或＝，∴xN＝5，∴N坐標為(7，0)或(5，0)，或＝?＝，得yD＝﹣1，則﹣1＝﹣(x﹣3)2+2，(x﹣3)2＝3，x＝±+3，∴xD＝3﹣或xD＝3+，即xN＝﹣或，N坐標為(﹣，0)或(，0)．【例3】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點A(﹣4，0)，點M為拋物線的頂點，點B在y軸上，且OA＝OB，直線AB與拋物線在第一象限交于點C(2，6)．(1)求拋物線的解析式及頂點M的坐標；(2)求直線AB的函數(shù)解析式及sin∠ABO的值；連接OC．若過點O的直線交線段AC于點P，將三角形AOC的面積分成1：2的兩部分，請求出點P的坐標；(3)在坐標平面內(nèi)是否存在點N，使以點A、O、C、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】(1)將A(﹣4，0)，C(2，6)代入y＝x2+bx+c，用待定系數(shù)法可得解析式，從而可得頂點M的坐標；(2)由OA＝OB可得B(0，4)，設(shè)直線AB的函數(shù)解析式解析式為y＝kx+b，將A(﹣4，0)、B(0，4)代入可求得AB為y＝x+4，Rt△AOB中，可得sin∠ABO＝＝，過點O的直線交線段AC于點P，將三角形AOC的面積分成1：2的兩部分，過P作PQ⊥x軸于Q，過C作CH⊥x軸于H，分兩種情況：①當S△AOP：S△COP＝1：2時，PQ：CH＝1：3，可求PQ＝2，從而求得P坐標，②當S△COP：S△AOP＝1：2時，S△AOP：S△AOC＝2：3，同理可求P坐標；(3)設(shè)N(m，n)，利用平行四邊形對角線互相平分，即對角線的中點重合，分三種情況分別列方程組求解即可．【解析】(1)將A(﹣4，0)，C(2，6)代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴拋物線的解析式為y＝x2+2x，對稱軸x＝＝﹣2，當x＝﹣2時，y＝×4+2×(﹣2)＝﹣2，∴頂點M的坐標為(﹣2，﹣2)；(2)∵A(﹣4，0)，∴OA＝4，∵OA＝OB，∴OB＝4，B(0，4)，設(shè)直線AB的函數(shù)解析式解析式為y＝kx+b，將A(﹣4，0)、B(0，4)代入得：，解得，∴直線AB的函數(shù)解析式解析式為y＝x+4，Rt△AOB中，AB＝＝4，∴sin∠ABO＝＝＝，過點O的直線交線段AC于點P，將三角形AOC的面積分成1：2的兩部分，過P作PQ⊥x軸于Q，過C作CH⊥x軸于H，分兩種情況：①當S△AOP：S△COP＝1：2時，如圖：∵S△AOP：S△COP＝1：2，∴S△AOP：S△AOC＝1：3，∴PQ：CH＝1：3，而C(2，6)，即CH＝6，∴PQ＝2，即yP＝2，在y＝x+4中，令y＝2得2＝x+4，∴x＝﹣2，∴P(﹣2，2)；②當S△COP：S△AOP＝1：2時，如圖：∵S△COP：S△AOP＝1：2，∴S△AOP：S△AOC＝2：3，∴PQ：CH＝2：3，∵CH＝6，∴PQ＝4，即yP＝4，在y＝x+4中，令y＝4得4＝x+4，∴x＝0，∴P(0，4)；綜上所述，過點O的直線交線段AC于點P，將三角形AOC的面積分成1：2的兩部分，則P坐標為(﹣2，2)或(0，4)；(3)點A、O、C、N為頂點的四邊形是平行四邊形時，設(shè)N(m，n)，分三種情況：①以AN、CO為對角線，此時AN中點與CO中點重合，∵A(﹣4，0)、O(0，0)，C(2，6)，∴AN的中點為(，)，OC中點為(，)，∴，解得，∴N(6，6)，②以AC、NO為對角線，此時AC中點與NO中點重合，同理可得：解得，∴N(﹣2，6)，③以AO、CN為對角線，此時AO中點與CN中點重合，同理可得：，解得，∴N(﹣6，﹣6)，綜上所述，點A、O、C、N為頂點的四邊形是平行四邊形，N的坐標為：(6，6)或(﹣2，6)或(﹣6，﹣6)．【例4】如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3的圖象與x軸交于A(﹣1，0)，B(3，0)兩點，與y軸交于點C，直線l與拋物線交于點B，交y軸于點D(0，3)．(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；(2)點P(m，0)為線段OB上一動點，過點P作x軸的垂線EF，分別交拋物線于直線l于點E，F(xiàn)，連接CE，CF，BE，求四邊形CEBF面積的最大值及此時m的值；(3)點M為y軸右側(cè)拋物線上一動點，過點M作直線MN∥AC交直線l于點N，是否存在點M，使以A，C，M，N四點為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】(1)將A，B坐標代入y＝ax2+bx﹣3中，利用待定系數(shù)法可求；(2)求出直線l的解析式，用m表示點E，F(xiàn)的坐標，進而表示線段EF，根據(jù)S四邊形CEBF＝S△CEF+S△BEF＝EF?OP+?BP＝FE?OB，用含m的代數(shù)式表示四邊形CEBF的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，通過配方法得出結(jié)論；(3)分點M在直線BD的下方和點M在直線BD的上方時兩種情形討論解答；依據(jù)題意畫出圖形，①過M作ME⊥y軸于E，過N作NF⊥ME于F，通過說明△AOC≌△MFN，得出NF＝3，設(shè)出點M的坐標，用坐標表示相應線段，利用線段與坐標的關(guān)系，用相同的字母表示點N的坐標后，用坐標表示出線段NG，GF，利用NG+GF＝NF＝3，列出方程，解方程，點M坐標可求；②利用①中相同的方法求得點M在直線BD的上方時點M的坐標．【解析】(1)將A(﹣1，0)，B(3，0)代入y＝ax2+bx﹣3中得：．解得：．∴該拋物線的函數(shù)表達式為：y＝x2﹣2x﹣3．(2)設(shè)直線l的解析式為y＝kx+n，將B(3，0)，D(0，3)代入上式得：．解得：．∴直線l的解析式為：y＝﹣x+3．∵點P(m，0)，EF⊥x軸，∴E點坐標為(m，m2﹣2m﹣3)，點F的坐標為(m，﹣m+3)．∴EF＝﹣m+3﹣m2+2m+3＝﹣m2+m+6．∵B(3，0)，∴OB＝3．∵S四邊形CEBF＝S△CEF+S△BEF＝EF?OP+?BP×EF＝FE?OB，∴＝﹣．∵＜0，∴當m＝時，S四邊形CEBF有最大值＝．即：當m＝時，四邊形CEBF面積的最大值為．(3)存在．①當點M在直線BD的下方時，如圖，令x＝0，則y＝﹣3．∴C(0，﹣3)．∴OC＝3．∵A(﹣1，0)，∴OA＝1．過M作ME⊥y軸于E，過N作NF⊥ME于F，交x軸于點G，∵四邊形ACMN為平行四邊形，∴AC∥MN，AC＝MN．∵NF⊥ME，ME⊥OE，∴NF∥OE．∴∠ACO＝∠MNF．在△AOC和△MFN中，．∴△AOC≌△MFN(AAS)．∴NF＝OC＝3，MF＝OA＝1．設(shè)M(h，h2﹣2h﹣3)，則ME＝h，GF＝OE＝﹣h2+2h+3．∴OG＝EF＝ME﹣MF＝h﹣1．∴N(h﹣1，﹣h+4)．∴NG＝﹣h+4，∵NG+GF＝NF＝3，∴﹣h+4﹣h2+2h+3＝3．解得：h＝(負數(shù)不合題意，舍去)．∴h＝．∴M()．②當點M在直線BD的上方時，如圖，過N作NE⊥y軸于E，過M作MF⊥NE于F，交x軸于點G，由①知：△MNF≌△CAO(AAS)，可得NF＝OA＝1，MF＝OC＝3．設(shè)M(h，h2﹣2h﹣3)，則OG＝FE＝h，GM＝h2﹣2h﹣3．∴NE＝EF+NF＝h+1．∴N(h+1，﹣h+2)．∴GF＝OE＝h﹣2．∵MG+GF＝MF＝3，∴h﹣2+h2﹣2h﹣3＝3．解得：h＝(負數(shù)不合題意，舍去)．∴h＝．∴M()．綜上所述，存在點M，使以A，C，M，N四點為頂點的四邊形是平行四邊形，此時點M的坐標為()或()．【例5】如圖1，二次函數(shù)y＝ax2+bx的圖象過點A(﹣1，3)，頂點B的橫坐標為1．(1)求這個二次函數(shù)的表達式；(2)點P在該二次函數(shù)的圖象上，點Q在x軸上，若以A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的坐標；(3)如圖3，一次函數(shù)y＝kx(k＞0)的圖象與該二次函數(shù)的圖象交于O、C兩點，點T為該二次函數(shù)圖象上位于直線OC下方的動點，過點T作直線TM⊥OC，垂足為點M，且M在線段OC上(不與O、C重合)，過點T作直線TN∥y軸交OC于點N．若在點T運動的過程中，ON2OM【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可解決問題．(2)①當AB為對角線時，根據(jù)中點坐標公式，列出方程組解決問題．②當AB為邊時，根據(jù)中點坐標公式列出方程組解決問題．(3)設(shè)T(m，m2﹣2m)，由TM⊥OC，可以設(shè)直線TM為y=-1kx+b，則m2﹣2m=-1km+b，b＝m2﹣2m+mk，求出點M、【解析】(1)∵二次函數(shù)y＝ax2+bx的圖象過點A(﹣1，3)，頂點B的橫坐標為1，則有3=a-b∴二次函數(shù)y＝x2﹣2x，(2)由(1)得，B(1，﹣1)，∵A(﹣1，3)，∴直線AB解析式為y＝﹣2x+1，AB＝25，設(shè)點Q(m，0)，P(n，n2﹣2n)∵以A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，①當AB為對角線時，根據(jù)中點坐標公式得，則有m+n2=0n2-2n∴P(1+3，2)和(1-3，②當AB為邊時，根據(jù)中點坐標公式得n+12=m-12∴P(1+5，4)或(1-5，故答案為P(1+3，2)或(1-3，2)或P(1+5，4)或(1-(3)設(shè)T(m，m2﹣2m)，∵TM⊥OC，∴可以設(shè)直線TM為y=-1kx+b，則m2﹣2m=-1km+b，b＝m由y=kxy=-1k∴OM=x2+y2=k∴ON∴k=12時，∴當k=12時，點T運動的過程中，培優(yōu)訓練培優(yōu)訓練1．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，已知B(3，0)，C(0，﹣3)，連接BC，點P是拋物線上的一個動點，點N是對稱軸上的一個動點．(1)求該拋物線的函數(shù)解析式．(2)當△PAB的面積為8時，求點P的坐標．(3)若點P在直線BC的下方，當點P到直線BC的距離最大時，在拋物線上是否存在點Q，使得以點P，C，N，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】(1)利用待定系數(shù)法可求解析式；(2)設(shè)點P(p，p2﹣2p﹣3)，由三角形的面積公式可求解；(3)利用二次函數(shù)的性質(zhì)先求點P坐標，分三種情況討論，利用平行四邊形的性質(zhì)可求解．【解析】(1)∵拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點B(3，0)，C(0，﹣3)，∴，解得：，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；(2)∵拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸交于A，B兩點，∴0＝x2﹣2x﹣3，∴x1＝﹣1，x2＝3，∴點A(﹣1，0)，∴AB＝4，設(shè)點P(p，p2﹣2p﹣3)，∵△PAB的面積為8，∴×4×|p2﹣2p﹣3|＝8，∴p2﹣2p﹣3＝4或p2﹣2p﹣3＝﹣4，∴p1＝2+1，p2＝﹣2+1，p3＝1，∴點P坐標為(2+1，4)或(﹣2+1，4)或(1，﹣4)；(3)如圖1，過點P作PE∥y軸，交BC于E，∵點B(3，0)，C(0，﹣3)，∴直線BC的解析式為y＝x﹣3，設(shè)點P(a，a2﹣2a﹣3)，則點E(a，a﹣3)，∴PE＝a﹣3﹣(a2﹣2a﹣3)＝﹣a2+3a，∴S△BCP＝×(﹣a2+3a)×3＝﹣(a﹣)2+，∴當a＝時，S△BCP有最大值，即點P到直線BC的距離最大，此時點P(，﹣)，設(shè)點N(1，n)，點Q(m，m2﹣2m﹣3)，若CP為邊，CN為邊時，則CQ與NP互相平分，∴，∴m＝，∴點Q(，﹣)，若CP為邊，CQ為邊時，則CN與PQ互相平分，∴＝，∴m＝﹣，∴點Q(﹣，﹣)，若CP為對角線，則CP與NQ互相平分，∴，∴m＝，∴點Q(，﹣)，綜上所述：點Q坐標為(，﹣)或(﹣，﹣)或(，﹣)．2．如圖所示，拋物線y＝ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且點A的坐標為A(﹣2，0)，點C的坐標為C(0，6)，對稱軸為直線x＝1．點D是拋物線上一個動點，設(shè)點D的橫坐標為m(1＜m＜4)，連接AC，BC，DC，DB．(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)當△BCD的面積等于△AOC的面積的時，求m的值；(3)在(2)的條件下，若點M是x軸上一動點，點N是拋物線上一動點，試判斷是否存在這樣的點M，使得以點B，D，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形．若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】(1)由題意得出方程組，解方程組即可；(2)過點D作DE⊥x軸于E，交BC于G，過點C作CF⊥ED交ED的延長線于F，求出點B的坐標為(4，0)，由待定系數(shù)法求出直線BC的函數(shù)表達式為y＝﹣x+6，則點D的坐標為(m，﹣m2+m+6)，點G的坐標為(m，﹣m+6)，求出S△BCD＝﹣m2+6m＝，解方程即可；(3)求出點D的坐標為(3，)，分三種情況，①當DB為對角線時，證出DN∥x軸，則點D與點N關(guān)于直線x＝1對稱，得出N(﹣1，)求出BM＝4，即可得出答案；②當DM為對角線時，由①得N(﹣1，)，DN＝4，由平行四邊形的性質(zhì)得出DN＝BM＝4，進而得出答案；③當DN為對角線時，點D與點N的縱坐標互為相反數(shù)，N(1+，﹣)或N(1﹣，﹣)，再分兩種情況解答即可．【解析】(1)由題意得：，解得：，∴拋物線的函數(shù)表達式為：y＝﹣x2+x+6；(2)過點D作DE⊥x軸于E，交BC于G，過點C作CF⊥ED交ED的延長線于F，如圖1所示：∵點A的坐標為(﹣2，0)，點C的坐標為(0，6)，∴OA＝2，OC＝6，∴S△AOC＝OA?OC＝×2×6＝6，∴S△BCD＝S△AOC＝×6＝，當y＝0時，﹣x2+x+6＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝4，∴點B的坐標為(4，0)，設(shè)直線BC的函數(shù)表達式為：y＝kx+n，則，解得：，∴直線BC的函數(shù)表達式為：y＝﹣x+6，∵點D的橫坐標為m(1＜m＜4)，∴點D的坐標為：(m，﹣m2+m+6)，點G的坐標為：(m，﹣m+6)，∴DG＝﹣m2+m+6﹣(﹣m+6)＝﹣m2+3m，CF＝m，BE＝4﹣m，∴S△BCD＝S△CDG+S△BDG＝DG?CF+DG?BE＝DG×(CF+BE)＝×(﹣m2+3m)×(m+4﹣m)＝﹣m2+6m，∴﹣m2+6m＝，解得：m1＝1(不合題意舍去)，m2＝3，∴m的值為3；(3)由(2)得：m＝3，﹣m2+m+6＝﹣×32+×3+6＝，∴點D的坐標為：(3，)，分三種情況討論：①當DB為對角線時，如圖2所示：∵四邊形BDNM是平行四邊形，∴DN∥BM，∴DN∥x軸，∴點D與點N關(guān)于直線x＝1對稱，∴N(﹣1，)，∴DN＝3﹣(﹣1)＝4，∴BM＝4，∵B(4，0)，∴M(8，0)；②當DM為對角線時，如圖3所示：由①得：N(﹣1，)，DN＝4，∵四邊形BDNM是平行四邊形，∴DN＝BM＝4，∵B(4，0)，∴M(0，0)；③當DN為對角線時，∵四邊形BDNM是平行四邊形，∴DM＝BN，DM∥BN，∴∠DMB＝∠MBN，∴點D與點N的縱坐標互為相反數(shù)，∵點D(3，)，∴點N的縱坐標為：﹣，將y＝﹣代入y＝﹣x2+x+6中，得：﹣x2+x+6＝﹣，解得：x1＝1+，x2＝1﹣，當x＝1+時，如圖4所示：則N(1+，﹣)，分別過點D、N作x軸的垂線，垂足分別為E、Q，在Rt△DEM和Rt△NQB中，，∴Rt△DEM≌Rt△NQB(HL)，∴BQ＝EM，∵BQ＝1+﹣4＝﹣3，∴EM＝﹣3，∵E(3，0)，∴M(，0)；當x＝1﹣時，如圖5所示：則N(1﹣，﹣)，同理得點M(﹣，0)；綜上所述，點M的坐標為(8，0)或(0，0)或(，0)或(﹣，0)．3．如圖1(注：與圖2完全相同)所示，拋物線y＝﹣+bx+c經(jīng)過B、D兩點，與x軸的另一個交點為A，與y軸相交于點C．(1)求拋物線的解析式．(2)設(shè)拋物線的頂點為M，求四邊形ABMC的面積．(請在圖1中探索)(3)設(shè)點Q在y軸上，點P在拋物線上．要使以點A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件的點P的坐標．(請在圖2中探索)【分析】(1)用待定系數(shù)法解答便可；(2)求出拋物線與坐標軸的交點A、C坐標及拋物線頂點M的坐標，再將四邊形ABMC的面積分為三角形的面積的和，進行計算便可；(3)分兩種情況：AB為平行四邊形的邊；AB為平行四邊形的對角線．分別解答便可．【解析】(1)把B(3，0)和D(﹣2，﹣)代入拋物線的解析式得，，解得，，∴拋物線的解析式為：；(2)令x＝0，得＝，∴，令y＝0，得＝0，解得，x＝﹣1，或x＝3，∴A(﹣1，0)，∵＝，∴M(1，2)，∴S四邊形ABMC＝S△AOC+S△COM+S△MOB＝＝；(3)設(shè)Q(0，n)，①當AB為平行四邊形的邊時，有AB∥PQ，AB＝PQ，a)．P點在Q點左邊時，則P(﹣4，n)，把P(﹣4，n)代入，得n＝，∴P(﹣4，﹣)；②當AB為平行四邊形的邊時，有AB∥PQ，AB＝PQ，當P點在Q點右邊時，則P(4，n)，把P(4，n)代入，得n＝，∴P(4，﹣)；③當AB為平行四邊形的對角線時，如圖2，AB與PQ交于點E，則E(1，0)，∵PE＝QE，∴P(2，﹣n)，把P(2，﹣n)代入，得﹣n＝，∴n＝﹣，∴P(2，)．綜上，滿足條件的P點坐標為：(﹣4，﹣)或(4，﹣)或(2，)．4．已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A(﹣1，0)，點B(3，0)，與y軸交于點C(0，3)．頂點為點D．(1)求拋物線的解析式；(2)若過點C的直線交線段AB于點E，且S△ACE：S△CEB＝3：5，求直線CE的解析式；(3)若點P在拋物線上，點Q在x軸上，當以點D，C，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點P的坐標；(4)已知點H(0，)，G(2，0)，在拋物線對稱軸上找一點F，使HF+AF的值最小．此時，在拋物線上是否存在一點K，使KF+KG的值最??？若存在，求出點K的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】(1)因為拋物線經(jīng)過A(﹣1，0)，B(3，0)，可以假設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x+1)(x﹣3)，利用待定系數(shù)法解決問題即可．(2)求出點E的坐標即可解決問題．(3)分點P在x軸的上方或下方，點P的縱坐標為1或﹣1，利用待定系數(shù)法求解即可．(4)如圖3中，連接BH交對稱軸于F，連接AF，此時AF+FH的值最?。蟪鲋本€HB的解析式，可得點F的坐標，設(shè)K(x，y)，作直線y＝，過點K作KM⊥直線y＝于M．證明KF＝KM，利用垂線段最短解決問題即可．【解析】(1)因為拋物線經(jīng)過A(﹣1，0)，B(3，0)，∴可以假設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x+1)(x﹣3)，把C(0，3)代入，可得a＝﹣1，∴拋物線的解析式為y＝﹣(x+1)(x﹣3)＝﹣x2+2x+3．(2)如圖1中，連接AC，BC．∵S△ACE：S△CEB＝3：5，∴AE：EB＝3：5，∵AB＝4，∴AE＝4×＝，∴OE＝0.5，設(shè)直線CE的解析式為y＝kx+b′，則有，解得，∴直線EC的解析式為y＝﹣6x+3．(3)由題意C(0，3)，D(1，4)．觀察圖像可知CD只能說平行四邊形的邊，不可能是對角線，當四邊形P1Q1CD，四邊形P2Q2CD是平行四邊形時，點P的縱坐標為1，當y＝1時，﹣x2+2x+3＝1，解得x＝1±，∴P1(1+，1)，P2(1﹣，1)，當四邊形P3Q3DC，四邊形P4Q4DC是平行四邊形時，點P的縱坐標為﹣1，當y＝﹣1時，﹣x2+2x+3＝﹣1，解得x＝1±，∴P1(1+，﹣1)，P2(1﹣，﹣1)，綜上所述，滿足條件的點P的坐標為(1+，1)或(1﹣，1)或(1﹣，﹣1)或(1+，﹣1)．(4)如圖3中，連接BH交對稱軸于F，連接AF，此時AF+FH的值最?。逪(0，)，B(3，0)，∴直線BH的解析式為y＝﹣x+，∵x＝1時，y＝，∴F(1，)，設(shè)K(x，y)，作直線y＝，過點K作KM⊥直線y＝于M．∵KF＝，y＝﹣x2+2x+3＝﹣(x﹣1)2+4，∴(x﹣1)2＝4﹣y，∴KF＝＝＝|y﹣|，∵KM＝|y﹣|，∴KF＝KM，∴KG+KF＝KG+KM，根據(jù)垂線段最短可知，當G，K，M共線，且垂直直線y＝時，GK+KM的值最小，最小值為，此時K(2，3)．5．如圖，已知拋物線：y1＝﹣x2﹣2x+3與x軸交于A，B兩點(A在B的左側(cè))，與y軸交于點C．(1)直接寫出點A，B，C的坐標；(2)將拋物線y1經(jīng)過向右與向下平移，使得到的拋物線y2與x軸交于B，B'兩點(B'在B的右側(cè))，頂點D的對應點為點D'，若∠BD'B'＝90°，求點B'的坐標及拋物線y2的解析式；(3)在(2)的條件下，若點Q在x軸上，則在拋物線y1或y2上是否存在點P，使以B′，C，Q，P為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有符合條件的點P的坐標；如果不存在，請說明理由．【分析】(1)令x＝0或y1＝0，解方程可得結(jié)論．(2)設(shè)平移后的拋物線的解析式為y2＝﹣(x﹣a)2+b，如圖1中，過點D′作D′H⊥OB′于H．，連接BD′，B′D′．構(gòu)建方程組解決問題即可．(3)觀察圖象可知，當點P的縱坐標為3或﹣3時，存在滿足條件的平行四邊形．分別令y1和y2等于3或﹣3，解方程即可解決問題．【解析】(1)對于y1＝﹣x2﹣2x+3，令y1＝0，得到﹣x2﹣2x+3＝0，解得x＝﹣3或1，∴A(﹣3，0)，B(1，0)，令x＝0，得到y(tǒng)1＝3，∴C(0，3)．(2)設(shè)平移后的拋物線的解析式為y2＝﹣(x﹣a)2+b，如圖1中，過點D′作D′H⊥OB′于H，連接BD′．∵D′是拋物線的頂點，∴D′B＝D′B′，D′(a，b)，∵∠BD′B′＝90°，D′H⊥BB′，∴BH＝HB′，∴D′H＝BH＝HB′＝b，∴a＝1+b，又∵y2＝﹣(x﹣a)2+b，經(jīng)過B(1，0)，∴b＝(1﹣a)2，解得a＝2或1(不合題意舍棄)，b＝1，∴B′(3，0)，y2＝﹣(x﹣2)2+1＝﹣x2+4x﹣3．(3)如圖2中，觀察圖象可知，當點P的縱坐標為3或﹣3時，存在滿足條件的平行四邊形．對于y1＝﹣x2﹣2x+3，令y1＝3，x2+2x＝0，解得x＝0或﹣2，可得P1(﹣2，3)，令y1＝﹣3，則x2+2x﹣6＝0，解得x＝﹣1，可得P2(﹣1﹣，﹣3)，P3(﹣1+，﹣3)，對于y2＝﹣x2+4x﹣3，令y2＝3，方程無解，令y2＝﹣3，則x2﹣4x＝0，解得x＝0或4，可得P4(0，﹣3)，P5(4，﹣3)，綜上所述，滿足條件的點P的坐標為(﹣2，3)或(﹣1﹣，﹣3)或(﹣1+，﹣3)或(0，﹣3)或(4，﹣3)．6．如圖，拋物線過點A(0，1)和C，頂點為D，直線AC與拋物線的對稱軸BD的交點為B(，0)，平行于y軸的直線EF與拋物線交于點E，與直線AC交于點F，點F的橫坐標為，四邊形BDEF為平行四邊形．(1)求點F的坐標及拋物線的解析式；(2)若點P為拋物線上的動點，且在直線AC上方，當△PAB面積最大時，求點P的坐標及△PAB面積的最大值；(3)在拋物線的對稱軸上取一點Q，同時在拋物線上取一點R，使以AC為一邊且以A，C，Q，R為頂點的四邊形為平行四邊形，求點Q和點R的坐標．【分析】(1)由待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為y＝﹣x+1，求出F點的坐標，由平行四邊形的性質(zhì)得出﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣(﹣)，求出a的值，則可得出答案；(2)設(shè)P(n，﹣n2+2n+1)，作PP'⊥x軸交AC于點P'，則P'(n，﹣n+1)，得出PP'＝﹣n2+n，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得出答案；(3)聯(lián)立直線AC和拋物線解析式求出C(，﹣)，設(shè)Q(，m)，分兩種情況：①當AQ為對角線時，②當AR為對角線時，分別求出點Q和R的坐標即可．【解析】(1)設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c(a≠0)，∵A(0，1)，B(，0)，設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+m，∴，解得，∴直線AB的解析式為y＝﹣x+1，∵點F的橫坐標為，∴F點縱坐標為﹣+1＝﹣，∴F點的坐標為(，﹣)，又∵點A在拋物線上，∴c＝1，對稱軸為：x＝﹣，∴b＝﹣2a，∴解析式化為：y＝ax2﹣2ax+1，∵四邊形DBFE為平行四邊形．∴BD＝EF，∴﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣(﹣)，解得a＝﹣1，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+1；(2)設(shè)P(n，﹣n2+2n+1)，作PP'⊥x軸交AC于點P'，則P'(n，﹣n+1)，∴PP'＝﹣n2+n，S△ABP＝OB?PP'＝﹣n＝﹣+，∴當n＝時，△ABP的面積最大為，此時P(，)．(3)∵，∴x＝0或x＝，∴C(，﹣)，設(shè)Q(，m)，①當AQ為對角線時，∴R(﹣)，∵R在拋物線y＝+4上，∴m+＝﹣+4，解得m＝﹣，∴Q，R；②當AR為對角線時，∴R()，∵R在拋物線y＝+4上，∴m﹣+4，解得m＝﹣10，∴Q(，﹣10)，R()．綜上所述，Q，R；或Q(，﹣10)，R()．7．如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣5(a≠0)經(jīng)過x軸上的點A(1，0)和點B(5，0)及y軸上的點C，經(jīng)過B、C兩點的直線為y＝kx+b(k≠0)．(1)求拋物線的解析式．(2)點P從A出發(fā)，在線段AB上以每秒1個單位的速度向B運動，同時點E從B出發(fā)，在線段BC上以每秒2個單位的速度向C運動．當其中一個點到達終點時，另一點也停止運動．設(shè)運動時間為t秒，求t為何值時，△PBE的面積最大并求出最大值．(3)過點A作AM⊥BC于點M，過拋物線上一動點N(不與點B、C重合)作直線AM的平行線交直線BC于點Q．若點A、M、N、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點N的橫坐標．【分析】(1)將A(1，0)和點B(5，0)代入y＝ax2+bx﹣5計算出a，b的值即可；(2)作ED⊥x軸于D，表示出ED，從而表示出S△BEP，利用二次函數(shù)求最值；(3)過A作AE∥y軸交直線BC于E點，過N作NF∥y軸交直線BC于點F，則NF＝AE＝4，設(shè)N(m，﹣m2+6m﹣5)，則F(m，m﹣5)，從而有NF＝|﹣m2+5m|＝4，解方程即可求出N的橫坐標．【解析】(1)將A(1，0)和點B(5，0)代入y＝ax2+bx﹣5得：，解得，∴拋物線y＝﹣x2+6x﹣5，(2)作ED⊥x軸于D，由題意知：BP＝4﹣t，BE＝2t，∵B(5，0)，C(0，﹣5)，∴OB＝OC＝5，∴∠OBC＝45°，∴ED＝sin45°×2t＝，∴S△BEP＝＝﹣，當t＝﹣時，S△BEP最大為2．∴當t＝2時，S△BEP最大為2．(3)過A作AE∥y軸交直線BC于E點，過N作NF∥y軸交直線BC于點F，則NF＝AE＝4，設(shè)N(m，﹣m2+6m﹣5)，則F(m，m﹣5)，∴NF＝|﹣m2+5m|＝4，∴m2﹣5m+4＝0或m2﹣5m﹣4＝0，∴m1＝1(舍)，m2＝4，或m3＝，m4＝，∴點N的橫坐標為：4或或．8．如圖1，拋物線y＝ax2+bx+4交x軸于A(﹣3，0)，B(4，0)兩點，與y軸交于點C，連接AC，BC．點P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，設(shè)點P的橫坐標為m，過點P作PM⊥x軸，垂足為點M，PM交BC于點Q，過點P作PN⊥BC，交BC于點N．(1)求此拋物線的解析式；(2)請用含m的代數(shù)式表示PN，并求出PN的最大值以及此時點P的坐標；(3)如圖2，將拋物線y＝ax2+bx+4沿著射線CB的方向平移，使得新拋物線y'過原點，點D為原拋物線y與新拋物線y'的交點，若點E為原拋物線的對稱軸上一動點，點F為新拋物線y'上一動點，求點F使得以A，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形為平行四邊形，請直接寫出點F的坐標，并寫出一個F點的求解過程．【分析】(1)將點A(﹣3，0)，B(4，0)代入y＝ax2+bx+4，即可求函數(shù)解析式；(2)先求出BC的解析式為y＝﹣x+4，設(shè)P(m，﹣m2+m+4)，Q(m，﹣m+4)，由面積S△BCP＝×BC×PN＝×PQ×OB，可得PN＝﹣(m﹣2)2+，所以當m＝2時，PN有最大值，P(2，)；(3)由拋物線沿著射線CB的方向平移，可設(shè)拋物線沿x軸正方向平移t(t＞0)個單位，則沿y軸負半軸平移t個單位，則平移后的函數(shù)解析式為y'＝﹣+﹣t，再由新拋物線y'過原點，可求t＝2，則可求新的拋物線解析式為y'＝﹣x2+x，聯(lián)立﹣x2+x＝﹣x2+x+4，求出D(3，2)，由點E在y'上，則E點的橫坐標為，由點F為新拋物線y'上，設(shè)F點橫坐標為n，當以A，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形為平行四邊形時，有三種情況：①當AE與DF為平行四邊形的對角線時，﹣3+＝n+3，得F(﹣，﹣)；②當AF與ED為平行四邊形對角線時，﹣3+n＝3+，得F(，﹣)；③當AD與EF為平行四邊形對角線時，﹣3+3＝n+，得F(﹣，﹣)．【解析】(1)將點A(﹣3，0)，B(4，0)代入y＝ax2+bx+4，得：，解得：，∴y＝﹣x2+x+4；(2)∵拋物線與y軸交于點C，∴C(0，4)，設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+d，將點B與點C代入可得，，解得，∴y＝﹣x+4，∵點P的橫坐標為m，PM⊥x軸，∴P(m，﹣m2+m+4)，Q(m，﹣m+4)，∴S△BCP＝×BC×PN＝×PQ×OB，∵B(4，0)，C(0，4)，∴BC＝8，∴8PN＝(﹣m2+m+4+m﹣4)×4，∴PN＝﹣(m﹣2)2+，∴當m＝2時，PN有最大值，∴P(2，)；(3)y＝﹣x2+x+4＝﹣+，∵拋物線沿著射線CB的方向平移，設(shè)拋物線沿x軸正方向平移t(t＞0)個單位，則沿y軸負半軸平移t個單位，平移后的函數(shù)解析式為y'＝﹣+﹣t，∵新拋物線y'過原點，∴0＝﹣+﹣t，解得t＝2或t＝﹣6(舍)，∴y'＝﹣+＝﹣x2+x，∵點D為原拋物線y與新拋物線y'的交點，聯(lián)立﹣x2+x＝﹣x2+x+4，∴x＝3，∴D(3，2)，∵y＝﹣x2+x+4的對稱軸為直線x＝，∴E點的橫坐標為，∵點F為新拋物線y'上一動點，設(shè)F點橫坐標為n，①當AE與DF為平行四邊形的對角線時，∴﹣3+＝n+3，∴n＝﹣，∴F(﹣，﹣)；②當AF與ED為平行四邊形對角線時，∴﹣3+n＝3+，∴n＝，∴F(，﹣)；③當AD與EF為平行四邊形對角線時，∴﹣3+3＝n+，∴n＝﹣，∴F(﹣，﹣)；綜上所述：以A，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形為平行四邊形時，F(xiàn)的坐標為(﹣，﹣)或(，﹣)或(﹣，﹣)．9．如圖，拋物線M：y＝ax2+bx+b﹣a經(jīng)過點(1，﹣3)和(﹣4，12)，與兩坐標軸的交點分別為A，B，C，頂點為D．(1)求拋物線M的表達式和頂點D的坐標；(2)若拋物線N：y＝﹣(x﹣h)2+與拋物線M有一個公共點為E，則在拋物線N上是否存在一點F，使得以B、C、E、F為頂點的四邊形是以BC為邊的平行四邊形？若存在，請求出h的值；若不存在，請說明理由．【分析】(1)將點代入拋物線解析式求出a，b的值，即可求出拋物線解析式，再將拋物線解析式轉(zhuǎn)化為頂點式，求出頂點D的坐標；(2)先求出B，C的坐標，再設(shè)E，F(xiàn)的坐標，根據(jù)平移的特點列出關(guān)系式，求出h的值．【解析】(1)將(1，﹣3)，(﹣4，12)代入y＝ax2+bx+b﹣a，得，解得，∴，∴拋物線M的表達式為，頂點D的坐標為．(2)存在．∵，當x＝0時，y＝﹣2，當y＝0時，，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴C(0，﹣2)，B(4，0)，設(shè)，，當四邊形BCFE是平行四邊形時，可看出是E，F(xiàn)可看成分別是B，C平移相同的單位得到，則②﹣③得m+n＝2h﹣1④，(①+④)÷2得⑤，(④﹣①)÷2得⑥，將⑤，⑥代入③得h＝±，當四邊形BCEF是平行四邊形時，可看出是E，F(xiàn)可看成分別是C，B平移相同的單位得到，則②﹣③得m+n＝2h﹣1④，(①+④)÷2得⑤，(④﹣①)÷2得⑥，將⑤，⑥代入③得，綜上，h的值為或±．10．如圖，平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A(﹣，0)，B(3，0)兩點，與y軸交于點C，拋物線的頂點為點E．(1)填空：△ABC的形狀是直角三角形．(2)求拋物線的解析式；(3)經(jīng)過B，C兩點的直線交拋物線的對稱軸于點D，點P為直線BC上方拋物線上的一動點，當△PCD的面積最大時，求P點坐標；(4)M在直線BC上，N在拋物線上，以M、N、E、D為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出符合條件的點M的坐標．【分析】(1)由tan∠ACO＝＝，故∠ACO＝30°，同理可得，∠BCO＝60°，即可求解；(2)用待定系數(shù)法即可求解；(3)當△PCD的面積最大時，若直線l和拋物線只要一個交點P，則點P為所求點，進而求解；(4)當ED是邊時，點D向上平移2個單位得到點E，同樣，點M(N)向上平移2個單位得到點N(M)，進而求解；②當ED為對角線時，由中點坐標公式得：＝m+n且4+2＝﹣n2+n+3+3，即可求解．【解析】(1)由拋物線的表達式知，c＝3，OC＝3，則tan∠ACO＝＝，故∠ACO＝30°，同理可得，∠BCO＝60°，故△ABC為直角三角形，故答案為：直角三角形；(2)由題意得：，解得，故拋物線的表達式為y＝﹣x2+x+3①；(3)由點B、C的坐標得，直線BC的表達式為y＝﹣x+3，則設(shè)直線l∥BC，則設(shè)直線l的表達式為：y＝﹣x+c②，當△PCD的面積最大時，直線l和拋物線只要一個交點P，則點P為所求點，聯(lián)立①②并整理得：﹣x2+x+3﹣c＝0③，則△＝()2﹣4×(﹣)(3﹣c)＝0，解得：c＝，將c的值代入③式并解得x＝，故點P的坐標為(，)；(4)由拋物線的表達式知，點E的坐標為(，4)，∵直線BC的表達式為y＝﹣x+3，故點D(，2)，設(shè)點M的坐標為(m，﹣m+3)，點N的坐標為(n，﹣n2+n+3)，①當ED是邊時，點D向上平移2個單位得到點E，同樣，點M(N)向上平移2個單位得到點N(M)，則m＝n且﹣m+3±2＝﹣n2+n+3，解得：m＝(舍去)或2或；②當ED為對角線時，由中點坐標公式得：＝m+n且4+2＝﹣n2+n+3﹣m+3，解得m＝(舍去)或0，綜上，m＝0或2或或，故點M的坐標為(0，3)或(2，1)或(，)或(，)．11．如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點A(﹣1，0)，與y軸交于點C(0，﹣3)．(1)求該拋物線的解析式及頂點坐標；(2)若P是線段OB上一動點，過P作y軸的平行線交拋物線于點H，交BC于點N，設(shè)OP＝t時，△BCH的面積為S．求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；若S有最大值，請求出S的最大值，若沒有，請說明理由．(3)若P是x軸上一個動點，過P作射線PQ∥AC交拋物線于點Q，在拋物線上是否存在這樣的點Q，使以A，P，Q，C為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出P點的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】(1)根據(jù)點A、C的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式，再利用配方法可找出頂點的坐標；(2)根據(jù)點B、C的坐標，利用待定系數(shù)法可求出直線BC的解析式，設(shè)點P的坐標為(t，0)，則點N的坐標為(t，t﹣3)，H(t，t2﹣2t﹣3)，根據(jù)兩點的距離公式可得NH的長，利用三角形的面積公式可得S與t的關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題；(3)分兩種情況：①Q(mào)在x軸的上方時，根據(jù)A和C坐標平移規(guī)律可確定點Q的縱坐標為3，代入拋物線的解析式得Q的橫坐標，從而知P的橫坐標；②Q在x軸的下方，同理可得結(jié)論．【解析】(1)把點A(﹣1，0)，點C(0，﹣3)代入拋物線的解析式為y＝x2+bx+c中得：1-解得：b=-∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；∵y＝x2﹣2x﹣3＝(x﹣1)2﹣4，∴頂點的坐標為(1，﹣4)；(2)如圖1，設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+d(k≠0)，當y＝0時，x2﹣2x﹣3＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1，∴B(3，0)，將B(3，0)，C(0，﹣3)代入y＝kx+d中，得：3k+d=0d=-3，解得：k=1∴直線BC的解析式為y＝x﹣3，∵OP＝t，設(shè)點P的坐標為(t，0)，則點N的坐標為(t，t﹣3)，H(t，t2﹣2t﹣3)，∴NH＝t﹣3﹣(t2﹣2t﹣3)＝﹣t2+3t，∴S＝S△BCH=12NH?OB=3∵0≤t≤3，-3∴當t=32時，S取最大值，最大值為(3)分兩種情況：①當Q在x軸的上方時，如圖2和圖4，四邊形ACPQ是平行四邊形，根據(jù)A(﹣1，0)和C(0，﹣3)可知：點Q的縱坐標為3，當y＝3時，x2﹣2x﹣3＝3，解得：x1＝1+7，x2＝1-∴P(2+7，0)或(2-7，②當Q在x軸的下方時，如圖3，四邊形ACQP是平行四邊形，當y＝﹣3時，由對稱得：Q(2，﹣3)，∴P(1，0)；綜上，P點的坐標為(2+7，0)或(2-7，0)或(1，12．如圖1，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝ax2﹣2ax﹣8a與x軸相交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè))，與y軸交于點C(0，﹣4)．(1)點A的坐標為(﹣2，0)，點B的坐標為(4，0)，線段AC的長為25，拋物線的解析式為y=12x2﹣x﹣4(2)點P是線段BC下方拋物線上的一個動點．①如果在x軸上存在點Q，使得以點B、C、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形．求點Q的坐標．②如圖2，過點P作PE∥CA交線段BC于點E，過點P作直線x＝t交BC于點F，交x軸于點G，記PE＝f，求f關(guān)于t的函數(shù)解析式；當t取m和4-12m(0＜m＜2)時，試比較f的對應函數(shù)值f1和f【分析】(1)由題意得：﹣8a＝﹣4，故a=1(2)①分BC是平行四邊形的一條邊時、BC是平行四邊形的對角線時，兩種情況分別求解即可．②證明△EPH∽△CBA，∴EPAC=PHAB，即：EP2【解析】(1)由題意得：﹣8a＝﹣4，故a=1故拋物線的表達式為：y=12x2﹣x﹣令y＝0，則x＝4或﹣2，即點A、B的坐標分別為(﹣2，0)、(4，0)，則AC＝25，故答案為：(﹣2，0)、(4，0)、25、y=12x2﹣x﹣(2)①當BC是平行四邊形的一條邊時，如圖所示，點C向右平移4個單位、向上平移4個單位得到點B，設(shè)：點P(n，12n2﹣n﹣4)，點Q(m，0則點P向右平移4個單位、向上平移4個單位得到點Q，即：n+4＝m，12n2﹣n﹣4+4＝0解得：m＝4或6(舍去4)，即點Q(6，0)；當BC是平行四邊形的對角線時，設(shè)點P(m，n)、點Q(s，0)，其中n=12m2﹣m﹣由中點公式可得：m+s＝4，n+0＝﹣4，解得：s＝2或4(舍去4)，故點Q(2，0)；故點Q的坐標為(2，0)或(6，0)；②如圖2，針對于拋物線y=12x2﹣x﹣4，令x＝0，則y＝﹣∴C(0，﹣4)∵B(4，0)，∴直線BC的解析式為y＝x﹣4，過點P作PH∥x軸交BC于點H，∵PE∥AC軸，∴∠HEP＝∠ACB，∵PH∥x軸，∴∠PHE＝∠ABC＝45°，∴△EPH∽△CAB，∴EPAC=PH則EP=53設(shè)點P(t，yP)，∵點P在拋物線y=12x2﹣x﹣∴yP=12t2﹣t設(shè)點H(xH，yP)，∵點H在直線y＝x﹣4上，∴yP＝xH﹣4則12t2﹣t﹣4＝xH﹣4則xH=12t2﹣f=53PH=53[t﹣(12t2﹣t)]=-5當t＝m時，f1=-56(m2﹣當t＝4-12m時，f2=-56(則f1﹣f2=-58m(則0＜m＜2，∴f1﹣f2＞0，f1＞f2．13．拋物線y＝﹣x2+2x+n經(jīng)過點M(﹣1，0)，頂點為C．(1)求點C的坐標；(2)設(shè)直線y＝2x與拋物線交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè))．①在拋物線的對稱軸上是否存在點G．使∠AGC＝∠BGC？若存在，求出點G的坐標；若不存在，請說明理由；②點P在直線y＝2x上，點Q在拋物線上，當以O(shè)，M，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點Q的坐標．【分析】(1)直接把M的坐標代入拋物線的解析式即可求出n的值，再利用配方法求頂點C的坐標；(2)①如圖1，作輔助線，構(gòu)建相似三角形，設(shè)G(1，a)，列方程組求出A、B兩點的坐標，根據(jù)坐標表示線段的長，證明△APG∽△BQG，列式例式可求出點G的坐標；②設(shè)P(m，2m)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得P、Q兩點的縱坐標相等，根據(jù)P的縱坐標表示出點Q的縱坐標，分三種情況討論：i)當四邊形OMQP是平行四邊形時，如圖2；ii)當四邊形OMPQ是平行四邊形，如圖3；iii)當OM是對角線時，如圖4，分別表示出點Q的坐標后代入拋物線的解析式可得出點Q的坐標．【解析】(1)把M(﹣1，0)代入y＝﹣x2+2x+n中得：﹣1﹣2+n＝0，n＝3，∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣(x2﹣2x+1﹣1)+3＝﹣(x﹣1)2+4，∴C(1，4)；(2)①如圖1，存在點G，使∠AGC＝∠BGC，分別過A、B兩點作對稱軸x＝1的垂線AP和BQ，垂足分別為P、Q，設(shè)G(1，a)，則y=-解得：x1=3∴A(-3，﹣23)，B(3，23∵∠AGC＝∠BGC，∠APG＝∠BQG＝90°，∴△APG∽△BQG，∴APBQ∴3+1a＝6，∴G(1，6)；②設(shè)P(m，2m)i)當四邊形OMQP是平行四邊形時，如圖2，則Q(m﹣1，2m)，∵點Q在拋物線上，∴2m＝﹣(m﹣1)2+2(m﹣1)+3，解得：m＝0或2，∴Q1(﹣1，0)(舍)，Q2(1，4)，ii)當四邊形OMPQ是平行四邊形，如圖3，則Q(m+1，2m)，∵點Q在拋物線上，∴2m＝﹣(m+1)2+2(m+1)+3，解得：m＝﹣1±5∴Q3(-5，﹣2﹣25)，Q4(5，﹣2+25iii)當OM是對角線時，如圖4，分別過P、Q作x軸的垂線，垂足分別為G、H，∵四邊形MPOQ是平行四邊形，可得△PGM≌△QHO，∴GM＝OH＝﹣m﹣1，QH＝PG＝﹣2m，∴Q(﹣m﹣1，﹣2m)，∵點Q在拋物線上，∴﹣2m＝﹣(﹣m﹣1)2+2(﹣m﹣1)+3，解得：m＝0或﹣2，∴Q5(﹣1，0)(舍)，Q6(1，4)，綜上所述，點Q的坐標是：(1，4)或(-5，﹣2﹣25)或(5，﹣2+2514圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y＝kx+b與x軸交于點A(4，0)與y軸交于點B(0，8)．(1)求這個一次函數(shù)的解析式；(2)若點P是線段AB上一動點，過點P作PC⊥x軸于點C，PD⊥y軸于點D，當四邊形PCOD的鄰邊之比為2：1時，求線段PC的長．(3)若點Q是平面內(nèi)任意一點，是否存在以A，O，B，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在請直接寫出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．【分析】(1)利用待定系數(shù)法可求解析式；(2)設(shè)點P(x，﹣2x+8)，可得OC＝x，PC＝﹣2x+8，由線段的數(shù)量關(guān)系可求解；(3)分三種情況討論，利用平行四邊形的性質(zhì)可求解．【解析】(1)∵一次函數(shù)y＝kx+b與x軸交于點A(4，0)與y軸交于點B(0，8)，∴b=80=4k+b解得：k=-∴一次函數(shù)的解析式為y＝﹣2x+8；(2)設(shè)點P(x，﹣2x+8)，∴OC＝x，PC＝﹣2x+8，∵四邊形PCOD的鄰邊之比為2：1，∴OC＝2PC或PC＝2OC，∴x＝2(﹣2x+8)或﹣2x+8＝2x，∴x=165或x＝∴PC＝4或85(3)設(shè)點Q(m，n)，當AB是對角線時，∵四邊形AOBQ是平行四邊形，∴AB與OQ互相平分，∴0+42=0+m∴m＝4，n＝8，∴點Q(4，8)；當AO是對角線時，∵四邊形ABOQ是平行四邊形，∴AO與BQ互相平分，∴4+02=0+m∴m＝4，n＝﹣8，∴點Q(4，﹣8)；當OB是對角線時，∵四邊形AOQB是平行四邊形，∴AQ與BO互相平分，∴4+m2=0+0∴m＝﹣4，n＝8，∴點Q(﹣4，8)，綜上所述：點Q的坐標為(4，8)或(4，﹣8)或(﹣4，8)．15．在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y＝kx+4(k＜0)交x軸于點A，交y軸于點B．已知△ABO為等腰直角三角形．(1)請直接寫出k的值為﹣1；(2)將一次函數(shù)y＝kx+4(k≠0)中，直線y＝﹣1下方的部分沿直線y＝﹣1翻折，其余部分保持不變，得到的新圖象記為圖象G．已知在x軸有一動點P(n，0)，過點P作x軸的垂線，交y=12x+2于點M，交圖象G于點N．當點M在點N上方時，且MN＜2(3)記圖象G交x軸于另一點C，點D為圖象G上一點，點E為圖象G的對稱軸上一點．當以A，C，D，E為頂點的四邊形為平行四邊形時，則點D的坐標為(5，﹣1)或(3，1)或(7，1)．【分析】(1)對于一次函數(shù)y＝kx+4(k＜0)，令x＝0，則y＝4，故點B(0，4)，則OB＝4，而△ABO為等腰直角三角形，故OA＝OB＝4，故點A(4，0)，進而求解；(2)分點P在對稱軸左側(cè)、點P在對稱軸右側(cè)兩種情況，利用圖形結(jié)合的方法即可求解；(3)分AC是對角線、AC為邊兩種情況，利用圖形結(jié)合的方法即可求解．【解析】(1)對于一次函數(shù)y＝kx+4(k＜0)，令x＝0，則y＝4，故點B(0，4)，則OB＝4，∵△ABO為等腰直角三角形，故OA＝OB＝4，故點A(4，0)，將點A的坐標代入y＝kx+4并解得k＝﹣1，故答案為﹣1；(2)設(shè)圖象的翻折點為R，當y＝﹣1時，則﹣x+4＝﹣1，解得x＝5，即點R(5，﹣1)，圖象的對稱軸為x＝5，①當點P在對稱軸左側(cè)時，則圖象G的解析式為：y＝﹣x+4，∴點N在直線y＝﹣x+4上運動．當M，N重合時，此時n有最小值為43當MN＝2時，此時n有最大值，則根據(jù)題意有：12∴解得n=8∴43②當點P在對稱軸右側(cè)時，則圖象G的解析式為：y＝x﹣6，∴點N在直線y＝x﹣6上運動．當MN＝2時，此時n有最小值，則根據(jù)題意有：12∴解得n＝12，當