專題21旋轉(zhuǎn)模型綜合問(wèn)題-【壓軸必刷】2022中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案含答案

【壓軸必刷】2022中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案專題21旋轉(zhuǎn)模型綜合問(wèn)題經(jīng)典例題經(jīng)典例題【例1】．如圖(1)，P為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．(1)如果點(diǎn)P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且∠ABC＝60°．①求證：△ABP∽△BCP；②若PA＝3，PC＝4，則PB＝．(2)已知銳角△ABC，分別以AB、AC為邊向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P點(diǎn)．如圖(2)①求∠CPD的度數(shù)；②求證：P點(diǎn)為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．【例2】．如圖①，點(diǎn)M為銳角三角形ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AM、BM、CM．以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN．(1)求證：△AMB≌△ENB；(2)若AM+BM+CM的值最小，則稱點(diǎn)M為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．若點(diǎn)M為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，試求此時(shí)∠AMB、∠BMC、∠CMA的度數(shù)；(3)小翔受以上啟發(fā)，得到一個(gè)作銳角三角形費(fèi)馬點(diǎn)的簡(jiǎn)便方法：如圖②，分別以△ABC的AB、AC為一邊向外作等邊△ABE和等邊△ACF，連接CE、BF，設(shè)交點(diǎn)為M，則點(diǎn)M即為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．試說(shuō)明這種作法的依據(jù)．【例3】．如圖(1)，P為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．(1)若點(diǎn)P是等邊三角形三條中線的交點(diǎn)，點(diǎn)P(填是或不是)該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)．(2)如果點(diǎn)P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且∠ABC＝60°．求證：△ABP∽△BCP；(3)已知銳角△ABC，分別以AB、AC為邊向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P點(diǎn)．如圖(2)①求∠CPD的度數(shù)；②求證：P點(diǎn)為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．【例4】．【方法呈現(xiàn)】：(1)已知，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，連PA、PB、PC．將△PAB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△P′CB的位置(如圖1)，設(shè)AB的長(zhǎng)為a，PB的長(zhǎng)為b(b＜a)，求△PAB旋轉(zhuǎn)到△P′CB的過(guò)程中邊PA所掃過(guò)區(qū)域(圖1中陰影部分)的面積；【實(shí)際運(yùn)用】：(2)如圖2，點(diǎn)P是等腰Rt△ABC內(nèi)一點(diǎn)，AB＝BC，連接PA，PB，PC．若PA＝2，PB＝4，PC＝6，求∠APB的大小；【拓展延伸】：(3)如圖3，點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA＝3，PB＝4，PC＝5，則△APC的面積是(直接填答案)培優(yōu)訓(xùn)練培優(yōu)訓(xùn)練1．如圖，P是正三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若將△PAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到△P′AB．(1)求點(diǎn)P與點(diǎn)P′之間的距離；(2)求∠APB的度數(shù)．2．(原題初探)(1)小明在數(shù)學(xué)作業(yè)本中看到有這樣一道作業(yè)題：如圖1，P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)PA，PB，PC現(xiàn)將△PAB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的△P′CB，連接PP′．若PA＝，PB＝3，∠APB＝135°，則PC的長(zhǎng)為，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為．(變式猜想)(2)如圖2，若點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，請(qǐng)猜想∠APB的度數(shù)，并說(shuō)明理由．(拓展應(yīng)用)(3)聰明的小明經(jīng)過(guò)上述兩小題的訓(xùn)練后，善于反思的他又提出了如下的問(wèn)題：如圖3，在四邊形ABCD中，AD＝3，CD＝2，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，則BD的長(zhǎng)度為．3．問(wèn)題：如圖1，在等邊△ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P，已知PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度數(shù)？(1)請(qǐng)寫(xiě)出常見(jiàn)四組勾股數(shù)：、、、．(2)解決方法：通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)PA，PB，PC的長(zhǎng)度符合勾股數(shù)，但由于PA，PB，PC不在一個(gè)三角形中，想法將這些條件集中在一個(gè)三角形，于是可將△ABP繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△AP′C，此時(shí)△ABP≌△ACP'，這樣利用等邊三角形和全等三角形知識(shí)，便可求出∠APB＝．請(qǐng)寫(xiě)出解題過(guò)程．(3)應(yīng)用：請(qǐng)你利用(2)題的思路，解答下面的問(wèn)題：如圖2，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E，F(xiàn)為BC的點(diǎn)，且∠EAF＝45°，若BE＝m，F(xiàn)C＝n，請(qǐng)求出線段EF的長(zhǎng)度(用m、n的代數(shù)式表示)．4．(1)如圖1，點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，已知PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度數(shù)．分析：要直接求∠APB的度數(shù)顯然很困難，注意到條件中的三邊長(zhǎng)恰好是一組勾股數(shù)，因此考慮借助旋轉(zhuǎn)把這三邊集中到一個(gè)三角形內(nèi)．解：如圖2，作∠PAD＝60°使AD＝AP，連接PD，CD，則△PAD是等邊三角形．∴＝AD＝AP＝3，∠ADP＝∠PAD＝60°∵△ABC是等邊三角形∴AC＝AB，∠BAC＝60°∴∠BAP＝∴△ABP≌△ACD∴BP＝CD＝4，＝∠ADC∵在△PCD中，PD＝3，PC＝5，CD＝4，PD2+CD2＝PC2∴∠PDC＝°∴∠APB＝∠ADC＝∠ADP+∠PDC＝60°+90°＝150°(2)如圖3，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA＝1，PB＝2，PC＝3，求∠APB的度數(shù)．(3)拓展應(yīng)用．如圖(4)，△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4，BC＝5，P是△ABC內(nèi)部的任意一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，則PA+PB+PC的最小值為．5．如圖1，D、E、F是等邊三角形ABC中不共線三點(diǎn)，連接AD、BE、CF，三條線段兩兩分別相交于D、E、F．已知AF＝BD，∠EDF＝60°．(1)證明：EF＝DF；(2)如圖2，點(diǎn)M是ED上一點(diǎn)，連接CM，以CM為邊向右作△CMG，連接EG．若EG＝EC+EM，CM＝GM，∠GMC＝∠GEC，證明：CG＝CM．(3)如圖3，在(2)的條件下，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)D重合時(shí)，若CD⊥AD，GD＝4，請(qǐng)問(wèn)在△ACD內(nèi)部是否存在點(diǎn)P使得P到△ACD三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小，若存在請(qǐng)直接寫(xiě)出距離之和的最小值；若不存在，試說(shuō)明理由．6．如圖①，P為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．(1)如果點(diǎn)P為銳角三角形ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且∠ABC＝60°．①求證：△ABP∽△BCP；②若PA＝3，PC＝4，求PB的長(zhǎng)．(2)已知銳角三角形ABC，分別以AB、AC為邊向外作正三角形ABE和正三角形ACD，CE和BD相交于P點(diǎn)，連結(jié)AP，如圖②．①求∠CPD的度數(shù)；②求證：P點(diǎn)為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．7．【問(wèn)題情境】如圖1，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，BC＝5，則△ABC的外接圓的半徑值為．【問(wèn)題解決】如圖2，點(diǎn)P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且∠BPC＝90°，若AB＝4，求AP的最小值．【問(wèn)題解決】如圖3，正方形ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為3cm的隔離區(qū)域設(shè)計(jì)圖，CE為大門(mén)，點(diǎn)E在邊BC上，CE＝cm，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)設(shè)立的一個(gè)活動(dòng)崗哨，到B、E的張角為120°，即∠BPE＝120°，點(diǎn)A、D為另兩個(gè)固定崗哨．現(xiàn)需在隔離區(qū)域內(nèi)部設(shè)置一個(gè)補(bǔ)水供給點(diǎn)Q，使得Q到A、D、P三個(gè)崗哨的距離和最小，試求QA+QD+QP的最小值．(保留根號(hào)或結(jié)果精確到1cm，參考數(shù)據(jù)≈1.7，10.52＝110.25)．8．問(wèn)題提出(1)如圖，點(diǎn)M、N是直線l外兩點(diǎn)，在直線l上找一點(diǎn)K，使得MK+NK最小．問(wèn)題探究(2)在等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB度數(shù)的大?。畣?wèn)題解決(3)如圖，矩形ABCD是某公園的平面圖，AB＝30米，BC＝60米，現(xiàn)需要在對(duì)角線BD上修一涼亭E，使得到公園出口A、B，C的距離之和最?。畣?wèn)：是否存在這樣的點(diǎn)E？若存在，請(qǐng)畫(huà)出點(diǎn)E的位置，并求出EA+EB+EC的和的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．9．在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣8的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線y＝kx+(k≠0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，與拋物線交于另一點(diǎn)R，已知OC＝2OA，OB＝3OA．(1)求拋物線與直線的解析式；(2)如圖1，若點(diǎn)P是x軸下方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P做PH⊥AR于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)P做PQ∥x軸交拋物線于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)P做PH′⊥x軸于點(diǎn)H′，K為直線PH′上一點(diǎn)，且PK＝2PQ，點(diǎn)I為第四象限內(nèi)一點(diǎn)，且在直線PQ上方，連接IP、IQ、IK，記l＝PQ，m＝IP+IQ+IK，當(dāng)l取得最大值時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出此時(shí)m的最小值．(3)如圖2，將點(diǎn)A沿直線AR方向平移13個(gè)長(zhǎng)度單位到點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M做MN⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)N，動(dòng)點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn)，連接MD、DN，再將△MDN沿直線MD翻折為△MDN′(點(diǎn)M、N、D、N′在同一平面內(nèi))，連接AN、AN′、NN′，當(dāng)△ANN′為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)．10．(1)如圖1，點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，已知PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度數(shù)．要直接求∠A的度數(shù)顯然很困難，注意到條件中的三邊長(zhǎng)恰好是一組勾股數(shù)，因此考慮借助旋轉(zhuǎn)把這三邊集中到一個(gè)三角形內(nèi)，如圖2，作∠PAD＝60°使AD＝AP，連接PD，CD，則△PAD是等邊三角形．∴＝AD＝AP＝3，∠ADP＝∠PAD＝60°∵△ABC是等邊三角形∴AC＝AB，∠BAC＝60°∴∠BAP＝∴△ABP≌△ACD∴BP＝CD＝4，＝∠ADC∵在△PCD中，PD＝3，PC＝5，CD＝4，PD2+CD2＝PC2∴∠PDC＝°∴∠APB＝∠ADC＝∠ADP+∠PDC＝60°+90°＝150°(2)如圖3，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA＝1，PB＝2，PC＝3，求∠APB的度數(shù)．11．(1)知識(shí)儲(chǔ)備①如圖1，已知點(diǎn)P為等邊△ABC外接圓的BC上任意一點(diǎn)．求證：PB+PC＝PA．②定義：在△ABC所在平面上存在一點(diǎn)P，使它到三角形三頂點(diǎn)的距離之和最小，則稱點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，此時(shí)PA+PB+PC的值為△ABC的費(fèi)馬距離．(2)知識(shí)遷移①我們有如下探尋△ABC(其中∠A，∠B，∠C均小于120°)的費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離的方法：如圖2，在△ABC的外部以BC為邊長(zhǎng)作等邊△BCD及其外接圓，根據(jù)(1)的結(jié)論，易知線段的長(zhǎng)度即為△ABC的費(fèi)馬距離．②在圖3中，用不同于圖2的方法作出△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P(要求尺規(guī)作圖)．(3)知識(shí)應(yīng)用①判斷題(正確的打√，錯(cuò)誤的打×)：?。我馊切蔚馁M(fèi)馬點(diǎn)有且只有一個(gè)；ⅱ．任意三角形的費(fèi)馬點(diǎn)一定在三角形的內(nèi)部．②已知正方形ABCD，P是正方形內(nèi)部一點(diǎn)，且PA+PB+PC的最小值為，求正方形ABCD的邊長(zhǎng)．12．背景資料：在已知△ABC所在平面上求一點(diǎn)P，使它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小．這個(gè)問(wèn)題是法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點(diǎn)被人們稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”．如圖①，當(dāng)△ABC三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部，此時(shí)∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，此時(shí)，PA+PB+PC的值最?。鉀Q問(wèn)題：(1)如圖②，等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3，4，5，求∠APB的度數(shù)．為了解決本題，我們可以將△ABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP′處，此時(shí)△ACP′≌△ABP，這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段PA，PB，PC轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出∠APB＝；基本運(yùn)用：(2)請(qǐng)你利用第(1)題的解答思想方法，解答下面問(wèn)題：如圖③，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E，F(xiàn)為BC上的點(diǎn)，且∠EAF＝45°，判斷BE，EF，F(xiàn)C之間的數(shù)量關(guān)系并證明；能力提升：(3)如圖④，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，點(diǎn)P為Rt△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，連接AP，BP，CP，求PA+PB+PC的值．【壓軸必刷】2022中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案專題21旋轉(zhuǎn)模型綜合問(wèn)題經(jīng)典例題經(jīng)典例題【例1】．如圖(1)，P為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．(1)如果點(diǎn)P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且∠ABC＝60°．①求證：△ABP∽△BCP；②若PA＝3，PC＝4，則PB＝2．(2)已知銳角△ABC，分別以AB、AC為邊向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P點(diǎn)．如圖(2)①求∠CPD的度數(shù)；②求證：P點(diǎn)為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．【分析】(1)①根據(jù)題意，利用內(nèi)角和定理及等式性質(zhì)得到一對(duì)角相等，利用兩角相等的三角形相似即可得證；②由三角形ABP與三角形BCP相似，得比例，將PA與PC的長(zhǎng)代入求出PB的長(zhǎng)即可；(2)①根據(jù)三角形ABE與三角形ACD為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到兩對(duì)邊相等，兩個(gè)角為60°，利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS得到三角形ACE與三角形ABD全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得到∠1＝∠2，再由對(duì)頂角相等，得到∠5＝∠6，即可求出所求角度數(shù)；②由三角形ADF與三角形CPF相似，得到比例式，變形得到積的恒等式，再由對(duì)頂角相等，利用兩邊成比例，且?jiàn)A角相等的三角形相似得到三角形AFP與三角形CFD相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)角相等得到∠APF為60°，由∠APD+∠DPC，求出∠APC為120°，進(jìn)而確定出∠APB與∠BPC都為120°，即可得證．【解答】(1)證明：①∵∠PAB+∠PBA＝180°﹣∠APB＝60°，∠PBC+∠PBA＝∠ABC＝60°，∴∠PAB＝∠PBC，又∵∠APB＝∠BPC＝120°，∴△ABP∽△BCP，②解：∵△ABP∽△BCP，∴＝，∴PB2＝PA?PC＝12，∴PB＝2；故答案為：2；(2)解：①∵△ABE與△ACD都為等邊三角形，∴∠BAE＝∠CAD＝60°，AE＝AB，AC＝AD，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，在△ACE和△ABD中，，∴△ACE≌△ABD(SAS)，∴∠1＝∠2，∵∠3＝∠4，∴∠CPD＝∠6＝∠5＝60°；②證明：方法一：∵△ADF∽△CFP，∴＝，∴AF?PF＝DF?CP，∵∠AFP＝∠CFD，∴△AFP∽△CDF．∴∠APF＝∠ACD＝60°，∴∠APC＝∠CPD+∠APF＝120°，∴∠BPC＝120°，∴∠APB＝360°﹣∠BPC﹣∠APC＝120°，∴P點(diǎn)為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．方法二：由①知：∠CPD＝60°，∴∠BPC＝180°﹣∠CPD＝120°，由①知：∠1＝∠2，∴A，P，C，D共圓，∴∠APC+∠ADC＝180°，∴∠APC＝180°﹣∠ADC＝120°，∴∠APB＝360°﹣∠BPC﹣∠APC＝120°，∴P點(diǎn)為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．【例2】．如圖①，點(diǎn)M為銳角三角形ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AM、BM、CM．以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN．(1)求證：△AMB≌△ENB；(2)若AM+BM+CM的值最小，則稱點(diǎn)M為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．若點(diǎn)M為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，試求此時(shí)∠AMB、∠BMC、∠CMA的度數(shù)；(3)小翔受以上啟發(fā)，得到一個(gè)作銳角三角形費(fèi)馬點(diǎn)的簡(jiǎn)便方法：如圖②，分別以△ABC的AB、AC為一邊向外作等邊△ABE和等邊△ACF，連接CE、BF，設(shè)交點(diǎn)為M，則點(diǎn)M即為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．試說(shuō)明這種作法的依據(jù)．【分析】(1)結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)SAS可證△AMB≌△ENB；(2)連接MN，由(1)的結(jié)論證明△BMN為等邊三角形，所以BM＝MN，即AM+BM+CM＝EN+MN+CM，所以當(dāng)E、N、M、C四點(diǎn)共線時(shí)，AM+BM+CM的值最小，從而可求此時(shí)∠AMB、∠BMC、∠CMA的度數(shù)；(3)根據(jù)(2)中費(fèi)馬點(diǎn)的定義，又△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)在線段EC上，同理也在線段BF上．因此線段EC與BF的交點(diǎn)即為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．【解析】(1)證明：∵△ABE為等邊三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN．在△AMB與△ENB中，∵，∴△AMB≌△ENB(SAS)．(2)連接MN．由(1)知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN為等邊三角形．∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴當(dāng)E、N、M、C四點(diǎn)共線時(shí)，AM+BM+CM的值最?。藭r(shí)，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．(3)由(2)知，△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)在線段EC上，同理也在線段BF上．因此線段EC與BF的交點(diǎn)即為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．【例3】．如圖(1)，P為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．(1)若點(diǎn)P是等邊三角形三條中線的交點(diǎn)，點(diǎn)P是(填是或不是)該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)．(2)如果點(diǎn)P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且∠ABC＝60°．求證：△ABP∽△BCP；(3)已知銳角△ABC，分別以AB、AC為邊向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P點(diǎn)．如圖(2)①求∠CPD的度數(shù)；②求證：P點(diǎn)為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．【分析】(1)依據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知：MB平分∠ABC，則∠ABP＝30°，同理∠BAP＝30°，則∠APB＝120°，同理可求得∠APC，∠BPC的度數(shù)，然后可作出判斷；(2)由費(fèi)馬點(diǎn)的定義可知∠PAB＝∠PBC，然后再證明∠PAB＝∠PBC即可；(3)如圖2所示：①首先證明△ACE≌△ABD，則∠1＝∠2，由∠3＝∠4可得到∠CPD＝∠5；②由∠CPD＝60°可證明∠BPC＝120°，然后證明△ADF∽△CFP，由相似三角形的性質(zhì)和判定定理再證明△AFP∽△CDF，故此可得到∠APF＝∠ACD＝60°，然后可求得∠APC＝120°，接下來(lái)可求得∠APB＝120°．【解析】(1)如圖1所示：∵AB＝BC，BM是AC的中線，∴MB平分∠ABC．同理：AN平分∠BAC，PC平分∠BCA．∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABP＝30°，∠BAP＝30°．∴∠APB＝120°．同理：∠APC＝120°，∠BPC＝120°．∴P是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．故答案為：是．(2)∵∠PAB+∠PBA＝180°﹣∠APB＝60°，∠PBC+∠PBA＝∠ABC＝60°，∴∠PAB＝∠PBC，又∵∠APB＝∠BPC＝120°，∴△ABP∽△BCP．(3)如圖2所示：①∵△ABE與△ACD都為等邊三角形，∴∠BAE＝∠CAD＝60°，AE＝AB，AC＝AD，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，在△ACE和△ABD中，∴△ACE≌△ABD(SAS)，∴∠1＝∠2，∵∠3＝∠4，∴∠CPD＝∠6＝∠5＝60°；②證明：∵△ADF∽△CFP，∴AF?CF＝DF?PF，∵∠AFP＝∠CFD，∴△AFP∽△CDF．∴∠APF＝∠ACD＝60°，∴∠APC＝∠CPD+∠APF＝120°，∴∠BPC＝120°，∴∠APB＝360°﹣∠BPC﹣∠APC＝120°，∴P點(diǎn)為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．【例4】．【方法呈現(xiàn)】：(1)已知，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，連PA、PB、PC．將△PAB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△P′CB的位置(如圖1)，設(shè)AB的長(zhǎng)為a，PB的長(zhǎng)為b(b＜a)，求△PAB旋轉(zhuǎn)到△P′CB的過(guò)程中邊PA所掃過(guò)區(qū)域(圖1中陰影部分)的面積；【實(shí)際運(yùn)用】：(2)如圖2，點(diǎn)P是等腰Rt△ABC內(nèi)一點(diǎn)，AB＝BC，連接PA，PB，PC．若PA＝2，PB＝4，PC＝6，求∠APB的大小；【拓展延伸】：(3)如圖3，點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA＝3，PB＝4，PC＝5，則△APC的面積是+3(直接填答案)【分析】(1)依題意，將△P′CB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°可與△PAB重合，此時(shí)陰影部分面積＝扇形BAC的面積﹣扇形BPP'的面積，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，兩個(gè)扇形的中心角都是90°，可據(jù)此求出陰影部分的面積．(2)連接PP′，求出△PBP′是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得PP′＝4，∠BP′P＝45°，再利用勾股定理逆定理求出∠CP′P＝90°，然后計(jì)算即可得解；(3)根據(jù)全等三角形的面積相等求出△APB與△APC的面積之和等于四邊形APCP1的面積，然后根據(jù)等邊三角形的面積與直角三角形的面積列式計(jì)算即可得解，同理求出△ABP和△BPC的面積的和，△APC和△BPC的面積的和，從而求出△ABC的面積，然后根據(jù)△BPC的面積＝△ABC的面積﹣△APB與△APC的面積的和計(jì)算即可得解．【解析】(1)∵將△PAB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△P′CB的位置，∴△PAB≌△P'CB，∴S△PAB＝S△P'CB，S陰影＝S扇形BAC﹣S扇形BPP′＝(a2﹣b2)；(2)如圖2，連接PP′．∵將△PAB繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，與△P′CB重合，∴△PAB≌△P′CB，∠PBP′＝90°，∴BP＝BP′，∠APB＝∠CP′B，AP＝CP′＝2，∴△PBP′是等腰直角三角形，∴PP′＝PB＝4，∠BP′P＝45°．在△CPP′中，∵PP′＝4，CP′＝2，PC＝6，∴PP′2+CP′2＝PC2，∴△CP′P是直角三角形，∠CP′P＝90°，∴∠CP′B＝∠BP′P+∠CP′P＝45°+90°＝135°；(3)如圖3①，將△PAB繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△P1AC，連接PP1，∴△APB≌△AP1C，∴AP＝AP1，∠PAP1＝60°，CP1＝BP＝4，∴△PAP1是等邊三角形，∴PP1＝AP＝3，∵CP＝5，CP1＝4，PP1＝3，∴PP12+CP12＝CP2，∴△CP1P是直角三角形，∠CP1P＝90°，∴S△APP1＝×3×＝，S△PP1C＝×3×4＝6，∴S四邊形APCP1＝S△APP1+S△PP1C＝+6；∵△APB≌△AP1C，∴S△ABP+S△APC＝S四邊形APCP1＝+6；如圖3②，同理可求：△ABP和△BPC的面積的和＝×4×+×3×4＝4+6，△APC和△BPC的面積的和＝×5×+×3×4＝+6，∴△ABC的面積＝(+6+4+6++6)＝+9，∴△APC的面積＝△ABC的面積﹣△APB與△BPC的面積的和＝(+9)﹣(4+6)＝+3．故答案為+3．培優(yōu)訓(xùn)練培優(yōu)訓(xùn)練1．如圖，P是正三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若將△PAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到△P′AB．(1)求點(diǎn)P與點(diǎn)P′之間的距離；(2)求∠APB的度數(shù)．【分析】(1)由已知△PAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到△P′AB，可得△PAC≌△P′AB，PA＝P′A，旋轉(zhuǎn)角∠P′AP＝∠BAC＝60°，所以△APP′為等邊三角形，即可求得PP′；(2)由△APP′為等邊三角形，得∠APP′＝60°，在△PP′B中，已知三邊，用勾股定理逆定理證出直角三角形，得出∠P′PB＝90°，可求∠APB的度數(shù)．【解析】(1)連接PP′，由題意可知BP′＝PC＝10，AP′＝AP，∠PAC＝∠P′AB，而∠PAC+∠BAP＝60°，所以∠PAP′＝60度．故△APP′為等邊三角形，所以PP′＝AP＝AP′＝6；(2)利用勾股定理的逆定理可知：PP′2+BP2＝BP′2，所以△BPP′為直角三角形，且∠BPP′＝90°可求∠APB＝90°+60°＝150°．2．(原題初探)(1)小明在數(shù)學(xué)作業(yè)本中看到有這樣一道作業(yè)題：如圖1，P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)PA，PB，PC現(xiàn)將△PAB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的△P′CB，連接PP′．若PA＝，PB＝3，∠APB＝135°，則PC的長(zhǎng)為2，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為．(變式猜想)(2)如圖2，若點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，請(qǐng)猜想∠APB的度數(shù)，并說(shuō)明理由．(拓展應(yīng)用)(3)聰明的小明經(jīng)過(guò)上述兩小題的訓(xùn)練后，善于反思的他又提出了如下的問(wèn)題：如圖3，在四邊形ABCD中，AD＝3，CD＝2，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，則BD的長(zhǎng)度為．【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BP＝BP′＝3，P′C＝PA＝，∠PBP′＝90°，∠BP′C＝∠APB＝135°，則△BPP′為等腰直角三角形，再由勾股定理得PC＝2，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BP交BP的延長(zhǎng)線于E，則△AEP是等腰直角三角形，得AE＝PE＝1，得BE＝4，然后由勾股定理即可求解；(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得△BPP′是等邊三角形，則PP′＝BP＝4，∠BPP′＝60°，AP＝3，AP′＝PC＝5，再由勾股定理得逆定理得△APP′為直角三角形，即可求解；(3)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AK＝AD＝3，CK＝BD，∠KAD＝90°，則△DAK是等腰直角三角形，得DK＝3，∠ADK＝45°，再證∠CDK＝90°，即可解決問(wèn)題．【解析】(1)∵△PAB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的△P′CB，∴BP＝BP′＝3，P′C＝PA＝，∠PBP′＝90°，∠BP′C＝∠APB＝135°，∴△BPP′為等腰直角三角形，∴∠BP′P＝45°，PP′＝PB＝3，∴∠PP′C＝135°﹣45°＝90°，在Rt△PP′C中，由勾股定理得：PC＝＝＝2，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BP交BP的延長(zhǎng)線于E，如圖1所示：∵∠APB＝135°，∴∠APE＝180°﹣135°＝45°，∴△AEP是等腰直角三角形，∴AE＝PE＝PA＝×＝1，∴BE＝PB+PE＝3+1＝4，在Rt△AEB中，由勾股定理得：AB＝＝＝，故答案為：2，；(2)∠APB的度數(shù)為150°，理由如下：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BP′A，連接PP′，如圖2所示：則△BPP′是等邊三角形，∴PP′＝BP＝4，∠BPP′＝60°，∵AP＝3，AP′＝PC＝5，∴P'P2+AP2＝AP'2，∴△APP′為直角三角形，∴∠APP′＝90°，∴∠APB＝∠APP′+∠BPP′＝90°+60°＝150°；(3)∵∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，∴△BAC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝90°，AB＝AC，將△ABD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ACK，連接DK，如圖3所示：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AK＝AD＝3，CK＝BD，∠KAD＝90°，∴△DAK是等腰直角三角形，∴DK＝AD＝3，∠ADK＝45°，∴∠CDK＝∠ADC+∠ADK＝45°+45°＝90°，∴△CDK是直角三角形，∴CK＝＝＝，∴BD＝，故答案為：．3．問(wèn)題：如圖1，在等邊△ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P，已知PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度數(shù)？(1)請(qǐng)寫(xiě)出常見(jiàn)四組勾股數(shù)：3，4，5、5，12，13、7，24，25、6，8，10．(2)解決方法：通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)PA，PB，PC的長(zhǎng)度符合勾股數(shù)，但由于PA，PB，PC不在一個(gè)三角形中，想法將這些條件集中在一個(gè)三角形，于是可將△ABP繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△AP′C，此時(shí)△ABP≌△ACP'，這樣利用等邊三角形和全等三角形知識(shí)，便可求出∠APB＝150°．請(qǐng)寫(xiě)出解題過(guò)程．(3)應(yīng)用：請(qǐng)你利用(2)題的思路，解答下面的問(wèn)題：如圖2，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E，F(xiàn)為BC的點(diǎn)，且∠EAF＝45°，若BE＝m，F(xiàn)C＝n，請(qǐng)求出線段EF的長(zhǎng)度(用m、n的代數(shù)式表示)．【分析】(1)根據(jù)勾股數(shù)的定義解決問(wèn)題即可．(2)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AB＝AC，∠BAC＝60°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出△ACP′≌△ABP，求出PA＝P′A＝3，PB＝P′C＝4，∠BAP＝∠CAP′，求出∠P′AP＝∠BAC＝60°，推出△PAP′是等邊三角形，求出PP′＝P′A＝3，根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠PP′C＝90°，即可得出答案；(3)根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出△ACE′≌△ABE，根據(jù)全等得出AE＝AE′，BE＝CE′，∠E′AC＝′BAE，求出∠FAE′＝∠EAF，根據(jù)全等三角形的判定推出△AEF≌△AE′F，推出FE＝FE′，根據(jù)勾股定理求出E′F即可．【解析】(1)勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13，7，24，25；6，8，10；故答案為：3，4，5；5，12，13，7，24，25；6，8，10；(2)如圖1，將△ABP繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△ACP′處，則△ACP′≌△ABP，∵三角形ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∴PA＝P′A＝3，PB＝P′C＝4，∠BAP＝∠CAP′，∴∠P′AP＝∠PAC+∠CAP′＝∠PAC+∠BAP＝∠BAC＝60°，∴△PAP′是等邊三角形，∴PP′＝P′A＝3，在△PP′C中，PP'2+P′C2＝9+16＝25＝PC2，∴△PP′C是直角三角形，∴∠PP′C＝90°，∴∠APB＝∠AP′C＝60°+90°＝150°．故答案為150°．(3)如圖2中，將△ABE繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△ACE′處，則△ACE′≌△ABE，∴AE＝AE′，BE＝CE′，∠E′AC＝∠BAE，∵∠BAC＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠CAF＝45°，∠FAE′＝∠E′AC+∠FAC＝∠BAE+∠FAC＝45°＝∠EAF，在△AEF和△AE′F中，，∴△AEF≌△AE′F(SAS)，∴FE＝FE′，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠E′CA＝∠B＝45°，∴∠E′CF＝45°+45°＝90°，在Rt△E′FC中，E′C2+FC2＝E′F2，∴EF2＝BE2+CF2＝m2+n2，∴EF＝．4．(1)如圖1，點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，已知PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度數(shù)．分析：要直接求∠APB的度數(shù)顯然很困難，注意到條件中的三邊長(zhǎng)恰好是一組勾股數(shù)，因此考慮借助旋轉(zhuǎn)把這三邊集中到一個(gè)三角形內(nèi)．解：如圖2，作∠PAD＝60°使AD＝AP，連接PD，CD，則△PAD是等邊三角形．∴PD＝AD＝AP＝3，∠ADP＝∠PAD＝60°∵△ABC是等邊三角形∴AC＝AB，∠BAC＝60°∴∠BAP＝∠CAD∴△ABP≌△ACD∴BP＝CD＝4，∠APB＝∠ADC∵在△PCD中，PD＝3，PC＝5，CD＝4，PD2+CD2＝PC2∴∠PDC＝90°∴∠APB＝∠ADC＝∠ADP+∠PDC＝60°+90°＝150°(2)如圖3，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA＝1，PB＝2，PC＝3，求∠APB的度數(shù)．(3)拓展應(yīng)用．如圖(4)，△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4，BC＝5，P是△ABC內(nèi)部的任意一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，則PA+PB+PC的最小值為．【分析】(1)根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)解決問(wèn)題即可．(2)如圖3中，把△PBC繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DBA，利用勾股定理的逆定理證明∠APD＝90°即可解決問(wèn)題．(3)如圖4中，先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△ABP≌△DBE，則∠ABP＝∠DBE，BD＝AB＝4，∠PBE＝60°，BE＝PE，AP＝DE，再證明∠DBC＝90°，然后在Rt△BCD中，由勾股定理求出CD的長(zhǎng)度，即為PA+PB+PC的最小值；【解析】(1)如圖2，作∠PAD＝60°使AD＝AP，連接PD，CD，則△PAD是等邊三角形．∴PD＝AD＝AP＝3，∠ADP＝∠PAD＝60°∵△ABC是等邊三角形∴AC＝AB，∠BAC＝60°，∴∠BAP＝∠CAD，∴△ABP≌△ACD(SAS)∴BP＝CD＝4，∠APB＝∠ADC∵在△PCD中，PD＝3，PC＝5，CD＝4，PD2+CD2＝PC2∴∠PDC＝90°∴∠APB＝∠ADC＝∠ADP+∠PDC＝60°+90°＝150°故答案為：PD，∠CAD，∠APB，90．(2)解：∵∠ABC＝90°，BC＝AB，∴把△PBC繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DBA，如圖，∴AD＝PC＝3，BD＝BP＝2，∵∠PBD＝90°∴DP＝PB＝2，∠DPB＝45°，在△APD中，AD＝3，PD＝2，PA＝1，∵12+(2)2＝32，∴AP2+PD2＝BD2，∴△APD為直角三角形，∴∠APD＝90°，∴∠APB＝∠APD+∠DPB＝90°+45°＝135°．(3)解：如圖4中，將△ABP繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△DBE，連接EP，CD，∴△ABP≌△DBE∴∠ABP＝∠DBE，BD＝AB＝4，∠PBE＝60°，BE＝PE，AP＝DE，∴△BPE是等邊三角形∴EP＝BP∴AP+BP+PC＝PC+EP+DE∴當(dāng)點(diǎn)D，點(diǎn)E，點(diǎn)P，點(diǎn)C共線時(shí)，PA+PB+PC有最小值CD∵∠ABC＝30°＝∠ABP+∠PBC∴∠DBE+∠PBC＝30°∴∠DBC＝90°∴CD＝＝＝，故答案為．5．如圖1，D、E、F是等邊三角形ABC中不共線三點(diǎn)，連接AD、BE、CF，三條線段兩兩分別相交于D、E、F．已知AF＝BD，∠EDF＝60°．(1)證明：EF＝DF；(2)如圖2，點(diǎn)M是ED上一點(diǎn)，連接CM，以CM為邊向右作△CMG，連接EG．若EG＝EC+EM，CM＝GM，∠GMC＝∠GEC，證明：CG＝CM．(3)如圖3，在(2)的條件下，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)D重合時(shí)，若CD⊥AD，GD＝4，請(qǐng)問(wèn)在△ACD內(nèi)部是否存在點(diǎn)P使得P到△ACD三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小，若存在請(qǐng)直接寫(xiě)出距離之和的最小值；若不存在，試說(shuō)明理由．【分析】(1)可先推出∠CAF＝∠ABD，再證△ACF≌△BAD，即可得出結(jié)論；(2)在EF上截取EN＝EM，連接MN，可推出△EMN是等邊三角形，可證△NCM≌△EGM，然后推出△CMG是等邊三角形，從而問(wèn)題得證；(3)先求得AD＝，將△DPC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△DQG，連接AG，可得△PDQ是等邊三角形，于是AP+PD+CP＝AP+PQ+QG，故當(dāng)A、P、Q、G共線時(shí)，AP+PD+CP最小＝AG，最后解斜三角形ADG，從而求得．【解答】(1)證明：如圖1，∵△ABC是等邊三角形，∴AC＝AB，∠ACB＝60°，∴∠CAF+∠DAB＝60°，∵∠EDF＝60°，∴∠DAB+∠ABD＝60°，∴∠CAF＝∠ABD，∵AF＝BD，∴△ACF≌△BAD(SAS)，∴EF＝DF；(2)證明：如圖2，由(1)知，EF＝DF，∠EDF＝60°，∴△DEF是等邊三角形，∴∠DEF＝60°，在EF上截取EN＝EM，連接MN，∴CN＝CE+EN＝CE+EM＝EG，∴△EMN是等邊三角形，∴∠CNM＝60°，∵∠GMC＝∠GEC，∠α＝∠β，∴∠NCM＝∠EGM，∵CM＝GM，∴△NCM≌△EGM(SAS)，∴∠MEG＝∠CNM＝60°，∴∠CEG＝180°﹣∠MEG﹣∠FED＝60°，∴∠GME＝∠GEC＝60°，∵CM＝GM，∴△CMG是等邊三角形，∴CG＝CM；(3)解：如圖3，由(1)(2)知，△DEF和△CDG是等邊三角形，∴∠CFD＝60°，CD＝GD＝4，∵CD⊥AD，∴∠CDF＝90°，∴AD＝CF＝＝，將△DPC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△DQG，連接AG，∴AD＝DQ，CP＝QG，∴△PDQ是等邊三角形，∴PD＝PQ，∴AP+PD+CP＝AP+PQ+QG，∴當(dāng)A、P、Q、G共線時(shí)，AP+PD+CP最小＝AG，作GH⊥AD于H，在Rt△DGH中，GH＝DG＝2，DH＝DG＝2，∴AH＝AD+DH＝+2＝，∴AG＝＝＝，∴AP+PD+CP的最小值是．6．如圖①，P為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．(1)如果點(diǎn)P為銳角三角形ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且∠ABC＝60°．①求證：△ABP∽△BCP；②若PA＝3，PC＝4，求PB的長(zhǎng)．(2)已知銳角三角形ABC，分別以AB、AC為邊向外作正三角形ABE和正三角形ACD，CE和BD相交于P點(diǎn)，連結(jié)AP，如圖②．①求∠CPD的度數(shù)；②求證：P點(diǎn)為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．【分析】(1)①由三角形內(nèi)角和定理可求∠PBA+∠PAB＝60°，可證∠PBC＝∠BAP，可得結(jié)論；②由相似三角形的性質(zhì)可得，即可求解；(2)①由“SAS”可證△ACE≌△ADB，可得∠1＝∠2，即可求解；②通過(guò)證明△ADF∽△CFP，可得，可證△AFP∽△CDF，可得∠APF＝∠ACD＝60°，可得結(jié)論．【解答】(1)①證明：∵點(diǎn)P為銳角三角形ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，∴∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，∴∠PBA+∠PAB＝60°，∵∠ABC＝60°，∴∠ABP+∠PBC＝60°，∴∠PBC＝∠BAP，又∵∠APB＝∠BPC，∴△ABP∽△BCP，②解：∵△ABP∽△BCP，∴，又∵PA＝3，PC＝4，∴，∴PB＝2；(2)①解：設(shè)AC與BD的交點(diǎn)于F，如圖，∵△ABE與△ACD都為等邊三角形，∴∠BAE＝∠CAD＝60°，AE＝AB，AC＝AD，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，在△ACE和△ADB中，，∴△ACE≌△ADB(SAS)，∴∠1＝∠2，∵∠3＝∠4，∴∠CPD＝∠6＝∠5＝60°；②證明：∵∠1＝∠2，∠5＝∠6，∴△ADF∽△CFP，∴，∴AF?PF＝DF?CP，∵∠AFP＝∠CFD，∴△AFP∽△CDF，∴∠APF＝∠ACD＝60°，∴∠APC＝∠CPD+∠APF＝120°，∴∠BPC＝120°，∴∠APB＝360°﹣∠BPC﹣∠APC＝120°，∴P點(diǎn)為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．7．【問(wèn)題情境】如圖1，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，BC＝5，則△ABC的外接圓的半徑值為5．【問(wèn)題解決】如圖2，點(diǎn)P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且∠BPC＝90°，若AB＝4，求AP的最小值．【問(wèn)題解決】如圖3，正方形ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為3cm的隔離區(qū)域設(shè)計(jì)圖，CE為大門(mén)，點(diǎn)E在邊BC上，CE＝cm，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)設(shè)立的一個(gè)活動(dòng)崗哨，到B、E的張角為120°，即∠BPE＝120°，點(diǎn)A、D為另兩個(gè)固定崗哨．現(xiàn)需在隔離區(qū)域內(nèi)部設(shè)置一個(gè)補(bǔ)水供給點(diǎn)Q，使得Q到A、D、P三個(gè)崗哨的距離和最小，試求QA+QD+QP的最小值．(保留根號(hào)或結(jié)果精確到1cm，參考數(shù)據(jù)≈1.7，10.52＝110.25)．【分析】(1)作出三角形的外接圓O，證明△OBA是等邊三角形，利用三線合一性質(zhì)計(jì)算即可；(2)點(diǎn)P在以BC為直徑的圓上，根據(jù)圓心，P，A三點(diǎn)共線時(shí)AP最小，計(jì)算即可；(3)如圖3，設(shè)∠BPE所在圓的圓心為點(diǎn)O，根據(jù)(1)可得∠BPE所在圓的半徑，以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心，將△DQA順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△DFN，當(dāng)N，F(xiàn)，Q，P，O共線時(shí)，QA+QD+QP最小，構(gòu)造直角三角形求解即可．【解析】(1)如圖1，作△ABC的外接圓O，作直徑AD，連接OB，∵AB＝AC，∴AO⊥BC，∠BAO＝60°，∵OA＝OB，∴△OBA是等邊三角形，∴AB＝OA＝OB，設(shè)AD與BC交于點(diǎn)E，BE＝BC＝，在直角三角形ABE中，∵sin∠BAO＝，∴sin60°＝＝，∴AB＝5，∴OA＝5，故答案為：5；(2)如圖2，∵∠BPC＝90°，∴點(diǎn)在以BC為直徑的圓上，設(shè)圓心為點(diǎn)O，則OP＝BC＝2，∴O，P，A三點(diǎn)線時(shí)AP最小，在直角三角形ABO中，AO＝＝2，∵PO＝2，∴AP的最小值為：AO﹣PO＝2﹣2；(3)如圖3，設(shè)∠BPE所在圓的圓心為點(diǎn)O，根據(jù)(1)可得∠BPE所在圓的半徑為＝2，以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心，將△DQA順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△DFN，當(dāng)N，F(xiàn)，Q，P，O共線時(shí)，QA+QD+QP最小，過(guò)點(diǎn)N作NG⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接AN，則△AND是等邊三角形，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥GN于M交BC于點(diǎn)H，連接OB，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BC∥GN，∴OH⊥BC，∵BE＝2，∴BH＝，∴OH＝＝1，∵AD＝DN，∠ADN＝60°，∴△AND是等邊三形，且AN＝3，∠NAD＝60°，∴∠GAN＝30°，∴GN＝ANsin30°＝，AG＝ANcos30°＝，∴OM＝OH+AB+AG＝+1+3＝+3，MN＝GN﹣BH＝﹣＝，∴ON＝＝≈11，∴QA+QD+QP最小值為：11﹣2＝9(cm)．8．問(wèn)題提出(1)如圖，點(diǎn)M、N是直線l外兩點(diǎn)，在直線l上找一點(diǎn)K，使得MK+NK最?。畣?wèn)題探究(2)在等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB度數(shù)的大?。畣?wèn)題解決(3)如圖，矩形ABCD是某公園的平面圖，AB＝30米，BC＝60米，現(xiàn)需要在對(duì)角線BD上修一涼亭E，使得到公園出口A、B，C的距離之和最?。畣?wèn)：是否存在這樣的點(diǎn)E？若存在，請(qǐng)畫(huà)出點(diǎn)E的位置，并求出EA+EB+EC的和的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】(1)根據(jù)兩點(diǎn)間線段距離最短，連接點(diǎn)M、N是，與直線l交于點(diǎn)K，點(diǎn)K即為所求；(2)把△APB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACP′，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知APP′是等邊三角形，所以∠AP′P＝60°，由勾股定理逆定理可知∠PP′C＝為直角，從而求得∠AP′C為150°，所以∠APB為150°；(3)把△ABE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'BE′，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，A′B＝AB＝30，BE′＝BE，A'E′＝AE，∠E′BE＝60°，A'BA＝60°，所以△E′BE是等邊三角形，根據(jù)兩點(diǎn)間線段距離最短，可知當(dāng)EA+EB+EC＝A'C時(shí)最短，連接A'C，與BD的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E即為所求，此時(shí)EA+EB+EC最短，最短距離為A'C的長(zhǎng)度，然后過(guò)點(diǎn)A'作A'G⊥BC，利用勾股定理求出A'C的長(zhǎng)度，即求得EA+EB+EC的和的最小值．【解析】(1)如圖1，連接點(diǎn)M、N，與直線l交于點(diǎn)K，點(diǎn)K即為所求．(2)如圖2，把△APB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AP′C，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，P′A＝PA＝3，P′C＝PB＝4，∠PAP′＝60°，∴△APP′是等邊三角形，∴PP′＝PA＝3，∠AP′P＝60°，∵PP′2+P′C2＝32+42＝25，PC2＝52＝25，∴PP′2+P′C2＝PC2，∴∠PP′C＝90°，∴∠AP′C＝∠AP′P+∠PP′C＝60°+90°＝150°；故∠APB＝∠AP′C＝150°；(3)如圖3，把△ABE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'BE′，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，A′B＝AB＝30，BE′＝BE，A'E′＝AE，∠E′BE＝60°，∠A'BA＝60°，∴△E′BE是等邊三角形，∴BE＝EE'，∴EA+EB+EC＝A'E′+EE'+EC，根據(jù)兩點(diǎn)間線段距離最短，可知當(dāng)EA+EB+EC＝A'C時(shí)最短，連接A'C，與BD的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E即為所求，此時(shí)EA+EB+EC最短，最短距離為A'C的長(zhǎng)度．過(guò)點(diǎn)A'作A'G⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則∠A'BG＝90°﹣∠A'BA＝90°﹣60°＝30°．A'G＝A'B＝AB＝×30＝15，GB＝A'G＝×15＝45，GC＝GB+BC＝45+60＝105，在Rt△A'GC中，A'C＝＝，因此EA+EB+EC的和的最小值．9．在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣8的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線y＝kx+(k≠0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，與拋物線交于另一點(diǎn)R，已知OC＝2OA，OB＝3OA．(1)求拋物線與直線的解析式；(2)如圖1，若點(diǎn)P是x軸下方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P做PH⊥AR于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)P做PQ∥x軸交拋物線于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)P做PH′⊥x軸于點(diǎn)H′，K為直線PH′上一點(diǎn)，且PK＝2PQ，點(diǎn)I為第四象限內(nèi)一點(diǎn)，且在直線PQ上方，連接IP、IQ、IK，記l＝PQ，m＝IP+IQ+IK，當(dāng)l取得最大值時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出此時(shí)m的最小值．(3)如圖2，將點(diǎn)A沿直線AR方向平移13個(gè)長(zhǎng)度單位到點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M做MN⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)N，動(dòng)點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn)，連接MD、DN，再將△MDN沿直線MD翻折為△MDN′(點(diǎn)M、N、D、N′在同一平面內(nèi))，連接AN、AN′、NN′，當(dāng)△ANN′為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)．【分析】(1)令二次函數(shù)x＝0，解出C點(diǎn)坐標(biāo)(0，﹣8)，根據(jù)已知條件可知點(diǎn)A(﹣4，0)點(diǎn)B(12，0)．代入解析式從而求得拋物線和直線解析式．(2)設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)的橫坐標(biāo)為p，求出對(duì)稱軸為直線x＝4，根據(jù)對(duì)稱性求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，從而求出PQ的長(zhǎng)度，延長(zhǎng)PK交直線AR與點(diǎn)M，利用一次函數(shù)解析式求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，PM線段長(zhǎng)可表示，利用△PHM∽△AEO，求出PH的長(zhǎng)度，則I可用點(diǎn)p的代數(shù)式表示，從而求得最大值，點(diǎn)P坐標(biāo)也可求出，由m＝IP+IQ+IK求其最小值可知，點(diǎn)I為△PQK的“費(fèi)馬點(diǎn)”．(3)由點(diǎn)A平移13個(gè)單位可知點(diǎn)M的坐標(biāo)，則點(diǎn)N的坐標(biāo)可求為(8，﹣8)可求AN的長(zhǎng)度，MN的長(zhǎng)度為13，因?yàn)榉劭芍狹N′的長(zhǎng)度也為13，則N′在以點(diǎn)M為圓心13個(gè)單位長(zhǎng)度為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，再利用等腰三角形求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．【解答】解(1)∵y＝ax2+bx﹣8與y軸的交點(diǎn)為C，令x＝0，y＝﹣8∴點(diǎn)C(0，﹣8)∴OC＝8∵OC＝2OA，OB＝3OA∴OA＝4，OB＝12∴A(﹣4，0)B(12，0)將點(diǎn)A代入直線解析式可得0＝﹣4k+解得k＝∴y＝x+將點(diǎn)A和點(diǎn)B代入拋物線中解得a＝，b＝﹣∴y＝x2﹣x﹣8(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(p，p2﹣p﹣8)﹣＝4∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝4∴點(diǎn)Q(8﹣p，)∴PQ＝2p﹣8∵PK＝2PQ∴PK＝4p﹣16如圖1所示，延長(zhǎng)PK交直線AR于點(diǎn)M，則M(p，)∴PM＝﹣()＝∵∠PHM＝∠MH′A，∠HMP＝∠AMH′∴∠HPM＝∠MAH′∵直線解析式為y＝，令x＝0，y＝．∴OE＝∵OA＝4根據(jù)勾股定理得∴AE＝∴cos∠EAO＝＝∴cos∠HPM＝＝＝∴PH＝∵I＝PH﹣PQ∴I＝()﹣(2p﹣8)＝﹣(p﹣5)2+85∴當(dāng)p＝5時(shí)，I取最大值此時(shí)點(diǎn)P(5，)∴PQ＝2，PK＝如圖2所示，連接QK，以PQ為邊向下做等邊三角形PQD，連接KD，在KD取I，使∠PID＝60°，以PI為邊做等邊三角形IPF，連接IQ∵IP＝PF，PQ＝PD，∠IPQ＝∠FPD∴△IPQ≌△FPD∴DF＝IQ∴IP+IQ+IK＝IF+FD+IK＝DK，此時(shí)m最小過(guò)點(diǎn)D作DN垂直于KP∵∠KPD＝∠KPQ+∠QPD＝150°∴∠PDN＝30°∵DP＝PQ＝2∴DN＝1，根據(jù)勾股定理得PN＝在△KDN中，KN＝5，DN＝1，根據(jù)勾股定理得KD＝2∴m的最小值為2(3)設(shè)NM與x軸交于點(diǎn)J∵AM＝13，cos∠MAJ＝∴AJ＝12，根據(jù)勾股定理得MJ＝5∵OA＝4，∴OJ＝8∴M(8，5)當(dāng)x＝8時(shí)，代入拋物線中，可得y＝﹣8∴N(8，﹣8)，MN＝13在△AJN中，根據(jù)勾股定理得AN＝4∵點(diǎn)D為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)翻折，MN′＝13，所以點(diǎn)N′在以M為圓心，13個(gè)單位長(zhǎng)度為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖3所示①當(dāng)N′落在AN的垂直平分線上時(shí)tan∠MNA＝＝∴tan∠MGJ＝，∵M(jìn)J＝5∴JG＝，根據(jù)勾股定理得MG＝∵M(jìn)D1為∠GMJ的角平分線∴∴D1J＝∴D1(，0)∵M(jìn)D4也為角平分線∴∠D1MD4＝90°根據(jù)射影定理得MJ2＝JD1?JD4∴JD4＝∴D4(，0)②當(dāng)AN＝AN′時(shí)D2與點(diǎn)A重合∴D2(﹣4，0)∵M(jìn)D3為角平分線∴∴JD3＝∴D3(，0)綜上所述D1(，0)，D2(﹣4，0)，D3(，0)，D4(，0)．10．(1)如圖1，點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，已知PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度數(shù)．要直接求∠A的度數(shù)顯然很困難，注意到條件中的三邊長(zhǎng)恰好是一組勾股數(shù)，因此考慮借助旋轉(zhuǎn)把這三邊集中到一個(gè)三角形內(nèi)，如圖2，作∠PAD＝60°使AD＝AP，連接PD，CD，則△PAD是等邊三角形．∴PD＝AD＝AP＝3，∠ADP＝∠PAD＝60°∵△ABC是等邊三角形∴AC＝AB，∠BAC＝60°∴∠BAP＝∠CAD∴△ABP≌△ACD∴BP＝CD＝4，∠APB＝∠ADC∵在△PCD中，PD＝3，PC＝5，CD＝4，PD2+CD2＝PC2∴∠PDC＝90°∴∠APB＝∠ADC＝∠ADP+∠PDC＝60°+90°＝150°(2)如圖3，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA＝1，PB＝2，PC＝3，求∠APB的度數(shù)．【分析】(1)如圖2，作∠PAD＝60°使AD＝AP，連接PD，CD，則△PAD是等邊三角形．只要證明△ABP≌△ACD(SAS)，推出BP＝CD＝4，∠APB＝∠ADC，再利用勾股定理的逆定理即可解決問(wèn)題；(2)把△PAC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DBA，如圖，想辦法證明△BPD是等腰三角形即可解決問(wèn)題；【解析】(1)如圖2，作∠PAD＝60°使AD＝AP，連接PD，CD，則△PAD是等邊三角形．∴PD＝AD＝AP＝3，∠ADP＝∠PAD＝60°，∵△ABC是等邊三角形，∴AC＝AB，∠BAC＝60°，∴∠BAP＝∠CAD，∴△ABP≌△ACD(SAS)，∴BP＝CD＝4，∠APB＝∠ADC∵在△PCD中，PD＝3，PC＝5，CD＝4，PD2+CD2＝PC2∴∠PDC＝90°∴∠APB＝∠ADC＝∠ADP+∠PDC＝60°+90°＝150°故答案為：PD，∠CAD，∠APB，90．(2)解：∵∠ABC＝90°，BC＝AB，∴把△PAC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DBA，如圖，∴BD＝PC＝3，AD＝AP＝2，∠PAD＝90°，∴△PAD為等腰直角三角形，∴DP＝PA＝2，∠DPA＝45°，在△BPD中，PB＝2，PD＝2，DB＝3，∵12+(2)2＝32，∴AP2+PD2＝BD2，∴△BPD為直角三角形，∴∠BPD＝90°，∴∠APB＝∠APD+∠DPB＝90°+45°＝135°．11．(1)知識(shí)儲(chǔ)備①如圖1，已知點(diǎn)P為等邊△ABC外接圓的BC上任意一點(diǎn)．求證：PB+PC＝PA．②定義：在△ABC所在平面上存在一點(diǎn)P，使它到三角形三頂點(diǎn)的距離之和最小，則稱點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，此時(shí)PA+PB+PC的值為△ABC的費(fèi)馬距離．(2)知識(shí)遷移①我們有如下探尋△ABC(其中∠A，∠B，∠C均小于120°)的費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離的方法：如圖2，在△ABC的外部以BC為邊長(zhǎng)作等邊△BCD及其外接圓，根據(jù)(1)的結(jié)論，易知線段AD的長(zhǎng)度即為△ABC的費(fèi)馬距離．②在圖3中，用不同于圖2的方法作出△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P(要求尺規(guī)作圖)．(3)知識(shí)應(yīng)用①判斷題(正確的打√，錯(cuò)誤的打×)：?。我馊切蔚馁M(fèi)馬點(diǎn)有且只有一個(gè)√；ⅱ．任意三角形的費(fèi)馬點(diǎn)一定在三角形的內(nèi)部×．②已知正方形ABCD，P是正方形內(nèi)部一點(diǎn)，且PA+PB+PC的最小值為，求正方形ABCD的邊長(zhǎng)．【分析】(1)①根據(jù)已知首先得出△PCE為等邊三角形，進(jìn)而得出△ACP≌△BCE(SAS)，即AP＝AE+EP＝BP+PE＝BP+PC；(2)①利用(1)中結(jié)論得出PA+PB+PC＝PA+(PB+PC)＝PA+PD；以及線段的性質(zhì)“兩點(diǎn)之間線段最短”容易獲解；②畫(huà)出圖形即可；也可以將AC繞點(diǎn)C按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到A′C，連接A′B，作∠A′PC＝60°，然后在A′P上截取PP′＝PC，則△P′PC是等邊三角形，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及兩點(diǎn)之間線段最短即可得出結(jié)論；(3)①根據(jù)費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離的定義直接判定即可；②將△ABP沿點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△A1BP1，如圖5，根據(jù)PA+PB+PC的最小值為，得P1A1+PP1+PC的最小值為，即A1C＝，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2x，根據(jù)勾股定理列方程得：得：，解出可得正方形的邊長(zhǎng)．【解答】(1)①證明：在PA上取一點(diǎn)E，使PE＝PC，連接CE，∵△ABC是等邊三角形，∴∠APC＝∠ABC＝60°，又∵PE＝PC，∴△PEC是正三角形，∴CE＝CP，∠ACB＝∠ECP＝60°，∴∠ACE＝∠BCP，又∵∠PBC＝∠PAC，BC＝AC，∴△ACE≌△BCP(ASA)，∴AE＝PB，∴PB+PC＝AE+PE＝AP；(4分)(2)①如圖2，得：PA+PB+PC＝PA+(PB+PC)＝PA+PD，∴當(dāng)A、P、D共線時(shí)，PA+PB+PC的值最小，∴線段AD的長(zhǎng)度即為△ABC的費(fèi)馬距離，故答案為：AD；(6分)②過(guò)AB和AC分別向外作等邊三角形，連接CD，BE，交點(diǎn)即為P．(過(guò)AC或AB作外接圓視作與圖2相同的方法，不得分)．(8分)(3)①?。?√)；ⅱ．當(dāng)三角形有一內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，所求三角形的費(fèi)馬點(diǎn)為三角形最大內(nèi)角的頂點(diǎn)(×)(10分)故答案為：i，√，ii，×；②解：將△ABP沿點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△A1BP1，如圖5，過(guò)A1作A1H⊥BC，交CB的延長(zhǎng)線于H，連接P1P，易得：A1B＝AB，PB＝P1B，PA＝P1A1，∠P1BP＝∠A1BA＝60°，∵PB＝P1B，∠P1BP＝60°，∴△P1PB是正三角形，∴PP1＝PB，∵PA+PB+PC的最小值為，∴P1A1+PP1+PC的最小值為，∴A1，P1，P，C在同一直線上，即A1C＝，(12分)設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2x，∵∠A1BA＝60°，∠CBA＝90°，∴∠1＝30°，在Rt△A1HB中，A1B＝AB＝2x，∠1＝30°，得：A1H＝x，BH＝，在Rt△A1HC中，由勾股定理得：，解得：x1＝1x2＝﹣1(舍去)∴正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2．(14分)12．背景資料：在已知△ABC所在平面上求一點(diǎn)P，使它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小．這個(gè)問(wèn)題是法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點(diǎn)被人們稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”．如圖①，當(dāng)△ABC三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部，此時(shí)∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，此時(shí)，PA+PB+PC的值最?。鉀Q問(wèn)題：(1)如圖②，等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3，4，5，求∠APB的度數(shù)．為了解決本題，我們可以將△ABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP′處，此時(shí)△ACP′≌△ABP，這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段PA，PB，PC轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出∠APB＝150°；基本運(yùn)用：(2)請(qǐng)你利用第(1)題的解答思想方法，解答下面問(wèn)題：如圖③，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E，F(xiàn)為BC上的點(diǎn)，且∠EAF＝45°，判斷BE，EF，F(xiàn)C之間的數(shù)量關(guān)系并證明；能力提升：(3)如圖④，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，點(diǎn)P為Rt△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，連接AP，BP，CP，求PA+PB+PC的值．【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換前后的兩個(gè)三角形全等，全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等以及等邊三角形的判定和勾股定理逆定理解答；(2)把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE′＝AE，CE′＝CE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，再求出∠E′AF＝45°，從而得到∠EAF＝∠E′AF，然后利用“邊角邊”證明△EAF和△E′AF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得E′F＝EF，再利用勾股定理列式即可得證．(3)將△APB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△A′P′B處，連接PP′，根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AB＝2AC，即A′B的長(zhǎng)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出△BPP′是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得BP＝PP′，等邊三角形三個(gè)角都是60°求出∠BPP′＝∠BP′P＝60°，然后求出C、P、A′、P′四點(diǎn)共線，再利用勾股定理列式求出A′C，從而得到PA+PB+PC＝A′C．【解析】(1)∵△ACP′≌△ABP，∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB，由題意知旋轉(zhuǎn)角∠PAP′＝60°，∴△APP′為等邊三角形，PP′＝AP＝3，∠AP′P＝60°，易證△PP′C為直角三角形，且∠PP′C＝90°，∴∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P+∠PP′C＝60°+90°＝150°；故答案為：150°；(2)EF2＝BE2+FC2，理由如下：如圖2，把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE′，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，∴∠EAF＝∠E′AF，在△EAF和△E′AF中，，∴△EAF≌△E′AF(SAS)，∴E′F＝EF，∵∠CAB＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠E′CF＝45°+45°＝90°，由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2，即EF2＝BE2+FC2．(3)如圖④，將△APB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△A′P′B處，連接PP′，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，∴AB＝2，∴BC＝＝，∵△APB繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，∴△A′P′B如圖所示；∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，∴AB＝2AC＝2，∵△APB繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，得到△A′P′B，∴A′B＝AB＝2，BP＝BP′，A′P′＝AP，∴△BPP′是等邊三角形，∴BP＝PP′，∠BPP′＝∠BP′P＝60°，∵∠APC＝∠CPB＝∠BPA＝120°，∴∠CPB+∠BPP′＝∠BP′A′+∠BP′P＝120°+60°＝180°，∴C、P、A′、P′四點(diǎn)共線，在Rt△A′BC中，A′C＝＝＝，∴PA+PB+PC＝A′P′+PP′+PC＝A′C＝． 【壓軸必刷】2022中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案專題22新定義綜合問(wèn)題經(jīng)典例題經(jīng)典例題【例1】．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c(a＞0)的頂點(diǎn)為M，直線y＝m與拋物線交于點(diǎn)A，B，若△AMB為等腰直角三角形，我們把拋物線上A，B兩點(diǎn)之間的部分與線段AB圍成的圖形稱為該拋物線對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)蝶形，線段AB稱為蝶寬，頂點(diǎn)M稱為蝶頂．(1)由定義知，取AB中點(diǎn)N，連接MN，MN與AB的關(guān)系是．(2)拋物線y＝對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)蝶形必經(jīng)過(guò)B(m，m)，則m＝，對(duì)應(yīng)的蝶寬AB是．(3)拋物線y＝ax2﹣4a﹣(a＞0)對(duì)應(yīng)的蝶寬在x軸上，且AB＝6．①求拋物線的解析式；②在此拋物線的對(duì)稱軸上是否有這樣的點(diǎn)P(xp，yp)，使得∠APB為銳角，若有，請(qǐng)求出yp的取值范圍．若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．【例2】．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，6)，點(diǎn)B在x軸的正半軸上．點(diǎn)P，Q均在線段AB上，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)大于m，在△PQM中，若PM∥x軸，QM∥y軸，則稱△PQM為點(diǎn)P，Q的“云三角形”．(1)若B點(diǎn)的坐標(biāo)為(4，0)，m＝2，則點(diǎn)P，B的“云三角形”的面積為．(2)當(dāng)點(diǎn)P，Q的“云三角形”是等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．(3)在(2)的條件下，作過(guò)O，P，B三點(diǎn)的拋物線y＝ax2+bx+c，①若點(diǎn)M為拋物線上一點(diǎn)，△PQM是點(diǎn)P，Q的“云三角形”，求△POM的面積S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出m的取值范圍；②當(dāng)點(diǎn)P，Q的“云三角形”的面積為3，且拋物線y＝ax2+bx+c與點(diǎn)P，Q的“云三角形”恰有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě)出m的取值范圍．【例3】．如圖1，我們將經(jīng)過(guò)拋物線頂點(diǎn)的所有非豎直的直線，叫做該拋物線的“風(fēng)車線”，若拋物線的頂點(diǎn)為P(a，b)，則它的所有“風(fēng)車線”可以統(tǒng)一表示為：y＝k(x﹣a)+b，即當(dāng)x＝a時(shí)，y始終等于b．(1)若拋物線y＝﹣2(x+1)2+3與y軸交于點(diǎn)A，求該拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的“風(fēng)車線”的解析式；(2)若拋物線可以通過(guò)y＝﹣x2平移得到，且它的“風(fēng)車線”可以統(tǒng)一表示為y＝kx+3k﹣2，求該拋物線的解析式；(3)如圖2，直線m：y＝x+3與直線n：y＝﹣2x+9交于點(diǎn)A，拋物線y＝﹣2(x﹣2)2+1的“風(fēng)車線”與直線m、n分別交于B、C兩點(diǎn)，若△ABC的面積為12，求滿足條件的“風(fēng)車線”的解析式．【例4】．對(duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義：若存在實(shí)數(shù)M＞0，對(duì)于任意的函數(shù)值y，都滿足﹣M≤y≤M，則稱這個(gè)函數(shù)是有界函數(shù)，在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個(gè)函數(shù)的邊界值．例如，圖中的函數(shù)是有界函數(shù)，其邊界值是1．(1)分別判斷函數(shù)y＝(x＞0)和y＝x+2(﹣4≤x≤2)是不是有界函數(shù)？若是有界函數(shù)，求其邊界值；(2)若函數(shù)y＝﹣x+2(a≤x≤b，b＞a)的邊界值是3，且這個(gè)函數(shù)的最小值也是3，求b的取值范圍；(3)將函數(shù)y＝x2(﹣1≤x≤m，m≥0)的圖象向下平移m個(gè)單位，得到的函數(shù)的邊界值是t，當(dāng)m在什么范圍時(shí)，滿足≤t≤1？【例5】．如圖(1)，P為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．(1)若點(diǎn)P是等邊三角形三條中線的交點(diǎn)，點(diǎn)P是(填是或不是)該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)．(2)如果點(diǎn)P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且∠ABC＝60°．求證：△ABP∽△BCP；(3)已知銳角△ABC，分別以AB、AC為邊向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P點(diǎn)．如圖(2)①求∠CPD的度數(shù)；②求證：P點(diǎn)為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．培優(yōu)訓(xùn)練培優(yōu)訓(xùn)練1．定義：點(diǎn)T(t，0)是x軸上一點(diǎn)(t＞0)，函數(shù)C1的圖象與函數(shù)C2的圖象關(guān)于點(diǎn)T(t，0)中心對(duì)稱，將這一變換稱為“T變換”．將函數(shù)C1的圖象在直線x＝t的左側(cè)部分與函數(shù)C2的圖象在直線x＝t上及右側(cè)部分組成的新圖象記為F，F(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)為．(1)若t＝2，函數(shù)C1圖象上的點(diǎn)(2，3)經(jīng)過(guò)T變換后的坐標(biāo)為；(2)若函數(shù)C1為直線y＝3x+6，C2為直線y＝3x﹣9，則點(diǎn)T的坐標(biāo)為；(3)已知C1：y＝x2﹣4x+3，且．①若圖象F上的三個(gè)點(diǎn)A(t﹣1，yA)，B(t，yB)，C(t+1，yC)，且△ABC的面積為1，求t的值；②當(dāng)t﹣1≤x≤t+2時(shí)，圖象F上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值與最小值之差為h，求h關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．2．我們定義：如果兩個(gè)多項(xiàng)式A與B的差為常數(shù)，且這個(gè)常數(shù)為正數(shù)，則稱A是B的“差常式”，這個(gè)常數(shù)稱為A關(guān)于B的“差常值”．如多項(xiàng)式A＝x2﹣5x+6，B＝(x+1)(x﹣6)，則A是B的“差常式”，A關(guān)于B的“差常值”為12．(1)已知多項(xiàng)式C＝2x2﹣5x+4，D＝(x﹣2)(2x﹣1)，判斷C是否是D的“差常式”，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由，若是，請(qǐng)證明并求出C關(guān)于D的“差常值”；(2)已知多項(xiàng)式M＝(x﹣a)2，N＝x2﹣2x+b(a，b為常數(shù))，M是N的“差常式”，且當(dāng)x為實(shí)數(shù)時(shí)，N的最小值為﹣2，求M關(guān)于N的“差常值”；(3)若多項(xiàng)式x2+b2x+c2是x2+b1x+c1的“差常式”(其中b1，b2，c1，c2為常數(shù))，令y1＝x2+b1x+c1，y2＝x2+b2x+c2(c1＜c2)，直線y＝kx+m與y1＝x2+b1x+c1，y2＝x2+b2x+c2的圖象相交于E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，G(x3，y3)，H(x4，y4)，其中x1＜x2＜x3＜x4．若y1＝x2+b1x+c1的圖象的頂點(diǎn)為P，記S1，S2，S3分別為△EPF，△EPG，△EPH的面積．問(wèn)：的值是否為定值？如果是，請(qǐng)求出它的值；如果不是，請(qǐng)求出相關(guān)表達(dá)式．3．定義：如果二次函數(shù)y＝a1x2+b1x+c1(a1≠0，a1，b1，c1是常數(shù))與y＝a2x2+b2x+c2(a2≠0，a2，b2，c2是常數(shù))滿足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，則這兩個(gè)函數(shù)互為“N”函數(shù)．(1)寫(xiě)出y＝﹣x2+x﹣1的“N”函數(shù)的表達(dá)式；(2)若題(1)中的兩個(gè)“N”函數(shù)與正比例函數(shù)y＝kx(k≠0)的圖象只有兩個(gè)交點(diǎn)，求k的值；(3)如圖，二次函數(shù)y1與y2互為“N”函數(shù)，A、B分別是“N”函數(shù)y1與y2圖象的頂點(diǎn)，C是“N”函數(shù)y2與y軸正半軸的交點(diǎn)，連接AB、AC、BC，若點(diǎn)A(﹣2，1)且△ABC為直角三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．4．我們規(guī)定：關(guān)于x的反比例函數(shù)y＝稱為一次函數(shù)y＝ax+b的“次生函數(shù)”，關(guān)于x的二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣(a+b)稱為一次函數(shù)y＝ax+b的“再生函數(shù)”．(1)按此規(guī)定：一次函數(shù)y＝x﹣3的“次生函數(shù)”為：，“再生函數(shù)”為：；(2)若關(guān)于x的一次函數(shù)y＝x+b的“再生函數(shù)”的頂點(diǎn)在x軸上，求頂點(diǎn)坐標(biāo)；(3)若一次函數(shù)y＝ax+b與其“次生函數(shù)”交于點(diǎn)(1，﹣2)、(4，﹣)兩點(diǎn)，其“再生函數(shù)”與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊)，與y軸交于點(diǎn)C．①若點(diǎn)D(1，3)，求∠CBD的正切值；②若點(diǎn)E在直線x＝1上，且∠CBE＝45°，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．5．定義：與坐標(biāo)軸不重合的直線l交x，y軸于A、B兩點(diǎn)(A、B不重合)，若拋物線L過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B，則稱此拋物線L為直線l的“和諧線”，如圖L1，L2均為直線l的“和諧線”．(1)已知直線的解析式為y＝﹣x+4，則下列拋物線是直線l的“和諧線”的有．①y＝x2﹣5x+4②y＝2x2﹣7x﹣4③(2)已知直線y＝kx+b的“和諧線”為，且直線與雙曲線交于點(diǎn)M，N，求線段MN的長(zhǎng)．(3)已知直線y＝﹣cx+c(c≠0)的“和諧線”為y＝ax2+bx+c(a≠0，且a＞b＞c)，求該“和諧線”在x軸上所截線段長(zhǎng)d的取值范圍．6．在平面直角坐標(biāo)系中，如果一個(gè)點(diǎn)的