專題1二次函數(shù)與等腰三角形問題-挑戰(zhàn)2024年中考數(shù)學壓軸題之學霸秘笈大揭秘含答案

挑戰(zhàn)2024年中考數(shù)學壓軸題之學霸秘笈大揭秘專題1二次函數(shù)與等腰三角形問題數(shù)學因運動而充滿活力，數(shù)學因變化而精彩紛呈，動態(tài)幾何問題是近年來中考的熱點問題，以運動的觀點來探究幾何圖形的變化規(guī)律問題，動態(tài)問題的解答，一般要將動態(tài)問題轉化為靜態(tài)問題，抓住運動過程中的不變量，利用不變的關系和幾何性質(zhì)建立關于方程(組)、函數(shù)關系問題，將幾何問題轉化為代數(shù)問題。在動態(tài)問題中，動點形成的等腰三角形問題是常見的一類題型，可以與旋轉、平移、對稱等幾何變化相結合，也可以與一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象相結合，從而產(chǎn)生數(shù)與形的完美結合.解決動點產(chǎn)生的等腰三角形問題的重點和難點在于應用分類討論思想和數(shù)形結合思想進行準確的分類.在討論等腰三角形的存在性問題時，一般都要先分類．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三種情況．解等腰三角形的存在性問題，有幾何法和代數(shù)法，把幾何法和代數(shù)法相結合，可以使得解題又好又快．幾何法一般分三步：分類、畫圖、計算．哪些題目適合用幾何法呢？如果△ABC的∠A(的余弦值)是確定的，夾∠A的兩邊AB和AC可以用含x的式子表示出來，那么就用幾何法．①如圖1，如果AB＝AC，直接列方程；②如圖2，如果BA＝BC，那么；③如圖3，如果CA＝CB，那么．代數(shù)法一般也分三步：羅列三邊長，分類列方程，解方程并檢驗．如果三角形的三個角都是不確定的，而三個頂點的坐標可以用含x的式子表示出來，那么根據(jù)兩點間的距離公式，三邊長(的平方)就可以羅列出來．圖1圖2圖3

【例1】(2021?朝陽)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸分別交于點A(﹣1，0)和點B，與y軸交于點C(0，3)．(1)求拋物線的解析式及對稱軸；(2)如圖1，點D與點C關于對稱軸對稱，點P在對稱軸上，若∠BPD＝90°，求點P的坐標；(3)點M是拋物線上位于對稱軸右側的點，點N在拋物線的對稱軸上，當△BMN為等邊三角形時，請直接寫出點M的橫坐標．【例2】(2021?綏化)如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+5(a≠0)與x軸交于點A(﹣5，0)，點B(1，0)(點A在點B的左邊)，與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點，連接BD．直線y＝經(jīng)過點A，且與y軸交于點E．(1)求拋物線的解析式；(2)點N是拋物線上的一點，當△BDN是以DN為腰的等腰三角形時，求點N的坐標；(3)點F為線段AE上的一點，點G為線段OA上的一點，連接FG，并延長FG與線段BD交于點H(點H在第一象限)，當∠EFG＝3∠BAE且HG＝2FG時，求出點F的坐標．【例3】(2021?宿遷)如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A(﹣1，0)，B(4，0)，與y軸交于點C．連接AC，BC，點P在拋物線上運動．(1)求拋物線的表達式；(2)如圖①，若點P在第四象限，點Q在PA的延長線上，當∠CAQ＝∠CBA+45°時，求點P的坐標；(3)如圖②，若點P在第一象限，直線AP交BC于點F，過點P作x軸的垂線交BC于點H，當△PFH為等腰三角形時，求線段PH的長．【例4】(2021?懷化)如圖所示，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且OA＝2，OB＝4，OC＝8，拋物線的對稱軸與直線BC交于點M，與x軸交于點N．(1)求拋物線的解析式；(2)若點P是對稱軸上的一個動點，是否存在以P、C、M為頂點的三角形與△MNB相似？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由；(3)D為CO的中點，一個動點G從D點出發(fā)，先到達x軸上的點E，再走到拋物線對稱軸上的點F，最后返回到點C．要使動點G走過的路程最短，請找出點E、F的位置，寫出坐標，并求出最短路程．(4)點Q是拋物線上位于x軸上方的一點，點R在x軸上，是否存在以點Q為直角頂點的等腰Rt△CQR？若存在，求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．【例5】(2021?南充)如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+4(a≠0)與x軸交于點A(1，0)和B，與y軸交于點C，對稱軸為直線x＝．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，若點P是線段BC上的一個動點(不與點B，C重合)，過點P作y軸的平行線交拋物線于點Q，連接OQ，當線段PQ長度最大時，判斷四邊形OCPQ的形狀并說明理由；(3)如圖2，在(2)的條件下，D是OC的中點，過點Q的直線與拋物線交于點E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y軸上是否存在點F，使得△BEF為等腰三角形？若存在，求點F的坐標；若不存在，請說明理由．【題組一】1．(2021?無為市三模)在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2﹣4ax+3a(a＞0)與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側)，其頂點為C．(1)求拋物線的對稱軸；(2)當△ABC為等邊三角形時，求a的值；(3)直線l：y＝kx+b經(jīng)過點A，并與拋物線交于另一點D(4，3)，點P為直線l下方拋物線上一點，過點P分別作PM∥y軸交直線l于點M，PN∥x軸交直線l于點N，記W＝PM+PN，求W的最大值．2．(2021?渝中區(qū)校級三模)如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與x軸相交于A(6，0)，B(﹣2，0)兩點，與y軸交于點C，D為拋物線頂點，連接AD．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，P為直線AD下方拋物線上的一個動點(不與A、D重合)，連接PA，PD，求△APD面積的最大值及相應點P的坐標；(3)如圖3，連接AC，將直線AC沿射線DA方向平移個單位得到直線l，直線l與拋物線的兩個交點分別為M，N(M在N的左側)，在拋物線對稱軸上是否存在點K，使△CMK是以KC為腰的等腰三角形？若存在，請直接寫出點K的坐標；若不存在，請說明理由．3．(2021?廣東模擬)如圖，拋物線y＝x2+bx﹣1與x軸交于點A，B(點A在點B的左側)，交y軸于點C，頂點為D，對稱軸為直線x＝﹣，連接AC，BC．(1)求拋物線的解析式；(2)求△ABC的面積；(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點E，使得△CDE為等腰三角形？如果存在，請直接寫出點E的坐標，如果不存在，請說明理由．4．(2021?北碚區(qū)校級模擬)如圖，拋物線y＝x2﹣x﹣與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C，經(jīng)過點C的直線l與拋物線交于另一點E(4，a)，拋物線的頂點為點Q，拋物線的對稱軸與x軸交于點D．(1)求直線CE的解析式．(2)如圖2，P為直線CE下方拋物線上一動點，直線CE與x軸交于點F，連接PF，PC．當△PCF的面積最大時，求點P的坐標及△PCF面積的最大值．(3)如圖3，連接CD，將(1)中拋物線沿射線CD平移得到新拋物線y′，y′經(jīng)過點D，y′的頂點為點H，在直線QH上是否存在點G，使得△DQG為等腰三角形？若存在，求出點G的坐標．【題組二】5．(2020?山西模擬)綜合與實踐如圖，拋物線y=34x2?94x?3與x軸交于點A，B(點A在點B的左側)，交y軸于點C．點D從點A出發(fā)以每秒1個單位長度的速度向點B運動，點(1)求點A，B，C的坐標；(2)求t為何值時，△BDE是等腰三角形；(3)在點D和點E的運動過程中，是否存在直線DE將△BOC的面積分成1：4兩份，若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．6．(2020?三水區(qū)一模)如圖，已知拋物線經(jīng)y＝ax2+bx﹣3過A(1，0)，B(3，0)，C三點．(1)求拋物線解析式；(2)如圖1，點P是BC上方拋物線上一點，作PQ⊥x軸交BC于Q點．請問是否存在點P使得△BPQ為等腰三角形？若存在，請直接寫出P點坐標；若不存在，請說明理由；(3)如圖2，連接AC，點D是線段AB上一點，作DE∥BC交AC于E點，連接BE，若△BDE∽△CEB，求D點坐標．7．(2020?潮南區(qū)模擬)如圖，關于x的二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于點A(1，0)和點B，與y軸交于點C(0，3)，拋物線的對稱軸與x軸交于點D．(1)求二次函數(shù)的解析式．(2)有一個點M從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度在AB上向點B運動，另一個點N從點D與點M同時出發(fā)，以每秒2個單位的速度在拋物線的對稱軸上運動，當點M到達點B時，點M、N同時停止運動，問點M、N運動到何處時，△MNB面積最大，試求出最大面積．(3)在y軸上是否存在一點P，使△PBC為等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標，若不存在請說明理由．8．(2020?南召縣一模)如圖，二次函數(shù)y=43x2+bx+c的圖象與x軸交于A(3，0)，B(﹣1，0)，與y軸交于點C．若點P，Q同時從A(1)直接寫出二次函數(shù)的解析式；(2)當P，Q運動到t秒時，將△APQ沿PQ翻折，若點A恰好落在拋物線上D點處，求出D點坐標；(3)當點P運動到B點時，點Q停止運動，這時，在x軸上是否存在點E，使得以A，E，Q為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請直接寫出E點坐標；若不存在，請說明理由．【題組三】9．(2020?番禺區(qū)一模)如圖，經(jīng)過原點的拋物線y＝ax2﹣x+b與直線y＝2交于A，C兩點，其對稱軸是直線x＝2，拋物線與x軸的另一個交點為D，線段AC與y軸交于點B．(1)求拋物線的解析式，并寫出點D的坐標；(2)若點E為線段BC上一點，且EC﹣EA＝2，點P(0，t)為線段OB上不與端點重合的動點，連接PE，過點E作直線PE的垂線交x軸于點F，連接PF，探究在P點運動過程中，線段PE，PF有何數(shù)量關系？并證明所探究的結論；(3)設拋物線頂點為M，求當t為何值時，△DMF為等腰三角形？10．(2020春?沙坪壩區(qū)校級月考)如圖，拋物線y＝ax2?43x+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，連結AC，已知B(﹣1，0)，且拋物線經(jīng)過點(1)求拋物線的解析式；(2)若點E是拋物線上位于x軸下方的一點，且S△ACE=12S△ABC，求(3)若點P是y軸上一點，以P、A、C三點為頂點的三角形是等腰三角形，求P點的坐標．11．(2020?貴州省黔東南州中考第25題)已知拋物線y＝ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左邊)，與y軸交于點C(0，﹣3)，頂點D的坐標為(1，﹣4)．(1)求拋物線的解析式．(2)在y軸上找一點E，使得△EAC為等腰三角形，請直接寫出點E的坐標．(3)點P是x軸上的動點，點Q是拋物線上的動點，是否存在點P、Q，使得以點P、Q、B、D為頂點，BD為一邊的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點P、Q坐標；若不存在，請說明理由．12．(2020?山東省棗莊市中考第25題)如圖，拋物線y＝ax2+bx+4交x軸于A(﹣3，0)，B(4，0)兩點，與y軸交于點C，連接AC，BC．M為線段OB上的一個動點，過點M作PM⊥x軸，交拋物線于點P，交BC于點Q．(1)求拋物線的表達式；(2)過點P作PN⊥BC，垂足為點N．設M點的坐標為M(m，0)，請用含m的代數(shù)式表示線段PN的長，并求出當m為何值時PN有最大值，最大值是多少？(3)試探究點M在運動過程中，是否存在這樣的點Q，使得以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請求出此時點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【題組四】13．(2020?湖北省武漢市中考第24題)將拋物線C：y＝(x﹣2)2向下平移6個單位長度得到拋物線C1，再將拋物線C1向左平移2個單位長度得到拋物線C2．(1)直接寫出拋物線C1，C2的解析式；(2)如圖(1)，點A在拋物線C1(對稱軸l右側)上，點B在對稱軸l上，△OAB是以OB為斜邊的等腰直角三角形，求點A的坐標；(3)如圖(2)，直線y＝kx(k≠0，k為常數(shù))與拋物線C2交于E，F(xiàn)兩點，M為線段EF的中點；直線y=?4kx與拋物線C2交于G，H兩點，N為線段GH的中點．求證：直線14．(2021?建華區(qū)二模)綜合與探究如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝﹣3x﹣3與x軸交于點A，與y軸交于點C．拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點，且與x軸交于另一點B(點B在點A右側)．(1)求拋物線的解析式及點B坐標；(2)設該拋物線的頂點為點H，則S△BCH＝；(3)若點M是線段BC上一動點，過點M的直線ED平行y軸交x軸于點D，交拋物線于點E，求ME長的最大值及點M的坐標；(4)在(3)的條件下：當ME取得最大值時，在x軸上是否存在這樣的點P，使得以點M、點B、點P為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．15．(2021?重慶模擬)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2﹣x+c(a≠0)與x軸交于A(﹣1，0)、B(3，0)兩點，直線AC與y軸交于點C，與拋物線交于點D，OA＝OC．(1)求該拋物線與直線AC的解析式；(2)若點E是x軸下方拋物線上一動點，連接AE、CE．求△ACE面積的最大值及此時點E的坐標；(3)將原拋物線沿射線AD方向平移2個單位長度，得到新拋物線：y1＝a1x2+b1x+c1(a≠0)，新拋物線與原拋物線交于點F，在直線AD上是否存在點P，使以點P、D、F為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．x116．(2021?玄武區(qū)二模)已知二次函數(shù)y＝x2﹣(2m+2)x+m2+2m(m是常數(shù))．(1)求證：不論m為何值，該二次函數(shù)圖象與x軸總有兩個公共點；(2)二次函數(shù)的圖象與y軸交于點A，頂點為B，將二次函數(shù)的圖象沿y軸翻折，所得圖象的頂點為B1，若△ABB1是等邊三角形，求m的值．【題組五】17．(2020?桂林)如圖，已知拋物線y＝a(x+6)(x﹣2)過點C(0，2)，交x軸于點A和點B(點A在點B的左側)，拋物線的頂點為D，對稱軸DE交x軸于點E，連接EC．(1)直接寫出a的值，點A的坐標和拋物線對稱軸的表達式；(2)若點M是拋物線對稱軸DE上的點，當△MCE是等腰三角形時，求點M的坐標；(3)點P是拋物線上的動點，連接PC，PE，將△PCE沿CE所在的直線對折，點P落在坐標平面內(nèi)的點P′處．求當點P′恰好落在直線AD上時點P的橫坐標．18．(2020?岳陽)如圖1所示，在平面直角坐標系中，拋物線F1：y＝a(x﹣)2+與x軸交于點A(﹣，0)和點B，與y軸交于點C．(1)求拋物線F1的表達式；(2)如圖2，將拋物線F1先向左平移1個單位，再向下平移3個單位，得到拋物線F2，若拋物線F1與拋物線F2相交于點D，連接BD，CD，BC．①求點D的坐標；②判斷△BCD的形狀，并說明理由；(3)在(2)的條件下，拋物線F2上是否存在點P，使得△BDP為等腰直角三角形，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．19．(2020?番禺區(qū)一模)如圖，經(jīng)過原點的拋物線y＝ax2﹣x+b與直線y＝2交于A，C兩點，其對稱軸是直線x＝2，拋物線與x軸的另一個交點為D，線段AC與y軸交于點B．(1)求拋物線的解析式，并寫出點D的坐標；(2)若點E為線段BC上一點，且EC﹣EA＝2，點P(0，t)為線段OB上不與端點重合的動點，連接PE，過點E作直線PE的垂線交x軸于點F，連接PF，探究在P點運動過程中，線段PE，PF有何數(shù)量關系？并證明所探究的結論；(3)設拋物線頂點為M，求當t為何值時，△DMF為等腰三角形？20．(2020?義烏市校級模擬)已知二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax+c(a＜0)的圖象與它的對稱軸相交于點A，與y軸相交于點C(0，﹣2)，其對稱軸與x軸相交于點B．(1)求點B的坐標；(2)若直線BC與二次函數(shù)的圖象的另一個交點D在第一象限內(nèi)，且BD＝，求這個二次函數(shù)的表達式；(3)已知P在y軸上，且△POA為等腰三角形，若符合條件的點P恰好有2個，試直接寫出a的值．挑戰(zhàn)2024年中考數(shù)學壓軸題之學霸秘笈大揭秘專題1二次函數(shù)與等腰三角形問題數(shù)學因運動而充滿活力，數(shù)學因變化而精彩紛呈，動態(tài)幾何問題是近年來中考的熱點問題，以運動的觀點來探究幾何圖形的變化規(guī)律問題，動態(tài)問題的解答，一般要將動態(tài)問題轉化為靜態(tài)問題，抓住運動過程中的不變量，利用不變的關系和幾何性質(zhì)建立關于方程(組)、函數(shù)關系問題，將幾何問題轉化為代數(shù)問題。在動態(tài)問題中，動點形成的等腰三角形問題是常見的一類題型，可以與旋轉、平移、對稱等幾何變化相結合，也可以與一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象相結合，從而產(chǎn)生數(shù)與形的完美結合.解決動點產(chǎn)生的等腰三角形問題的重點和難點在于應用分類討論思想和數(shù)形結合思想進行準確的分類.在討論等腰三角形的存在性問題時，一般都要先分類．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三種情況．解等腰三角形的存在性問題，有幾何法和代數(shù)法，把幾何法和代數(shù)法相結合，可以使得解題又好又快．幾何法一般分三步：分類、畫圖、計算．哪些題目適合用幾何法呢？如果△ABC的∠A(的余弦值)是確定的，夾∠A的兩邊AB和AC可以用含x的式子表示出來，那么就用幾何法．①如圖1，如果AB＝AC，直接列方程；②如圖2，如果BA＝BC，那么；③如圖3，如果CA＝CB，那么．代數(shù)法一般也分三步：羅列三邊長，分類列方程，解方程并檢驗．如果三角形的三個角都是不確定的，而三個頂點的坐標可以用含x的式子表示出來，那么根據(jù)兩點間的距離公式，三邊長(的平方)就可以羅列出來．圖1圖2圖3

【例1】(2021?朝陽)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸分別交于點A(﹣1，0)和點B，與y軸交于點C(0，3)．(1)求拋物線的解析式及對稱軸；(2)如圖1，點D與點C關于對稱軸對稱，點P在對稱軸上，若∠BPD＝90°，求點P的坐標；(3)點M是拋物線上位于對稱軸右側的點，點N在拋物線的對稱軸上，當△BMN為等邊三角形時，請直接寫出點M的橫坐標．【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解即可．(2)如圖1中，連接BD，設BD的中點T，連接PT，設P(1，m)．求出PT的長，構建方程求出m即可．(3)分兩種情形：當點M在第一象限時，△BMN是等邊三角形，過點B作BT⊥BN交NM的延長線于T，設N(1，t)，設拋物線的對稱軸交x軸于E．如圖3﹣2中，當點M在第四象限時，設N(1，n)，過點B作BT⊥BN交NM的延長線于T．分別利用相似三角形的性質(zhì)求出點M的坐標，再利用待定系數(shù)法求解．【解答】解：(1)把A(﹣1，0)，點C(0，3)的坐標代入y＝﹣x2+bx+c，得到，解得，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3，對稱軸x＝﹣＝1．(2)如圖1中，連接BD，設BD的中點T，連接PT，設P(1，m)．∵點D與點C關于對稱軸對稱，C(0，3)，∴D(2，3)，∵B(3，0)，∴T(，)，BD＝＝，∵∠BPD＝90°，DT＝TB，∴PT＝BD＝，∴(1﹣)2+(m﹣)2＝()2，解得m＝1或2，∴P(1，1)或(1，2)．(3)當點M在第一象限時，△BMN是等邊三角形，過點B作BT⊥BN交NM的延長線于T，設N(1，t)，設拋物線的對稱軸交x軸于E．∵△BMN是等邊三角形，∴∠NMB＝∠NBM＝60°，∵∠NBT＝90°，∴∠MBT＝30°，BT＝BN，∵∠NMB＝∠MBT+∠BTM＝60°，∴∠MBT＝∠BTM＝30°，∴MB＝MT＝MN，∵∠NBE+∠TBJ＝90°，∠TBJ+∠BTJ＝90°，∴∠NBE＝∠BTJ，∵∠BEN＝∠TJB＝90°，∴△BEN∽△TJB，∴＝＝＝，∴BJ＝t，TJ＝2，∴T(3+t，2)，∵NM＝MT，∴M(，)，∵點M在y＝﹣x2+2x+3上，∴＝﹣()2+2×+3，整理得，3t2+(4+2)t﹣12+4＝0，解得t＝﹣2(舍棄)或，∴M(，)．如圖3﹣2中，當點M在第四象限時，設N(1，n)，過點B作BT⊥BN交NM的延長線于T．同法可得T(3﹣n，﹣2)，M(，)，則有＝﹣()2+2×+3，整理得，3n2+(2﹣4)n﹣12﹣4＝0，解得n＝或2(舍棄)，∴M(，)，綜上所述，滿足條件的點M的橫坐標為或．【例2】(2021?綏化)如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+5(a≠0)與x軸交于點A(﹣5，0)，點B(1，0)(點A在點B的左邊)，與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點，連接BD．直線y＝經(jīng)過點A，且與y軸交于點E．(1)求拋物線的解析式；(2)點N是拋物線上的一點，當△BDN是以DN為腰的等腰三角形時，求點N的坐標；(3)點F為線段AE上的一點，點G為線段OA上的一點，連接FG，并延長FG與線段BD交于點H(點H在第一象限)，當∠EFG＝3∠BAE且HG＝2FG時，求出點F的坐標．【分析】(1)運用待定系數(shù)法即可求得答案；(2)分兩種情況：①當DN＝DB時，根據(jù)拋物線的對稱性即可求得答案，②當DN＝BN時，方法一：N在BD的垂直平分線上，BD的垂直平分線交BD于I，交x軸于點Q，BD與y軸交點為K，利用三角函數(shù)得出sin∠IQB＝＝，運用待定系數(shù)法求得yQI＝，通過解方程組即可求得答案；方法二：過點N作DS⊥NT交NT于點S，設N(a，﹣a2﹣4a+5)，D(﹣2，9)，運用兩點間距離公式即可求出答案；(3)在AE上取一點F，作AF的垂直平分線交x軸于點M，連接MF，則AM＝MF，在AO上M點的右側作FG＝MF，過點F作FP垂直于x軸于點P，過點H作HR垂直于x軸于點R，證明△FPG∽△HRG，設F(m，﹣﹣)，則OP＝﹣m，PF＝m+，運用勾股定理即可求解．【解答】解：(1)將A(﹣5，0)，B(1，0)代入拋物線y＝ax2+bx+5(a≠0)得：，解得：，∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2﹣4x+5；(2)∵D(﹣2，9)，B(1，0)，點N是拋物線上的一點且△BDN是以DN為腰的等腰三角形，∴此題有兩種情形：①當DN＝DB時，根據(jù)拋物線的對稱性得：A與N重合，∴N1(﹣5，0)，②方法一：當DN＝BN時(如圖1)，N在BD的垂直平分線上，BD的垂直平分線交BD于I，交x軸于點Q，BD與y軸交點為K，∵∠KBO+∠OKB＝90°，∠KBO+∠IQB＝90°，∴∠OKB＝∠IQB，在Rt△OKB中，sin∠OKB＝，∴sin∠IQB＝＝，∵I是BD的中點，BD＝3，∴BI＝，∴BQ＝15，∴Q(﹣14，0)，I(，)設yQI＝kx+b，代入得：，解得：，∴yQI＝，聯(lián)立得：，解得：x＝，∴yQI＝，N2(，)，N3(，)，方法二：如圖2，過點N作DS⊥NT交NT于點S，設N(a，﹣a2﹣4a+5)，D(﹣2，9)，∵DN＝DB，∴DS2+SN2＝NT2+TB2，∴(﹣2﹣a)2+(9+a2+4a﹣5)2＝(﹣a2﹣4a+5)2+(1﹣a)2，(2+a)2﹣(1﹣a)2＝(a2+4a﹣5)2﹣(9+a2+4a﹣5)2，(2+a+1﹣a)(2+a﹣1+a)＝(a2+4a﹣5+a2+4a+4)(a2+4a﹣5﹣a2﹣4a﹣4)，解得：a＝，把a＝代入﹣a2﹣4a+5＝﹣()2﹣4()+5＝，∴N2(，)，N3(，)，綜上所述，N1(﹣5，0)，N2(，)，N3(，)；(3)如圖1，在AE上取一點F，作AF的垂直平分線交x軸于點M，連接MF，則AM＝MF，在AO上M點的右側作FG＝MF，∴∠FGM＝∠FMG，∴∠EFG＝∠BAE+∠FGM＝∠BAE+∠FMG＝∠BAE+2∠BAE＝3∠BAE，移動F點，當HG＝2FG時，點F為所求．過點F作FP垂直于x軸于點P，過點H作HR垂直于x軸于點R，∴△FPG∽△HRG，∴＝＝＝，GR＝2PG，HR＝2PF，設F(m，﹣﹣)，則OP＝﹣m，PF＝m+，HR＝2PF＝m+5，∵AP＝m+5，∴AP＝2PF，∵AM＝AP﹣MP＝2PF﹣MP，MF＝AM，∴在Rt△PMF中，PM2+PF2＝MF2，PM2+PF2＝(2PF﹣MP)2，∴PM＝PF＝×＝m+，∴GP＝m+，∴GR＝2PG＝m+，∴PR＝3PG＝3PM，∴AR＝AP+PR＝AP+3PM＝2PF+3×PF＝＝，∴OR＝，∴H(，m+5)，∵B(1，0)，D(﹣2，9)，∴BD解析式為：yBD＝﹣3x+3，把H代入上式并解得：m＝﹣，再把m＝﹣代入y＝﹣x﹣得：y＝﹣，∴F(﹣，﹣)．【例3】(2021?宿遷)如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A(﹣1，0)，B(4，0)，與y軸交于點C．連接AC，BC，點P在拋物線上運動．(1)求拋物線的表達式；(2)如圖①，若點P在第四象限，點Q在PA的延長線上，當∠CAQ＝∠CBA+45°時，求點P的坐標；(3)如圖②，若點P在第一象限，直線AP交BC于點F，過點P作x軸的垂線交BC于點H，當△PFH為等腰三角形時，求線段PH的長．【分析】(1)根據(jù)兩點式可直接求得拋物線表達式；(2)易證△AOC∽△COB，從而得出∠BAP＝45°，結合P點在拋物線上，可求P坐標；(3)設PH與x軸的交點為Q，P(a，)則H(a，)，PH＝．分三種情況討論：①FP＝FH，易證∠FPH＝∠FHP＝∠BHQ＝∠BCO，所以tan∠APQ＝tan∠BCO＝2，即AQ＝2PQ，從而可解出P的坐標和PH的長；②PF＝PH，∠CFA＝∠PFH＝∠PHF＝∠BHQ＝∠FCO，在Rt△ACF中，可求CF長度，進而求出F坐標，直線AF的解析式，聯(lián)立拋物線解析式可求a；③HF＝HP，由∠AFC＝∠PFH＝∠PHF，易證AP平分∠CAB，過C作CE∥AB交AP于E，則CE＝AE＝，進而求出E坐標，直線AE的解析式，聯(lián)立拋物線解析式可求a．【解答】解：(1)∵A(﹣1，0)，B(4，0)是拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸的兩個交點，且二次項系數(shù)a＝，∴根據(jù)拋物線的兩點式知，y＝．(2)根據(jù)拋物線表達式可求C(0，2)，即OC＝2．∴＝＝2，∵∠AOC＝∠COB＝90°，∴△AOC∽△COB，∴∠ACO＝∠CBO，∴∠QAB＝∠QAC+∠CAO＝∠CBA+45°+∠CAO＝∠ACO+∠CAO+45°＝135°，∴∠BAP＝180°﹣∠QAB＝45°，設P(m，n)，且過點P作PD⊥x軸于D，則△ADP是等腰直角三角形，∴AD＝PD，即m+1＝﹣n①，又∵P在拋物線上，∴②，聯(lián)立①②兩式，解得m＝6(﹣1舍去)，此時n＝﹣7，∴點P的坐標是(6，﹣7)．(3)設PH與x軸的交點為Q，P(a，)，則H(a，)，PH＝，若FP＝FH，則∠FPH＝∠FHP＝∠BHQ＝∠BCO，∴tan∠APQ＝tan∠BCO＝2，∴AQ＝2PQ，即a+1＝2()，解得a＝3(﹣1舍去)，此時PH＝．若PF＝PH，過點F作FM⊥y軸于點M，∴∠PFH＝∠PHF，∵∠CFA＝∠PFH，∠QHB＝∠PHF，∴∠CFA＝∠QHB，又∵∠ACF＝∠BQH＝90°，∴△ACF∽△BQH，∴CF＝AC＝，在Rt△CMF中，MF＝1，CM＝，F(xiàn)(1，)，∴AF：，將上式和拋物線解析式聯(lián)立并解得x＝(﹣1舍去)，此時PH＝．若HF＝HP，過點C作CE∥AB交AP于點E(見上圖)，∵∠CAF+∠CFA＝90°，∠PAQ+∠HPF＝90°，∠CFA＝∠HFP＝∠HPF，∴∠CAF＝∠PAQ，即AP平分∠CAB，∴CE＝CA＝，∴E(，2)，∴AE：，聯(lián)立拋物線解析式，解得x＝5﹣(﹣1舍去)．此時PH＝．∴當FP＝FH時，PH＝；當PF＝PH時，PH＝；當HF＝HP時，PH＝；【例4】(2021?懷化)如圖所示，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且OA＝2，OB＝4，OC＝8，拋物線的對稱軸與直線BC交于點M，與x軸交于點N．(1)求拋物線的解析式；(2)若點P是對稱軸上的一個動點，是否存在以P、C、M為頂點的三角形與△MNB相似？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由；(3)D為CO的中點，一個動點G從D點出發(fā)，先到達x軸上的點E，再走到拋物線對稱軸上的點F，最后返回到點C．要使動點G走過的路程最短，請找出點E、F的位置，寫出坐標，并求出最短路程．(4)點Q是拋物線上位于x軸上方的一點，點R在x軸上，是否存在以點Q為直角頂點的等腰Rt△CQR？若存在，求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．【分析】(1)用待定系數(shù)法即可求解；(2)當∠CP′M為直角時，則P′C∥x軸，即可求解；當∠PCM為直角時，用解直角三角形的方法求出PN＝MN+PM＝6+＝，即可求解；(3)作點C關于函數(shù)對稱軸的對稱點C′(2，8)，作點D關于x軸的對稱點D′(0，﹣4)，連接C′D′交x軸于點E，交函數(shù)的對稱軸于點F，則點E、F為所求點，進而求解；(4)分兩種情況，證明△ANQ≌△QMC(AAS)，則QN＝CM，即可求解．【解答】解：(1)由題意得，點A、B、C的坐標分別為(﹣2，0)、(4，0)、(0，8)，設拋物線的表達式為y＝ax2+bx+c，則，解得，故拋物線的表達式為y＝﹣x2+2x+8；(2)存在，理由：當∠CP′M為直角時，則以P、C、M為頂點的三角形與△MNB相似時，則P′C∥x軸，則點P′的坐標為(1，8)；當∠PCM為直角時，在Rt△OBC中，設∠CBO＝α，則tan∠CBO＝＝2＝tanα，則sinα＝，cosα＝，在Rt△NMB中，NB＝4﹣1＝3，則BM＝＝3，同理可得，MN＝6，由點B、C的坐標得，BC＝＝4，則CM＝BC﹣MB＝，在Rt△PCM中，∠CPM＝∠OBC＝α，則PM＝＝＝，則PN＝MN+PM＝6+＝，故點P的坐標為(1，)，故點P的坐標為(1，8)或(1，)；(3)∵D為CO的中點，則點D(0，4)，作點C關于函數(shù)對稱軸的對稱點C′(2，8)，作點D關于x軸的對稱點D′(0，﹣4)，連接C′D′交x軸于點E，交函數(shù)的對稱軸于點F，則點E、F為所求點，理由：G走過的路程＝DE+EF+FC＝D′E+EF+FC′＝C′D′為最短，由點C′、D′的坐標得，直線C′D′的表達式為y＝6x﹣4，對于y＝6x﹣4，當y＝6x﹣4＝0時，解得x＝，當x＝1時，y＝2，故點E、F的坐標分別為(，0)、(1，2)；G走過的最短路程為C′D′＝＝2；(4)存在，理由：①當點Q在y軸的右側時，設點Q的坐標為(x，﹣x2+2x+8)，故點Q作y軸的平行線交x軸于點N，交過點C與x軸的平行線于點M，∵∠MQC+∠RQN＝90°，∠RQN+∠QRN＝90°，∴∠MQC＝∠QRE，∵∠ANQ＝∠QMC＝90°，QR＝QC，∴△ANQ≌△QMC(AAS)，∴QN＝CM，即x＝﹣x2+2x+8，解得x＝(不合題意的值已舍去)，故點Q的坐標為(，)；②當點Q在y軸的左側時，同理可得，點Q的坐標為(，)．綜上，點Q的坐標為(，)或(，)．【例5】(2021?南充)如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+4(a≠0)與x軸交于點A(1，0)和B，與y軸交于點C，對稱軸為直線x＝．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，若點P是線段BC上的一個動點(不與點B，C重合)，過點P作y軸的平行線交拋物線于點Q，連接OQ，當線段PQ長度最大時，判斷四邊形OCPQ的形狀并說明理由；(3)如圖2，在(2)的條件下，D是OC的中點，過點Q的直線與拋物線交于點E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y軸上是否存在點F，使得△BEF為等腰三角形？若存在，求點F的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】(1)用待定系數(shù)法即可求解；(2)設點P的坐標為(x，﹣x+4)，則點Q的坐標為(x，x2﹣5x+4)，則PQ＝(﹣x+4)﹣(x2﹣5x+4)＝﹣x2+4x，進而求解；(3)當∠DQE＝2∠ODQ，則∠HQA＝∠HQE，則直線AQ和直線QE關于直線QH對稱，進而求出點E的坐標為(5，4)，再分BE＝BF、BE＝EF、BF＝EF三種情況，分別求解即可．【解答】解：(1)由題意得：，解得，故拋物線的表達式為y＝x2﹣5x+4①；(2)對于y＝x2﹣5x+4，令y＝x2﹣5x+4＝0，解得x＝1或4，令x＝0，則y＝4，故點B的坐標為(4，0)，點C(0，4)，設直線BC的表達式為y＝kx+t，則，解得，故直線BC的表達式為y＝﹣x+4，設點P的坐標為(x，﹣x+4)，則點Q的坐標為(x，x2﹣5x+4)，則PQ＝(﹣x+4)﹣(x2﹣5x+4)＝﹣x2+4x，∵﹣1＜0，故PQ有最大值，當x＝2時，PQ的最大值為4＝CO，此時點Q的坐標為(2，﹣2)；∵PQ＝CO，PQ∥OC，故四邊形OCPQ為平行四邊形；(3)∵D是OC的中點，則點D(0，2)，由點D、Q的坐標，同理可得，直線DQ的表達式為y＝﹣2x+2，過點Q作QH⊥x軸于點H，則QH∥CO，故∠AQH＝∠ODA，而∠DQE＝2∠ODQ．∴∠HQA＝∠HQE，則直線AQ和直線QE關于直線QH對稱，故設直線QE的表達式為y＝2x+r，將點Q的坐標代入上式并解得r＝﹣6，故直線QE的表達式為y＝2x﹣6②，聯(lián)立①②并解得(不合題意的值已舍去)，故點E的坐標為(5，4)，設點F的坐標為(0，m)，由點B、E的坐標得：BE2＝(5﹣4)2+(4﹣0)2＝17，同理可得，當BE＝BF時，即16+m2＝17，解得m＝±1；當BE＝EF時，即25+(m﹣4)2＝17，方程無解；當BF＝EF時，即16+m2＝25+(m﹣4)2，解得m＝；故點F的坐標為(0，1)或(0，﹣1)或(0，)．【題組一】1．(2021?無為市三模)在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2﹣4ax+3a(a＞0)與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側)，其頂點為C．(1)求拋物線的對稱軸；(2)當△ABC為等邊三角形時，求a的值；(3)直線l：y＝kx+b經(jīng)過點A，并與拋物線交于另一點D(4，3)，點P為直線l下方拋物線上一點，過點P分別作PM∥y軸交直線l于點M，PN∥x軸交直線l于點N，記W＝PM+PN，求W的最大值．【分析】(1)根據(jù)對稱軸直線公式直接代入系數(shù)即可；(2)若△ABC為等邊三角形，則C點的縱坐標等于AB，即可求出a值；(3)把D點代入解析式可求出拋物線解析式，A點坐標和D點坐標可確定直線解析式，設出P點坐標，分別用P點橫坐標字母表示出PM和PN，利用二次函數(shù)性質(zhì)求出最值即可．【解答】解：(1)∵拋物線y＝ax2﹣4ax+3a(a＞0)，∴對稱軸為直線x＝﹣＝2，即對稱軸為直線x＝2；(2)當y＝0時，ax2﹣4ax+3a＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴A(1，0)，B(3，0)，當△ABC為等邊三角形時，拋物線開口向上，∴C點的橫坐標為＝2，縱坐標為﹣AC?sin60°＝﹣AB?sin60°＝﹣AB＝×(3﹣1)＝﹣，即C(2，﹣)，把C點坐標代入拋物線得﹣＝4a﹣8a+3a，解得a＝；(3)∵A(1，0)，D(4，3)在直線y＝kx+b上，∴，解得，∴直線l的解析式為y＝x﹣1，∵拋物線過點D(4，3)，∴3＝16a﹣16a+3a，解得a＝1，∴拋物線解析式為y＝x2﹣4x+3，∵PM∥y軸交直線l于點M，PN∥x軸交直線l于點N，∴設P點坐標為(m，m2﹣4m+3)，M點坐標為(m，m﹣1)，∵點P與N的縱坐標相同，∴m2﹣4m+3＝xN﹣1，∴xN＝m2﹣4m+4，∴PM＝y(tǒng)M﹣yP＝m﹣1﹣m2+4m﹣3＝﹣m2+5m﹣4，PN＝xP﹣xN＝m﹣m2+4m﹣4＝﹣m2+5m﹣4，∴W＝PM+PN＝﹣m2+5m﹣4﹣m2+5m﹣4＝﹣2(m﹣)2+，∴當m＝時，W有最大值，最大值為．2．(2021?渝中區(qū)校級三模)如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與x軸相交于A(6，0)，B(﹣2，0)兩點，與y軸交于點C，D為拋物線頂點，連接AD．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，P為直線AD下方拋物線上的一個動點(不與A、D重合)，連接PA，PD，求△APD面積的最大值及相應點P的坐標；(3)如圖3，連接AC，將直線AC沿射線DA方向平移個單位得到直線l，直線l與拋物線的兩個交點分別為M，N(M在N的左側)，在拋物線對稱軸上是否存在點K，使△CMK是以KC為腰的等腰三角形？若存在，請直接寫出點K的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】(1)A(6，0)、B(﹣2，0)代入即可；(2)先求出直線AD的解析式y(tǒng)＝2x﹣12，過點P作x軸垂線交AD于點H，設P(t，t2﹣2t﹣6)，則H(t，2t﹣12)，△APD面積＝×HP×(6﹣2)＝﹣(t﹣4)2+4，則當t＝4時，△APD面積最大為4，此時P(4，﹣6)；(3)先求直線AC的解析式為y＝x﹣6，由于沿射線DA方向平移個單位，則向x軸正方向平移個單位，向y軸正方向平移27個單位，平移后直線l為y＝x+，聯(lián)立x+＝x2﹣2x﹣6，可求M(﹣3，)，設K(2，q)，分兩種情況①MC＝CK，9+＝4+(q+6)2，可求K(2，﹣6)；②CK＝MK，4+(q+6)2＝25+，可求K(2，)．【解答】解：(1)將A(6，0)、B(﹣2，0)代入，得，解得，∴；(2)由題可知C(0，﹣6)，D(2，﹣8)，設直線AD的解析式為y＝kx+m，則有，解得，∴y＝2x﹣12，過點P作x軸垂線交AD于點H，設P(t，t2﹣2t﹣6)，則H(t，2t﹣12)，△APD面積＝×HP×(6﹣2)＝2(2t﹣12﹣t2+2t+6)＝﹣t2+8t﹣12＝﹣(t﹣4)2+4，∴當t＝4時，△APD面積最大為4，∴P(4，﹣6)；(3)K點存在兩個，理由如下：設直線AC的解析式為y＝hx+n，將點A與C代入可得，解得，∴y＝x﹣6，∵沿射線DA方向平移個單位，則向x軸正方向平移個單位，向y軸正方向平移27個單位，∴平移后直線l為y＝x+，聯(lián)立x+＝x2﹣2x﹣6，解得x＝﹣3或x＝9，∵M在N的左側，∴M(﹣3，)，∵的對稱軸為直線x＝2，設K(2，q)，∵△CMK是以KC為腰的等腰三角形，分兩種情況：①MC＝CK，9+＝4+(q+6)2，∴q＝﹣6，∴K(2，﹣6)；②CK＝MK，4+(q+6)2＝25+，∴q＝，∴K(2，)；綜上所述：使△CMK是以KC為腰的等腰三角形時，K的坐標為(2，﹣6)或(2，)．3．(2021?廣東模擬)如圖，拋物線y＝x2+bx﹣1與x軸交于點A，B(點A在點B的左側)，交y軸于點C，頂點為D，對稱軸為直線x＝﹣，連接AC，BC．(1)求拋物線的解析式；(2)求△ABC的面積；(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點E，使得△CDE為等腰三角形？如果存在，請直接寫出點E的坐標，如果不存在，請說明理由．【分析】(1)由對稱軸為直線x＝﹣＝﹣，即可求b的值；(2)A(﹣﹣2，0)，B(﹣+2，0)，則BA＝4，所以△ABC的面積＝×4×1＝2；(3)設E(﹣，t)，分三種情況：①CD＝CE，則有3+9＝3+(t+1)2，求得E(﹣，2)；②CD＝DE，則有3+9＝(t+4)2，求得E(﹣，2﹣4)或E(﹣，﹣2﹣4)；③CE＝DE，則有3+(t+1)2＝(t+4)2，求得E(，﹣2)．【解答】解：(1)∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝﹣，∴b＝2，∴y＝x2+2x﹣1；(2)令x2+2x﹣1＝0，∴x＝﹣+2或x＝﹣﹣2，∴A(﹣﹣2，0)，B(﹣+2，0)，∴BA＝4，∴△ABC的面積＝×4×1＝2；(3)點E存在，理由如下：設E(﹣，t)，由y＝x2+2x﹣1，可求C(0，﹣1)，D(﹣，﹣4)，△CDE為等腰三角形，分三種情況：①CD＝CE，∴3+9＝3+(t+1)2，∴t＝2或t＝﹣4，∴E(﹣，2)或E(﹣，﹣4)(舍)；②CD＝DE，3+9＝(t+4)2，∴t＝2﹣4或t＝﹣2﹣4，∴E(﹣，2﹣4)或E(﹣，﹣2﹣4)；③CE＝DE，3+(t+1)2＝(t+4)2，∴t＝﹣2，∴E(﹣，﹣2)；綜上所述：得△CDE為等腰三角形時，E點坐標為(﹣，2)或(﹣，2﹣4)或(﹣，﹣2﹣4)或(﹣，﹣2)．4．(2021?北碚區(qū)校級模擬)如圖，拋物線y＝x2﹣x﹣與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C，經(jīng)過點C的直線l與拋物線交于另一點E(4，a)，拋物線的頂點為點Q，拋物線的對稱軸與x軸交于點D．(1)求直線CE的解析式．(2)如圖2，P為直線CE下方拋物線上一動點，直線CE與x軸交于點F，連接PF，PC．當△PCF的面積最大時，求點P的坐標及△PCF面積的最大值．(3)如圖3，連接CD，將(1)中拋物線沿射線CD平移得到新拋物線y′，y′經(jīng)過點D，y′的頂點為點H，在直線QH上是否存在點G，使得△DQG為等腰三角形？若存在，求出點G的坐標．【分析】(1)拋物線的解析式可變形為y＝(x+1)(x﹣3)，從而可得點A和點B的坐標，然后再求出點C和點E的坐標，設直線CE的解析式為y＝kx+b，將點C和點E的坐標代入求得k和b的值，即可得出CE的解析式；(2)由直線CE的解析式可求出點F的坐標；過點P作x軸的垂線，交CE于點M，設點P的橫坐標為m，表達出點P和點M的坐標，利用鉛垂法表達△PCF的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出△PCF的最大值及點P的坐標；(3)由平移后的拋物線經(jīng)過點D，可得點H的坐標，點Q的坐標；分DQ＝DG，QD＝QG，GD＝GQ三種情況結合背景圖形，解直角三角形即可得到點G的坐標．【解答】解：(1)拋物線y＝x2﹣x﹣與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C，令x＝0，則y＝﹣；令y＝0，則y＝(x+1)(x﹣3)＝0，則x＝﹣1或x＝3；∴A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，﹣)，經(jīng)過點C的直線l與拋物線交于另一點E(4，a)，∴a＝×42﹣×4﹣，即a＝，∴E(4，)，設直線CE的解析式為：y＝kx+b，∴，解得，∴直線CE的解析式為：y＝x﹣；(2)∵直線CE與x軸交于點F，∴F(，0)，如圖，過點P作x軸的垂線，交CE于點M，設點P的橫坐標為m，∴P(m，m2﹣m﹣)，M(m，m﹣)，∴MP＝m﹣﹣(m2﹣m﹣)＝﹣m2+m，∴S△PCF＝(xF﹣xC)?MP＝××(﹣m2+m)＝﹣(m﹣2)2+，∴當m＝2時，S△PCF的最大值為，此時P(2，﹣)．(3)在直線QH上是否存在點G，使得△DQG為等腰三角形，理由如下：∵拋物線y＝x2﹣x﹣＝(x﹣1)2﹣，∴D(1，0)，Q(1，﹣)，∴DQ＝，tan∠OCD＝，∴∠OCD＝30°，拋物線沿射線CD平移得到新拋物線y′，y′經(jīng)過點D，如圖，則y′的頂點為點H(2，﹣)，∠DQH＝∠OCD＝30°，∴直線QH的解析式為y＝x﹣．①當DG1＝DQ＝時，如圖所示，過點G1作G1I⊥DQ于點I，此時∠G1DI＝60°，∴DI＝DG1＝，G1I＝DI＝2，∴G1(3，)；②當QG1＝QD＝時，如圖所示，過點G2作G2T⊥DQ于點T，過點G3作G3S⊥DQ于點S，∴G2T＝QG2＝，TQ＝G2T＝2，∴G2(1+，2﹣)；同理可得，G3S＝，SQ＝2，∴G3(1﹣，﹣2﹣)；③當GD＝GQ時，如圖所示，此時點G4為DQ的中垂線與直線QH的交點，∴G4的縱坐標為﹣，∴G4(，﹣)；綜上，點G的坐標為：(3，)；(1+，2﹣)；(1﹣，﹣2﹣)；(，﹣)．【題組二】5．(2020?山西模擬)綜合與實踐如圖，拋物線y=34x2-94x-3與x軸交于點A，B(點A在點B的左側)，交y軸于點C．點D從點A出發(fā)以每秒1個單位長度的速度向點B運動，點(1)求點A，B，C的坐標；(2)求t為何值時，△BDE是等腰三角形；(3)在點D和點E的運動過程中，是否存在直線DE將△BOC的面積分成1：4兩份，若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．【分析】(1)令x＝0和y＝0，可得方程，解得可求點A，B，C的坐標；(2)分三種情況討論，利用等腰三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)可求解；(3)分兩種情況討論，利用銳角三角函數(shù)和三角形面積公式可求解．【解答】解：(1)令y＝0，可得0=34x2-解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴點A(﹣1，0)，點B(4，0)，令x＝0，可得y＝﹣3，∴點C(0，﹣3)；(2)∵點A(﹣1，0)，點B(4，0)，點C(0，﹣3)，∴AB＝5，OB＝4，OC＝3，∴BC=OB當BD＝BE時，則5﹣t＝t，∴t=5當BE＝DE時，如圖1，過點E作EH⊥BD于H，∴DH＝BH=12BD∵cos∠DBC=BO∴5-t2∴t=25當BD＝DE時，如圖2，過點D作DF⊥BE于F，∴EF＝BF=12BE=∵cos∠DBC=BF∴12∴t=40綜上所述：t的值為52，2513和(3)∵S△BOC=12BO×∴15S△BOC=65，45S如圖1，過點E作EH⊥BD于H，∵sin∠DBC=HE∴HEt∴HE=35當S△BDE=15S△BOC=65時，則12(5﹣t∴t1＝1，t2＝4，當S△BDE=45S△BOC=245，時，則12(5﹣t∴t2﹣5t+16＝0，∴方程無解，綜上所述：t的值為1或4．6．(2020?三水區(qū)一模)如圖，已知拋物線經(jīng)y＝ax2+bx﹣3過A(1，0)，B(3，0)，C三點．(1)求拋物線解析式；(2)如圖1，點P是BC上方拋物線上一點，作PQ⊥x軸交BC于Q點．請問是否存在點P使得△BPQ為等腰三角形？若存在，請直接寫出P點坐標；若不存在，請說明理由；(3)如圖2，連接AC，點D是線段AB上一點，作DE∥BC交AC于E點，連接BE，若△BDE∽△CEB，求D點坐標．【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解可得拋物線的表達式；(2)先求出直線BC的解析式，分三種情況：當PB＝QB，PQ＝BQ，PQ＝PB時，設P(a，﹣a2+4a﹣3)，可表示出三條線段長，則解方程可求出P點坐標；(3)證得△ABE∽△ACB可得比例線段求出AE長，當△BDE∽△CEB時可求出D點坐標．【解答】解：(1)∵拋物線經(jīng)y＝ax2+bx﹣3過A(1，0)，B(3，0)，∴a+b-3=09a+3b-3=0解得：a=-1b=4∴拋物線解析式y(tǒng)＝﹣x2+4x﹣3；(2)存在點P使得△BPQ為等腰三角形，∵B(3，0)，C(0，﹣3)，∴設直線BC的解析式為y＝kx+b，∴b=-33k+b=0解得：k＝1，b＝﹣3，∴直線BC的解析式為y＝x﹣3，設P(a，﹣a2+4a﹣3)，則Q(a，a﹣3)，可分三種情況考慮：①當PB＝BQ時，由題意得P、Q關于x軸對稱，∴﹣a2+4a﹣3+a﹣3＝0，解得：a＝2，a＝3(舍去)，∴P(2，1)，②當PQ＝BQ時，(﹣a2+3a)2＝2(a﹣3)2，∴a=2，a=-2(舍去)，∴P(2，42-③當PQ＝PB時，有(﹣a2+3a)2＝(a﹣3)2+(a2﹣4a+3)2，整理得：a2＝1+(a﹣1)2，解得a＝1．∴P(1，0)．綜上所述：P點坐標為P1(1，0)，P2(2，1)，P3(2，42-(3)∵△BDE∽△CEB，∴∠ABE＝∠ACB，∵∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB，∴AEAB又∵AC=1+9∴AE=4∵DE∥BC，設D(m，0)，∴AEAC∴210∴m=9∴D(957．(2020?潮南區(qū)模擬)如圖，關于x的二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于點A(1，0)和點B，與y軸交于點C(0，3)，拋物線的對稱軸與x軸交于點D．(1)求二次函數(shù)的解析式．(2)有一個點M從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度在AB上向點B運動，另一個點N從點D與點M同時出發(fā)，以每秒2個單位的速度在拋物線的對稱軸上運動，當點M到達點B時，點M、N同時停止運動，問點M、N運動到何處時，△MNB面積最大，試求出最大面積．(3)在y軸上是否存在一點P，使△PBC為等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標，若不存在請說明理由．【分析】(1)利用待定系數(shù)法可求解析式；(2)設AM＝t則DN＝2t，由AB＝2，得BM＝2﹣t，S△MNB=12×(2﹣t)×2t＝﹣t2+2t，運用二次函數(shù)的頂點坐標解決問題；此時點M在D點，點N在對稱軸上x軸上方2個單位處或點N(3)求出點B的坐標，再根據(jù)勾股定理得到BC，當△PBC為等腰三角形時分三種情況進行討論：①CP＝CB；②BP＝BC；③PB＝PC；【解答】解：(1)把A(1，0)和C(0，3)代入y＝x2+bx+c，1+b+c=0c=3解得：b=-4c=3∴二次函數(shù)的表達式為：y＝x2﹣4x+3；(2)如圖1，設A運動時間為t，由AB＝2，得BM＝2﹣t，則DN＝2t，∴S△MNB=12×(2﹣t)×2t＝﹣t2+2t＝﹣(t即當M(2，0)、N(2，2)或(2，﹣2)時△MNB面積最大，最大面積是1；(3)令y＝0，則x2﹣4x+3＝0，解得：x＝1或x＝3，∴B(3，0)，∴BC＝32，點P在y軸上，當△PBC為等腰三角形時分三種情況進行討論：如圖2，①當CP＝CB時，PC＝32，∴OP＝OC+PC＝3+32或OP＝PC﹣OC＝32-∴P1(0，3+32)，P2(0，3﹣32)；②當BP＝BC時，OP＝OB＝3，∴P3(0，﹣3)；③當PB＝PC時，∵OC＝OB＝3，∴此時P與O重合，∴P4(0，0)；綜上所述，點P的坐標為：(0，3+32)或(0，3﹣32)或(0，﹣3)或(0，0)．8．(2020?南召縣一模)如圖，二次函數(shù)y=43x2+bx+c的圖象與x軸交于A(3，0)，B(﹣1，0)，與y軸交于點C．若點P，Q同時從A(1)直接寫出二次函數(shù)的解析式；(2)當P，Q運動到t秒時，將△APQ沿PQ翻折，若點A恰好落在拋物線上D點處，求出D點坐標；(3)當點P運動到B點時，點Q停止運動，這時，在x軸上是否存在點E，使得以A，E，Q為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請直接寫出E點坐標；若不存在，請說明理由．【分析】(1)將A，B兩點的坐標代入二次函數(shù)解析式中，求得b、c，進而可求解析式；(2)如圖，D點關于PQ與A點對稱，過點Q作FQ⊥AP于F，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)及已知條件可得AP＝AQ＝QD＝DP，那么四邊形AQDP為菱形．由FQ∥OC，根據(jù)平行線分線段成比例定理求出AF=35t，F(xiàn)Q=45t，得到Q(3-35t，-45(3)以A，E，Q為頂點的三角形為等腰三角形時，分三種情況進行討論：①AE＝EQ；②AQ＝EQ；③AE＝AQ．可通過畫圖得E點大致位置，再利用勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)求解．【解答】解：(1)∵二次函數(shù)y=43x2+bx+c的圖象與x軸交于A(3，0)，∴12+3b+c=04解得b=-8∴二次函數(shù)的解析式為y=4(2)如圖，D點關于PQ與A點對稱，過點Q作FQ⊥AP于F，∵AP＝AQ＝t，AP＝DP，AQ＝DQ，∴AP＝AQ＝QD＝DP，∴四邊形AQDP為菱形．∵FQ∥OC，∴AFAO∴AF3∴AF=35t∴Q(3-3∵DQ＝AP＝t，∴D(3-3∵D在二次函數(shù)y=4∴-4∴t=14564，或t＝0(與∴D(-5(3)存在滿足條件的點E，點E的坐標為(-13，0)或(如圖，過點Q作QD⊥OA于D，此時QD∥OC，∵A(3，0)，B(﹣1，0)，C(0，﹣4)，O(0，0)，∴AB＝4，OA＝3，OC＝4，∴AC=32+∵QD∥OC，∴QDOC∴QD4∴QD=165，①作AQ的垂直平分線，交x軸于E，此時AE＝EQ，即△AEQ為等腰三角形．設AE＝x，則EQ＝x，DE＝|AD﹣AE|＝|125-∴在Rt△EDQ中，(125-x)2+(165)2＝x2，解得∴OA﹣AE＝3-10∴E(-13，0)，點E在②以Q為圓心，AQ長半徑畫圓，交x軸于E，此時QE＝QA＝4，∵ED＝AD=12∴AE=24∴OA﹣AE＝3-24∴E(-9③當AE＝AQ＝4時，∵OA﹣AE＝3﹣4＝﹣1，或OA+AE＝7，∴E(﹣1，0)或(7，0)．綜上所述，存在滿足條件的點E，點E的坐標為(-13，0)或(【題組三】9．(2020?番禺區(qū)一模)如圖，經(jīng)過原點的拋物線y＝ax2﹣x+b與直線y＝2交于A，C兩點，其對稱軸是直線x＝2，拋物線與x軸的另一個交點為D，線段AC與y軸交于點B．(1)求拋物線的解析式，并寫出點D的坐標；(2)若點E為線段BC上一點，且EC﹣EA＝2，點P(0，t)為線段OB上不與端點重合的動點，連接PE，過點E作直線PE的垂線交x軸于點F，連接PF，探究在P點運動過程中，線段PE，PF有何數(shù)量關系？并證明所探究的結論；(3)設拋物線頂點為M，求當t為何值時，△DMF為等腰三角形？【分析】(1)拋物線過原點，則b＝0，x＝2=--12a，求得a(2)證明△PBE∽△FHE，則PEEF=BEHE=12，故EF＝2PE，再由勾股定理得：PF2＝PE2+FE2＝PE2+(2(3)分FM＝FD、DF＝DM、FM＝DM三種情況，利用三角形相似和勾股定理綜合求解即可．【解答】解：(1)拋物線過原點，則b＝0，x＝2=--12a，解得：a故拋物線的表達式為：y=14x2﹣令y=14x2﹣x＝0，解得故點D的坐標為(4，0)；(2)線段PE，PF的數(shù)量關系為PF=5PE如圖1，設AC的中點為G，則點G(2，2)，則AE+EG＝GC，∴GE+GE＝GE+GC﹣AE＝EC﹣AE＝2，故EG＝1，則點E(1，2)，∴BE＝2﹣1＝1，過點E作EH⊥x軸于點H，∵∠FEH+∠HEP＝90°，∠HEP+∠PEB＝90°，∴∠FEH＝∠PEB，∵∠PBE＝∠FHE＝90°，∴△PBE∽△FHE，∴PEEF=BEHE=在Rt△PEF中，PF2＝PE2+FE2＝PE2+(2PE)2＝5PE2，即PF=5PE(3)由y=14x2﹣x=14(x﹣2)2﹣1知：點①當FM＝FD時，如圖2，在△MND中，MD=M在△MNF中，設FM＝FD＝k，由勾股定理得：NF2+MN2＝MF2，即(2﹣k)2+1＝k2，解得：k=5故FM＝FD=54，NF＝2-54=34，則OF故點F(114點P(0，t)，則PB＝2﹣t，而BE＝1，在△PBE中，PE2＝BP2+BE2，即PE2＝1+(2﹣t)2，而PF=5PE，則PF2＝5+5(2﹣t)2在△POF中，OP2+OF2＝PF2，即t2+(114)2＝5(2﹣t)2解得：t=9②當DF＝DM時，如圖3，連接MG，由①知DM=5=DF，則OF＝4-5，故點F由①知，PE2＝1+(2﹣t)2，PF2＝5+5(2﹣t)2，在Rt△OPF中，OP2+OF2＝PF2，即t2+(4-5)2＝5(2﹣t)2解得：t=5③當FM＝DM時，根據(jù)拋物線的對稱性，則點F、O重合，即點F(0，0)，∵PE⊥EF，則點P在AC的上方，這與點P(0，t)為線段OB上的點矛盾，故這種情況不存在；綜上，t=98或10．(2020春?沙坪壩區(qū)校級月考)如圖，拋物線y＝ax2-43x+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，連結AC，已知B(﹣1，0)，且拋物線經(jīng)過點(1)求拋物線的解析式；(2)若點E是拋物線上位于x軸下方的一點，且S△ACE=12S△ABC，求(3)若點P是y軸上一點，以P、A、C三點為頂點的三角形是等腰三角形，求P點的坐標．【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法可求拋物線的解析式；(2)在y=23x2-43x﹣2中，當y＝0時，23x2-43x﹣2＝0，可得A(3，0)，當x＝0時，y＝﹣2，得到OC＝2，根據(jù)待定系數(shù)法可求AC的解析式，如圖1，過點E作x軸的垂線交直線AC于點F，設點F(a，23a﹣2)，點E(a，23a2-43a﹣2)，其中﹣1＜a(3)如圖2，設P(0，m)，則PC＝m+2，OA＝3，根據(jù)勾股定理得到AC=22+32=13，①當PA＝CA時，則OP1＝OC＝2，②當PC＝CA=13時，③當PC＝PA時，點P在AC的垂直平分線上，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到P3(0，5【解答】解：(1)把B(﹣1，0)，D(2，﹣2)代入y＝ax2-43x+c得解得：a=2故拋物線的解析式為y=23x2-(2)當y＝0時，23x2-4解得x1＝﹣1，x2＝3，∴A(3，0)，∴AB＝4，當x＝0時，y＝﹣2，∴C(0，﹣2)，∴OC＝2，∴S△ABC=1設AC的解析式為y＝kx+b，把A(3，0)，C(0，﹣2)代入y＝kx+b得3k+b=0b=-2解得k=2∴y=23如圖1，過點E作x軸的垂線交直線AC于點F，設點F(a，23a﹣2)，點E(a，23a2-43∴S△ACE=12EF|xA﹣xC|=32|23a2∵S△ACE=12S△∴a2﹣3a＝2或﹣a2+3a＝2，解得a1=3+172(舍去)，a2=3-172，∴E1(3-172，1-173)，E2(1，-(3)在y＝ax2+bx﹣2中，當x＝0時，y＝﹣2，∴C(0，﹣2)，∴OC＝2，如圖2，設P(0，m)，則PC＝m+2，OA＝3，AC=2①當PA＝CA時，則OP1＝OC＝2，∴P1(0，2)；②當PC＝CA=13時，即m+2=13，∴m∴P2(0，13-③當PC＝PA時，點P在AC的垂直平分線上，則△AOC∽△P3EC，∴13P∴P3C=13∴m=5∴P3(0，54④當PC＝CA=13時，m＝﹣2-∴P4(0，﹣2-13綜上所述，P點的坐標(0，2)或(0，13-2)或(0，54)或(0，﹣211．(2020?貴州省黔東南州中考第25題)已知拋物線y＝ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左邊)，與y軸交于點C(0，﹣3)，頂點D的坐標為(1，﹣4)．(1)求拋物線的解析式．(2)在y軸上找一點E，使得△EAC為等腰三角形，請直接寫出點E的坐標．(3)點P是x軸上的動點，點Q是拋物線上的動點，是否存在點P、Q，使得以點P、Q、B、D為頂點，BD為一邊的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點P、Q坐標；若不存在，請說明理由．【分析】(1)根據(jù)拋物線的頂點坐標設出拋物線的解析式，再將點C坐標代入求解，即可得出結論；(2)先求出點A，C坐標，設出點E坐標，表示出AE，CE，AC，再分三種情況建立方程求解即可；(3)利用平移先確定出點Q的縱坐標，代入拋物線解析式求出點Q的橫坐標，即可得出結論．【解析】(1)∵拋物線的頂點為(1，﹣4)，∴設拋物線的解析式為y＝a(x﹣1)2﹣4，將點C(0，﹣3)代入拋物線y＝a(x﹣1)2﹣4中，得a﹣4＝﹣3，∴a＝1，∴拋物線的解析式為y＝a(x﹣1)2﹣4＝x2﹣2x﹣3；(2由(1)知，拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，則x2﹣2x﹣3＝0，∴x＝﹣1或x＝3，∴B(3，0)，A(﹣1，0)，令x＝0，則y＝﹣3，∴C(0，﹣3)，∴AC=10設點E(0，m)，則AE=m2+1，CE∵△ACE是等腰三角形，∴①當AC＝AE時，10=∴m＝3或m＝﹣3(點C的縱坐標，舍去)，∴E(0，3)，②當AC＝CE時，10=|m∴m＝﹣3±10，∴E(0，﹣3+10)或(0，﹣3-③當AE＝CE時，m2+1=∴m=-4∴E(0，-4即滿足條件的點E的坐標為(0，3)、(0，﹣3+10)、(0，﹣3-10)、(0，(3)如圖，存在，∵D(1，﹣4)，∴將線段BD向上平移4個單位，再向右(或向左)平移適當?shù)木嚯x，使點B的對應點落在拋物線上，這樣便存在點Q，此時點D的對應點就是點P，∴點Q的縱坐標為4，設Q(t，4)，將點Q的坐標代入拋物線y＝x2﹣2x﹣3中得，t2﹣2t﹣3＝4，∴t＝1+22或t＝1﹣22，∴Q(1+22，4)或(1﹣22，4)，分別過點D，Q作x軸的垂線，垂足分別為F，G，∵拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸的右邊的交點B的坐標為(3，0)，且D(1，﹣4)，∴FB＝PG＝3﹣1＝2，∴點P的橫坐標為(1+22)﹣2＝﹣1+22或(1﹣22)﹣2＝﹣1﹣22，即P(﹣1+22，0)、Q(1+22，4)或P(﹣1﹣22，0)、Q(1﹣22，4)．【點睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，等腰三角形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，用方程的思想解決問題是解本題的關鍵．12．(2020?山東省棗莊市中考第25題)如圖，拋物線y＝ax2+bx+4交x軸于A(﹣3，0)，B(4，0)兩點，與y軸交于點C，連接AC，BC．M為線段OB上的一個動點，過點M作PM⊥x軸，交拋物線于點P，交BC于點Q．(1)求拋物線的表達式；(2)過點P作PN⊥BC，垂足為點N．設M點的坐標為M(m，0)，請用含m的代數(shù)式表示線段PN的長，并求出當m為何值時PN有最大值，最大值是多少？(3)試探究點M在運動過程中，是否存在這樣的點Q，使得以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請求出此時點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】(1)將點A、B的坐標代入拋物線表達式，即可求解；(2)PN＝PQsin45°=22(-13m2+43m(3)分AC＝CQ、AC＝AQ、CQ＝AQ三種情況，分別求解即可．【解析】(1)將點A、B的坐標代入拋物線表達式得9a-3b+4=016a+4b+4=0，解得a=-故拋物線的表達式為：y=-13x2+(2)由拋物線的表達式知，點C(0，4)，由點B、C的坐標得，直線BC的表達式為：y＝﹣x+4；設點M(m，0)，則點P(m，-13m2+13m+4)，點Q(∴PQ=-13m2+13m+4+m﹣4=-1∵OB＝OC，故∠ABC＝∠OCB＝45°，∴∠PQN＝∠BQM＝45°，∴PN＝PQsin45°=22(-13m2+43m∵-26＜0，故當m＝2時，PN(3)存在，理由：點A、C的坐標分別為(﹣3，0)、(0，4)，則AC＝5，①當AC＝CQ時，過點Q作QE⊥y軸于點E，則CQ2＝CE2+EQ2，即m2+[4﹣(﹣m+4)]2＝25，解得：m＝±52故點Q(522，②當AC＝AQ時，則AQ＝AC＝5，在Rt△AMQ中，由勾股定理得：[m﹣(﹣3)]2+(﹣m+4)2＝25，解得：m＝1或0(舍去0)，故點Q(1，3)；③當CQ＝AQ時，則2m2＝[m﹣(﹣3)]2+(﹣m+4)2，解得：m=25綜上，點Q的坐標為(1，3)或(522，【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、解直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)等，其中(3)，要注意分類求解，避免遺漏．【題組四】13．(2020?湖北省武漢市中考第24題)將拋物線C：y＝(x﹣2)2向下平移6個單位長度得到拋物線C1，再將拋物線C1向左平移2個單位長度得到拋物線C2．(1)直接寫出拋物線C1，C2的解析式；(2)如圖(1)，點A在拋物線C1(對稱軸l右側)上，點B在對稱軸l上，△OAB是以OB為斜邊的等腰直角三角形，求點A的坐標；(3)如圖(2)，直線y＝kx(k≠0，k為常數(shù))與拋物線C2交于E，F(xiàn)兩點，M為線段EF的中點；直線y=-4kx與拋物線C2交于G，H兩點，N為線段GH的中點．求證：直線【分析】(1)根據(jù)平移規(guī)律：上加下減，左加右減，直接寫出平移后的解析式；(2)過點A作AC⊥x軸于點C，過B作BD⊥AC于點D，設A(a，(a﹣2)2﹣6)，則BD＝a﹣2，AC＝|(a﹣2)2﹣6|，再證明△ABD≌△OAC，由全等三角形的性質(zhì)得a的方程求得a便可得A的坐標；(3)由兩直線解析式分別與拋物線的解析式聯(lián)立方程組，求出M、N點的坐標，進而求得MN的解析式，再根據(jù)解析式的特征得出MN經(jīng)過一個定點．【解析】(1)∵拋物線C：y＝(x﹣2)2向下平移6個單位長度得到拋物線C1，∴C1：y＝(x﹣2)2﹣6，∵將拋物線C1向左平移2個單位長度得到拋物線C2．∴C2：y＝(x﹣2+2)2﹣6，即y＝x2﹣6；(2)過點A作AC⊥x軸于點C，過B作BD⊥AC于點D，如圖1，設A(a，(a﹣2)2﹣6)，則BD＝a﹣2，AC＝|(a﹣2)2﹣6|，∵∠BAO＝∠ACO＝90°，∴∠BAD+∠OAC＝∠OAC+∠AOC＝90°，∴∠BAD＝∠AOC，∵AB＝OA，∠ADB＝∠OCA，∴△ABD≌△OAC(AAS)，∴BD＝AC，∴a﹣2＝|(a﹣2)2﹣6|，解得，a＝4，或a＝﹣1(舍)，或a＝0(舍)，或a＝5，∴A(4，﹣2)或(5，3)；(3)把y＝kx代入y＝x2﹣6中得，x2﹣kx﹣6＝0，∴xE+xF＝k，∴M(k2把y=-4kx代入y＝x2﹣6中得，x2+∴xG∴N(-2k，設MN的解析式為y＝mx+n(m≠0)，則k2m+n=k∴直線MN的解析式為：y=k當x＝0時，y＝2，∴直線MN：y=k即直線MN經(jīng)過一個定點．【點睛】本題是一個二次函數(shù)綜合題，主要考查了平移的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，待定系數(shù)法，求函數(shù)圖象的交點問題，第(2)小題關鍵是證明三角形全等，第(3)題關鍵是求出M、N點的坐標及直線MN的解析式．14．(2021?建華區(qū)二模)綜合與探究如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝﹣3x﹣3與x軸交于點A，與y軸交于點C．拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點，且與x軸交于另一點B(點B在點A右側)．(1)求拋物線的解析式及點B坐標；(2)設該拋物線的頂點為點H，則S△BCH＝；(3)若點M是線段BC上一動點，過點M的直線ED平行y軸交x軸于點D，交拋物線于點E，求ME長的最大值及點M的坐標；(4)在(3)的條件下：當ME取得最大值時，在x軸上是否存在這樣的點P，使得以點M、點B、點P為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】(1)由直線y＝﹣3x﹣3與x軸交于點A，與y軸交于點C，