隨機(jī)規(guī)劃模型

關(guān)于隨機(jī)規(guī)劃模型確定性因素和隨機(jī)性因素隨機(jī)因素可以忽略隨機(jī)因素影響可以簡單地以平均值的作用出現(xiàn)隨機(jī)因素影響必須考慮概率模型統(tǒng)計(jì)回歸模型馬氏鏈模型隨機(jī)模型確定性模型隨機(jī)性模型第2頁,共30頁，2024年2月25日，星期天傳送帶掛鉤產(chǎn)品工作臺工人將生產(chǎn)出的產(chǎn)品掛在經(jīng)過他上方的空鉤上運(yùn)走，若工作臺數(shù)固定，掛鉤數(shù)量越多，傳送帶運(yùn)走的產(chǎn)品越多。背景在生產(chǎn)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后，給出衡量傳送帶效率的指標(biāo)，研究提高傳送帶效率的途徑9.1傳送系統(tǒng)的效率第3頁,共30頁，2024年2月25日，星期天問題分析

進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后為保證生產(chǎn)系統(tǒng)的周期性運(yùn)轉(zhuǎn)，應(yīng)假定工人們的生產(chǎn)周期相同，即每人作完一件產(chǎn)品后，要么恰有空鉤經(jīng)過他的工作臺，使他可將產(chǎn)品掛上運(yùn)走，要么沒有空鉤經(jīng)過，迫使他放下這件產(chǎn)品并立即投入下件產(chǎn)品的生產(chǎn)。

可以用一個(gè)周期內(nèi)傳送帶運(yùn)走的產(chǎn)品數(shù)占產(chǎn)品總數(shù)的比例，作為衡量傳送帶效率的數(shù)量指標(biāo)。

工人們生產(chǎn)周期雖然相同，但穩(wěn)態(tài)下每人生產(chǎn)完一件產(chǎn)品的時(shí)刻不會一致，可以認(rèn)為是隨機(jī)的，并且在一個(gè)周期內(nèi)任一時(shí)刻的可能性相同。第4頁,共30頁，2024年2月25日，星期天模型假設(shè)1）n個(gè)工作臺均勻排列，n個(gè)工人生產(chǎn)相互獨(dú)立，生產(chǎn)周期是常數(shù)；2）生產(chǎn)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，每人生產(chǎn)完一件產(chǎn)品的時(shí)刻在一個(gè)周期內(nèi)是等可能的；3）一周期內(nèi)m個(gè)均勻排列的掛鉤通過每一工作臺的上方，到達(dá)第一個(gè)工作臺的掛鉤都是空的；4）每人在生產(chǎn)完一件產(chǎn)品時(shí)都能且只能觸到一只掛鉤，若這只掛鉤是空的，則可將產(chǎn)品掛上運(yùn)走；若該鉤非空，則這件產(chǎn)品被放下，退出運(yùn)送系統(tǒng)。第5頁,共30頁，2024年2月25日，星期天模型建立

定義傳送帶效率為一周期內(nèi)運(yùn)走的產(chǎn)品數(shù)（記作s,待定）與生產(chǎn)總數(shù)n（已知）之比，記作D=s/n

若求出一周期內(nèi)每只掛鉤非空的概率p，則s=mp為確定s，從工人考慮還是從掛鉤考慮，哪個(gè)方便？

設(shè)每只掛鉤為空的概率為q，則

p=1-q如何求概率

設(shè)每只掛鉤不被一工人觸到的概率為r，則q=rn

設(shè)每只掛鉤被一工人觸到的概率為u，則r=1-uu=1/mp=1-(1-1/m)nD=m[1-(1-1/m)n]/n一周期內(nèi)有m個(gè)掛鉤通過每一工作臺的上方第6頁,共30頁，2024年2月25日，星期天模型解釋若(一周期運(yùn)行的)掛鉤數(shù)m遠(yuǎn)大于工作臺數(shù)n,則

傳送帶效率(一周期內(nèi)運(yùn)走產(chǎn)品數(shù)與生產(chǎn)總數(shù)之比）定義E=1-D(一周期內(nèi)未運(yùn)走產(chǎn)品數(shù)與生產(chǎn)總數(shù)之比）提高效率的途徑：

增加m

習(xí)題1當(dāng)n遠(yuǎn)大于1時(shí),E

n/2m~E與n成正比，與m成反比若n=10,m=40,D

87.5%(89.4%)第7頁,共30頁，2024年2月25日，星期天9.2報(bào)童的訣竅問題報(bào)童售報(bào)：a(零售價(jià))

>b(購進(jìn)價(jià))

>c(退回價(jià))售出一份賺a-b；退回一份賠b-c

每天購進(jìn)多少份可使收入最大？分析購進(jìn)太多賣不完退回賠錢購進(jìn)太少不夠銷售賺錢少應(yīng)根據(jù)需求確定購進(jìn)量每天需求量是隨機(jī)的優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)應(yīng)是長期的日平均收入每天收入是隨機(jī)的存在一個(gè)合適的購進(jìn)量等于每天收入的期望第8頁,共30頁，2024年2月25日，星期天建模

設(shè)每天購進(jìn)n份，日平均收入為G(n)調(diào)查需求量的隨機(jī)規(guī)律——每天需求量為r的概率f(r),r=0,1,2…準(zhǔn)備求n使G(n)最大

已知售出一份賺a-b；退回一份賠b-c第9頁,共30頁，2024年2月25日，星期天求解將r視為連續(xù)變量第10頁,共30頁，2024年2月25日，星期天結(jié)果解釋nP1P2取n使

a-b~售出一份賺的錢

b-c~退回一份賠的錢0rp第11頁,共30頁，2024年2月25日，星期天9.3隨機(jī)存貯策略問題以周為時(shí)間單位；一周的商品銷售量為隨機(jī)；周末根據(jù)庫存決定是否訂貨，供下周銷售。（s,S)存貯策略制訂下界s,上界S，當(dāng)周末庫存小于s時(shí)訂貨，使下周初的庫存達(dá)到S;否則，不訂貨?？紤]訂貨費(fèi)、存貯費(fèi)、缺貨費(fèi)、購進(jìn)費(fèi)，制訂（s,S)存貯策略,使(平均意義下)總費(fèi)用最小第12頁,共30頁，2024年2月25日，星期天模型假設(shè)

每次訂貨費(fèi)c0,每件商品購進(jìn)價(jià)c1,每件商品一周貯存費(fèi)c2,每件商品缺貨損失費(fèi)c3(c1<c3)

每周銷售量r隨機(jī)、連續(xù)，概率密度p(r)

周末庫存量x,訂貨量u,周初庫存量x+u

每周貯存量按x+u-r計(jì)第13頁,共30頁，2024年2月25日，星期天建模與求解（s,S)存貯策略確定(s,S),使目標(biāo)函數(shù)——每周總費(fèi)用的平均值最小平均費(fèi)用

訂貨費(fèi)c0,購進(jìn)價(jià)c1,貯存費(fèi)c2,缺貨費(fèi)c3,銷售量rs~訂貨點(diǎn)，S~訂貨值第14頁,共30頁，2024年2月25日，星期天建模與求解1）設(shè)x<s,求u使J(u)最小，確定S建模與求解SP1P20rp第15頁,共30頁，2024年2月25日，星期天2）對庫存x，確定訂貨點(diǎn)s若訂貨u,u+x=S,總費(fèi)用為

若不訂貨,u=0,總費(fèi)用為

訂貨點(diǎn)s是的最小正根建模與求解不訂貨第16頁,共30頁，2024年2月25日，星期天最小正根的圖解法J(u)在u+x=S處達(dá)到最小xI(x)

0SI(S)sI(S)+c0I(x)在x=S處達(dá)到最小值I(S)I(x)圖形建模與求解J(u)與I(x)相似I(S)的最小正根s第17頁,共30頁，2024年2月25日，星期天9.4軋鋼中的浪費(fèi)軋制鋼材兩道工序

粗軋(熱軋)~形成鋼材的雛形

精軋(冷軋)~得到鋼材規(guī)定的長度粗軋鋼材長度正態(tài)分布均值可以調(diào)整方差由設(shè)備精度確定粗軋鋼材長度大于規(guī)定切掉多余部分粗軋鋼材長度小于規(guī)定整根報(bào)廢隨機(jī)因素影響精軋問題：如何調(diào)整粗軋的均值，使精軋的浪費(fèi)最小背景第18頁,共30頁，2024年2月25日，星期天分析設(shè)已知精軋后鋼材的規(guī)定長度為l，粗軋后鋼材長度的均方差為

記粗軋時(shí)可以調(diào)整的均值為m，則粗軋得到的鋼材長度為正態(tài)隨機(jī)變量，記作x~N(m,

2)切掉多余部分的概率整根報(bào)廢的概率存在最佳的m使總的浪費(fèi)最小lP0p(概率密度)mxP′mPP′第19頁,共30頁，2024年2月25日，星期天建模選擇合適的目標(biāo)函數(shù)切掉多余部分的浪費(fèi)整根報(bào)廢的浪費(fèi)總浪費(fèi)=+粗軋一根鋼材平均浪費(fèi)長度粗軋N根成品材

PN根成品材長度lPN總長度mN共浪費(fèi)長度mN-lPN第20頁,共30頁，2024年2月25日，星期天選擇合適的目標(biāo)函數(shù)粗軋一根鋼材平均浪費(fèi)長度得到一根成品材平均浪費(fèi)長度更合適的目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化模型：求m使J(m)最小（已知l,

）建模粗軋N根得成品材

PN根第21頁,共30頁，2024年2月25日，星期天求解求z使J(z)最小（已知

）第22頁,共30頁，2024年2月25日，星期天求解第23頁,共30頁，2024年2月25日，星期天例設(shè)l=2(米),

=20(厘米)，求m使浪費(fèi)最小。=l/=10z*=-1.78

*=-z*=11.78m*=

*

=2.36(米)求解1.2530.8760.6560.5160.4200.3550227.0-3.00.556.79-2.51.018.10-2.01.57.206-1.52.02.53.4771.680-1.0-0.5zzF(z)F(z)1.02.00-1.0-2.0105F(z)z第24頁,共30頁，2024年2月25日，星期天9.5隨機(jī)人口模型背景

一個(gè)人的出生和死亡是隨機(jī)事件一個(gè)國家或地區(qū)平均生育率平均死亡率確定性模型一個(gè)家族或村落出生概率死亡概率隨機(jī)性模型對象X(t)~時(shí)刻t

的人口,隨機(jī)變量.Pn(t)~概率P(X(t)=n),n=0,1,2,…研究Pn(t)的變化規(guī)律；得到X(t)的期望和方差第25頁,共30頁，2024年2月25日，星期天若X(t)=n,對t到t+t的出生和死亡概率作以下假設(shè)1)出生一人的概率與

t成正比，記bnt;出生二人及二人以上的概率為o(t).2)死亡一人的概率與

t成正比，記dnt;死亡二人及二人以上的概率為o(t).3)出生和死亡是相互獨(dú)立的隨機(jī)事件。

bn與n成正比，記bn=n,

~出生概率；dn與n成正比，記dn=n，

~死亡概率。進(jìn)一步假設(shè)模型假設(shè)第26頁,共30頁，2024年2月25日，星期天建模為得到Pn(t)P(X(t)=n),的變化規(guī)律，考察Pn(t+t)=P(X(t+t)=n).事件X(t+t)=n的分解X(t)=n-1,t內(nèi)出生一人X(t)=n+1,t內(nèi)死亡一人X(t)=n,t內(nèi)沒有出生和死亡其它(出生或死亡二人，出生且死亡一人，……)概率Pn(t+t)Pn-1(t),bn-1t

Pn+1(t),dn+1t

Pn(t),1-bnt-dnt

o(t)第27頁,共30頁，20