立體的表面交線

關于立體的表面交線§3-1截交線

截交線是截平面與立體表面的交線，截切立體的平面叫截平面。截交線圍成一個封閉的多邊形平面為截斷面，在圖上畫出截交線的目的就是為在投影圖上求出截斷面的投影。一、平面立體截交線二、曲面立體的截交線三、綜合舉例第2頁,共40頁，2024年2月25日，星期天截交線的基本性質（l）共有性：截交線是截平面上的線，又是立體表面上的線，因此是截平面和立體表面的共有線，截交線上的點都是截平面和立體表面的共有點。（2）封閉性:平面與曲面立體的截交線是一個（或數(shù)個）封閉的平面圖形，在一般情況下它是一個平面曲線。特殊情況下，可以是由直線段和曲線，或僅由直線段組成的平面圖形。（3）截交線的形狀取決于立體表面的性質，以及截平面與立體表面的相對位置。第3頁,共40頁，2024年2月25日，星期天求截交線的一般方法與步驟１.求畫截交線就是求一系列截交點,方法通常有:（１）積聚性法:已知截交線的兩個投影(截平面的一個積聚性投影和被截切立體表面的一個積聚性投影)。根據(jù)共有點性質，可求出截交線另一投影。（２）輔助面法：根據(jù)三面共點的集合原理，采用輔助平面或輔助球面使其與截平面和立體表面相交，求出截交線，完成截交線的投影。２.常用的作圖步驟：（１）找出一系列特殊的截交點；①轉向點：投影輪廓線上的點（即曲面的轉向線與截平面的交點）一般為可見性分界點。②極限點：極限位置（對投影面）點，例如最高、最低點，最左、最右點，最前、最后點等。③特征點：曲線本身的特征點，例如橢圓長、短軸上四個端點。④結合點：截交線由幾部分組成時的結合點。（２）求出若干一般截交點；（３）判別可見性；（４）順次連接各點成多邊形或曲線。第4頁,共40頁，2024年2月25日，星期天一、平面立體的截交線１.平面立體的截交線的畫法

平面立體被單個或多個平面切割后，既具有平面立體的形狀特征，又具有截平面的平面特征。因此在看圖或畫圖時，一般應先從反映平面立體特征視圖的多邊形線框出發(fā)，想象出完整的平面立體形狀并畫出其投影，然后再根據(jù)截平面的空間位置，想象出截平面的形狀并畫出其投影，平面立體上切口的畫法，常利用平面特性中“類似形”這一投影特征來作圖。具體作圖步驟：（１）找到截平面與棱錐上若干條棱線的交點；如立體被多個平面截割，應求出截平面間的交線；（２）依次將各點連線；（３）判斷可見性；（４）整理輪廓線。第5頁,共40頁，2024年2月25日，星期天[例題１]求三棱錐切割后的投影bcaa”c”b”a’b’(c’)第6頁,共40頁，2024年2月25日，星期天[例題２]求三棱錐切割后的投影bcaa’b’c’(d’)yyyyda”c”b”d”ACDB第7頁,共40頁，2024年2月25日，星期天２.看平面切割體的三視圖

若提高看圖能力就必須多看圖，并在看圖的實踐中注意學會投影分析和線框分析，掌握看圖方法，積累形象儲備。為此，特提供一些切割體的三視圖（圖3-4~圖3-7），希望讀者自行識讀?？磮D提示：

1）要明確看圖步驟：①根據(jù)輪廓為正多邊形的視圖，確定被切立體的原始形狀；②從反映切口、開槽、穿孔的特性部位入手，分析截交線的形狀及其三面投影；③將想象中的切割體形狀，從無序排列的立體圖（表3-1）中辨認出來加以對照。

2）要對同一圖中的四組三視圖進行比較，根據(jù)切口、開槽、穿孔部位的投影（圖形）特征，總結出現(xiàn)規(guī)律性的東西，以指導令后的看圖（畫圖）實踐。其中，尤應注意分析視圖中“斜線”的投影含義（它可謂“點的寶庫”，該截交線上點的另兩面投影均取自于此）。

3）看圖與畫圖能力的提高是互為促進的。第8頁,共40頁，2024年2月25日，星期天二、曲面立體的截交線

１.曲面立體的截交線的畫法平面與曲面立體相交時，截交線是截平面與曲面立體表面的共有線。因此，求截交線的過程可歸結為求出截平面和曲面表面的若干共有點，然后依次光滑地連接成平面曲線。為了確切地表示截交線，必須求出其上的某些特殊點，如曲面立體轉向線上的點以及截交線的最高點、最底點、最左點、最右點、最前點和最后點等。

1.圓柱

2.圓錐

3.圓球

4.圓環(huán)第9頁,共40頁，2024年2月25日，星期天1.圓柱圓矩形橢圓根據(jù)截平面與圓柱軸線的相對位置不同，圓柱截交線共有三種不同形狀，分別為：第10頁,共40頁，2024年2月25日，星期天平面與圓柱相交所得截交線形狀與軸線平行與軸線垂直與軸線傾斜平面的位置軸測圖投影圖截交線圓兩平行直線橢圓第11頁,共40頁，2024年2月25日，星期天[例題]求圓柱切割后的投影⑴求特殊點y1y2y1y2⑵求一般位置點⑶光滑連線第12頁,共40頁，2024年2月25日，星期天2.圓錐圓等腰三角形拋物線橢圓雙曲線根據(jù)截平面與圓錐軸線的相對位置不同，圓錐截交線有五種不同形狀，分別為：第13頁,共40頁，2024年2月25日，星期天平面與圓錐相交所得截交線形狀圓橢圓拋物線雙曲線三角形與軸線垂直與軸線傾斜與素線平行與軸線平行過圓錐頂點軸測圖投影圖截交線第14頁,共40頁，2024年2月25日，星期天求圓錐截交線上點的方法①素線法：在圓錐表面取若干條素線，并求出這些素線與截平面的交點；②緯圓法：在圓錐表面取若干個緯圓，并求出這些緯圓與截平面的交點。第15頁,共40頁，2024年2月25日，星期天[例題]求圓錐截交線解題步驟1．分析截平面為正垂面，截交線為橢圓；截交線的水平投影和側面投影均為橢圓；2．求出截交線上的特殊點投影；3．求出一般點；4．光滑且順次地連接各點，作出截交線，并且判別可見性；5．整理輪廓線。3'33第16頁,共40頁，2024年2月25日，星期天3.圓球：平面與圓球相交所得截交線形狀圓第17頁,共40頁，2024年2月25日，星期天

[例題]求圓球截交線解題步驟1．分析截平面為正垂面，截交線為圓；截交線的水平投影和側面投影均為橢圓；2．求出截交線上的特殊點；3．求出若干個一般點；4．光滑且順次地連接各點，作出截交線，并且判別可見性；5．整理輪廓線。1"2"123"4"34565"6"787"8"a"b"c"d"bacd2'1'3'4'5'6'7'8'a'bc'd'第18頁,共40頁，2024年2月25日，星期天4.圓環(huán)截平面與圓環(huán)面的相對位置不同時，截交線的形狀也不同，當截平面垂直于圓環(huán)軸線或通過圓環(huán)軸線又平行于投影面截切時，截交線為圓，可以直接作出，當截平面位于其它位置時，都需要用輔助平面法求出若干共有點，然后才能畫出截交線的投影。第19頁,共40頁，2024年2月25日，星期天２.看曲面切割體的三視圖

看圖提示：看曲面切割體的三視圖，與看平面切割體三視圖的要求基本相同，此外，再強調幾點：

1）要注意分析截平面的位置：一是分析截平面與被切曲面的相對位置，以確定截交線的形狀（如截平面與圓柱軸線傾斜，其截交線為橢圓，與圓錐軸線垂直，其截交線為圓等）；二是分析截平面與投影面的相對位置，以確定截交線的投影形狀（如球被投影面垂直面切割，截交線圓在另兩面上的投影則變成了橢圓等）。

2）要注意分析曲面體輪廓線投影的變化情況（存留輪廓線的投影不要漏畫，被切掉輪廓線的投影面不要多畫）。此外，還要注意截交線投影的可見性問題。第20頁,共40頁，2024年2月25日，星期天三、綜合舉例分析Ｑ－兩直線Ｐ－兩直線R—雙曲線PQR第21頁,共40頁，2024年2月25日，星期天

§3-2相貫線在一些機件上，常常會見到兩個立體表面的交線，最常見的是兩回轉體表面的交線。兩相交立體的表面交線，稱為相貫線。把這兩個立體看作一個整體，稱為相貫體。例如，在圖所示的零件上，就有兩個圓柱的相貫線。在一般情況下，兩曲面立體的相貫線是封閉的空間曲線；在特殊情況下，可能是不封閉的，也可能是平面曲線或直線。一、表面取點法；二、輔助平面法；三、相貫線的特殊情況；四、相貫線的簡化畫法。第22頁,共40頁，2024年2月25日，星期天相貫線的性質由于相交的兩回轉曲面的幾和形狀或相對位置不同，其相貫線形狀位置也不同，但都具有下列性質：共有性：相貫線是兩曲面立體表面的共有線，也是兩立體表面的分界線，相貫線上的點是兩立體表面的共有點，這里我們定義它為相貫點。封閉性：兩回轉體的相貫線，一般是一條封閉的空間曲線，特殊情況下是平面曲線或直線。第23頁,共40頁，2024年2月25日，星期天特殊點：即能夠確定相貫線的投影范圍和變化趨勢的點，如相貫體的曲面投影的轉向輪廓線上的點，以及最高、最低、最左、最右、最前、最后點等?？梢娦裕褐挥幸欢蜗嘭灳€同時位于兩個立體的可見表面上時，這段相貫線的投影才是可見的；否則，就不可見。求曲面立體相貫線的一般方法與步驟根據(jù)共有性這一性質，求相貫線可歸結為求一系列相貫點的問題，常用方法為積聚性法、輔助平面法、輔助同心球面法。作圖步驟：

Ⅰ.找出一系列特殊相貫點；

Ⅱ.求出若干一般相貫點；

Ⅲ.判別可見性；

Ⅳ.順次連接各點的同面投影。第24頁,共40頁，2024年2月25日，星期天一、表面取點法當兩個立體中有一個立體表面的投影具有積聚性時，可以用在曲面立體表面上取點的方法作出這些點的投影。在求作相貫線上的這些點時，與求作曲面立體的截交線一樣，應在可能和方便的情況下，適當?shù)刈鞒鲆恍┰谙嘭灳€上的特殊點，即能夠確定相貫線的投影范圍和變化趨勢的點，如相貫體的曲面投影的轉向輪廓線上的點，以及最高、最低、最左、最右、最前、最后點等，然后按需要再求作相貫線上一些其它的一般點，從而準確地連得相貫線的投影，并表明可見性。只有一段相貫線同時位于兩個立體的可見表面上時，這段相貫線的投影才是可見的；否則，就不可見。第25頁,共40頁，2024年2月25日，星期天求作軸線垂直相交兩圓柱的相貫線yyyy1、作特殊點2、作一般位置點3、光滑連接注意：相貫線始終彎向大圓柱的軸線方向。4’3’2’1’1”12（2”）3”434”作圖步驟：

分析:已知相貫線的水平投影和側面投影

求作：正面投影第26頁,共40頁，2024年2月25日，星期天二、利用輔助平面法求相貫線

求作兩曲面立體的相貫線時，假設用輔助平面截切兩相貫體，則得兩組截交線，其交點是兩個相貫體表面和輔助平面的共有點（三面共點），即為相貫線上的點。為了能簡便地作出相貫線上的點，應選取特殊位置平面作為輔助平面，并使輔助平面與兩回轉體的截交線的投影為最簡圖形（直線或圓）。利用輔助平面法求相貫線的作圖步驟：（１）選取合適的輔助平面；（２）分別求出輔助平面與兩回轉體的截交線；（３）求出兩截交線的交點，即相貫線上的點。第27頁,共40頁，2024年2月25日，星期天[例題]求圓柱與圓錐的相貫線yyPW1PV15"yy5'PV2PW23"PV3PW37"11'1"2'2"2573'37'解題步驟分析相貫線的側面投影已知，可利用輔助平面法求共有點；1求出相貫線上的特殊點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；2求出若干個一般點Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ；3光滑且順次地連接各點，作出相貫線，并且判別可見性；4整理輪廓線。第28頁,共40頁，2024年2月25日，星期天三、相貫線的特殊情況1.圓柱與圓柱相貫2.圓柱與圓柱孔相貫3.圓柱孔與圓柱孔相貫在一般情況下，兩回轉體的相關線為封閉的空間曲線。但是，在一些特殊情況下，也可能是平面曲線和直線。以經(jīng)常遇到的圓柱相貫為例歸納介紹如下：第29頁,共40頁，2024年2月25日，星期天1.圓柱與圓柱相貫①圓柱與圓柱相貫兩圓柱軸線相交垂直相交（正交）傾斜相交（斜交）②兩圓柱軸線平行：兩條平行與軸線的直線③兩圓柱軸線交叉（偏交）第30頁,共40頁，2024年2月25日，星期天圓柱正交直徑和位置變化時相貫線的變化第31頁,共40頁，2024年2月25日，星期天實例分析兩直徑相等的圓柱其軸線相交成直角，其相貫線是兩個相同的橢圓（平面曲線）這兩個橢圓的正面投影是兩條相交且等長的直線段，其水平投影與直立圓柱的水平投影重合。第32頁,共40頁，2024年2月25日，星期天２.圓柱與圓柱孔相貫第33頁,共40頁，2024年2月25日，星期天３.圓柱孔與圓柱孔相貫第34頁,共40頁，2024年2月25日，星期天四、相貫線的簡化畫法

在不引起誤解時，圖形中的相貫線可以簡化成圓弧或直線。例如，軸線正交且平行于V面的兩圓柱相貫，相貫線的V面投影可以用與大圓柱半徑相等的圓弧來代替。圓弧的圓