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文檔簡介
重慶市開州區(qū)2023-2024學(xué)年九上數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)檢測試題
請考生注意:
1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答
案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。
2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》,按規(guī)定答題。
一、選擇題(每小題3分,共30分)
1.如圖,在直線/上有相距7cm的兩點A和。(點A在點。的右側(cè)),以。為圓心作半徑為1cm的圓,過點A作直
線AB丄/.將。以2cm/s的速度向右移動(點。始終在直線/上),則。與直線在______秒時相切.
B
A
A.3B.3.5C.3或4D.3或3.5
2.駆是方程+/2%+加=0的一個根,且團(tuán)。0,則〃2+九的值為()
__1_
A.-1B.1C.D.
~22
3.順次連接矩形各邊中點得到的四邊形是()
A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形
4.如圖,AB為。的直徑,。為。。上一點,弦AD平分NA4C,交BC于點E,AB=6,AD=5,則OE的長
為()
B.2.5C.2D.1.8
5.如圖,在厶4?。中,點。,瓦廠分別在邊AB,AC,上,RDEI/BCEF/IAB,則下列結(jié)論不一定成立的是
ADAEBDCE八ADBDABAD
A______.一____O
A.--------------1——---------DC.-D.-
EFEC、~BF~~CFAECEBCBF
6.如圖,已知DE/7BC,CD和BE相交于點0,SADOE:SACOB=4:9,貝!JAE:EC為()
7.若一個圓錐的底面積為4萬劭2,圓錐的高為4后cm,則該圓錐的側(cè)面展開圖中圓心角的度數(shù)為()
A.40°B.80°C.120°D.150°
(
8.如果2x=3y,那么土的值為)
y
2235
A.-B.-C.—D.一
3523
9.如圖,矩形紙片ABC。中,48=4,AD=3,折疊紙片使A。邊落在對角線8。上,點4落在點4處,折痕為OG,
求AG的長為()
3
10.如圖,在等腰ABC中,=丄AC于點。,cosA=g,貝iJs比NC8D的值()
11.如圖是拋物線.1=以2+瓜+c(a*o)圖象的一部分,拋物線的頂點坐標(biāo)為A(l,3),與x軸的一個交點為8(4,0),
點A和點8均在直線%=如+〃(根彳°)上?①2a+/?=0;?abc>0;③拋物線與x軸的另一個交點時(-4,0);④
方程or?+歷c+c=-3有兩個不相等的實數(shù)根;⑤a—)+(?<4加+”;⑥不等式〃ix+〃>ax?+bx+c的解集為
1<%<4.
上述六個結(jié)論中,其中正確的結(jié)論是.(填寫序號即可)
12.如圖,在aABC中,P是AB邊上的點,請補充一個條件,使△ACPs^ABC,這個條件可以是:一(寫出一個
即可),
13.如圖,48為。。的直徑,點尸為A8延長線上的一點,過點P作。。的切線PE,切點為過A、B兩點分別
作PE的垂線AC、BD,垂足分別為C、D,連接4M,則下列結(jié)論正確的是.(寫出所有正確結(jié)論的序號)
①AM平分NC45;
@AM2=AC?AB;
■jr
③若A5=4,NAPE=30°,則的長為§;
④若AC=3,BD=1,則有CM=OM=百.
4
14.雙曲線必、力在第一象限的圖像如圖,x=一,過X上的任意一點A,作X軸的平行線交力于8,交y軸于C,
X
若=1,則%的解析式是.
3
15.如圖,在RtAABC中,ZACB=90°,D是AB的中點,過D點作AB的垂線交AC于點E,BC=6,sinA=1,則
DE=
16.一只不透明的袋子中裝有紅球和白球共3()個,這些球除了顏色外都相同,校課外學(xué)習(xí)小組做摸球試驗,將球攪勻
后任意摸出一個球,記下顏色后放回、攪勻,通過多次重復(fù)試驗,算得摸到紅球的頻率是20%,則袋中有.
17.如圖,在二。中,弦A5=4,點C在AB上移動,連結(jié)OC,過點。作CD丄OC交一。于點O,則。。的最
大值為
18.如圖,在網(wǎng)格中,小正方形的邊長均為1,點A,B,C都在格點上,則tanNA6C=.
三、解答題(共66分)
19.(10分)(1)x2+2x-3=0
(2)(x-1)(x-1)
20.(6分)如圖,已知二次函數(shù)》=必-4*+3圖象與x軸分別交于點8、D,與y軸交于點C,頂點為A,分別連接
AB,BC,CD,DA.
(1)求四邊形A5C。的面積;
21.(6分)如圖1,已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點M(-2,-1),且尸(-1,-2)為雙曲線上的一
點,。為坐標(biāo)平面上一動點,叢垂直于x軸,垂直于y軸,垂足分別是A、B.
(1)寫出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式;
(2)當(dāng)點。在直線上運動時,直線M0上是否存在這樣的點Q,使得A08。與AOA尸面積相等?如果存在,請
求出點的坐標(biāo),如果不存在,請說明理由;
(3)如圖2,當(dāng)點。在第一象限中的雙曲線上運動時,作以0P、0。為鄰邊的平行四邊形OPCQ,求平行四邊形OPCQ
周長的最小值.
22.(8分)如圖①,在等腰AABC和AADE中,AB=AC,AD=AE,且NBAC=NDAE=120。.
(1)求證:AABD^AACE;
(2)把AADE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖②的位置,連接CD,點M、P、N分別為DE、DC、BC的中點,連接
MN、PN、PM,判斷APMN的形狀,并說明理由;
(3)在(2)中,把AADE繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn),若AD=4,AB=6,請分別求出APMN周長的最小值與最大值.
圖①圖②
23.(8分)已知實數(shù)。滿足〃+。=0,求」一—爐+的值.
。+1ct~-1—2。+1
24.(8分)一次函數(shù)產(chǎn)處x+b和反比例函數(shù)y=厶的圖象相交于點P(/n-1,n+1),點Q(0,a)在函數(shù)產(chǎn)加+白的
x
圖象上,且小,〃是關(guān)于x的方程如2-(3a+l)X+2(a+1)=0的兩個不相等的整數(shù)根(其中a為整數(shù)),求一次函數(shù)
和反比例函數(shù)的解析式.
25.(10分)如圖,在中,點E是邊AO上一點,延長CE到點F,使NFBC=NDCE,且產(chǎn)8與40相交于點
G.
(1)求證:NO=NF;
(2)用直尺和圓規(guī)在邊上作出一點P,使△BPCs/iCDP,并加以證明.(作圖要求:保留痕跡,不寫作法.)
26.(10分)已知二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象如圖所示,它與x軸的一個交點坐標(biāo)為(-1,0),與y軸的交點坐標(biāo)
為(0,3).
(1)求出b,c的值,并寫出此二次函數(shù)的解析式;
(2)根據(jù)圖象,寫出函數(shù)值y為正數(shù)時,自變量x的取值范圍.
參考答案
一、選擇題(每小題3分,共30分)
1、C
【分析】根據(jù)。與直線AB的相對位置分類討論:當(dāng)。在直線AB左側(cè)并與直線AB相切時,根據(jù)題意,先計算O
運動的路程,從而求出運動時間;當(dāng)。在直線AB右側(cè)并與直線AB相切時,原理同上.
【詳解】解:當(dāng)在直線AB左側(cè)并與直線AB相切時,如圖所示。
的半徑為1cm,AO=7cm
/.。運動的路程。。1=AO—A。1=6cm
???。以2cm/s的速度向右移動
,此時的運動時間為:。。1+2=3s;
當(dāng)。在直線AB右側(cè)并與直線AB相切時,如圖所示。2
V02的半徑為1cm,AO=7cm
二O運動的路程。。2=AO+AO2=8cm
V。以2cm/s的速度向右移動
二此時的運動時間為:OQ+2=4S;
綜上所述:。與直線A3在3或4秒時相切
故選:C.
【點睛】
此題考査的是直線與圓的位置關(guān)系:相切和動圓問題,掌握相切的定義和行程問題公式:時間=路程+速度是解決此題
的關(guān)鍵.
2、A
【解析】將m代入關(guān)于x的一元二次方程x2+nx+m=0,通過解該方程即可求得m+n的值.
【詳解】解:???m是關(guān)于x的一元二次方程x2+nx+m=O的根,
/.m2+nm+m=O,
m(m+n+1)=0;
又,.,mWO,
m+n+l=O,
解得m+n=-l;
故選:A.
【點睛】
本題考査了一元二次方程的解的定義.一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)的解一定滿足該一元二次方程的關(guān)系式.
3、C
【分析】根據(jù)三角形的中位線定理,得新四邊形各邊都等于原四邊形的對角線的一半,進(jìn)而可得連接對角線相等的四
邊形各邊中點得到的四邊形是菱形.
【詳解】解:如圖,矩形A8CD中,
/.AC=BD,
E,E,G,〃分別為四邊的中點,
EF//BD,EF=-BD,GH//BD,GH=-BD,FG=-AC,
222
:.EF//GH,EF=GH,
四邊形ABC。是平行四邊形,
AC=BD,EF=-BD,FG=-AC,
22
EF=FG,
四邊形EFG”是菱形.
故選C.
【點睛】
本題主要考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定,以及三角形中位線定理,關(guān)鍵是掌握三角形的中位線定理及菱形的判定.
4、A
【分析】連接BD、CD,由勾股定理先求出BD的長,再利用△ABDs^BED,得出”=%,可解得DE的長.
DBAD
【詳解】連接BD、CD,如圖所示:
:AB為(DO的直徑,
/.ZADB=90",
:?BD=AB1-AD1=依-52=Vil,
?.?弦AD平分NBAC,
.*.CD=BD=VTT,
/.ZCBD=ZDAB,
在4ABD和ABED中,
ZBAD=ZEBD,NADB=NBDE,
/.△ABD^ABED,
2
.DE_DBdb.(vn)H
,?r>R~An'卩DE=-----=-———=—'
DBADAD55
解得DE=1.1.
故選:A.
【點睛】
此題主要考查了三角形相似的判定和性質(zhì)及圓周角定理,解答此題的關(guān)鍵是得出△ABDsaBED.
5、B
【分析】根據(jù)相似三角形平行線分線段成比例的性質(zhì),分別判定即可.
(詳解】DE//BC,EFHAB
A£)AE
,NA=NCEF,ZADE=ZABC,NCFE=NABC,——=—
BDCE
:.ZADE=ZCFE,—=—,C選項正確;
AECE
/.△ADE^AEFC
AnAF
,笠=及,A選項正確;
EFEC
pADAEBF
?AB-AC-BC
ABAD3y-五
??—————>D選項正確
BCBF
..ADAEBF
'~BD~~CE~~CF
.BDCE
..——=——不成立
BFCF
故答案為B.
【點睛】
此題主要考查相似三角形平行線分線段成比例的運用,熟練掌握,即可解題.
6、A
【解析】試題解析:???EZ)〃5C,
DOEs二COB,_AED^一ACB.
DOEs_COB,SIX)F:SBOC=4:9,
:.ED:BC—2:3.
;AAE*二ACB,
:.ED:BC=AE:AC.
ED:BC=2:3;'1EDBC=AEAC,
AE:AC=2:3,AE:EC=2:1.
故選A.
點睛:相似三角形的性質(zhì):相似三角形的面積比等于相似比的平方.
7、C
【分析】根據(jù)圓錐底面積求得圓錐的底面半徑,然后利用勾股定理求得母線長,根據(jù)圓錐的母線長等于展開圖扇形的
半徑,求出圓錐底面圓的周長,也即是展開圖扇形的弧長,然后根據(jù)弧長公式可求出圓心角的度數(shù).
【詳解】解:???圓錐的底面積為4;rcm2,
...圓錐的底面半徑為2cm,
二底面周長為4”,
圓錐的高為4行cm,
:,由勾股定理得圓錐的母線長為6cm,
設(shè)側(cè)面展開圖的圓心角是n。,
根據(jù)題意得:豐=4北,
180
解得:n=l.
故選:C.
【點睛】
本題考査了圓錐的計算,正確理解圓錐的側(cè)面展開圖與原來的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵,理解圓錐的母線長
是扇形的半徑,圓錐的底面圓周長是扇形的弧長.
8、C
【分析】由已知條件2x=3y,根據(jù)比例的性質(zhì),即可求得答案.
【詳解】解:..2=3丫,
.13
??一=—.
y2
故選c.
【點睛】
本題考查比例的性質(zhì),本題考查比較簡單,解題的關(guān)鍵是注意比例變形與比例的性質(zhì).
9,A
【分析】由在矩形紙片中,AB=4,AD=3,可求得80的長,由折疊的性質(zhì),即可求得A超的長,然后設(shè)AG=x,
由勾股定理即可得:X2+22=(4-X)\解此方程即可求得答案.
【詳解】解:???四邊形是矩形,
:.ZA=90°,
JBD=丿心+厶庁=5,
由折疊的性質(zhì),可得:AfD=AD=3A,G=AG,ZDA!G=90°,
AAfB=BD-A'。=5-3=2,
設(shè)AG=x,
貝!|A,G=x,BG=AB-AG=4-x,
在RtAA'BG中,由勾股定理得:AG?+A'B2=BG2,
22
.-.X+4=(4-X),
3
解得:%=-,
2
:.AG=—.
2
故選:A.
【點睛】
考査折疊的性質(zhì),矩形的性質(zhì),勾股定理等知識點,熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
10、D
332
【分析】先由cosA=g,易得=由A5=AC可得=進(jìn)而用勾股定理分別將BD、BC長用
AB表示出來,再根據(jù)sinNC3Q=jCD即可求解.
BC
3
【詳解】解:???80丄AC,cavA=-,
3
???AD=-AB9
5
:.BD=JAB2_(|回=^AB,
又???AB=AC,
2
/.CD=AB-AD=-AB,
在Rj£)5c中,BC=y/BD2+CD)==^-AB,
-ABR
:,sinZCBD=3-=—,
幣AB5
5
故選:D
【點睛】
本題主要考査了解三角形,涉及了等腰三角形性質(zhì)和勾股定理以及三角函數(shù)的定義.此題難度適中,注意掌握輔助線
的作法,注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
二、填空題(每小題3分,共24分)
11,
【分析】①由對稱軸x=l判斷;②根據(jù)圖象確定a、b、c的符號;③根據(jù)對稱軸以及B點坐標(biāo),通過對稱性得出結(jié)果;
③根據(jù)以2+厶+°=一3的判別式的符號確定;④比較x=l時得出力的值與x=4時得出yz值的大小即可;⑤由圖象得
出,拋物線總在直線的下面,即y2>yi時x的取值范圍即可.
b
【詳解】解:①因為拋物線的頂點坐標(biāo)A(1,3),所以對稱軸為:x=l,則--=1,2a+b=0,故①正確;
2a
②:拋物線開口向下,,aV0,對稱軸在y軸右側(cè),...b〉。,:?拋物線與y軸交于正半軸,,c>0,...abcVO,故
②不正確;
③拋物線對稱軸為x=l,拋物線與x軸的交點B的坐標(biāo)為(4,0),.?.根據(jù)對稱性可得,拋物線與x軸的另一個交點坐
標(biāo)為(-2,0),故③不正確;
④:拋物線與x軸有兩個交點,."24?:>0,ar2+區(qū)+c=-3的判別式,J=b2-4a(c+3)=b2-4ac-12a,Xa<0,
.,.-12a>0,Ad=b2-4ac-12a>0,故④正確:
⑤當(dāng)x=-l時,y尸a-b+c>0;當(dāng)x=4時,y2=4m+n=0,.\a-b+c>4m+n,故⑤不正確;
⑥由圖象得:〃優(yōu)+〃>奴2+Z?x+c的解集為xVl或x>4;故⑥不正確;
則其中正確的有:①④.
故答案為:①④.
【點睛】
本題選項較多,比較容易出錯,因此要認(rèn)真理解題意,明確以下幾點是關(guān)鍵:①通常2a+b的值都是利用拋物線的對稱
軸來確定;②拋物線與x軸的交點個數(shù)確定其△的值,即b2-4ac的值:△=b2-4ac>0時,拋物線與x軸有2個交點;
△=b2-4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點;△=b2-4acV0時,拋物線與x軸沒有交點;③知道對稱軸和拋物線的一個
交點,利用對稱性可以求與x軸的另一交點.
—APAC,
12、NACP=NB(或一=—).
ACAB
【分析】由于4ACP與AABC有一個公共角,所以可利用兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似或有
兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似進(jìn)行添加條件.
【詳解】解:?.?NPAC=NCAB,
.?.當(dāng)NACP=NB時,AACP^AABC;
APAC
當(dāng)——=——時,AACP^AABC.
ACAB
ApAT
故答案為:ZACP=ZB(或匸==).
ACAB
【點睛】
本題考查了相似三角形的判定:兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似:有兩組角對應(yīng)相等的兩個三
角形相似.
13、CD??
【解析】連接OM,由切線的性質(zhì)可得OM丄PC,繼而得OM〃AC,再根據(jù)平行線的性質(zhì)以及等邊對等角即可求得
ZCAM=ZOAM,由此可判斷①;通過證明△ACMsaAMB,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例可判斷②;求出NMOP
=60°,利用弧長公式求得8M的長可判斷③;由BD丄PC,AC丄PC,OM丄PC,可得BD〃AC〃OM,繼而可得
PB=OB=AO,PD=DM=CM,進(jìn)而有OM=2BD=2,在R3PBD中,PB=BO=OM=2,利用勾股定理求出PD的長,
可得CM=DM=DP=G,由此可判斷④.
【詳解】連接OM,
E
AOM±PC,
???AC丄PC,
,OM〃AC,
AZCAM=ZAMO,
VOA=OM,
ZOAM=ZAMO,
AZCAM=ZOAM,即AM平分NCAB,故①正確;
〈AB為。。的直徑,
AZAMB=90°,
VZCAM=ZMAB,ZACM=ZAMB,
AAACM^AAMB,
.ACAM
**AM-AB*
AAM12=3AC*AB,故②正確;
VZAPE=30°,
:.ZMOP=ZOMP-ZAPE=90°-30°=60°,
VAB=4,
AOB=2,
.??BM的長為黑詈=弓兀,故③錯誤;
1o()3
VBD±PC,AC±PC,OM±PC,
ABD#AC//OM,
/.APBD^APAC,
PBBD1
??.—__―,
PAAC3
1
APB="PA,
3
XVAO=BO,AO+BO=AB,AB+PB=PA,
/.PB=OB=AO,
XVBD/7AC//OM,
.,.PD=DM=CM,
;.OM=2BD=2,
在RtZ\PBD中,PB=BO=OM=2
APD=VPB2-BD2=V3,
,CM=DM=DP=g,故④正確,
故答案為①@④.
【點睛】
本題考査了切線的性質(zhì),平行線分線段成比例定理,相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理等,綜合性較強,正確添加
輔助線,熟練掌握和靈活運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.
6
14、%=一
x
4
【分析】根據(jù)y尸一,過屮上的任意一點A,得出ACAO的面積為2,進(jìn)而得出ACBO面積為3,即可得出yz的解析
x
式.
4
【詳解】解:???y尸—,過yi上的任意一點A,作X軸的平行線交y2于B,交y軸于C,
X
=
:?SAAOC-x4=2,
2
=
?SAAOB19
AACBO面積為3,
:.k=xy=6,
,y2的解析式是:丫2=纟.
X
故答案為yz=9.
X
15
、
15~4
3
【詳解】???在RtAABC中,BC=6,sinA=-
AAB=10
AC—A/102—62=8?
:D是AB的中點,.\AD=-AB=1.
2
VZC=ZEDA=90",ZA=ZA
/.AADE^>AACB,
.DEAD
**BC-AC
nnDE5
68
解得:DE=?
4
16、1
【分析】在同樣條件下,大量反復(fù)試驗時,隨機事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近,可以從比例關(guān)系入手,列出方
程求解.
【詳解】設(shè)袋中有x個紅球.
X
由題意可得:—X100%=20%,
30
解得:x=6,
故答案為:1.
【點睛】
本題主要考査了利用頻率估計概率,本題利用了用大量試驗得到的頻率可以估計事件的概率.關(guān)鍵是根據(jù)紅球的頻率
得到相應(yīng)的等量關(guān)系.
17、2
【分析】連接OD,根據(jù)勾股定理求出CD,利用垂線段最短得到當(dāng)OC丄AB時,OC最小,根據(jù)垂徑定理計算即可;
【詳解】如圖,連接OD,
VCD1OC,
.,.ZDCO=90o,
:?CD=Jo£)2_002=弁_OC2,
當(dāng)OC的值最小時,CD的值最大,OC丄AB時,OC最小,此時D、B兩點重合,
.*.CD=CB=-AB=2,即CD的最大值為2;
2
故答案為:2.
【點睛】
本題主要考查了勾股定理,垂徑定理,掌握勾股定理,垂徑定理是解題的關(guān)鍵.
1
18^—
2
【分析】連接AC,根據(jù)網(wǎng)格特點和正方形的性質(zhì)得到NBAC=90°,根據(jù)勾股定理求出AC、AB,根據(jù)正切的定義
計算即可.
【詳解】連接AC,
由網(wǎng)格特點和正方形的性質(zhì)可知,ZBAC=90°,
根據(jù)勾股定理得,AC=后,AB=2行,
巾AC1
則tanZABC=——=一,
AB2
故答案為:—.
2
【點睛】
本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理及其逆定理的應(yīng)用,在直角三角形中,銳角的正弦為對邊比斜邊,余弦
為鄰邊比斜邊,正切為對邊比鄰邊.
三、解答題(共66分)
19^(1)x=-3或x=l;(2)x=l或x=4.
【分析】(1)用因式分解法求解即可;
(2)先移項,再用因式分解法求解即可.
【詳解】解:(1)Vx2+2x-3=0,
A(x+3)(x-1)=0,
.*.x=-3或x=l;
(2)V(x-l)2=3(x-1),
A(x-l)[(x-1)-3]=0,
/.(x-l)(x-4)=0,
/.x=l或x=4;
【點睛】
本題考査了一元二次方程的解法,常用的方法由直接開平方法、配方法、因式分解法、求根公式法,靈活選擇合適的
方法是解答本題的關(guān)鍵.
20、(1)4;(2)x>3或xVl.
【分析】(1)四邊形A5CD的面積=丄X8OX(XC-XA)=-X2X(3+1)=4;
22
(2)從圖象可以看出,當(dāng)y>0時,自變量x的取值范圍是:x>3或xVl,即可求解.
【詳解】(1)函數(shù)>=產(chǎn)-4》+3圖象與x軸分別交于點5、D,與y軸交于點C,頂點為4,
則點B、D、C、A的坐標(biāo)分別為:(3,0)、(1,0)、(0,3)、(2,-1);
四邊形A8CQ的面積=丄X5ZJX(xc-xt)=-X2X(3+1)=4;
22
(2)從圖象可以看出,當(dāng)y>0時,自變量x的取值范圍是:x>3或xVl,
故答案為:x>3或x<l.
【點睛】
本題考查二次函數(shù)的圖形和性質(zhì),解題時需注意將四邊形的面積轉(zhuǎn)化為三角形的面積進(jìn)行計算,四邊形ABC。的面積
=-XBDX(XC-XA).
2
[2
21、(1)y=—;(2)存在,0(2,1)和0(-2,-1);(3)275+1
2x
【分析】(1)正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點M(-2,-1),待定系數(shù)法可求它們解析式;
(2)由點Q在上,設(shè)出Q點坐標(biāo),蓑示AOBQ,由反比例函數(shù)圖象性質(zhì),可知AOAP面積為1,則根據(jù)面積
相等可構(gòu)造方程,問題可解;
(3)因為四邊形OPCQ是平行四邊形,所以O(shè)P=CQ,OQ=PC,而點P(-1,-2)是定點,所以0P的長也是定長,所以要
求平行四邊形OPCQ周長的最小值就只需求0Q的最小值.
【詳解】解:(1)設(shè)正比例函數(shù)解析式為
將點M(-2,-1)坐標(biāo)代入得A=g,所以正比例函數(shù)解析式為y=gx,
同樣可得,反比例函數(shù)解析式為y=2;
X
(2)當(dāng)點。在直線OM上運動時,
設(shè)點。的坐標(biāo)為。(,〃,
于是S^OBQ—JOB*BQ=;xJ/nx?n=:m2,
而S^OAP—\—(-1)x(-2)|=1,
所以有,丄-=1,解得機=±2,
4
所以點。的坐標(biāo)為0(2,1)和0(-2,-1);
(3)因為四邊形。PCQ是平行四邊形,所以。P=C。,OQ=PC,
而點尸(-1,-2)是定點,所以。尸的長也是定長,
所以要求平行四邊形OPC。周長的最小值就只需求的最小值,
2
因為點。在第一象限中雙曲線上,所以可設(shè)點。的坐標(biāo)為。(〃,一),
n
42
由勾股定理可得0。="2+==(〃--)2+1,
n~n
22
所以當(dāng)(/I-----)2=0即"----=0時,0。有最小值1,
nn
又因為0。為正值,所以。。與0Q2同時取得最小值,
所以。。有最小值2,由勾股定理得0尸=后,
所以平行四邊形OPCQ周長的最小值是2(OP+OQ)=2(75+2)=2亞+1.
(或因為反比例函數(shù)是關(guān)于y=x對稱,所以當(dāng)。在反比例函數(shù)時候,。。最短的時候,就是反比例與y=x的交點時
候,聯(lián)立方程組即可得到點。坐標(biāo))
【點睛】
此題考查一次函數(shù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì),解答關(guān)鍵是運用數(shù)形結(jié)合思想解決問題.
22、(1)證明見解析;(2)APMN是等邊三角形.理由見解析;(3)APMN周長的最小值為3,最大值為1.
【解析】分析:(1)由NBAC=NDAE=120°,可得NBAD=NCAE,再由AB=AC,AD=AE,利用SAS即可判定
△ABD^AADE;(2)△PMN是等邊三角形,利用三角形的中位線定理可得
PM=-CE,PM〃CE,PN=-BD,PN〃BD,同(1)的方法可得BD=CE,即可得PM=PN,所以APMN是等腰三
22
角形;再由PM〃CE,PN//BD,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NDPM=NDCE,ZPNC=ZDBC,因為
ZDPN=ZDCB+ZPNC=ZDCB+ZDBC,所以
ZMPN=ZDPM+ZDPN=ZDCE+ZDCB+ZDBC=ZBCE+ZDBC=ZACB+ZACE+ZDBC=ZACB+ZABD+ZDBC
=NACB+NABC,再由NBAC=120。,可得NACB+NABC=60。,即可得NMPN=60。,所以APMN是等邊三角
形;(3)由(2)知,APMN是等邊三角形,PM=PN=:BD,所以當(dāng)PM最大時,APMN周長最大,當(dāng)點D在AB
上時,BD最小,PM最小,求得此時BD的長,即可得APMN周長的最小值;當(dāng)點D在BA延長線上時,BD最大,
PM的值最大,此時求得厶PMN周長的最大值即可.
詳解:
(1)因為NBAC=NDAE=120。,
所以NBAD=NCAE,又AB=AC,AD=AE,
所以AABD^AADE;
(2)△PMN是等邊三角形.
理由:?.,點P,M分別是CD,DE的中點,
.,.PM=-CE,PM/7CE,
2
??,點N,M分別是BC,DE的中點,
/.PN=-BD,PN〃BD,
2
同(1)的方法可得BD=CE,
,PM=PN,
/.△PMN是等腰三角形,
VPM/7CE,/.ZDPM=ZDCE,
VPN77BD,,,.ZPNC=ZDBC,
,:ZDPN=ZDCB+ZPNC=ZDCB+ZDBC,
.?.ZMPN=ZDPM+ZDPN=ZDCE+ZDCB+ZDBC=ZBCE+ZDBC
=ZACB+ZACE+ZDBC=ZACB+ZABD+ZDBC=ZACB+ZABC,
VZBAC=120°,.,.ZACB+ZABC=60°,
二ZMPN=60°,
/.△PMN是等邊三角形.
(3)由⑵知,APMN是等邊三角形,PM=PN=^BD,
,PM最大時,APMN周長最大,
.?.點D在AB上時,BD最小,PM最小,
.,.BD=AB-AD=2,/kPiVIN周長的最小值為3;
點D在BA延長線上時,BD最大,PM最大,
,BD=AB+AD=10,/kPiyiN周長的最大值為1.
故答案為厶PMN周長的最小值為3,最大值為1
點睛:本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、三角形的中位線定理、等邊三角形的判定,解決第(3)問,要明確
點D在AB上時,BD最小,PM最小,APMN周長的最??;點D在BA延長線上時,BD最大,PM最大,△PMN
周長的最大值為1.
2
23、TT,2.
(a+1)
【分析】先根據(jù)分式的運算法則把所給代數(shù)式化簡,然后解一元二次方程〃+。=0求出a的值,把能使分式有意義
的值代入化簡的結(jié)果計算即可.
【詳解】解:原式=」一一(“了1
a+1(<2+l)(a-l)(Q+1)(Q+2)
1a—1
~a+\(?+l)*2
Q+1-〃+1
(。+1『
2
■:/+Q=0,
,a(a+l)=O,
:.4=0,a?~—1,
?.,Q+INO,a。—1,
,當(dāng)。=0時,原式=2.
【點睛】
本題
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