2023屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)收官卷（含解析）(北京專用)

2023屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)收官卷（一）（北京卷）

一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題

目要求的一項(xiàng).）

1.（2022?北京?潞河中學(xué)三模）已知集合4={》［-3＜》＜3/€2},3=3-1＜》42},則

AB=

A.(-1,2)B.(—1,2]C.{0,1}D.{0,1,2}

【答案】D

【詳解】解：因?yàn)锳={d—3＜x＜3,xeZ}={-2,—1,0,1,2},

則A3={0,1,2}.

故選：D.

2.（2022?北京房山?一模）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,-1），則z-z=

C.5-4iD.3-4i

【答案】A

【詳解】由題意知，z=2—i,z=2+i,z-z=（2-i）（2+i）=4-i2=5.

故選：A.

3.（2022?北京?模擬預(yù)測(cè)）已知直線y="+I與圓Y-4x+y2=o相交于例，N兩點(diǎn),

且|MN|..2G，那么實(shí)數(shù)％的取值范圍是（）

1444

A.—4領(lǐng)"—B.0領(lǐng)kL—C.A..0或k?――D.—領(lǐng)k0

3333

【答案】D

【詳解】圓化簡(jiǎn)為標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-2『+y2=4,圓心（2,0）到直線y=H+l的距離

4

解得：-產(chǎn)V。.

故選：D

4.（2022?北京?首都師范大學(xué)附屬中學(xué)三模）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在（0,2）上單

調(diào)遞減的是（）

A.y=2wB.y=-x3

Cx

C.y=cos—

2

【答案】C

【詳解】對(duì)于A,函數(shù)〃x)=2兇的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

且/(-x)=2H=2W=/(%),所以函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，

當(dāng)xe(0,2)時(shí)/(勸=2*,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，故A不符合題意;

對(duì)于B,函數(shù)/(x)=-d的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

且f(-x)=-(-幻3=/=-/(x)，所以函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，

由事函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)y=/在R上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)/(x)=-V在R上單調(diào)遞減，故B不符合題意；

對(duì)于C,函數(shù)/(x)=cos5的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

且/(-x)=cos(-1)=cosj=/(x),所以函數(shù)/(A)為偶函數(shù),

當(dāng)xe(0,2)時(shí)］e(O,l),又(0,1)三(0,5，

所以函數(shù)f(x)=cos5在(0,1)上單調(diào)遞減，故C符合題意;

2—r

對(duì)于D,函數(shù)f(x)=ln^—的定義域?yàn)?-2,2),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

2+x

且"-X)="=哈)T=Tn公T(x),

11_2x

所以/(X)是奇函數(shù)，又以(勸=

2-x2+x(2-x)(2+x)

令f"(x)<0=>-2<x<0,令f\x)>0=>0<x<2,

所以函數(shù)/(X)在(-2,0)上單調(diào)遞減，在(0,2)上單調(diào)遞增，故D不符合題意.

故選：C.

5.(2022?北京?首都師范大學(xué)附屬中學(xué)三模)設(shè)函數(shù)/(x)=；sin(ox+0),xeR,其中

6y＞0,際＜乃.若《胡=；,./?(陰=0,且相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離大于萬，則()

A,…=-小B.—

324312

c17萬、2Ibr

C.CO——---D.a)=—,(p=-----

324312

【答案】B

【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離大于7，所以f(x)的最小正周期大于2萬,

所以《＞方,

2

27r2

:.T=3兀，則—=3兀，即刃=不

5萬x咨+，得sin(o+當(dāng)=1.

o212

57c7C..jr

：.（p~-----=—F2QT,keZ.

122

因?yàn)榫W(wǎng)<萬，所以取％=0,得/=去

271

co=—,（p=—.

312

故選：B.

6.（2022?北京?模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列｛4｝,S“是數(shù)列｛q｝的前"項(xiàng)和，對(duì)任意的ne

N,均有*25“成立，則包的值不可能是（）

。6

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【詳解】根據(jù)題意，等差數(shù)列｛4｝，對(duì)任意的"€N*,均有SgS,,成立,即凡是等差數(shù)列｛%｝

的前〃項(xiàng)和中的最大值，

必有4>0,公差d<0,

分3種情況討論：

①4=0,此時(shí)$3=54,與、邑是等差數(shù)列僅“｝的前〃項(xiàng)和中的最大值，

此時(shí)4=4+31=0,則有勾=-31,

②為=0,此時(shí)邑=反，J、S$是等差數(shù)列｛《J的前〃項(xiàng)和中的最大值，

此時(shí)區(qū)=4+41=0,則有4=-4d,

%。%+9d5d

—=---------=—=5,

44+5dd

③4>0,見<0，色是等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和中的最大值，

此時(shí)甩=4+3">0,%=q+4"<0,則-3d<4<-4d,變形可得：-4<幺<-3,

3

幺+9

/二％+9d=d_4

1+—

%%+5d%+55.+5

dd

而多＜一3,則有3〈中＜5,

a4

綜合可得：3歿野5.

“6

故選：A.

7.（2022?北京市大興區(qū)興華中學(xué)三模）李明開發(fā)的小程序在發(fā)布時(shí)已有500名初始用戶，

經(jīng)過1天后，用戶人數(shù)A（f）=A（O）e",其中％為常數(shù).已知小程序發(fā)布經(jīng)過10天后有2000

名用戶，則用戶超過50000名至少經(jīng)過的天數(shù)為（）（本題取lg2=O.3O）

A.31B.32C.33D.34

【答案】D

【詳解】經(jīng)過f天后，用戶人數(shù)A（f）=A（O）e"

又小程序在發(fā)布時(shí)已有500名初始用戶

4（0）=500

又小程序發(fā)布經(jīng)過10天后有2000名用戶

???2（XX）=5（X）e10*

即4=*',可得愴4=Ige?

Alg4=10Z:lge.......①

當(dāng)用戶達(dá)到50000名時(shí)有50000=500/

即100=/,可得。100=lg*

2=kf/ge.......②

聯(lián)立①和②可得殍=w,即

2t2t

皿1010…

故『=---=——~33.3

1g20.3

.??用戶超過50000名至少經(jīng)過的天數(shù)為34天

故選：D.

8.（2022?北京?首都師范大學(xué)附屬中學(xué)三模）如圖，在正方體ABCO-AqGA中，E為

棱8c上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為棱用B的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（）

4

A.直線AA與直線E尸相交

B.當(dāng)E為棱BC上的中點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)E在平面尸的射影是點(diǎn)F

C,存在點(diǎn)E,使得直線AR與直線環(huán)所成角為30

D.三棱錐E-AD尸的體積為定值

【答案】D

【詳解】A：由題意知，AA//4G，8Gu平面8GCB,AR<Z平面BGCB

所以AA〃平面與C°B,

又EFu平面BCCB,所以A"與EF不相交，故A錯(cuò)誤；

B：連接A。、RF、AF、AE.CB,,如圖，

少--------

/；'尸'I

；

當(dāng)點(diǎn)E為8C的中點(diǎn)時(shí)，EF//CB、,又所以EFLAR,

若點(diǎn)E在平面AR尸的射影為尸，則EF上平面4。L，垂足為F,

所以EF_LAF,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則A￡=AF=>/^EF=&,

在AAEF中，AF2+EF2工AE?,所以ZAFE卡90°,

即砂_L”不成立，故B錯(cuò)誤；

C：建立如圖空間直角坐標(biāo)系。-孫z,連接BG，則4R〃8G，

所以異面直線EF與AD,所成角為直線EF與BC,所成角，

5

./

*產(chǎn)“r/

/\，/L

；m...JU-

//IT/r

jLii—中

X

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,若存在點(diǎn)E(a,2,0)(0M“M2)使得EF與8G所成角為30°,

則8(2,2,0),尸(2,2,1),C,(0,2,2),所以E戶=(2-〃0,1),配j=(—2,0,2),

所以EFBC；=2(i-2,又叵?■卜歸到陽際30°,

得|2〃-2|=2忘XJ(2-4)2+1X*,解得a=4±5

不符合題意，故不存在點(diǎn)E使得EF與A"所成角為30",故C錯(cuò)誤；

D：如圖，

%---------^c,

...

由等體積法可知VE-ADF=^F-ADE，

又/3=京叱8尸4*6人人8/，

AD.AB,8尸為定值，所以匕?7￡)￡為定值，

所以三棱錐E-4D尸的體積為定值，故D正確.

故選：D.

9.(2022?北京師大附中高二期中)當(dāng)〃EN時(shí)，將三項(xiàng)式(爐+工+1)”展開，可得到如圖

所示的三項(xiàng)展開式和“廣義楊輝三角形”：

(x2+1+1)。=1

(/+i+i)i=/+二+1

(①2+I+。2=勺4+2①3_|_3x2+2l+1

3

/+i+lj=謨+3^3_j_6/+7^3+QX2+3④+1

(x2+c+1/=x84-4x7+10x6+16x3+19x4+16x3+10x2+4c+1

6

廣義楊輝三角形

第0行1

第1行111

第2行12321

第3行1367631

第4行14101619161041

若在（1+的（d+x+l）5的展開式中，/的系數(shù)為75,則實(shí)數(shù)a的值為（）

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】C

【詳解】由廣義楊輝三角形可得

（x2+x+l）5=x'°+5x9+15xs+30X7+45x6+5\xs+45x4+30x3+15x2+5x+l,

故（1+詞（V+x+l）'的展開式中，苗的系數(shù)為15+30a=75,解得十=2.

故選：C.

10.（2022?北京市第三十五中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，△。與A，AA與A?是全等的等腰

直角三角形，片,色為直角頂點(diǎn)，。，4，42三點(diǎn)共線.若點(diǎn)耳，1分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)

（不包含端點(diǎn)）.記加則（）

A.m>nB.m<nC.D.加，〃大小不能確

【答案】B

【詳解】構(gòu)建如下圖示的直角坐標(biāo)系，令耳（等,*），四（呼,日），A（&，0），4（2血,（）），

所以，可設(shè)［（不夜—為），K22c.-且用€（?,忘），*2€（乎,2&）,

則巾=0片06=*%2+*（2血-/）=2，

7

n=OB20Pt=—Y~xt+^-（>/2-x,）=1+^X[e（2,3）,

所以m<n.

故選：B.

二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分.）

11.（2022?北京?清華附中模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)/"）=￥=的定義域?yàn)開__________.

Vl-x

【答案】（0,1）

fx>0

【詳解】由解析式知：，，、可得0<x<l,

[l-x>0

所以函數(shù)定義域?yàn)椋?,1）.

故答案為：（0,1）

12.（2022?北京市第十二中學(xué)三模）已知雙曲線（7:爐-*=1（6>0）的離心率為0,則

雙曲線。的漸近線方程為.

【答案】y=±x

2

【詳解】解：己知雙曲線C:/一方=1仍>0）的離心率為夜，

所以￡=Ji壽=血，解得力=i,

a

所以雙曲線。的漸近線方程為y=±x,

故答案為：y=±x

13.（2022?北京?首都師范大學(xué)附屬中學(xué)三模）若sintzcos/?-costzsin/=cos60,請(qǐng)寫出

一組符合題意的分B?

【答案】e=45。、0=15。（答案不唯一）

【詳解】解：因?yàn)閟inacos/?-cos<zsin/7=sin（a-〃），cos60=cos（90-30）=sin30,

所以sin（a-0=sin3O,

所以c—尸=30。+4*360。，keZ或a-4=150。+左x360。，ZeZ,

不妨令a=45。、6=15°；

故答案為：a=45。、4=15°（答案不唯一）

14.（2022?北京八十中模擬預(yù)測(cè)）同學(xué)們，你們是否注意到：自然下垂的鐵鏈；空曠的田

野上，兩根電線桿之間的電線；峽谷的上空，橫跨深澗的觀光索道的鋼索.這些現(xiàn)象中都有

相似的曲線形態(tài).事實(shí)上，這些曲線在數(shù)學(xué)上常常被稱為懸鏈線.懸鏈線的相關(guān)理論在工程、

航海、光學(xué)等方面有廣泛的應(yīng)用.在恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，這類函數(shù)的表達(dá)式可以為

〃司=m'+慶7（其中。，6是非零常數(shù)，無理數(shù)e=2.71828…），對(duì)于函數(shù)f（x）以下

8

結(jié)論正確的是.

①如果”=那么函數(shù)”X)為奇函數(shù)；

②如果ab<0,那么/(X)為單調(diào)函數(shù)；

③如果而>0,那么函數(shù)f(x)沒有零點(diǎn)；

④如果ab=1,那么函數(shù).f(x)的最小值為2.

【答案】②③

【詳解】對(duì)①：當(dāng)。=〃時(shí)，函數(shù)〃x)=aeT+ae',此時(shí)/(—x)=ae*+四一'=/(x)為偶函

數(shù)，故①錯(cuò)誤.

對(duì)②：當(dāng)，活<()時(shí)，令。>0,6<0,函數(shù)y="e'在其定義域上為單調(diào)遞增函數(shù)，函數(shù)>=二

e

在其定義域上也為單調(diào)遞增函數(shù)，故函數(shù)〃力=""+4在其定義域上為單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)

e

a<0,b>0,函數(shù)y=ae'在其定義域上為單調(diào)遞減函數(shù)，函數(shù)y=2在其定義域上也為單

e

調(diào)遞減函數(shù)，故函數(shù)〃力=改*+9在其定義域上為單調(diào)遞減函數(shù)；綜上：如果必<0,那

么/(X)為單調(diào)函數(shù)；故②正確.

對(duì)③：當(dāng)〃>0,。>0時(shí)，函數(shù)f(x)="+bl22Jae口bl=2而>0,

當(dāng)a<0力<0時(shí)，函數(shù)/(x)=-(-aex-be-')<-2^-aex)-(-be-x)=-2y[^b<0；

綜上：如果而>0,那么函數(shù)〃x)沒有零點(diǎn)；故③正確.

對(duì)④：由必=1,則人=」，

a

當(dāng)“<0⑦<0時(shí)，函數(shù)/(x)=-\-aex--e-'|<-2l(-a^)?[|=-2；

函數(shù)f(x)=ae'+-e-r>2laeA

當(dāng)a>0,b>0時(shí)、]x—1e-x=2c；

a

故必=1時(shí)，函數(shù)/(x)沒有最小值；故④錯(cuò)誤.

故答案為：②③

15.(2022?北京海淀?二模)在現(xiàn)實(shí)世界，很多信息的傳播演化是相互影響的.選用正實(shí)

數(shù)數(shù)列｛a,,｝,也｝分別表示兩組信息的傳輸鏈上每個(gè)節(jié)點(diǎn)處的信息強(qiáng)度，數(shù)列模型：

a“+i=%+次,(〃=1,2L),描述了這兩組信息在互相影響之下的傳播演化過程.

若兩組信息的初始信息強(qiáng)度滿足4>4,則在該模型中，關(guān)于兩組信息，給出如下結(jié)論:

①xz〃wN*q>包；

9

②V"eN",a"+|>a“也M>b?；

③女eN*,使得當(dāng)時(shí)，總有3-1<10一'°

2

④使得當(dāng)〃〉A(chǔ)B寸，總有q-2<

an

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是—

【答案】①②③

【詳解】因?yàn)閍“+i=2%+或,%]=a“+2/?“(〃=l,2L),兩式作差得。用-或,故

｛4-々｝為常數(shù)列,

即?！耙弧?%-4>0,故％>2,①正確;

因?yàn)?。e-?！??！?2也+|-2=4+2，又｛%｝,｛〃,｝為正實(shí)數(shù)數(shù)列，故?！?”>0,故

4+1>“”，%>2,②正確；

由上知，佚T="盧=陛"卜七色’因?yàn)?i為常數(shù)，｛〃｝為單增數(shù)列，故當(dāng)

〃一?+00時(shí)，0-0

bn

又I。/>0,故弘eN*,使得當(dāng)〃>&時(shí)，總有魯-1<10嗎③正確；

b?

生一2==4又％心,=4W,故也-2=九=J=1-厘，

%44凡可％4

因?yàn)?-4為常數(shù)，

｛%｝為單增數(shù)列，故當(dāng)時(shí)，馬盧一°，故④錯(cuò)誤.

故答案為：①②③.

三、解答題(共6小愿，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.)

16.(2022?北京?清華附中模擬預(yù)測(cè))在一ABC中，a=2^,a2+c2->j3ac=b2.

⑴求8；

(2)再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使一ABC存在且唯一確

定，求,AAC的面積.

條件①：h=3；

4

條件②：cosA=-；

條件③：一A3C的周長(zhǎng)為4+26.

10

TT

【答案】⑴B=7

o

(2)選擇條件②，選擇條件③S=

2

(1)

+c2b

由余弦定理知，cosB=--~=J^=—,

lac2ac2

TT

因?yàn)閒ie(0,7t),所以B=~.

6

(2)

選擇條件①：

把〃=2g,。=3代入片+/—6ac=Z?2中，化簡(jiǎn)得c?-6c+3=0,解得c=3土太，

所以存在兩個(gè)_"C,不符合題意；

選擇條件②：

43

因?yàn)閏osA=1,Ae(0,7i),所以sinA=w，

2島；_5G

ab

由正弦定理知,,所以6=-

sinAsinB^一亍

5

因?yàn)閟inC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=-x—+—xi=3G+'

525210

所以的面積S=LbsinC=Lx2gx^^x3?”=+4

223102

選擇條件③：

因?yàn)開AfiC的周長(zhǎng)為4+26，且a=2石，所以6+c=4,

Xa2+c2-yj3ac-b2,所以12+c?-6c=〃=(4-c>,解得人=。=2,

所以ABC的面積S=，acsin3=,x2石X2X1=G.

222

17.(2022?北京市H^一學(xué)校高三階段練習(xí))如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為

正方形，平面24。_L平面ABC。，PA±AD,R4=/W=2,在棱尸。上取點(diǎn)。，使得尸8〃

平面ACQ.

(1)求證：Q為尸。中點(diǎn)；

(2)求平面AC。與平面ABCD夾角的余弦值;

(3)求直線尸8到平面ACQ的距離.

11

p

【答案】(1)證明見解析

(2速

3

⑶拽

3

(1)

連接8。，交AC于點(diǎn)。，則平面「8。。平面ACQ=。。，

又因?yàn)槭?〃平面ACQ,PBu平面PBD,

則PB//OQ,

由于底面ABC。為正方形，所以點(diǎn)。為8。的中點(diǎn)，

因此可得。為9中點(diǎn).

(2)

由(1)知。是PD的中點(diǎn).

由于PAJ?平面ABCO,所以尸A,

故AB,A。,AP兩兩垂直，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,

C(2,2,0)00,1,1),

設(shè)平面ACQ的法向量為”=(x,y,z),

n?AQ=y+z=0

所以故可設(shè)”=(-U,-l),

〃AC=2x+2y=0

平面A8CO的法向量為”=(0,0,1),

平面AC。與平面A8CD夾角為6>,

?,-mn1G

則2麗=存=丁,

(3)

由于心〃平面AC。，則依到平面AC。的距離，即3到平面AC。的距離.

BC=AD=(0,2,0),

12

2_2y/3

B到平面AC。的距離為耳二亍

即直線可到平面4CQ的距離為亞.

18.(2022?北京?人大附中模擬預(yù)測(cè))某家電專賣店試銷A&C三種新型空調(diào)，銷售情

況如下表所示:

第一周第二周第三周第四周

A型數(shù)量(臺(tái))1110154

9

8型數(shù)量(臺(tái))1413B4

C型數(shù)量(臺(tái))61112C,

(1)從前三周隨機(jī)選一周，若A型空調(diào)銷售量比8型空調(diào)多，求A型空調(diào)銷售量比C型空

調(diào)多的概率；

(2)為跟蹤調(diào)查空調(diào)的使用情況，根據(jù)銷售記錄，從該家電專賣店第二周和第三周售出的空

調(diào)中分別隨機(jī)抽取一臺(tái)，求抽取的兩臺(tái)空調(diào)中A型空調(diào)臺(tái)數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)直接寫出一組兒,坊,C.的值，使得表中每行數(shù)據(jù)的方差相等.

【答案】⑴g

(2)分布列見解析；

⑶A=16,84=8,C4=7

(1)

13

2

解：記事件M為“A型空調(diào)銷售量比4型空調(diào)多"，則P(M)=］；

記事件N為“A型空調(diào)銷售量比C型空調(diào)多”，則P(W)=1；

故若A型空調(diào)銷售量比8型空調(diào)多，A型空調(diào)銷售量比C型空調(diào)多的概率為

「網(wǎng)"=弛絲」

1P(M)2'

(2)

解：由題可知，在第二周抽取A型空調(diào)的概率為2=:，第三周抽取A型空調(diào)的概率為

15_3

40-8,

X的可能取值為0,1,2,

255

故P(x=o)=§、=透

八152311

P(X==1)=—X—4--X—=—,

383824

13]_

P(X=2)=-x-=

388

故X的分布列為:

X012

511

P

n248

則￡(X)=0xA+lxH+2xl=—.

1224824

(3)

解：因?yàn)榉讲頢?=-1(芭-工)+伍-X)---^(工〃-九)]，且表中每行方差相等.

所以S；=([(ll-X)2+(10-工)2+(15-4)2+(4-I/]

=S；=*[(14—x2)-+(9-々)-+(13-々)2+(氏一犬2)~]

2222

=5,=^[(6-^)+(ll-^)+(12-^)+(C4-^)]

甘.-11+10+15+4—14+9+13+B4-6+ll+12+C

其卬，玉=4，/=4'毛=44'

觀察數(shù)據(jù)：第一組15,11,10,4;第二組：14,13,9,星；第三組：12,11,6,C4.

14

故可以將每組數(shù)據(jù)補(bǔ)成兩對(duì)相鄰數(shù)據(jù)，且和能被4整除，即4=16,8,=8,C4=7,

_11Q

則X=13,^=-(22+32+22+32)=—,

42

兀=ll,s；=l(32+22+22+32)=y,

2222

^=9,^=l(3+2+3+2)=y.

則s；=s；=s；.

故4=16,84=8(4=7滿足題意.

19.(2022?北京?景山學(xué)校模擬預(yù)測(cè))已知橢圓芯/+卷=13%>0)的離心率為日,

左、右頂點(diǎn)分別是4B,且|AB|=4.

(1)求橢圓￡的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)己知也N是橢圓￡上異于48的不同兩點(diǎn)，若直線川/與直線4V的斜率之積等于T,

判斷直線也V是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴二+丁=1

4

⑵過定點(diǎn)[■1,o)；

【詳解】(1)解：由離心率e=￡=@=Jl-4可得/=4/，

a2\a2

又由左、右頂點(diǎn)|AB|=4可得2a=4,所以a=2,b=l,

所以橢圓的方程為：—+/=1；

4

(2)解:由⑴可得A(-2,0),

當(dāng)直線"N的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為》=丘+，，設(shè)”(不乂)，N(x2iy2),

{y=kx+tc.c

聯(lián)立二一一整理可得：(1+4公)/+8依+4/-4=0,

[x-+4y-=4

A>0,Bp64^2r-4X(14-4^2)(4/2-4)>0,可得產(chǎn)<1+48,

~~8kt4r2-4

且…=由X.X^=-----7

1-1+4嚴(yán)

%.%=%%=（g+r）（5+r）

x,+2x,+2（X）+2）（^+2）（玉+2）（/+2）

,24z—4,Skt2

及+改（X+%）+/_1+4左之+'1+4/+才_(tái)t2-4k2

百W+2（玉+々）+44廠—4+2~~8kt4”—+16K

1+4/'1+4公

15

整理可得5r-16h+16/=o,可得/=，或f=2Z,符合A〉。，

所以直線MN的方程為：y=/(x+$或y=4(x+2),

所以直線恒過(-*0)或(-2,0)(舍去)，

所以直線MV的方程為：丫="+4上=%(》+9,可得直線MN恒過［-'0)點(diǎn)；

當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線MN的方程為x=f,代入橢圓的方程,可得y=±

設(shè)M&jl-J),NQ,-m,貝lj,,\'~4\1-4,>解得/=-￡

V4V4kAM-kM=-j—---)丁=T5

或f=一2(舍)，

所以直線恒過定點(diǎn),g,o),

綜上所述：直線MN恒過定點(diǎn)］|,0；

20.(2022?北京?北大附中三模)已知函數(shù)〃x)=e*-alnx,aeR.

⑴當(dāng)。=0時(shí)，若曲線y=/(x)與直線y=丘相切于點(diǎn)P,求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

⑵當(dāng)a=e時(shí)，證明：/(x)>e；

(3)若對(duì)任意x?0,+w),不等式/(x)>alna恒成立，求出。的取值范圍.

【答案】⑴。⑹

(2)證明見解析

⑶((),e)

(1)

當(dāng)a=O時(shí)，〃x)=e、J'(x)=e\

設(shè)P(x0,e%),則切線斜率2=爐>.

由切點(diǎn)性質(zhì)，得，解得為=1.

e"=kx。

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)(l,e).

(2)

當(dāng)a=e時(shí)，/(x)=ev-elnx,其中x>0,則尸(x)=e*—士，

16

令g(x)=e*-'|,其中x>0,則g<x)=e*+點(diǎn)>0,

故函數(shù)/'(x)在(0,+?)上單調(diào)遞增,且7(1)=0,

當(dāng)x變化時(shí)，x,/'(x),〃x)變化情況如下表：

X(0,1)1(1,+8)

/'(X)—0+

“X)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

由上表可知，上⑴麗=41)=e.所以f(x)Ne.

(3)

實(shí)數(shù)。的取值范圍(0,e).理由如下：

方法一：(數(shù)形結(jié)合)

在(0,+e)上/(x)=e*-alnx>alna恒成立，即er>alnx+lna.

因而函數(shù)％=e*的圖象在函數(shù)y2=a\nx+(Ana的圖象上方.

考慮函數(shù)X=e”圖象在函數(shù)y2=a\nx+a\na圖象恰好有一個(gè)公共點(diǎn)的臨界情形(如圖所示),

此時(shí)它們?cè)诮稽c(diǎn)處有一條公切線機(jī)，設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為?%.

所以&■=6zlar0+a\na即一=lax0+Ina,

/飛

由巳"=且得=a,所以，=[2;)+In(/e*。)即21叫+/=0

%)玉)玉)

121

記〃(x)=21nx+x一一,XG(0,4-O>),則“(x)=二+1+二>0,所以〃(x)在(0,+功上是增函數(shù).

17

又因?yàn)椤á?0,所以方程21叫+X。--=0的解是％=1.

“0

因此，當(dāng)兩函數(shù)恰好有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)坐標(biāo)是(Le),此處公切線方程是丫=就.

所以當(dāng)函數(shù)％=e'的圖象在函數(shù)必的圖象上方時(shí)，實(shí)數(shù)。的取值范圍(0,e).

方法二：(同構(gòu)變形)

顯然a>0,在(0,+8)上〃x)=e'-alnx>alna恒成立，即e'』"-Inr>Ina恒成立即

eiw,-lnaAlnx恒成立，

所以er-llw+x-lno>x+lnx