天津市河北區(qū)2023-2024學(xué)年度高三年級(jí)上冊(cè)期中數(shù)學(xué)試題【解析版】

天津市河北區(qū)2023-2024學(xué)年度高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

【解析版】

本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試

用時(shí)120分鐘.第I卷1至3頁(yè)，第n卷4至8頁(yè).

第I卷（選擇題共45分）

注意事項(xiàng)：

1.答第I卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號(hào)、科目涂寫(xiě)在答題卡上，并

在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼.

2.每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng),

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).答在試卷上的無(wú)效.

3.本卷共9小題，每小題5分，共45分.

參考公式：

如果事件A,B互斥，那么P（A8）=P（A）+P（8）

如果事件A,B相互獨(dú)立，那么P（4?）=P（4）P（8）

球的表面積公式S=4;rR2

球的體積公式丫=。"K

其中R表示球的半徑

一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知全集〃={—1,0,1,2,3},集合A={0,l,2},B={-1,0,1},則（電4卜8=

A.{-1}B.{0,1}

C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3）

2.設(shè)xeR,則“x2-5x<0”是的

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

3.函數(shù)/（x）=|x|+g的圖象大致是（）

A.B.

4.某班的全體學(xué)生參加數(shù)學(xué)測(cè)試，成績(jī)的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為

[20,40）,[40,60）,[60,80）,[80,100].若低于60分的人數(shù)是15,則該班的學(xué)生人數(shù)是

()

5.若Q=log3（）.8,b=3°s,c=0.321,則。，b,c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

6.已知圓錐的高為3,底面半徑長(zhǎng)為4,若一球的表面積與此圓錐側(cè)面積相等，則該球

的半徑長(zhǎng)為

A.5B.75C.9D.3

7.設(shè)等差數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和為5.，若%=4,5.=72,則《°=()

A.20B.23C.24D.28

v-2v2

8.已知雙曲線C：=-二二1的焦距為10,點(diǎn)P(2,1)在C的漸近線上，則C的

ab

方程為

222，27X2y2

A.------------1B.工-21=1C.—-^-=1D.—-^-=1

20552080202080

9.已知函數(shù)/（x）=Asin（0x+e）+M0>O，e>O）的最大值是4,最小值是0,最小正周

期是直線x是其圖象的一條對(duì)稱軸，則下列各式中符合條件的解析式是（）

A.y=4sin^4x+-^JB.y=2sin^2x+^J+2

C.y=2sin14x+.)+2D.y=2sin4x+^+2

第II卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前將密封線內(nèi)的項(xiàng)目填寫(xiě)清楚.

2.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆答在答題紙上.

3.本卷共11小題，共105分.

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙

上.

I-i

10.i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)《4=_____.

3+41

11.二項(xiàng)式卜+:)的展開(kāi)式中，x的系數(shù)為.

12.在平面直角坐標(biāo)系中，直線3x+4y+3=0被圓(x-2)2+(y+l>=4截得的弦長(zhǎng)

為.

13.甲乙兩人射擊，每人射擊一次.已知甲命中的概率是0.8,乙命中的概率是0.7,兩

人每次射擊是否命中互不影響.設(shè)事件A為“兩人至少命中一次”，事件8為“甲命中”，則

條件概率P(必A)的值為.

.、21-x-2,x<l.、

14.已知函數(shù)?(八，則滿足的x的取值范圍是.

15.設(shè)04=(—2,4),08=(—4,2),OC=(b,0),其中a>0,b>0,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若

A,B,C三點(diǎn)共線，則為+匕=_____,：的最小值為_(kāi)___.

ab

三、解答題：本大題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或

演算步驟.

兀

16.己知函數(shù)/(x)=sin(2x——)-cos2x,xeR.

6

⑴求函數(shù)f(x)的最小正周期；

(2)求函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸方程；

⑶求函數(shù)〃x)在［0,會(huì)上的單調(diào)區(qū)間.

17.在銳角.ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,且csin智2=asinC.

(1)求角A的大小;

⑵若力=1,sinB=,求邊c；

7

⑶在(2)的條件下，求cos(23+A)的值.

18.如圖，在四棱錐中，H4_L底面ABC。，ADJ.AB,ABDC,

AD=DC=AP=2,AB=1,點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn).

(1)求證：BE〃平面PAD；

(2)求直線BE與平面PBD所成角的正弦值；

(3)求點(diǎn)C到平面PBD的距離.

19.已知函數(shù)〃x)=2d-2/+1.

⑴求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1J0))處的切線方程；

⑵求函數(shù)y="X)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(3)若函數(shù)g(x)=/(x)-8在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)人的取值范圍.

22

20.設(shè)橢圓E：。+==1(〃>6>0)的左頂點(diǎn)為A,左焦點(diǎn)為F.己知橢圓的離心率為g

過(guò)點(diǎn)A的直線/與橢圓交于另一點(diǎn)8,且點(diǎn)C與點(diǎn)8關(guān)于4軸對(duì)稱(C與8不重合).若

1no

直線CF與直線/垂直，垂足為。，且的面積S=萬(wàn).

(1)求直線/的斜率；

(2)求橢圓E的方程.

1.A

【解析】本題根據(jù)交集、補(bǔ)集的定義可得.容易題，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查.

【詳解】G，A={-1,3},則(QA)B={-1}

故選：A

【點(diǎn)睛】易于理解集補(bǔ)集的概念、交集概念有誤.

2.B

【解析】分別求出兩不等式的解集，根據(jù)兩解集的包含關(guān)系確定.

【詳解】化簡(jiǎn)不等式，可知0<x<5推不出

由歸一<1能推出0<x<5,

故"V—5x<0”是"IxTKl”的必要不充分條件，

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件，解題關(guān)鍵是化簡(jiǎn)不等式，由集合的關(guān)系來(lái)判斷條件.

3.B

【分析】先判斷x>0時(shí)函數(shù)“X)的單調(diào)性，即可判斷選項(xiàng)C,D；再判斷當(dāng)x<0時(shí)函數(shù)"X)

即可判斷A,B,即可得答案.

【詳解】當(dāng)0<x<l時(shí)，f(x)=x+J,此時(shí)在(0,1)上單調(diào)遞減，

當(dāng)x>l時(shí)，/(x)=x+J,此時(shí)在―)上單調(diào)遞增，

且x>0時(shí)，/(X)1nhi=/(1)=2,

由此可知C,D選項(xiàng)中圖象錯(cuò)誤；

當(dāng)x<0時(shí)，〃x)=-x+g,此時(shí)在(-8,0)上單調(diào)遞減，

故選項(xiàng)A中圖象不合題意，

又/(-1)=0,故B中圖象符合題意，

故選：B

4.C

【分析】由頻率分布直方圖可得低于60分的人的頻率，結(jié)合低于60分的人數(shù)即可求得答案.

【詳解】由頻率分布直方圖可得低于60分的人的頻率為20(0.005+0.010)=0.300,

由于低于60分的人數(shù)是15,則該班的學(xué)生人數(shù)是=50,

故選：C

5.D

【分析】分別根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出4b，c三數(shù)的取值范圍，即可得答

案.

【詳解】由題意得a=log30-8<log31=0,。=3。8>3。=1,

0<c=0.321<0.3°=1.

故

故選：D

6.B

【分析】由已知中圓錐的底面半徑和高，求出圓錐的母線長(zhǎng)，代入圓錐側(cè)面積公式，求出圓

錐側(cè)面積，利用球的表面積與此圓錐側(cè)面積相等，可得答案.

【詳解】???圓錐的底面半徑/'=4,高仁3,

，圓錐的母線1=5,

圓錐側(cè)面積5=?！?20兀，

設(shè)球的半徑為r,則4兀/二？。?!，r=y/5

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐側(cè)面積公式的應(yīng)用，熟練掌握各種旋轉(zhuǎn)體的幾何特征，是解答的關(guān)

鍵.

7.D

【分析】由Sg=72得到％=8,代入公式求解即可.

【詳解】因?yàn)椋??）是等差數(shù)列，Sg=9"⑹=9織=72

所以為=8,又4=4,所以公差為4=4-%=4,

Go=c%+6d=28,

故選：D.

8.A

【詳解】由題意得，雙曲線的焦距為10,即/+從=°2=25,

又雙曲線的漸近線方程為y=2xnbx-ay=0,點(diǎn)尸(2,1)在C的漸近線上,

a

所以a="，聯(lián)立方程組可得需=:鏟=與

22

所以雙曲線的方程為二一匕二1.

205

考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì).

9.C

[A=25兀

【分析】根據(jù)最值求得,…根據(jù)周期求得口=4,根據(jù)對(duì)稱軸可求得e=+

[k=26

從而可求解.

{A+k=4[A=2

【詳解】因?yàn)樽畲笾凳?,最小值是0,所以，,八，解得，.，

[-A+k=0[k=2

因?yàn)樽钚≌芷谑撬陨?三，解得0=4,

2co2

因?yàn)橹本€x=g是其圖象的一條對(duì)稱軸，所以4x/+e=5+E,k€Z,

所以。=-5r冗+E?eZ,又因?yàn)?。?,所以當(dāng)&=1,9=73T，

66

所以所求解析式可能為＞=2sin(4x+2J+2.

故選：C

17

10.i

2525

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，即可求得答案.

【詳解】由題意得帝r就號(hào)=丁=一彳士

-17

故答案為：一三一石i

11.10

【分析】由二項(xiàng)式定理求解即可.

【詳解】要卜+1)中含有X的項(xiàng)，則需要在5項(xiàng)中選取2個(gè)公與3個(gè);相乘,故含有X的項(xiàng)

為

C；(x2)2p)3=10x,故X的系數(shù)為10

X

故答案為10.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用與其中某項(xiàng)的系數(shù)問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題型.

12.2G

【分析】根據(jù)圓的垂徑定理，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式、勾股定理進(jìn)行求解即可；

【詳解】設(shè)圓(x—2『+(y+l>=4的圓心為A,它的坐標(biāo)為(2,-1),該圓的半徑為，=2,

圓心A到直線3x+4y+3=0的距離為：d=卬2之(-1)+3|=(,

V32+42

所以弦長(zhǎng)為：2>/尸_/=2"Ti=2百,

故答案為：2小

13.竺

47

【分析】根據(jù)對(duì)立事件的關(guān)系和獨(dú)立性可求得P(A)、尸(AB),再根據(jù)條件概率的計(jì)算公式

即可求解.

【詳解】P⑷=1-尸(可=1-0.2x0.3=0.94,

P(A5)=0.8x0.7+0.8x0.3=0.8,

,.、P(AB)0.840

所以尸(3A)=--——=------

、7P(A)0.9447,

故答案為：—.

14.[-1,1]

2

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)，分段解不等式，即可得

答案.

【詳解】當(dāng)X41時(shí)，/(x)42即21-242,則-14x41；

當(dāng)x>l時(shí)，/(x)42即1—log2(x—l)42,解得xNj,即xN：,

故滿足/(x)W2的x的取值范圍是[-1,1][1,鐘)，

故答案為：[-1,1][-?+°°)

15.2V2+-

2

【分析】由題意求得A8=(-a+2,-2),AC=(》+2,T),根據(jù)三點(diǎn)共線可得向量共線，利用

向量共線的條件可得加+力的值，將2+，化為(d+：)(2a+6)，展開(kāi)后利用基本不等式即

ab2ab

可求得答案.

【詳解】由OA=(-2,4),。3=(-42),OC=(6,0)可得A8=(-a+2,-2),AC=S+2,-4),

由于A,B,C三點(diǎn)共線，故A3=(-4+2,-2),AC=(6+2,T)共線，

所以(一。+2)x(-4)-(-2)(：+2)=0,gp2a+b=2,

.111.11、/c,、1力2ar、、1\b2a/r-3

則mi一+：=(一+:)(2。+Z?)=-(—+—+3)>-(2J----+3)=V2+-,

ab2ab2ab2\ab2

當(dāng)且僅當(dāng)2=學(xué)，結(jié)合2a+6=2,即。=2-a為=2&-2時(shí)取等號(hào)，

ab

故答案為：2；血+|

16.⑴式；

(2)x=y-^(Z:eZ)；

(3)單調(diào)增區(qū)間是單調(diào)遞減區(qū)間是^|尚］.

【分析】(1)(2)(3)利用差角的正弦公式及輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)

求解即得.

【詳解】(1)依題意，/(x)=^^sin2x--cos2x-cos2x=^^sin2x--cos2.r=\Z3sin(2x--),

22223

所以函數(shù)/(x)的最小正周期為T彗r

(2)由(1)知,f(x)=gsin(2x-1),由2x-g=eZ,得/=杵-唳，左eZ,

所以函數(shù)的對(duì)稱軸方程是》=日-已(02).

(3)由(1)知，/(x)=V3sin(2x-^),當(dāng)xe［0,口時(shí),

32333

,兀，-兀/兀口c,,5兀,兀/-兀/2兀5兀,/兀

由一§42工一§45，^1#0<x<—,由可，解得五

所以函數(shù)〃x)在［0,卞上的單調(diào)增區(qū)間是［0,額單調(diào)遞減區(qū)間是店，卞.

兀

17.(1)A=-

3

(2)c=-

⑶cos(2B+A)=-《

【分析】（1）由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)已知等式可求sing=；,根據(jù)角的范圍即

可求解A的值；

（2）由已知利用正弦定理可得。的值，由余弦定理可得4c2-4C-3=0,解方程可求。的值;

（3）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cos8的值，利用二倍角公式可求sin28,cos28的

值，利用兩角和的余弦公式即可求解cos（23+4）的值.

【詳解】（1）因?yàn)閏sin史￡=asinC,可得。$皿（三$]=理0$:=。5析（7,

2k2；2

A

所以由正弦定理可得sinCcos-=sinAsinC,

2

又C為三角形內(nèi)角，sinCVO,

所以cos4=sinA=2sindcos4,

222

因?yàn)锳e（O,兀），cosy>0,

所以sin<=:，可得9=9

ZZ2o

所以A=*

（2）因?yàn)锳=3，b=l,sinB=^^~?

37

1x3廠

rr,.,abZ?"sinA?v7

所以由正弦定理一；二—^,可得”.口=FT="T，

sinAsin6smB@2

7i

由余弦定理4=。2+02一2）ccosA，可得W=l+c2-2xlxcx5，

31

整理可得4c2-4C-3=0,解得c=9或（舍去），

22

3

所以c=；；

2

（3）由（2）可知。=也>"所以3為銳角，則cosB=，l-sin25="^

27

所以sin2B=2sinBcosB=,cos2B=2cos:/?-1=—,

77

所以cos（2B+A）=cos2BcosA-sin2Bsin4=；x；-x曰=-巳.

18.（1）證明見(jiàn)解析

⑵3

3

⑶迎

3

【分析】（1）以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明線面平行；

（2）求出平面PB￡＞的一個(gè)法向量，再由向量法求解；

（3）求出向量BC=（l,2,0）,再由向量法求解.

【詳解】（1）以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB,AD,AP分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)

系.

可得A(0,0,0),5(1,0,0),C(2,2,0),￡>(0,2,0),P(0,0,2),

由E為棱PC的中點(diǎn)，得磯1,1,1),

向量BE=(0,1,1),AB=(1,0,0),

故BEA8=0，

因?yàn)镻A_L底面ABC。，底面A8C￡>,所以

又因?yàn)锳￡>2A3,AE>AP=A,A￡>,APu平面PAD,

所以ABI平面PA。，即AB為平面PA。的一個(gè)法向量，

又面R4O,所以BE〃平面840：

(2)向量8。=(—1,2,0),P8=(l,0,—2),BE-(0,1,1).

n-BD=0一x+2y=0

設(shè)〃=(x,y,z)為平面尸比)的法向量，則，,即

n-PB=0x-2z=0

令y=l,則x=2,z=l,得"=(2,1,1)為平面PBD的一個(gè)法向量,

所以cos(",BE)=n-BE2B

所以直線既與平面pm所成角的正弦值為立;

3

(3)向量BC=(l,2,0),

則點(diǎn)C到平面PBD的距離〃=筆豈=^=3-

19.(l)2x-y-l=O

(2)單調(diào)遞增為(-8,0),(|，+8)，單調(diào)遞減區(qū)間為(oq)，極大值1,極小值，

【分析】(1)先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求曲線的切線斜率，進(jìn)而可求切線

方程；

(2)結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性及極值關(guān)系可求；

(3)結(jié)合(2)的單調(diào)性結(jié)合圖象即可求解.

【詳解】(1)r(x)=6x2-4x,所以廣⑴=2J(1)=1,

故曲線y=/(x)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線方程y-1=2(x-l),即2x-y-l=0；

(2)由(1)可知，f,(x)=6x2-4x=2x(3x-2),

所以當(dāng)或x<0時(shí)，r(x)>0,當(dāng)0<x<；時(shí)，r(x)<0,

所以函數(shù)的單調(diào)遞增為(-8,0),(|，+8)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，g)，

2(2、10

當(dāng)x=0時(shí)函數(shù)取得極大值"0)=1,當(dāng)x時(shí)，函數(shù)取得極小值/匕卜藥；

(3)令函數(shù)g(x)=/(x)-6=0,即/(x)=6,

所以函數(shù)g(x)=/(x)-b在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn)，

等價(jià)于圖象/(x)與直線y=〃在區(qū)間上有一個(gè)交點(diǎn).

由(2)可知，函數(shù)y=/(x)在[-1,0),(|,1上遞增，在(。,|)上遞減,

且1)=-3,/(1)=1,

畫(huà)出圖象y=f(x),xe[-1,1],如下圖所示，

由圖可知，當(dāng)-34%〈，時(shí)?，圖象/(X)與直線y=6在區(qū)間[-1,1]上有一個(gè)交點(diǎn).

故實(shí)數(shù)6的取值范圍為-3,義).

3

20.⑴％=±-；

【分析】(1)由離心率得a