2023-2024學年廣東省廣州市高一年級上冊期末數(shù)學模擬試題2（含答案）

2023-2024學年廣東省廣州市高一上冊期末數(shù)學模擬試題

一、單選題

1.已知集合知=卜產=1},則“的真子集個數(shù)是()

A.3B.4C.5D.6

【正確答案】A

【分析】首先求集合中的元素個數(shù)，再根據(jù)集合的真子集個數(shù)公式求解.

【詳解】因為爐=1,所以x=±l,即出={1,-1},集合中有兩個元素，所以M的真子集個

數(shù)是22-1=3.

故選：A

2.命題“\7%€[0,+8),/+*20”的否定是()

A.Vxe[0,+oo),x2+x<0B.Vxe(-oo,0),x2+x>0

22

C.3x()e[0,+OO),JC0+x()<0D.3x0e[0,+oo),JC0+x0>0

【正確答案】C

【分析】全稱命題的否定形式，V變三，^+*20變％2+與<0即可.

22

【詳解】命題“Yxe[0,-Ho),x+x>0”為全稱命題，則命題的否定為七°w[0,+<?),x0+$<0,

故選：C.

本題考查了含有量詞的命題的否定形式，考查了邏輯推理能力，屬于基礎題.

51

3.在,V1BC中，cosA=-芋，tanB=-,則tan(A-3)=()

A.—2B.——C.gD.2

【正確答案】A

根據(jù)已知條件計算出tanA的值，然后根據(jù)兩角差的正切公式結合tanAtanB的值計算出

tan(A-B)的值.

【詳解】因為cosA=-*且AG(0,T),所以A=,,所以tanA=—l,

tanA-tan8

所以tan(4-8)

1+tanAtanB../

故選：A.

關鍵點點睛：解答本題的關鍵是根據(jù)特殊角的余弦值求出其正切值以及兩角差的正切公式的

熟練運用.

4.已知a=2%b=sin2,c=log031.3,則()

A.c<a<bB.a<b<cC.b<a<cD.c<b<a

【正確答案】D

根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)的性質把4Ac與0和1比較后可得.

【詳解】因為2°6>1,0<sin2<l,log031.3<0,所以cvbca.

故選：D.

5.已知函數(shù)/*)的圖象與函數(shù)y=3、的圖象關于直線》=x對稱，函數(shù)g(x)是奇函數(shù)，且當

x>0時，g(x)=f(x)-x,貝iJg(-9)=()

A.—6B.6C.~7D.7

【正確答案】D

【分析】先求出/(x)=logsx,再求出g(9)=-7即得解.

【詳解】由已知，函數(shù)y=.f(x)與函數(shù))，=3,互為反函數(shù)，U!|/(x)=log3x.

由題設，當x>0時，^(x)=log3x-x,則g(9)=k)g39-9=2-9=-7.

因為g(x)為奇函數(shù)，所以g(-9)=-g(9)=7.

故選：D.

6.給出下列命題：①第二象限角大于第一象限角；②不論是用角度制還是用弧度制度量一

個角，它們與扇形的半徑的大小無關；③若sina=sin￡,則a與2的終邊相同；④若

cos6<0,。是第二或第三象限的角.其中正確的命題個數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【正確答案】A

【分析】根據(jù)題意，對題目中的命題進行分析，判斷正誤即可.

【詳解】對于①，根據(jù)任意角的概念知，第二象限角不一定大于第一象限角，①錯誤；

對于②，根據(jù)角的定義知，不論用角度制還是用弧度制度量一個角，它們與扇形所對半徑的

大小無關，②正確；

對于③，若sina=sin〃，則a與夕的終邊相同，或關于N軸對稱，③錯誤；

對于④，若cosOvO,則。是第二或第三象限的角，或終邊在x負半軸上，④錯誤:

綜上，其中正確命題是②，只有1個.

故選：A

本題考查真假命題的判斷，考查三角函數(shù)概念，屬于基礎題.

7.函數(shù)/（》）=31燥2乂一1的零點個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【正確答案】C

【分析】所求零點個數(shù)等價于y=Mg2M與y=圖象的交點個數(shù)，作出函數(shù)圖象，由數(shù)

形結合即可判斷.

【詳解】函數(shù)〃力=31隆2%|-1的零點即31皿|-1=0=>腿2n的解，即

尸卩暇耳與〉=］［圖象的交點，如圖所示,

從函數(shù)圖象可知，yTlog?可與y=有兩個交點.

故選：C

8.若函數(shù)"x）=sin"-￡）（xe［（）,句,0>0）的圖象與x軸有交點,且值域加0一且收）,

則。的取值范圍是（）

144

A?另寸B.m2］

C.D.1

43412

【正確答案】D

【分析】由函數(shù)/（x）有零點，可求得由函數(shù)f（x）的值域“?。?咚,+oo）可求得

?<-,綜合二者即可得到。的取值范圍.

12

【詳解】定義在［0,句上的函數(shù)y=sin,x-?,0>0）,

則（vx-?e-三3兀囁,由函數(shù)/（X）有零點，所以解得切2；；

由函數(shù)“X）的值域-#，+8，所以如與，解得。4晟；

119-

綜上，。的取值范圍是.

故選：D

二、多選題

9.已知x,yCR,且丄<丄<0,則（）

xy

VX

A.x-y>0B.sinx-siny>0C.2r-2v>0D.-+->2

xy

【正確答案】ACD

【分析】由不等式的性質得出x>y>0,再由三角函數(shù)的性質、指數(shù)函數(shù)的單調性以及基本

不等式即可求解.

【詳解】因為X,yGR,且丄<丄<0,

xy

---=——-<0且x<0,y<0,y<x<0,

xyxy

A,由題意可得x-y>0,故A正確；

B,因為正弦函數(shù)是周期函數(shù)，僅有y<x<0,不能得出sinx-siny>0,故B錯誤；

C,由y<x<0,則2y<2］，即2*-2>>0,故C正確；

D,因為y<x<0,則上>0,2>0,即工+土口三=2,

Xyxy\Xy

Xv

當且僅當一=上，即X=）'取等號，又因為）YX<0,

yx

所以』+土>2,故D正確.

xy

故選：ACD

10.下列函數(shù)中，最小正周期為爲的有（）

D.y=cos|x|

【正確答案】AB

【分析】逐項分析即得.

【詳解】對于A,y=|cosx|的最小正周期為萬，故A正確；

對于B,y=sin（2x+。的最小正周期為言=萬，故B正確;

對于C,y=tan（2x-?）的最小正周期為故C錯誤；

對于D,y=cos|x|=cosx的最小正周期為2萬，故D錯誤.

故選：AB.

11.下列各式正確的是（）

A.設。>0,則j曠二於

81a.3分

B.已知3。+人=1,則=上-=3

3a

C.若108.2=丸108.5=〃，則。2加+”=20

11…

------T+------V=1g3

D-log那log/

【正確答案】ABC

【分析】根據(jù)指數(shù)運算法則和對數(shù)運算法則即可判斷答案.

【詳解】對于A,/:匸=~^=T=普=2=a，,故A對;

ya-a34?a6

Q1<?QZ）

對于B,"之=土=_=33。+〃=3,故B對；

3"3”

對于C,a'"=2,a"=5,a2m+n=（am^a"=20,故C對；

+=+=,o

“工n~^—^-r-^r^-7g94+log35=log32+log35=log310

對于D，］o。-lo。-嗚9唸3，故口錯?

6g6q

475J

故選：ABC.

12.筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經濟又環(huán)保，明朝科學家徐光啟在《農政

全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理(圖1).假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每

一個盛水筒都做勻速圓周運動.如圖2,將筒車抽象為一個半徑為R的圖，設筒車按逆時針

方向每旋轉一周用時120秒，當/=0,盛水筒”位于點6(3,-3后)，經過r秒后運動到點

P(x,y),點尸的縱坐標滿足y=f(r)=Hsin(cN+*)(t>0,(v>0,則下列敘述

正確的是()

A.筒車轉動的角速度0=2

B.當筒車旋轉100秒時，盛水筒”對應的點P的縱坐標為-2

C.當筒車旋轉100秒時，盛水筒M和初始點庶的水平距離為6

D.筒車在(0,60］秒的旋轉過程中，盛水筒M最高點到x軸的距離的最大值為6

【正確答案】ACD

【分析1根據(jù)題意可知周期為120秒，進而可求。，根據(jù)4(3,-36)可求解夕=-三，進而

得了⑺=6sin(S，-外，根據(jù)三角函數(shù)的性質，即可結合選項逐一求解.

Vo(J5)

【詳解】對于A,因為筒車按逆時針方向每旋轉一周用時120秒，所以3=盤=義，故A正

12060

確；

對于B,因為當f=0時，盛水筒”位于點《(3,-36)，所以R=曲行而=6,

/o

所以有/(0)=6sine=_3G=sine=_-^-,

TTIT

因為lel<5，所以e=-Q，

乙D

即/⑺=6sin倭―外，

16UJ)

所以川00)=6sin(*xl00、)=6si吟=6X,S=-3G,故B錯誤；

對于C,由B可知：盛水筒M的縱坐標為-3石，設它的橫坐標為x,

所以有.G+(-3回=6=>x=±3，

因為筒車旋轉100秒時，所以此時盛水筒〃在第三象限，

故x=-3,盛水筒〃和初始點庶的水平距離為3-(-3)=6,故C正確；

對于D,因為aW=x=50e(0,60],

所以筒車在(0,60]秒的旋轉過程中，盛水筒M最高點到X軸的距離的最大值為6,故D正

確.

故選：ACD

三、填空題

13.已知x>0,y>o,且x+4y=l,則丄+丄的最小值是________.

x>

【正確答案】9

+丄=卩+”1=仕+丄卜+4加5+也+±

【分析】再根據(jù)基本不等式求解.

yy)(%y丿工y

【詳解】Q-+-=f-+-U+丄(x+4^)=5+—4--

Xyy)y)xy

又因為x>0丿>0,曳>0,土>0

xy

由基本不等式得竺+222」"?二=4,當且僅當曳=與并且x+4y=l

xy丫xyxy

所以y='>0，x=:>。，所以5+“+土》9,即丄+丄的最小值為9.

63xyxy

故9

14.函數(shù)y=〃x)的表達式為f(x)=2，>；，若〃X)>1，則實數(shù)X的取值集合是

【正確答案】{x|x>-2}

【分析】分類討論X41和x>l不同條件下/(另>1,即可得到實數(shù)x的取值集合.

【詳解】解：由題意

在〃X)={

當時，/(x)=3+x,

當〃x)>l時，解得：—2<x41

當x>l時，/(%)=2\

當〃x)>l時，解得:x>l

綜上，x>-2

滿足“X)>1的實數(shù)X的取值集合是{x|x>-2}

故答案為.{x|x>—2}

15.衣柜里的樟腦丸，隨著時間會揮發(fā)而體積縮小，剛放進的新丸體積為。，經過r天后體

4

積V與天數(shù)/的關系式為：V=a-ck,.已知新丸經過50天后，體積變?yōu)椋?.若一個新丸

Q

體積變?yōu)檗?。，則需經過的天數(shù)為.

【正確答案】75

1

【分析】由題意，先算出由此可算出一個新丸體積變?yōu)檗唷Ｐ杞涍^的天數(shù).

【詳解】由已知，得，=a-e，,

1

Q

設經過。天后，一個新丸體積變?yōu)榘酌?/p>

Q

則一a=a-e-fa|,

故75.

16.已知)可(x)是定義在R上的奇函數(shù)，滿足〃x+l)=〃x-2),有下列說法:

3

①戶f(x)的圖象關于直線廣:對稱；

②的圖象關于點(|，o)對稱；

③yj(x)在區(qū)間［0,6］上至少有5個零點；

④若［?！簧蠁握{遞增，則在區(qū)間［2021,2022］上單調遞增.

其中所有正確說法的序號為.

【正確答案】②③④

【分析】求得函數(shù)y可'(X)的圖象關于點弓可對稱判斷①②；求得)可(X)在區(qū)間［0,6］上零

點個數(shù)判斷③；求得)可(可在區(qū)間［2021,2022］上的單調性判斷④

【詳解】因為/(x+l)=/(x—2),所以/(x+3)=/(x),

故函數(shù)/(x)是周期為3的周期函數(shù)，又丫寸(幻是定義在R上的奇函數(shù)，

則f(x+3)=/(x)=-/(-x),所以/(3+x)+/(-x)=0,

故函數(shù)y=/(x)的圖象關于點［|,o1對稱，故①錯誤，②正確；

由題意可知,/(6)=/(3)=/(0)=0,因為/(x)=/(x+3)=-/(-x),

令可得/卜(Ml｝即/圖—圖，

所以嗚卜。，從而狽=同=。，

故函數(shù)y寸(X)在區(qū)間［0,6］上至少有5個零點，故③正確；

因為2021=3x674-1,2022=3x674,

且函數(shù)/(x)在區(qū)間OH上單調遞增，則函數(shù)/(x)在區(qū)間［-以)］上單調遞增，

故函數(shù)/W在區(qū)間［2021,2022］上也單調遞增，故④正確.

故②③?

四、解答題

17.設°=R,A=|x|x2-4x+340},3=[x<o},C=1x|a<x<a+l,?e

(1)分別求AcBAu&B)

(2)若BC=C,求實數(shù)。的取值范圍

【正確答案】⑴AB={x\2<x<3}；4uQI={x|x43或x"}

(2)ae(2,3)

【分析】（1）解不等式，直接計算集合的交集并集與補集；

（2）根據(jù)集合間的計算結果判斷集合間關系，進而確定參數(shù)取值范圍.

【詳解】（1）解：解不等式可得A={X|X2-4X+340}={X|14X43},

3=卜三<0}={x[2<x<4},

所以AB-{x|2<x<3},q,3={x|x<2或xN4},A孰8=卜,43或xN4}；

（2）解：由8C=C可得CqB,且C關0,

[a>2/、

所以a+l<4'解得2<a<3,即aw（2,3）.

18.在平面直角坐標系xOy中，角a以Ox為始邊，點位于角a的終邊上.

（1）求sine和cos（；-a）的值：

⑵若萬），求函數(shù)/（x）=tan（x-夕）的定義域和單調遞增區(qū)間.

【正確答案】⑴sina=j8s仔-4『

(2)定義域1x|x+k/r,kGZ|,單調遞增區(qū)間(——+k;r,—+k7r\,keZ

【分析】（1）利用三角函數(shù)的定義，結合兩角和與差的三角函數(shù)轉化求解sina和cos3一。

的值；

(2)求解角a,然后利用正切函數(shù)的定義域以及單調區(qū)間求解即可.

【詳解】⑴???點P(G，T位于角a的終邊上，.?.sina=-；,cosa=當，

(71、冗.4.血百加1布一&

/.cos----a=cos—cosa+sm—sina=——x------------x—=-----------.

(4丿4422224

(2)aw(一肛乃),sina="1,cosa=手,

:.a=--,所以/(x)=tan［x+%J

兀冗乃

x+—H-+Z4，kcZ,「.xH一■I-kjr,kEZ

623

所以函數(shù)的定義域為{x|xw5+版■/ez}

TT7T7TZ77"7T

令---Fkjt<Xd<Fk7V,攵￡Z,解得----Fk兀<X<一+Z￡Z

26233

所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間(-g+丘，?+?)?eZ

19.已知函數(shù)/。)=6奩(。力為常數(shù)且。>0,。=1)的圖象經過點A(l,8),8(3,32)

(1)試求凡6的值；

(2)若不等式(丄)*+(1)*-〃欄0在xe(YO,l［時恒成立，求實數(shù)"?的取值范圍.

ab

【正確答案】(1)“=2,6=4；(2)(-%；.

【分析】(1)利用函數(shù)圖像上的兩個點的坐標列方程組，解方程組求得4,6的值.

(2)將原不等式分離常數(shù)加，利用函數(shù)的單調性，求出機的取值范圍.

【詳解】(1)由于函數(shù)/(X)圖像經過A(l,8),8(3,32),所以°3力=32,解得〃=2力=4,

所以〃x)=42=2.2.

(2)原不等式+為即機+(；)在xe(_8,l］時

恒成立，而6)+(；)在xe(-oo,l］時單調遞減，故在x=l時(￡|+(；)有最小值為

出‘+(；)’=%故屋|.所以實數(shù)機的取值范圍是18卷

本小題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，考查不等式恒成立問題的求解策略，考查函數(shù)

的單調性以及最值，屬于中檔題.

20.已知函數(shù)/(x)=sin(x-&)cosx+cos2x一■

64

(1)求函數(shù)，(x)的最小正周期和單調區(qū)間；

JT

(2)求函數(shù)f(x)在[0円上的值域.

2

77TTTT/TT

【正確答案】(1)7=萬，遞增區(qū)間為伙?。，版■十勺次EZ,遞減區(qū)間伙乃十?,呪+*],荘Z

3663

(2)【_J，W

42

【分析】整理函數(shù)的解析式可得./(DTinQ+r)

(1)由最小正周期公式和函數(shù)的解析式求解最小正周期和單調區(qū)間即可.

⑵結合函數(shù)的定義域和三角函數(shù)的性質可得函數(shù)的值域為一；，；.

J3.121G.121

【詳解】46=——S1IU——COSXcosx+cosx——=——sinx-cosx+—cos'x——

224224

73.-11+cos2x111G.與1。、

=——sin2x+--------------------=———sin2x+—coszx

42242\227

斗?+斎.

(1)T=7T,

遞增區(qū)間滿足：2kjt-^<2%+-^<+eZ),

47F

據(jù)此可得，單調遞增區(qū)間為k兀-q,k兀+工MeZ,

遞減區(qū)間滿足：2左兀+]W2%+^<2左九+m(攵GZ),

TT2乃

據(jù)此可得，單調遞減區(qū)間為++—、keZ.

_63_

,、八萬]八4「477rl.(「1.

(2)-VG0,—,Z.XH—￡一,—,sin2x+—€—,1.

L2]6[66」(6丿2」

.1/吟「1「

2I6丿L42」

???/(x)的值域為一圣.

本題主要考查三角函數(shù)的性質，三角函數(shù)最值的求解等知識，意在考查學生的轉化能力和計

算求解能力.

21.某快遞公司在某市的貨物轉運中心，擬引進智能機器人分揀系統(tǒng)，以提高分揀效率和降

低物流成本，已知購買X臺機器人的總成本p(x)=+X+150萬元.

600

(1)若使每臺機器人的平均成本最低，問應買多少臺？

(2)現(xiàn)按(1)中的數(shù)量購買機器人，需要安排，"人將郵件放在機器人上，機器人將郵件

送達指定落袋格口完成分揀，經實驗知，每臺機器人的日平均分揀量

，8

4(M=?百""60一'")'1'""30(單位：件)，已知傳統(tǒng)人工分揀每人每日的平均分揀量為

480,機>30

1200件，問引進機器人后，日平均分揀量達最大值時，用人數(shù)量比引進機器人前的用人數(shù)

量最多可減少多少？

【正確答案】(1)300臺；(2)90人.

(1)每臺機器人的平均成本為丫=?區(qū)，化簡后利用基本不等式求最小值；(2)由(1)

X

可知，引進300臺機器人，并根據(jù)分段函數(shù)求300臺機器人日分揀量的最大值，根據(jù)最大值

求若人工分揀，所需人數(shù)，再與30作差求解.

【詳解】(1)由總成本p(x)=+x+150,

600

可得每臺機器人的平均成本p(x)為'+"+1501150

y=--=---------=--X+--r1

當且僅當扁=子,即700時，等號成立,

???若使每臺機器人的平均成本最低，則應買300臺.

(2)引進機器人后，每臺機器人的日平均分揀量為:

當14%430時，300臺機器人的日平均分揀量為160m(60-m)=-160/M2+9600w

當〃?=30時，日平均分揀量有最大值.

當m>30時，日平均分揀量為48()x3(X)=144()(X)

A300臺機器人的日平均分揀量的最大值為件.

若傳統(tǒng)人工分揀件，則需要人數(shù)為14瑞40300=120(人).

，日平均分揀量達最大值時，

用人數(shù)量比引進機器人前的用人數(shù)量最多可減少120-30=90(人).

關鍵點點睛：本題的關鍵是理解題意，根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)關系，并會求最值，本題最

關鍵的一點時會求300〃(加)的最大值.

22.已知函數(shù)/(x)=ln(x+a)(aeR)的圖象過點(1,0),g(x)=x2-2eM.

(I)求函數(shù)，(x)的解析式；

(2)若函數(shù)y=f(x)+ln(