2025屆新高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)沖刺復(fù)習(xí)計(jì)數(shù)原理與概率

2025屆新高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)沖刺復(fù)習(xí)計(jì)數(shù)原理與概率

考點(diǎn)梳理考情回顧高考預(yù)測(cè)統(tǒng)計(jì)圖表與統(tǒng)

計(jì)量2023新高考Ⅰ卷第9題2021新高考Ⅰ卷第9題2021新高考Ⅱ卷第9題1.統(tǒng)計(jì)圖表與統(tǒng)計(jì)量：通常

以頻率分布直方圖、條形圖

等為背景，重點(diǎn)考查平均

數(shù)、方差、百分位數(shù)等.2.計(jì)數(shù)問(wèn)題：重點(diǎn)考查兩個(gè)

計(jì)數(shù)原理和二項(xiàng)式定理等.3.概率：重點(diǎn)考查事件的關(guān)

系，以及和事件、積事件、

互斥事件、相互獨(dú)立事件的

概率.計(jì)數(shù)原理與二

項(xiàng)式定理2023新高考Ⅰ卷第13題2023新高考Ⅱ卷第3題2022新高考Ⅰ卷第13題2022新高考Ⅱ卷第5題事件的關(guān)系與

概率2023新高考Ⅱ卷第12題2022新高考Ⅰ卷第5題2021新高考Ⅰ卷第8題

1.（2022·新高考Ⅱ卷）甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝

匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有（

B

）A.12種B.24種C.36種D.48種2.（2022·新高考Ⅰ卷）從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)

數(shù)互質(zhì)的概率為（

D

）BD3.（2022·全國(guó)甲卷）某社區(qū)通過(guò)公益講座來(lái)普及社區(qū)居民的垃圾分類(lèi)

知識(shí).為了了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們?cè)谥v座前和

講座后各回答一份垃圾分類(lèi)知識(shí)問(wèn)卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座

后問(wèn)卷答題的正確率如圖所示，則下列說(shuō)法中正確的是（

B

）A.講座前問(wèn)卷答題的正確率的中位數(shù)小于70％B.講座后問(wèn)卷答題的正確率的平均數(shù)大于85％C.講座前問(wèn)卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后問(wèn)卷答題的正確率的

標(biāo)準(zhǔn)差D.講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差大于講座前問(wèn)卷答題的正確率的極

差答案：B4.（多選）（2023·新高考Ⅰ卷）有一組樣本數(shù)據(jù)

x

1，

x

2，…，

x

6，其中

x

1是最小值，

x

6是最大值，則下列說(shuō)法中，正確的是（

BD

）A.x2，x3，x4，x5的平均數(shù)等于x1，x2，…，x6的平均數(shù)B.x2，x3，x4，x5的中位數(shù)等于x1，x2，…，x6的中位數(shù)C.x2，x3，x4，x5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于x1，x2，…，x6的標(biāo)準(zhǔn)差D.x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，…，x6的極差

BD－28

1.統(tǒng)計(jì)量（1）

平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平；標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)

據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，

越不穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定.（2）

百分位數(shù)的計(jì)算步驟第一步：按從小到大排列原始數(shù)據(jù).第二步：計(jì)算

i

＝

n

×

p

％.第三步：若

i

不是整數(shù)而大于

i

的最小整數(shù)為

j

，則第

p

百分位數(shù)為

第

j

項(xiàng)數(shù)據(jù)；若

i

是整數(shù)，則第

p

百分位數(shù)為第

i

項(xiàng)與第（

i

＋1）項(xiàng)

數(shù)據(jù)的平均數(shù).

3.事件的關(guān)系與概率（1）

和事件的概率：

P

（

A

＋

B

）＝

P

（

A

）＋

P

（

B

）－

P

（

AB

）；特別地，若兩個(gè)事件互斥，則

P

（

A

＋

B

）＝

P

（

A

）＋

P

（

B

）.（2）

積事件的概率：

P

（

AB

）＝

P

（

A

）·

P

（

B

｜

A

）；特別地，若兩個(gè)事件相互獨(dú)立，則

P

（

AB

）＝

P

（

A

）

P

（

B

）.AB

BB（3）

全概率公式

熱點(diǎn)1

計(jì)數(shù)原理與二項(xiàng)式定理[典例設(shè)計(jì)]例1（1）

（2023·衡陽(yáng)聯(lián)考）第22屆國(guó)際足聯(lián)世界杯于2022年11月20

日至2022年12月18日在卡塔爾舉行.現(xiàn)要安排甲、乙等5名志愿者去A，

B，C三個(gè)足球場(chǎng)服務(wù)，要求每個(gè)足球場(chǎng)都有人去，且每人只能去一個(gè)

足球場(chǎng)，則甲、乙兩人被分在同一個(gè)足球場(chǎng)的安排方法共有（

C

）A.12種B.18種C.36種D.48種C

（2）

（2022·岳陽(yáng)質(zhì)檢）將唱歌、跳舞、小品、雜技、相聲五個(gè)節(jié)目制成一個(gè)節(jié)目單，其中小品、相聲不相鄰且相聲、跳舞相鄰的節(jié)目單共有

36

種（用數(shù)字作答）.[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]1.（2023·內(nèi)江模擬）現(xiàn)安排編號(hào)分別為1，2，3，4的四位志愿者去做

三項(xiàng)不同的工作，若每項(xiàng)工作都需安排志愿者，每位志愿者恰好安排一

項(xiàng)工作，且編號(hào)為相鄰整數(shù)的志愿者不能被安排做同一項(xiàng)工作，則不同

的安排方法共有（

C

）A.36種B.24種C.18種D.12種

C1234567891011121314151617181920212223242.如圖，玩具計(jì)數(shù)算盤(pán)的三檔上各有7個(gè)算珠，現(xiàn)將每檔算珠分為左、

右兩側(cè)，左側(cè)的每個(gè)算珠表示數(shù)2，右側(cè)的每個(gè)算珠表示數(shù)1（允許一側(cè)

沒(méi)有算珠），記上、中、下每檔的數(shù)字之和分別為

a

，

b

，

c

.若

a

，

b

，

c

成等差數(shù)列，則不同的分珠方法共有

種.32

[典例設(shè)計(jì)]

解：令

x

＝1，可得

a

0＋

a

1＋

a

2＋

a

3＋

a

4＋

a

5＝35＝243.令

x

＝－1，可

得

a

0－

a

1＋

a

2－

a

3＋

a

4－

a

5＝1.所以（

a

0＋

a

2＋

a

4）2－（

a

1＋

a

3＋

a

5）2＝（

a

0＋

a

1＋

a

2＋

a

3＋

a

4＋

a

5）（

a

0－

a

1＋

a

2－

a

3＋

a

4－

a

5）＝

243.

總結(jié)提煉

（1）

求多個(gè)二項(xiàng)展開(kāi)式中特定項(xiàng)的方法對(duì)于幾個(gè)多項(xiàng)式的積的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題，一般都可以根據(jù)因式

連乘的規(guī)律，結(jié)合組合思想求解，但要注意適當(dāng)?shù)胤诸?lèi)討論，以免重

復(fù)或遺漏.（2）

賦值法研究二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)和問(wèn)題“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對(duì)形如（

ax

＋

b

）

n

（

cx

＋

d

）

m

（

a

，

b

，

c

，

d

∈R）的式子求其展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)

之和，常用賦值法.[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]3.在1＋（1＋

x

）＋（1＋

x

）2＋（1＋

x

）3＋（1＋

x

）4＋（1＋

x

）5＋

（1＋

x

）6的展開(kāi)式中，含

x

3項(xiàng)的系數(shù)是

（

C

）A.25B.30C.35D.40

C4.（2023·武漢模擬）在（

x

2－2

x

－1）5的展開(kāi)式中，含

x

3項(xiàng)的系數(shù)

為

?.

－40

熱點(diǎn)2

統(tǒng)計(jì)圖表與統(tǒng)計(jì)量[典例設(shè)計(jì)]例3（1）

（2023·浙江聯(lián)考模擬）如圖所示為我國(guó)跨境電商在2016～

2022年的交易規(guī)模與增速圖，則下列結(jié)論中，正確的是（

D

）A.這7年我國(guó)跨境電商交易規(guī)模的平均數(shù)為8.0萬(wàn)億元B.這7年我國(guó)跨境電商交易規(guī)模的增速越來(lái)越快C.這7年我國(guó)跨境電商交易規(guī)模的極差為7.6萬(wàn)億元D.圖中我國(guó)跨境電商交易規(guī)模的6個(gè)增速的中位數(shù)為13.8％答案：D

（2）

（多選）（2023·銅陵三模）近年來(lái)，加強(qiáng)青少年體育鍛煉，重視

體質(zhì)已經(jīng)在社會(huì)形成高度共識(shí).某校為了了解學(xué)生的身體素質(zhì)狀況，舉

行了一場(chǎng)體能測(cè)試.現(xiàn)隨機(jī)抽取200名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)，進(jìn)行適當(dāng)分組

后，畫(huà)出如下頻率分布直方圖，則下列說(shuō)法中，正確的是（

ACD

）A.a＝0.020B.在被抽取的學(xué)生中，成績(jī)?cè)趨^(qū)間[80，100]內(nèi)的學(xué)生有70人C.估計(jì)全校學(xué)生體能測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)是77.5分D.估計(jì)全校學(xué)生體能測(cè)試成績(jī)的第69百分位數(shù)是84分答案：ACD

總結(jié)提煉

（1）

準(zhǔn)確理解各類(lèi)圖表的含義在解決統(tǒng)計(jì)圖表的相關(guān)問(wèn)題中，需準(zhǔn)確審圖，弄清楚圖表的含義和區(qū)

別是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵，如條形圖的高度表示頻數(shù)，頻率分布直方

圖的面積表示頻率，扇形統(tǒng)計(jì)圖描述各部分占總體的百分比.（2）

準(zhǔn)確理解頻率分布直方圖中的各種“數(shù)”①

眾數(shù)：最高小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；②

中位數(shù)：垂直于橫軸且平

分頻率分布直方圖的面積的直線(xiàn)與橫軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；③

平均數(shù)：頻

率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]5.（多選）中國(guó)營(yíng)養(yǎng)學(xué)會(huì)把走路稱(chēng)為“最簡(jiǎn)單、最優(yōu)良的鍛煉方式”，

它不僅可以幫助減肥，還可以增強(qiáng)心肺功能、血管彈性、肌肉力量等.

甲、乙兩人利用手機(jī)記錄了去年下半年每個(gè)月的走路里程（單位：千

米），現(xiàn)將兩人的數(shù)據(jù)繪制成如圖所示的折線(xiàn)圖，下列說(shuō)法中，正確的

是（

ABC

）A.甲走路里程的極差是11千米B.乙走路里程的中位數(shù)是27千米C.甲下半年每月走路里程的平均數(shù)小于乙下半年每月走路里程的平均

數(shù)D.甲下半年每月走路里程的標(biāo)準(zhǔn)差小于乙下半年每月走路里程的標(biāo)準(zhǔn)

差答案：ABC

熱點(diǎn)3

和事件、積事件的概率[典例設(shè)計(jì)]例4現(xiàn)將除顏色外其他完全相同的6個(gè)紅球和6個(gè)白球平均放入A，B兩

個(gè)不透明的盒子中（A中3個(gè)紅球、3個(gè)白球，B中3個(gè)紅球、3個(gè)白

球），甲從盒子A中，乙從盒子B中各隨機(jī)取出一個(gè)球，若2個(gè)球同色，

則將取出的2個(gè)球全部放入盒子A中；若2個(gè)球異色，則將取出的2個(gè)球全

部放入盒子B中.按上述規(guī)則取球兩次后，盒子