正弦定理 高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修二

正弦定理教學(xué)目標(biāo)1.掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；2.掌握正弦定理的變式；3.熟練應(yīng)用正弦定理解三角形.1.余弦定理文字語(yǔ)言三角形中任何一邊的

，等于其他兩邊

，減去這兩邊與它們夾角的

。符號(hào)語(yǔ)言a2＝b2＋c2－2bccosAb2＝a2＋c2－2accosBc2＝a2＋b2－2abcosC平方平方的和余弦的積的兩倍復(fù)習(xí)回顧2.余弦定理的推論（變形式）cosA＝

；

cosB＝

；

cosC＝

．預(yù)習(xí)教材P45－P48的內(nèi)容，思考以下問(wèn)題：1.正弦定理的內(nèi)容是什么？2.如何證明正弦定理？3.正弦定理有哪些推論？

在直角三角形ABC中，由銳角三角函數(shù)，再根據(jù)正弦函數(shù)的定義，ABCabc探究：余弦定理及其推論分別給出了已知兩邊及其夾角，已知三邊直接解三角形的公式。如果已知兩角和一邊，是否也有相應(yīng)的直接解三角形的公式呢？思考：那么對(duì)于一般的三角形,以上關(guān)系式是否仍然成立？?可分為銳角三角形，鈍角三角形兩種情況分析.證明：過(guò)A作單位向量垂直于∴asinC=csinA.同理，過(guò)點(diǎn)C作與垂直的單位向量，可得BCA則兩邊同乘以單位向量當(dāng)是鈍角三角形時(shí)，不妨設(shè)A為鈍角。如圖過(guò)點(diǎn)A作與垂直的單位向量，則與的夾角為

與的夾角為

同理可得

1．正弦定理?xiàng)l件在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c結(jié)論===2R（R為△ABC外接圓的半徑）文字?jǐn)⑹鲈谝粋€(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等2.定理解讀(1)適用范圍：正弦定理對(duì)任意的三角形都成立．(2)結(jié)構(gòu)形式：分子為三角形的邊長(zhǎng)，分母為相應(yīng)邊所對(duì)角的正弦的連等式．(3)揭示規(guī)律：正弦定理指出的是三角形中三條邊與其對(duì)應(yīng)角的正弦之間的一個(gè)關(guān)系式，它描述了三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系．3.正弦定理的證明題型1已知兩角及任意一邊解三角形例1在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形．

跟蹤訓(xùn)練1

在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，c的值．

答案：B

【方法歸納】已知兩邊及其中一邊的對(duì)角，利用正弦定理解三角形的步驟(1)利用正弦定理求出另一邊所對(duì)角的正弦值，進(jìn)而求出這個(gè)角．(2)利用三角形內(nèi)角和為180°求出第三個(gè)角．(3)根據(jù)正弦定理求出第三條邊．其中進(jìn)行(1)時(shí)要注意討論該角是否可能有兩個(gè)值．

【方法歸納】判斷三角形的形狀就是根據(jù)已知條件判斷三角形是否為某些三角形(如銳角、直角、鈍角、等腰、等邊三角形等)．這類(lèi)題目的解答通常有以下兩種思路：(1)化邊為角：根據(jù)正弦定理把已知條件中邊和角的混合關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，再進(jìn)行三角恒等變換，得到角的三角函數(shù)值或角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，進(jìn)而得到三角形的角或角的關(guān)系，從而確定三角形的形狀；(2)化角為邊：根據(jù)正弦定理把已知條件中邊和角的混合關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，然后通過(guò)整理得到邊與邊之間的數(shù)量關(guān)系，從而確定三角形的形狀．

【方法歸納】通過(guò)正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊角互化，綜合利用三角恒等變換等知識(shí)推出三角形的邊角