2023-2024學(xué)年甘肅省蘭州市高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題(三)(含解析)

2023-2024學(xué)年甘肅省蘭州市高二上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.在等比數(shù)列{叫中，6=1,?3=8,則篇資=（）

A.8B.6C.4D.2

【正確答案】A

【分析】由題設(shè)結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得公比4=2,進(jìn)而求空馬.

q+a2

【詳解】由題設(shè)，a2a3=。：/=8,又4=1，可得4=2,

?4+應(yīng)％/+°闖4,24=&

a,+a2at+a}q3

故選：A

2.設(shè)直線4，4的斜率和傾斜角分別為K，&和a，2,貝『%>乃是"4>%”的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】D

對(duì)直線的傾斜角分銳角和鈍角進(jìn)行討論，再結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)，即可得答案；

【詳解】解：?.?直線4，4的斜率和傾斜角分別為K，&和4，%，

當(dāng)傾斜角均為銳角時(shí),和均為鈍角時(shí)，若“占>%2”，則“4>%”，

若“仇>%”,貝1]“片>無2”，

當(dāng)傾斜角一個(gè)為銳角一個(gè)為鈍角時(shí)，若“勺〉與”，則"a與a”的大小不能確定，

若“4>%”，貝臚匕與益”的大小也不能確定，

故貝心尤〉％2”是"a>%’’的既不充分也不必要條件.

故選：D.

直線的斜率左=tana,將斜率視為傾斜角的函數(shù)，再利用正切函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解.

3.若直線/經(jīng)過點(diǎn)尸（-2,1）,且直線/的一個(gè)法向量為；:（2,-1）,則直線/的方程為（）

A.x+2y=QB.x+2y-4=0

C.2x-y+5=0D.2x+y+3=0

【正確答案】c

【分析】根據(jù)直線/的一個(gè)法向量為；:（2,-1）,得到勺=2,寫出直線方程.

【詳解】因?yàn)橹本€/的一個(gè)法向量為；:（2,-1）,

所以％=2,

則直線/的方程為y-l=2（x+2）,即2x-y+5=0,

故選：C

4.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于我國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》，

1852年，英國傳教士偉烈亞力將該解法傳至歐洲，1874年，英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符

合1801年由高斯得到的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”，

此定理講的是關(guān)于整除的問題，現(xiàn)將1到2022這2022個(gè)數(shù)中，能被2除余1且被7除余1

的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列{q},則該數(shù)列共有（）

A.145項(xiàng)B.146項(xiàng)C.144項(xiàng)D.147項(xiàng)

【正確答案】A

【分析】由已知可得能被2除余1且被7除余1的數(shù)即為能被14除余1,進(jìn)而得通項(xiàng)及項(xiàng)數(shù).

【詳解】由已知可得?！?1既能被2整除，也能被7整除，故能被14整除，

所以=

即an=14w—13,

故14a,,42022,BfJ1<I4?-I3<2022,解得1W“W145上，故共145項(xiàng)，

14

故選：A.

5.已知圓C:X2+/+2龍-2叼-4-4s=0（seR）,則當(dāng)圓C的面積最小時(shí)，圓上的點(diǎn)到坐

標(biāo)原點(diǎn)的距離的最大值為（）

A.A/5B.6C.亞-1D.75+1

【正確答案】D

【分析】根據(jù)圓的一般方程，得到圓心和半徑，求出面積最小時(shí)對(duì)應(yīng)的半徑，再求得圓心到

坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，進(jìn)而可求出結(jié)果.

【詳解】解：由題意得：

2

由—+/+2x-2my-4-4m=0得(x+l)~=tn+4〃z+5

圓心為C(-1,7W),半徑為尸=J〃?2+4加+5=J(〃?+2)2+1>1,

當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)=-2時(shí)，半徑最小，則面積也最小；

???圓心為半徑為尸=1,

???圓心到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為4=[(-I)?+(-2)2=屈>r，

即原點(diǎn)在圓C外，根據(jù)圓的性質(zhì)，圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最大值為,/+/=石+1.

故選：D.

6.已知圓(、+1『+(夕+2)2=4關(guān)于直線依+如+1=()〃>06>0對(duì)稱，則一+7的最小值為

ab

()

5

A.-B.9C.4D.8

2

【正確答案】B

【分析】由題可得。+26=1(?！?力〉0),然后利用基本不等式即得.

【詳解】圓(x+l)2+(y+2)2=4的圓心為依題意，點(diǎn)在直線如+圾+1=0上,

因止匕一Q—26+1=0,即。+26=1（。〉0力>0）,

當(dāng)且僅當(dāng)生=學(xué)，即〃=b=:時(shí)取

ah3

所以1：2的最小值為9.

ab

故選：B.

7.當(dāng)點(diǎn)尸在圓/+/=1上變動(dòng)時(shí)，它與定點(diǎn)。(3,0)的連線P0的中點(diǎn)的軌跡方程是(

A.x2+y2+6x+5=0B.x2+^2-6x+8=0

C.x2+y2-3x+2=0D.x2+y2+3x+2=0

【正確答案】C

【分析】相關(guān)點(diǎn)法求解尸。的中點(diǎn)的軌跡方程.

【詳解】設(shè)P（XQJ,尸Q的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y）,

x-演+3

x-1,

?.?0(3,0),%

心丁，

.J%,=2x-3

*,bi=2、

又：點(diǎn)p在圓/+_/=1上，

.\(2x-3)2+4v2=1,B[JX2+/-3X+2=0,

故選：C.

8.已知數(shù)列｛《,｝滿足怎=<■：,"為正整數(shù)，則該數(shù)列的最大值是（）

n+6

1115

A.-B.—C.-D.

25631

【正確答案】B

1

【分析】求出數(shù)列｛凡｝的前5項(xiàng)，再由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得“"=:，〃eN，的單調(diào)性,

n

從而即可得最大值.

【詳解】解：由〃“二-a"/，得q=!，a2=~%=:，。4=三，%=3.

n4-67551131

1

又"〃二『，〃wN*,

n

1

又因?yàn)?=7"在僅，卡）上單調(diào)遞增，在（指,+8）上單調(diào)遞減，

X

所以｛叫的最大值為%=%=;.

故選：B.

二、多選題

9.已知直線/:米-V+2左=0和圓O：f+y2=16,貝|J（）

A.直線/恒過定點(diǎn)（2,0）

B.存在上使得直線/與直線%：x-2y+2=0垂直

C.直線/與圓。相交

D.若后=-1,直線/被圓。截得的弦長為4

【正確答案】BC

【分析】利用直線系方程求出直線/所過定點(diǎn)坐標(biāo)判斷/、C；求出使得直線/與直線

%:》-2），+2=0垂直的左值判斷&根據(jù)弦長公式求出弦長可判斷D.

[x+2=0（x=—2

【詳解】解：對(duì)于4C,由/：履7+24=0,得％（x+2）-y=0,令，解得

〔_尸0[y=0

所以直線/恒過定點(diǎn)（-2,0）,故N錯(cuò)誤；

因?yàn)橹本€/恒過定點(diǎn)（一2,0）,而（一2）2+。2=4<16,即（-2,0）在圓O：X2+J?=16內(nèi)，

所以直線/與圓。相交，故C正確；

對(duì)于8,直線％:x-2y+2=0的斜率為9則當(dāng)上=-2時(shí)，滿足直線/與直線％：x-2y+2=0

垂直，故8正確；

對(duì)于。，左=-1時(shí)，直線/：x+y+2=0,圓心到直線的距離為d=域竺3=0,

V12+12

所以直線/被圓。截得的弦長為2獷=T'=N以一（何=2/14,故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

10.已知遞減的等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和為S“，若其=S"，則（）

A.a10>0B.當(dāng)〃=9時(shí)，，最大

C.S”>oD.S19>0

【正確答案】BC

【分析】由題，由等差數(shù)列的其=5||可得4+為+aio+4=。，可求出4和d的關(guān)系，

用公式法寫出《、S?,結(jié)合d<0,即可逐個(gè)判斷.

17

【詳解】由題,由Sf=S、、得，“8+%+%o+"“=%+33=0,a,=—■—d,

■■an=q+（“-1）.〃=（〃-：）?",Sn=（"+""）"="（"-18）a

222

d<0,QioU'dvO,A錯(cuò)；

S〃對(duì)稱軸為勿=9,開口向下，所以〃=9時(shí)，，最大，B對(duì)；

1719

5=一一d>0,S]9=—d<0,C對(duì)，D錯(cuò)，

*1722

故選：BC

11.若數(shù)列｛6,｝是公比為q(q*O)的等比數(shù)列，則下列說法不正確的是()

A.若數(shù)列｛?｝是遞增數(shù)列，則4<0,4<0

B.若數(shù)列｛““｝是遞減數(shù)列，則4>0,0<"1

C.若<7>0,則見<4

D.若則也｝是等比數(shù)列

【正確答案】ABC

【分析】逐項(xiàng)分析即可求解.

【詳解】若數(shù)列｛4｝是遞增數(shù)列，也可以q>0,q>l,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

若數(shù)列｛對(duì)｝是遞減數(shù)列，也可以q<0,，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

若q=l>0,則%=&，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

l

bn=-=-^r=-(-r,2=平產(chǎn)一」0,所以也｝是等比數(shù)列，故選項(xiàng)D正確

。〃々1為qb“q

qq

故選：ABC.

12.已知實(shí)數(shù)x,J滿足方程X2+/_4X+I=O,則下列說法錯(cuò)誤的是

A.V-X的最大值為&-2B.d+y2的最大值為7+4百

C.上的最大值為也D.x+y的最大值為2+0

x2

【正確答案】CD

【分析】B中亡+/表示(xj)到原點(diǎn)距離的平方，求出原點(diǎn)到圓心距離可得圓上點(diǎn)到原點(diǎn)

距離的最大值的最小值，可判斷B,

A,C,D中均可以令對(duì)應(yīng)式子=〃?，解得V后代入圓方程，由判別式A2O可得最值.從而

得到判斷.本題用了幾何意義求解，轉(zhuǎn)化為直線與圓有公共點(diǎn)，由圓心到直線的距離不大于

半徑可得結(jié)論.

【詳解】對(duì)于4設(shè)2=)"工，則'=》+2,Z表示直線了=》+2的縱截距，當(dāng)直線與圓

(x-2)2+/=3有公共點(diǎn)時(shí)，今百，解得一n-24Z46-2,所以卜一》的最大值為

V6-2,故/說法正確；

對(duì)于8,￡+/的幾何意義是表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，易知原點(diǎn)到圓心的距離為2,

則原點(diǎn)到圓上的最大距離為2+W，所以f的最大值為(2+0-=7+4百，故8說法

正確；

對(duì)于C,設(shè)匯=無，把、=履代入圓方程得(1+/口2-4》+1=0,則A=16-4(l+/)20,解

X

得YwkwQ,上最大值為心，故c說法錯(cuò)誤；

X

對(duì)于。，設(shè)機(jī)=x+y,貝ijy=-x+m,〃?表示直線了=一》+機(jī)的縱截距，當(dāng)直線與圓

I-2+|r-

(X-2)?+/=3有公共點(diǎn)時(shí)，一下—4A/3,解得-卡+244#+2,所以x+夕的最大

值為痛+2,故。說法錯(cuò)誤.

故選：CD.

本題考查命題的真假判斷，實(shí)質(zhì)考查直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)圓心到直線的距離不大于半

徑易得解，對(duì)平方式可用幾何意義：兩點(diǎn)間距離的平方求解.

三、填空題

13.數(shù)列｛q｝滿足q=。用+2,且4=1,則它的通項(xiàng)公式%=.

【正確答案】-2N+3##3-2〃

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合等差數(shù)列定義求出公差，再求出通項(xiàng)作答.

【詳解】因數(shù)列｛6｝滿足%=。向+2,即％-q=—2,

因此數(shù)列｛對(duì)｝是首項(xiàng)為1,公差為-2的等差數(shù)列，

所以數(shù)列｛對(duì)｝的通項(xiàng)公式為%=1+5-1)x(-2)=-2〃+3.

故-2”+3

14.已知直線/的斜率為三，且和兩坐標(biāo)軸圍成面積為3的三角形，則直線/的斜截式方程為

6

【正確答案】y=Jx+1或y

66

【分析】設(shè)/：V=LX+6(6KO),可求得直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，利用所圍成三角形面積可

6

構(gòu)造方程求得6,進(jìn)而得到直線方程.

【詳解】設(shè)直線/的方程為：y=yx+b(b*0),當(dāng)x=0時(shí)，y=b；當(dāng)，=0時(shí)，x--6b；

由題意可得：!-|6|-|-66|=3,解得：6=±1,

???直線’的方程為：y='x+l或y='x_I.

故y=L+l或yjxT.

66

15.數(shù)列｛《,｝滿足q=2,%+產(chǎn)焉，則數(shù)列｛局｝的前2022項(xiàng)的乘積為.

【正確答案】J

【分析】先推出數(shù)列的周期為4,根據(jù)周期化為前4項(xiàng)的值進(jìn)行計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?。?殳二所以4+2=4二|==-」■,

見+1。田+1冬二1+1冊(cè)

%+1

___1____1__

所以“"4=一7?=一］工，所以數(shù)列｛凡｝的周期為4，

,?！耙?,日11“

由。|=o2,=〃+］，得%=§，。3=-5，。4=-3,

(11452

所以數(shù)列｛”“｝的前2022項(xiàng)的乘積為(《詠。儼?=［2x-x(―)x(-3)x2x-=-.

故答案為.|

16.斐波那契螺旋線被譽(yù)為自然界最完美的“黃金螺旋線”，它的畫法是：以斐波那契數(shù)：1,

1,2,3,5,8,13,…為邊長的正方形拼成長方形，然后在每個(gè)正方形中畫一個(gè)圓心角為

90。的圓弧，這些圓弧所連起來的弧線就是斐波那契螺旋線.如圖為該螺旋線在邊長為1,1,

2,3,5,8的正方形的中的部分，建立平面直角坐標(biāo)系(規(guī)定小方格的邊長為1),則接下

來的一段圓弧所在圓的方程為

【正確答案】(x+4)2+(y-2『=169

【分析】根據(jù)題意，分析要求的圓的圓心和半徑，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分析即可得出答案.

【詳解】根據(jù)題意，接下來的一段圓弧所在圓的半徑/*=5+8=13,其圓心為(-4,2),

(根據(jù)題中圖象規(guī)律發(fā)現(xiàn)),則其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x++(y-2)2=169.

故答案為.(x+4)2+(y-2『=169

四、解答題

17.已知點(diǎn)尸(2,2).

(1)求過點(diǎn)尸且與直線x-3y-l=0平行的直線方程；

⑵直線/過點(diǎn)P,且直線/與點(diǎn)/(1,3),8(4,6)距離相等，求直線/的方程.

【正確答案】(l)x-3y+4=0

(2)欠一'=0或5%一、一8二0

【分析】(1)由平行設(shè)所求直線為x-3y+,”=0,代入點(diǎn)尸(2,2)坐標(biāo)即可求解；

(2)直線/與點(diǎn)/(1,3),8(4,6)距離相等，則直線與所在直線平行或過線段力8的中點(diǎn),

求出直線斜率，點(diǎn)斜式求直線方程.

【詳解】(1)所求直線與直線x-3y-l=0平行，設(shè)所求直線為x-3y+m=0,

將點(diǎn)尸(2,2)代入方程，化簡得機(jī)=4,故所求直線的方程為x-3y+4=0.

(2)當(dāng)直線〃時(shí)，k=k=3=1,直線/的方程為了-2=*_2,即x-y=0；

1AB4-1

（、--2

當(dāng)直線/過線段的中點(diǎn)Ml時(shí)，kt=kPM=j-=5,直線/的方程為

2-2

y-2=5（x-2）,HP5x-y-8=0,

所求直線/方程為x-y=O或5x-y-8=0.

18.直線4：x+2尸11=0與直線4：2x+y-I0=0相交于點(diǎn)尸，直線/經(jīng)過點(diǎn)P.

⑴若直線/,的求直線/的方程；

（2）若直線I在坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線/的方程.

【正確答案】⑴x_2y+5=0

（2）4x-3y=0uJ（x+y-7=0.

【分析】（1）先求P點(diǎn)坐標(biāo)，由垂直關(guān)系得/斜率后求解，

（2）由題意得/過原點(diǎn)或斜率為-1后求解

,,fx+2y-l1=0,,[x=3,,、

【詳解】（1）聯(lián)立°;得；即23,4.

[2x+y-1i0n=0[y=4,/

因?yàn)椴环猎O(shè)直線/的方程為x-2y+/l=0,

將點(diǎn)P（3,4）代入x_2y+4=0,得2=5,

所以直線/的方程為x-2y+5=0.

（2）當(dāng)直線/經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，直線/的方程是夕=：》，即4x-3y=0；

當(dāng)直線/不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線/的方程為±+上=1,

aa

將點(diǎn)P（3,4）代入土+上=1,得°=7,

aa

所以直線/的方程為=+4=1,即x+y-7=0.

綜上所述，直線/的方程是4x-3>=0或x+y-7=0.

19.已知數(shù)列｛6｝的前〃項(xiàng)和為5,,,4=71,%=-9,且S“M+S,I=2V.+2（〃22）.

⑴求數(shù)列｛樂｝的通項(xiàng)公式；

（2）已知2=」一，求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和7；.

anan+\

【正確答案】⑴。“=2〃-」3

n

(2)--------

'U21-22/7

【分析】(1)根據(jù)4=S“-Si以及S“M+S,i=說+2(〃22)可得該數(shù)列是等差數(shù)列，然后

根據(jù)等差數(shù)列的4、d寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式即可.

(2)有題意可知也,=(2”_13)(2〃-11)'然后根據(jù)裂項(xiàng)求和即可求得人

【詳解】(1)解：由題意得：

由題意知(S,M-5〃)一(S,-)=2,則。向-%=2(〃N2)

又〃2-%=2,所以｛%｝是公差為2的等差數(shù)列，則+(〃-1)4=2N-13；

,11(11>

(2)由題知2=萬~~—rp:-K=3-7~~RF~7\

(2/7-13)(2/2-11)2\2n-132n-\\)

n

~121-22/7

20.已知等差數(shù)列｛《J的前〃項(xiàng)和為5〃，數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，且《=〃=1,$3=34=12.

⑴求數(shù)列｛4,｝,抄,｝的通項(xiàng)公式；

⑵若cn=a?6?+i，求數(shù)列｛5｝的前"項(xiàng)和T?.

【正確答案】(1)?！?3〃-2,b?=4"-'

⑵7],=4+(〃7)4向

【分析】(1)求出公差和公比，得到通項(xiàng)公式；(2)利用錯(cuò)位相減法求和.

【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列｛《,｝的公差為"，等比數(shù)列色,｝的公比為4,

由題意得：3%+3d=12,解得：[=3,

所以=1+3(〃-1)=3〃-2,

由34=12得：4=4,所以4="=4,

所以a=4"T

(2)￡,=4也,|=(3"-2>4",

則7；=4+4x4?+7x4^++(3〃-2)4①，

47；,=42+4X43+7X44++削-2)4"②，

兩式相減得：-37；=4+3x42+3x43+3x4,++3x4"

1A-4，，+1

=4+3x——(3n-2)4,,+1=-12+0-3n>"+,,

所以北=4+(〃-1)4的

21.我們定義一個(gè)圓的圓心到一條直線的距離與該圓的半徑之比，叫做直線關(guān)于圓的距離比,

22

記作4.已知圓Ct：x+y=1,直線/:3x-4y+m=0.

(1)若直線/關(guān)于圓G的距離比義=2,求實(shí)數(shù)機(jī)的值；

(2)當(dāng)加=0時(shí)，若圓G與V軸相切于點(diǎn)力(0,3),且直線/關(guān)于圓G的距離比試判

斷圓G與圓G的位置關(guān)系，并說明理由

【正確答案】(1)±10；(2)外切或相離，答案見解析.

(1)根據(jù)新定義的要求即可求出他的值；

(2)先設(shè)圓C2的方程(x-q)2+(y-3尸=/,然后根據(jù)新定義可求出。的值，再根據(jù)。的值

判斷兩圓的位置關(guān)系.

【詳解】(1)由直線關(guān)于圓的距離的比的定義

得圓=2,所以相=±10

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(2)當(dāng)加=0時(shí),直線/：3x-"=0

圓Q與了軸相切點(diǎn)于/(0,3)

所以可設(shè)。2：(x-a)2+(y-3)2=a2

①當(dāng)a=-4時(shí)，C2：(x+4>+(y-3>=16

兩圓的圓心距d=5,兩圓半徑之和為1+4=5,因此兩圓外切

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②當(dāng)。=§時(shí)'c2：(x_])2+(尸3)2=§

兩圓的圓心距d=-§4+4=]8大于兩圓的半徑之和l+g4=；7,因此兩圓外離

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是利用新定義圓的圓心到--條直線的距離與該圓的半徑之比，叫

做直線關(guān)于圓的距離比，可求出加的值，利用圓G與V軸相切于點(diǎn)力(0,3)設(shè)出其方程為

(x-4+(y-3)2=/根據(jù)新定義可求出。的值，再比較圓心距與半徑之和、差，可判斷兩圓

的位置關(guān)系.

22.已知尸為直線/：x+y