2023-2024學(xué)年江蘇省常州市高二年級上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題(含解析)

2023-2024學(xué)年江蘇省常州市高二上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選

項中只有一項是符合題目要求的.

1,若直線彳+（。-1?+1=0與直線6+2y-i=o互相垂直，則實數(shù)。=（）

32

A.-B.-C.—1D.2

23

【正確答案】B

【分析】直接根據(jù)直線垂直公式計算得到答案.

2

【詳解】由兩直線互相垂直可知a+2（?！?）=0,解得〃=—,

3

故選：B.

本題考查了根據(jù)直線垂直求參數(shù)，屬于簡單題.

2.已知等差數(shù)列｛%｝的前“項和為S”，且3《,$2，生成公比為4的等比數(shù)列，則4=（）

11

A.-B.1C.——D.3

33

【正確答案】B

【分析】由等比中項的性質(zhì)結(jié)合等差數(shù)列的通項公式得出q=d,進(jìn)而由4=含得出4.

【詳解】等差數(shù)列｛4｝的公差為d,則52=2。I+4。3=々+2會,因為3aps2,%成公比

為4的等比數(shù)列，所以（2q+d）2=3q（q+2d）,整理得（％-1）2=0,故q=d,則

S3d,

q=2=——=1

3q3d

故選：B

3.若數(shù)列｛為｝滿足4+i=l一丁,且q=2,則"22=（）

A.-1B.2C.72D.y

【正確答案】A

【分析】根據(jù)遞推公式求出｛%｝的周期即可.

【詳解】由題意，q=2,4=1—；==2=-1,%=1+1=2,

,1,11,1

=Cl

又%+1=1---，%+2=1-----=■----，氏+3=1-----n，

a”??+11-??%+2

??{%}是周期為3的周期數(shù)列，42022=43+3x673=“3=—1,

故選：A.

【分析】先求解/（X）的定義域并判斷奇偶性，然后根據(jù)/（1）的值以及/（X）在（0,+8）上

的單調(diào)性選擇合適圖象.

|x||x|

【詳解】/（X）=^定義域為（F,0）D（0,M），/（—x）=—J,

3?x3x

則/（T）=-/（X）,/（X）為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，故排除B;

/（1）=|<1，故排除A；

，當(dāng)x>0時，可得廣（力=色）耳，當(dāng)x>l時，歡x）>0,/（x）單調(diào)

遞增，故排除D.

故選：C.

5.橢圓焦點為《，F(xiàn)2,過耳的最短弦PQ長為10,“月。的周長為36,則此橢圓的離心

率為

T

c|D.

33

【正確答案】C

【詳解】試題分析：設(shè)橢圓方程為二+2=1其焦點坐標(biāo)為片Gc,O)，由已知

a~b~

人212

P、Q坐標(biāo)為：M(-c,一),N(-c,--)

aa

i2

所以，2-—=10,/=5Q；

a

△P^Q的周長為36

|PBHBQ「361PQL13,C=6

a2=b2+c2-5a+36,

所以(a-9)(a+4)=0

2

因為a>0,所以，a=9,橢圓的離心率為5,故選C.

考點：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì).

點評：過々的最短弦PQ垂直于x軸，另外，由橢圓的對稱性，△PQQ是一直角三角形.

6.《九章算術(shù)》是人類科學(xué)史上應(yīng)用數(shù)學(xué)的最早巔峰，書中有如下問題：“今有女子善織，

日益功，疾，初日織六尺，今一月織十一匹三丈(1匹=40尺，一丈=10尺)，問日益幾何？”

其意思為：“有一女子擅長織布，每天比前一天更加用功，織布的速度也越來越快，從第二

天起，每天比前一天多織相同量的布，第一天織6尺，一月織了十一匹三丈，問每天增加多

少尺布？''若一個月按30天算，記該女子一個月中的第〃天所織布的尺數(shù)為2,則

+dy+…+Q29g、］

,一口JI且八V)

〃2+/+?,,+〃30

1416「232

A.—B.—C.377D.一

1517243

【正確答案】C

【分析】

由題意，數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，利用％和S30求出公差d和通項公式，利用等差數(shù)列的性

質(zhì)化簡黑f啜求解華即可.

a\6

【詳解】由題意，數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，％=6,5^=11x40+3x10=470,

設(shè)數(shù)列｛4｝公差為d,由等差數(shù)列前〃項和公式，

3X1

530-30x6+0^0-b=470,解得d=2,

3023

所以a“=6+("-l)xg=g〃+當(dāng)

(a,+a29)xl5?

+…+%=------2------=15%s

(%+〃3())義15

%+。4+…+=2=15《6'

—xl5+-

9+9+…+外=%=2_____3_=23

a

42+%+…+?0\b|xl6+y24

故選：C

本題主要考查利用等差數(shù)列前八項和公式求解通項公式和等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，熟練掌握等

差數(shù)列相關(guān)公式是求解的關(guān)鍵，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算能力，屬于中檔題.

7.已知函數(shù)y=/'(xT)的圖像關(guān)于點(1,0)對稱，且當(dāng)xe(-8,0),+

成立.若0=(2°2)./(2巧，b=(ln2)?/(ln2),c=^log2^-/^log2^,則a,b,c

的大小關(guān)系是()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>hD.a>c>b

【正確答案】C

【分析】由題知/(x)是奇函數(shù)，令g(x)=#(x),進(jìn)而得函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，在(0,+力)

上單調(diào)遞增，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性比較大小即可.

【詳解】解：函數(shù)y=/(x—1)的圖像關(guān)于點(1,0)對稱，

所以函數(shù)圖像關(guān)于點(0,0)對稱，即/(X)是奇函數(shù)，/(—x)=—/(x)

構(gòu)造函數(shù)g(x)=#(x),g'(x)=/(x)+xf\x),

因為當(dāng)xe(-oo,0)時，g'(x)=/(x)+#'(x)<0,

所以函數(shù)g(x)在xe(-oo,0)上單調(diào)遞減.

因為/(-X)=~/'(x)，g(—x)=-切(T)=4(x)=g(x),

所以函數(shù)g(x)為偶函數(shù),

所以，函數(shù)g(x)在(0,+e)上單調(diào)遞增，

因為。=202/(2°2)=g(20-2),Z>=ln2/(ln2)=g(ln2)

2>20-2>1>ln2>0

所以，g(2)>g(2°-2)>g(ln2),即c>a>b.

故選：C.

8.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一：享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號.用他名字定

義的函數(shù)稱為高斯函數(shù)/(x)=[x],其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，已知數(shù)列｛。“｝滿

足％=2,4=6，?！?2+5a.=6an+i,若“=[logsan+l],Sn為數(shù)列彳嗎。廣的前〃

IA也+J

項和，則[$2023]=。

A.999B.749C.499D.249

【正確答案】A

【分析】根據(jù)遞推關(guān)系可得｛。m為等比數(shù)列，進(jìn)而可得用一4=4X5"T,由累加法

可求解=5"+1，進(jìn)而根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得?=[log5a“+』=〃，根據(jù)裂項求和即

可求解.

【詳解】由%+2+5%=6<??+1得勺+2一%+i=5（%+i-4），因此數(shù)列｛??+i-??｝為公比為5,

首項為=4的等比數(shù)列，故氏+|-a,=4x5"“，進(jìn)而根據(jù)累加法

得%=（%+1一%）+（/一%）++3一%）+%=4（5"T+5"一++5"）+2=5"+1,

由于lOg5%+i=log5（5"+l），又

log55"<log5（5"+1）<log5（5x5"）nn<log5（5"+1）<〃+l,

,r,1100010001AAAf11、

因此4=[logs=“，則C"=AA=-7—K=10°0------；，故

LW+,Ja「be+1〃n+\）

S“—C1+c2++Cn—1000f1—,

\n）

1000

所以[S2023]=999,

2023

故選：A

方法點睛：常見的數(shù)列求和的方法有公式法即等差等比數(shù)列求和公式，分組求和類似于

c?=a+b,其中｛%｝和也｝分別為特殊數(shù)列,1

nn裂項相消法類似于4=而而,錯位

相減法類似于的=%?〃，其中｛4｝為等差數(shù)列，｛"｝為等比數(shù)列等.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中,

有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

V2V2

9.己知曲線C的方程為人+」L=1（%￡R）.（）

9-kk-\

A.當(dāng)左=5時，曲線。是半徑為2的圓

B.當(dāng)左=0時，曲線C為雙曲線，其漸近線方程為y=±；x

C.存在實數(shù)左，使得曲線。為離心率為近的雙曲線

D.“左＞1”是“曲線C為焦點在x軸上的橢圓”的必要不充分條件

【正確答案】ABD

【分析】

A.由％=5得到曲線方程判斷；B.由左=0得到曲線方程判斷；C.根據(jù)曲線C為離心率為J5

的雙曲線，則由9-左+"1=0判斷；D.利用充分和必要條件的定義判斷.

【詳解】A.當(dāng)4=5時，曲線方程為』+/=4,所以是半徑為2的圓，故正確；

21

B.當(dāng)左=0時，曲線方程為r土—所以是雙曲線，且其漸近線方程為y=±;x,故正

93

確；

C.若曲線C為離心率為J5的雙曲線，則9-4+%-1=0,方程無解，故錯誤；

D.當(dāng)我=10時;k＞\,曲線C為焦點在y軸上的橢圓，故不充分，當(dāng)曲線C為焦點在x軸

僅一1〉0

上的橢圓時，則〈八,,解得1＜女＜5,故必要，故正確；

9-k＞k-1

故選：ABD

本題主要考查曲線與方程，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.下列命題中，正確的命題有（）

A."+%是］?'共線的充要條件

B.對空間中任意一點。和不共線的三點4B,C,若OP=2O/—4O8+3OC，則尸，A,

B,C四點共面

c.若則存在唯一的實數(shù);I,使得一［彳1

D.若｛。,dc｝為空間的一個基底，則｛a+b,b+2c,c+3a｝構(gòu)成空間的另一個基底

【正確答案】BD

【分析】對于選項A：根據(jù)向量的模相等關(guān)系，結(jié)合充要條件判斷；

對于選項B：利用共面向量定理判斷；

對于選項C：利用平面向量的基本定理判斷；

對于選項D：根據(jù)空間向量的基底判斷.

［詳解】對于選項A：當(dāng)卜|+w=卜一q時，;，。共線,但當(dāng)】-,同向共線，w+W/卜—4

故||+忖=卜-0是；，?,共線的充分不必要條件，故A錯誤：

對于選項B：若0P=2O/-4O8+3OC，而2-4+3=1,根據(jù)共面向量定理得P,A,B,

C四點共面，故B正確：

對于選項C：當(dāng)，:6時，a//b，不存在唯一的實數(shù)4,使得故C錯誤；

對于選項D：若｛a,b,cj為空間的一個基底，則a,b,c不共面，則a+b,b+2c,c+3a不共

面，則｛a+b,b+2c,c+3a｝可以構(gòu)成空間的另一個基底，故D正確；

故選：BD.

11.已知數(shù)列｛4,｝的前〃項和為S“，S,,=2q-2,若存在兩項a“,，an,使得《,"“=64,

則（）

A.數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列B.數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列

C.a；+a；+L+《：=氣口D.機(jī)+〃為定值

【正確答案】BD

【分析】

由S,,和%的關(guān)系求出數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，所以選項A錯誤，選項B正確；利用等比數(shù)

列前〃項和公式，求出a；+a；+L+%=”工，故選項C錯誤，由等比數(shù)列的通項公式

得到2"'+"=64=2‘，所以選項D正確.

【詳解】由題意，當(dāng)〃=1時，S=2q—2,解得q=2,

當(dāng)〃之2時，S〃_[=2an_｝-2,

所以S.一Sn_t=a“=2%-2-（2a,i-2）=2%-2a.,,

a

所以1=2,數(shù)列｛4｝是以首項4=2,公比q=2的等比數(shù)列，an=2",

an-l

故選項A錯誤，選項B正確；

數(shù)列｛a：｝是以首項。；=4,公比%=4的等比數(shù)列，

所以如+W+L+/=也二邑]=也1二￡1=叁二1,故選項c錯誤；

12"[-d1-43

mm+n6

aman=22"=2=64=2,所以加+〃=6為定值，故選項D正確.

故選：BD

本題主要考查由S“和4的關(guān)系求數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列通項公式和前〃項和公式的應(yīng)

用，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化能力和計算能力，屬于中檔題.

12.某數(shù)學(xué)研究小組在研究牛頓三叉戟曲線/（x）=2x?+一時通過數(shù)學(xué)軟件繪制出其圖象

A.函數(shù)/（X）的極值點有且只有一個

B.當(dāng)x>0時，|/（-X）]</（X）恒成立

C.過原點且與曲線y=/（x）相切的直線有且僅有2條

D.若/（占）=/（工2），玉<0<%2，則々一工1的最小值為⑺

【正確答案】ABD

【分析】由/'（x）=0確定極值點的個數(shù)（可由圖象得極值點個數(shù)），判斷A,由絕對值的性

質(zhì)判斷B,設(shè)切點為（為,%）,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切點坐標(biāo)，判斷C,由/（占）=/（》2）

C/、1

得2（芭+々）=——,然后表示出％-玉，用換元法求得最小值后判斷D.

X\X2

(13/Q

【詳解】XX0,f'[x)=4x一一r=0,/=_,x=在，極值點有且只有一個，A正確;

x42

(實際上，由圖象知函數(shù)"X)的極值點有且只有一個)

x>on^,|/(-x)|=2x2--<2x2+—=/(%),B正確；

XX

r(x)=4x-[,設(shè)切點為則/'(%)=4/一一,又切線過原點,

x-/

2X2+1

所以/'(/)=%■，即7t1%,x：=l,%=1,只有一個切點(1,3),過原點

與4x。一一r=---------

%%

的切線只有1條，C錯；

2（芭+%2）=」—,

/6）=/（4），且再<0<%,則2x；H—=2x；H---,

x{x2中2

121

2

（乙一再）2=（x,+x2）-4X,X~r,Q—4%彳2,設(shè)，=，，＜0，（%—xj=~73-4,，

24（玉/）4廠

g?)=*-4/,g?)=一+_4=_；(：+8),

當(dāng)￡<一』時，g'(t)<0,g(f)遞減，一,</<0時，g'(t)>0,g(f)遞增，

22

所以g")min=g(—；)=3,所以馬一苞的最小值為6,此時

]+月底-1門王市

X.=-------,X,=-------D正確.

'828

故選：ABD.

關(guān)鍵點點睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值.在

求過某點的切線方程時，一般要設(shè)切點坐標(biāo)為“”y)，寫出切線方程，利用切線所過的點

求出切點坐標(biāo)，得切線方程.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.請將答案填寫在答題卡相應(yīng)

的位罩上.

13.若直線_y=x+b與曲線/+歹2=9(j》0)有兩個公共點，則實數(shù)的取值范圍為

【正確答案】[3,372)

【分析】畫出直線與圓的圖象，根據(jù)直線_y=x+b與曲線/+/=9(yN0)有兩個公共點,

利用數(shù)形結(jié)合法求解.

【詳解】解：如圖所示：

當(dāng)直線y=x+b與曲線工2+丁=9(yN0)相切時,

圓心到直線的距離等于半徑,

\b\

喝=3,解得6=3a，

因為直線N=x+b與曲線f+丁=9(y？0)有兩個公共點，

所以實數(shù)b的取值范圍為[3,3五)，

故答案為.[3,372)

14.已知二(1,-2,-1),-=(—l,x—1,1),且】與■的夾角為鈍角，則x的取值范圍是.

【正確答案】(0,3)。(3,+8)

【分析】根據(jù)題意得出a./,<()且a與6不共線，然后根據(jù)向量數(shù)量積的定義及向量共線的

條件即可求出x的取值范圍.

【詳解】因為一與?'的夾角。為鈍角，

所以展Ho且；與?不共線,

因為“=(1,-2,-1),Z>=(-1,x-1,1),

所以—1—2(x—1)—1<0,且彳0號

解得x>0,且x工3,

所以X的取值范圍是(0,3)口(3,物).

故答案為.(O,3)U(3,+8)

15.已知函數(shù)歹=/(x)滿足〃x)+/(l-x)=l,若數(shù)列｛4｝滿足

%=/(0)+巾+/月+

/(I)，則數(shù)列｛a,,｝的前16項的和為.

【正確答案】76

〃+1

【分析】利用倒序相加法可得到4=-y-,即可求得前16項的和.

【詳解】a?=/(O)+/^J+/m++/(1)+/(1)，①

%=八1)+/(筌|+/(F)++/(￡|+/(0),②

兩式相加,又因為/(x)+〃l-x)=l,

故2a“=〃+l,所以

所以｛/｝的前16項的和為。,317("萬J""

九=6+%++%6=1+萬++y=-―:-=76

故76

16.已知正實數(shù)x,y滿足lnx=ye'+lny,則^一仁、的最大值為.

【正確答案】-4##e'2

【分析】把已知等式變形為xe、=ln三工算，利用函數(shù)/(%)=*。'@>0)的單調(diào)性得》/

y

的關(guān)系，從而將y-e-x轉(zhuǎn)化為x的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求得其最大值即可.

1xXX.XXIn-

【詳解】由lnx=ye'+lny得In—=ye>,所以一In-=xex)則xe*=lnt?eL

yyyy

xx

因為x>0,ev>0.「7、n，所以皿二>0,

e>uv

令/(x)=xe*(x>0),則/'(行=1(1+1)>0,所以/(x)在(0,+力)上單調(diào)遞增,

YIn—X\XX

所以由xe*=ln±-e，，即/(zx)x=/In-,得x=ln-,所以丁=二,

yIye-

x1_x-1

所以y_eT=F

eexex

令g(x)=tJ(x>0),則g,x)=41,

ee

令g'(x)>0,得0<x<2；令g'(x)<0,得x>2,

所以g(x)在(0,2)上單調(diào)遞增，在(2,+8)上單調(diào)遞減，

所以8。)3=8(2)=［，即y—e-x的最大值為

e-e

乂1

故F?

e

rIn-

關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵對已知等式進(jìn)行同構(gòu)變形xe、=In±-e，，從而利用函數(shù)的單

y

調(diào)性得出變量間的關(guān)系，由此得解.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步

驟.

17.已知數(shù)列｛6,｝滿足％=1,4=9,%=45,｛a”+i-3。“｝為等比數(shù)列.

(1)證明：｛/｝是等差數(shù)列，并求出｛4｝的通項公式.

(2)求｛可｝的前〃項和為S“.

【正確答案】(1)證明見解析，%=(2〃-l)3"T

fl

(2)Sfl=(w-l)x3+l

【分析】(1)根據(jù)題意得qM-3a“=6X3"T,進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列定義證明，并結(jié)合通項公

式求解即可；

(2)根據(jù)錯位相減法求解即可；

【小問1詳解】

證明：因為數(shù)列｛4｝滿足q=1,4=9,。3=45,｛4+1-3?！埃秊榈缺葦?shù)列，

x%—3%45—27與

所以｛(。向一3?！埃墓萭=-~「==3,首項為叼-3卬=6

所以?！?「3%=6X3"T,即編一*=2,

〃+1〃3〃3

所以｛果,是以;為公差的等差數(shù)列，首項為*=;,

所以，—=—I—(〃-1)=一〃，

3〃3333

所以，%=(2〃-l)3"T

【小問2詳解】

解：根據(jù)錯位相減法有：

=1x3°+3'+...+(In-3)x3"-2+(In-1)x3"-',

3s“=1x31+3x32+…+(2/7-3)x+(2/7-l)x3",

所以，-2S“=lx3°+2x3i+2x32++2x3,,-1-(2?-l)x3,f

=1X3°+2X3X^3~~--(2/?-l)x3n=3n-2-(2M-l)x3n=3"(2-2n)-2,

1-3

所以S,=(〃_l)x3"+1

18.已知圓G：＜-6)2+3—7)2=25及其上一點4(2,4).

(1)設(shè)平行于oz的直線/與圓G相交于民c兩點，且忸q=|o4|,求直線/的方程；

(2)設(shè)圓與圓G外切于點A,且經(jīng)過點P(3,l),求圓。2的方程.

【正確答案】(1)2x-y+5=0或2x-y-15=0

(2)(x+2)2+(y-l)2=25

【分析】(1)由題意可設(shè)直線/的方程為y=2x+b,再由根據(jù)弦長結(jié)合點到直線的距離與

勾股定理求解即可；

(2)由題意可知圓心。2在直線ZG上也在在工尸的中垂線上，先求出這兩條直線，再聯(lián)立

可得圓心坐標(biāo)，進(jìn)而可得半徑，即可求解

【小問1詳解】

因為直線/〃0力，

4-0

所以直線/的斜率為f=2.

2-0

設(shè)直線/的方程為y=2x+b,

|12-7+b|\5+b\

則圓心G到直線/的距離"=L/?.

V22+l2V5

則忸C|=2火—/=2^25-^^-，

又忸C=|0^1=275,

所以2^25-^^-=2遙，

解得6=5或6=-15,

即直線/的方程為：2x—y+5=0或2尤一夕―15=0.

【小問2詳解】

因為圓G與圓G外切于點A,

所以圓心G在直線4cl上

V—4x-2

由兩點式』一=——得直線AC,方程為3x-4y+10=0

7-46-2

又因為圓C2經(jīng)過點A和P，

所以圓心G在工尸的中垂線上，/P中點為3尸=一3

所以4P中垂線方程為=即x_3y+5=0

3x-4y+10=0(、I?II

由《々,八解得圓心坐標(biāo)為G(-2,1)，半徑〃=C0閆一2-3|二5

所以圓。2的方程為(X+2)2+Q—1)2=25

19.記等差數(shù)列｛叫的前〃項和為S“，公差為d,等比數(shù)列也｝的公比為式4>0),已知

2

%=4=4,q~~d,S9=9h4.

⑴求｛叫，｛<｝的通項公式;

(2)將｛%｝,也｝中相同的項剔除后，兩個數(shù)列中余下的項按從小到大的順序排列，構(gòu)成

數(shù)列上“｝,求｛c“｝的前100項和.

【正確答案】(1)an=3?+1,b?=T.

(2)15080

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的求和公式以及等比數(shù)列的通項公式，整理方程，解得公比和公

差，可得答案；

(2)由題意，求得等差數(shù)列的第100項，逐項求解等比數(shù)列，利用等差數(shù)列建立方程，找

出相同項，分組求和，可得答案.

【小問1詳解】

由S9=9/)4，得9q+—^―d=9x%q2,因為〃[=仇=4,所以l+d=/.

23

結(jié)合q=可得1+54=4，(2q+l)(q-2)=0,q>0,解得4=2,d=3,

所以數(shù)列｛%｝的通項公式為4=4+3(〃-1)=3〃+1,

數(shù)列出｝的通項公式為“=4x2"-2=2".

【小問2詳解】

由(1)可知，當(dāng)〃=100時，/0G=301.

又〃=2〃，所以4=2,4=4,a=8,坊=16,&=32,。=64,4=128,々=256,

&=512>301,

17

令2=3〃+1,解得〃=一，令4=3及+1,解得拉=1,令8=3〃+1,解得〃=一,令

33

31

16=3n+l,解得〃=5,令32=3〃+1,解得〃二一，令64=3〃+1,解得〃=31,令

3

127

128=3〃+1,解得〃=—，令256=3〃+1,解得〃=85,

3

所以數(shù)列｛4“｝的前100項中與數(shù)列｛2｝中相同的項共有4項，即4,16,64,256,即為｛2｝

的前8項中的偶數(shù)項.

將｛4｝，｛4｝中相同的項剔除后，兩個數(shù)列中余下的項按從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列

｛%｝，則｛c.｝的前100項為數(shù)列｛4｝的前100項中剔除與數(shù)列｛4｝相同的4項后剩余的

96項與也｝的前8項中剔除與數(shù)列｛?！埃嗤?項后剩余的4項，

所以｛&｝的前100項和為止罟兇四+—|--2x(4+16+64+256)=15080.

20.已知函數(shù)/(x)=l+lnx+左--1

lx)

(1)若函數(shù)〃x)圖象的切線傾斜角總是銳角，求實數(shù)4的取值范圍；

(2)若對任意的x>L/(x)>0恒成立，求整數(shù)k的最大值.

【正確答案】(1)^<0

(2)3

【分析】(1)求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，由題可得/'(x)>o對一切正數(shù)x恒成立，即可求出;

X4-YInXVJ-YIny

(2)由題可得左<對任意x>l恒成立,構(gòu)造函數(shù)g(x)=,利用導(dǎo)數(shù)求

x-1x-1

出g(x)的最小值即可.

【小問1詳解】

Ik-k

由題/'(x)=L_與=WY(x>0).

XXX

?.?函數(shù)/(X)圖象的切線傾斜角總是銳角,

.?./'(x)>0對一切正數(shù)x恒成立，即x>《恒成立，于是左W0.

【小問2詳解】

X4-XInx

因為對任意的X>1,f(x)>0恒成立，即左<x對任意X>1恒成立.

x-1

./、x+xlnx，/、x-Inx-2

令g(x戶工丁’則ga)=RF'

1r_1

令/i(x)=x-Inx-2(x>1),則〃'(x)=1——=---->0,

xx

???函數(shù)〃(X)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

???力(3)=-In3<0,〃(4)=2-21n2>0,

???方程A(x)=0在(1,+8)上存在唯一實根x。,且滿足x0G(3,4),

當(dāng)Ivxv%時,h(x)<0,即g'(x)<0,當(dāng)4時,h{x}>0,BPg\x)>0,

函數(shù)g(x)=x+xMx在。，玉,)上單調(diào)遞減,在(玉),+8)上單調(diào)遞增,

X-1

工0是%(%)=0的根,即與一In/-2=0,

二g(X)min=g(/)=業(yè)智=%。+丁)=/e(3,4),

%-1x0-l

xx

k<g(x)1nin=o，oe(3,4),故整數(shù)k的最大值為3.

21.已知拋物線C：夕2=2px經(jīng)過點尸(1,2).過點。(0,1)的直線/與拋物線C有兩個

不同的交點4B,且直線必交y軸于“，直線P8交y軸于N.

(I)求直線/的斜率的取值范圍；

???▼]I

(II)設(shè)。為原點，。河=/1。。，QN=RQO，求證：彳+萬為定值.

【正確答案】(1)取值范圍是(-00,-3)U(-3,0)U(0,1)

(2)證明過程見解析

【詳解】分析：（1）先確定P,再設(shè)直線方程，與拋物線聯(lián)立，根據(jù)判別式大于零解得直線/

的斜率的取值范圍，最后根據(jù)為，尸8與y軸相交，舍去k=3,（2）先設(shè)/（xi,y）,B（X2,

2人—41▼▼

/），與拋物線聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理可得玉+々=——］，記.再由0M=400,

萬得2=1-Nw,4=1一乂「利用直線處，PB的方程分別得點M,N的縱坐標(biāo)，

代入化簡=+,可得結(jié)論.

X卜I

詳解：解：（I）因為拋物線產(chǎn)=2必經(jīng)過點P（1,2）,

所以4=20，解得p=2,所以拋物線的方程為爐=4x.

由題意可知直線/的斜率存在且不為0,

設(shè)直線/的方程為產(chǎn)Ax+1（原0）.

y2—

由《'得左十（2左一4）%+1=0.

y=kx+\

依題意△=（2后一4）2-4xk2xl>0?解得k<0或0<k<l.

又PA,尸6與y軸相交，故直線/不過點（1,-2）.從而厚-3.

所以直線/斜率的取值范圍是（-00,-3）U（-3,0）U（0,1）.

（II）設(shè)4（xi,yi）,B（初，及）.

,、A.2A-41

由（I）知玉+/=---^2--，X]X2=?

直線處的方程為》-2=之一（工一1）.

玉一1

-V1+2—kx,+1

令x=0,得點M的縱坐標(biāo)為yM=+2=—1—+2.

xx-1X]—1

同理得點N的縱坐標(biāo)為y,v=+2.

x2-1

由QM=AQO，QN=JLIQO得丸=1-Xw，〃=1一凹丫.

所以

22k—4

11_11_$一1,X2-1_12x}x2-（Xt+X2）_1左2+42

------1-----------------------|-----------------------------------H--------=----------=----------------------------------------------------------------------------------乙

2//l—Jwl-^v（A-1）A;（后一1）4k-\斗&k-\]

所以5+，為定值.

A//

點睛：定點、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點”是什么、“定值”是多

少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明