函數(shù)的奇偶性和周期性

關(guān)于函數(shù)的奇偶性和周期性第2頁,共34頁，2024年2月25日，星期天第二單元函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用理科第3頁,共34頁，2024年2月25日，星期天第七講函數(shù)的奇偶性性和周期性第4頁,共34頁，2024年2月25日，星期天考綱解讀1.了解奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義，會(huì)判斷一些簡單函數(shù)的奇偶性，并能夠用函數(shù)的奇偶性解決一些函數(shù)問題.2.了解周期函數(shù)的定義，并能夠用函數(shù)的周期性解決一些函數(shù)問題.

第5頁,共34頁，2024年2月25日，星期天主干知識整合知識回顧（1）函數(shù)的奇偶性概念：1、定義：對于定義域內(nèi)的

，總有

成立，則f(x)是偶函數(shù)；總有

成立，則f(x)是奇函數(shù)。

任意x

f(-x)=f(x)

f(-x)=-f(x)理解：①任意x；

②定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；

③恒有

④當(dāng)函數(shù)是偶函數(shù)是恒有：成立

⑤f(x)=0既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。第6頁,共34頁，2024年2月25日，星期天（2）利用定義判斷函數(shù)的奇偶性的步驟為：1、首先確定函數(shù)的

，并判斷其定義域是否關(guān)于

對稱；定義域

原點(diǎn)

2、確定

和f(x)的關(guān)系；f(-x)3、作出相應(yīng)的結(jié)論。（3）函數(shù)的奇偶性的作用：

1、作圖：f(x)為偶函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱；f(x)為奇函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱。2、函數(shù)的奇偶性的判定方法：①定義法；②圖像法；③性質(zhì)法。第7頁,共34頁，2024年2月25日，星期天（4）．函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)和常用結(jié)論：

奇函數(shù)與奇函數(shù)奇函數(shù)與偶函數(shù)偶函數(shù)與偶函數(shù)和差積商注意：以上結(jié)論是在兩函數(shù)的公共定義域內(nèi)才成立；并且只能在選擇題、填空題中直接應(yīng)用，解答題須先證明再利用．奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)第8頁,共34頁，2024年2月25日，星期天

2、奇函數(shù)在對稱的兩個(gè)區(qū)間上有

的單調(diào)性；偶函數(shù)在對稱的兩個(gè)區(qū)間上有

的單調(diào)性。相同

相反3、奇函數(shù)f(x)在x=0處有定義，則一定有f(0)=

;偶函數(shù)滿足等式

.0

4、函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是：

函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件．第9頁,共34頁，2024年2月25日，星期天（5）一些重要類型的奇偶函數(shù)：

1、函數(shù)為

函數(shù)，

偶

函數(shù)為

函數(shù)，

奇2、函數(shù)為

函數(shù)，

奇3、函數(shù)為

函數(shù)，

奇第10頁,共34頁，2024年2月25日，星期天一般地，對于函數(shù)f(x)，如果

一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有

，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期．對于一個(gè)周期函數(shù)f(x)，如果在它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．存在f(x＋T)＝f(x)

2、求函數(shù)周期的基本方法：

①定義法；②圖像法；

③轉(zhuǎn)化為同一個(gè)函數(shù)的形式（如，）。(6)、周期性：1.定義：第11頁,共34頁，2024年2月25日，星期天課前訓(xùn)練：1、已知，若，則的值為（）

A、

B、

C、

D、答案：B.

解答：自變量互為相反數(shù)，必定考查函數(shù)的奇偶性。

f(x)是奇函數(shù)，所以f(-a)=-b.第12頁,共34頁，2024年2月25日，星期天2、已知是定義在上的偶函數(shù),那么的值是()

A、

B、

C、

D、答案：C.解答：由f(x)是偶函數(shù)知b=0.因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)閇a-1,2a]，

所以a-1+2a=0，則第13頁,共34頁，2024年2月25日，星期天3、已知圓O：及以下三個(gè)函數(shù)：①；②；③．其中圖象能等分圓O面積的函數(shù)個(gè)數(shù)為（）

A．3B．2C．1D．0答案：B.

解答：圖象能等分圓O面積的函數(shù)等價(jià)于這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)。

第14頁,共34頁，2024年2月25日，星期天若，則＝

。4、已知為常數(shù)，17

解答：法一：由f(-7)=-(a7+b7+c7+d7)+5=-7,可得：a7+b7+c7+d7=12.f(7)=(a7+b7+c7+d7)+5=12+5=17.753775533法二：令h(x)=f(x)-5=ax+bx+cx+dx,

顯然h(x)是奇函數(shù)。

h(-7)=f(-7)-5=-12,則h(7)=12=f(7)-5,∴f(7)=17.753第15頁,共34頁，2024年2月25日，星期天5、設(shè)f(x)在R上有定義，下列函數(shù)①

②③④其中必為奇函數(shù)的有

。②④解答：令g(x)=-|f(x)|,則g(-x)=-|f(-x)|≠g(x),g(-x)≠-g(x),

所以g(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。令h(x)=xf(x),則h(-x)=-xf[(-x)]=-xf(x)=-h(x),

所以h(x)是奇函數(shù)；同理可知：y=-f(-x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；

y=f(x)-f(-x)是奇函數(shù).22第16頁,共34頁，2024年2月25日，星期天6、已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)．若方程f(x)＝m(m＞0)在區(qū)間[－8,8]上有四個(gè)不同的根x，x，x，x，則x＋x＋x＋x＝________.12341234解答：由已知f(x－4)＝f(－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x＝－2對稱，由f(x)在[0,2]上是增函數(shù)，則f(x)在[－2,0]上遞增，函數(shù)f(x)的圖象如圖所示：－8f(x)＝m在區(qū)間[－8,8]上四個(gè)不同實(shí)根x，x，x，x.x＋x＋x＋x＝－12＋4＝－8.12341234第17頁,共34頁，2024年2月25日，星期天7、設(shè)函數(shù)f(x)(x∈R)為奇函數(shù)，則（）A．0 B．1 C． D．5答案：C.解答：因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(-1)=-f(1)。令x=-1得：f(2)=1,則：

f(5)=f(3)+1=f(1)+2=第18頁,共34頁，2024年2月25日，星期天典型例題例1、判斷下列函數(shù)的奇偶性:第19頁,共34頁，2024年2月25日，星期天解答：①函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，＋∞)，其關(guān)于原點(diǎn)對稱，并且有：

∴f(x)是奇函數(shù)。第20頁,共34頁，2024年2月25日，星期天第21頁,共34頁，2024年2月25日，星期天例2、①若函數(shù)是奇函數(shù)，則a=

.。法一：利用f(-1)=-f(1),解得：法二：因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以有：而

對照比較知：

解得：

思考：改分母呢？第22頁,共34頁，2024年2月25日，星期天

②已知函數(shù)的最大值為M，最小值是m，則M+m的值為

。2

解答：令h(x)=f(x)-1=，顯然h(x)是奇函數(shù)。

設(shè)f(a)=M=h(a)+1，則f(-a)=m=h(-a)+1∴h(a)+h(-a)=0=M+m-2，∴M+m=2第23頁,共34頁，2024年2月25日，星期天③設(shè)x,y∈R,且滿足：則x+y=()A．1 B．2 C．3 D．4答案：D.第24頁,共34頁，2024年2月25日，星期天④已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，滿足當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,6]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A．3B．5C．7D．9D第25頁,共34頁，2024年2月25日，星期天例3、已知函數(shù)f(x)滿足，且f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x∈[3,4]時(shí)，,試求當(dāng)x∈[-1,1]時(shí)，f(x)的解析式。解答：由可得：所以函數(shù)f(x)是周期為2的周期函數(shù)。設(shè)-1≤x≤0,則3≤x+4≤4,∴f(x+4)=log(x+4)3∵f(x)是周期為2的周期函數(shù)，∴f(x+4)=f(x)=log(x+4).3第26頁,共34頁，2024年2月25日，星期天再令0≤x≤1,則-1≤-x≤0，又∵函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，∴f(-x)=f(x)=log(4-x).3綜上所述：∴f(-x)=log(4-x).3第27頁,共34頁，2024年2月25日，星期天例4、已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f(x)在（-∞，0]是減函數(shù)，且，求不等式的解集。解答：因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(logx)=f(|logx|).44由偶函數(shù)f(x)在(-∞，0]上是減函數(shù)知：f(x)在[0，+∞)上是增函數(shù)。

∴

解得：

故原不等式的解集為第28頁,共34頁，2024年2月25日，星期天例5、定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x),對于任意x,y∈R且⑴求證：f(0)=1；(2)求證：f(x)是偶函數(shù)；⑶若存在常數(shù)c,使得：①求證：對任意x∈R，有f(x=c)=-f(x)成立；②試問函數(shù)f(x)是不是周期函數(shù)？如果是，找出它的一個(gè)周期；如果不是，請說明理由。第29頁,共34頁，2024年2月25日，星期天解答：（1）令x=y=0，則得：2f(0)=2f(0).2因?yàn)閒(0)≠0,所以f(0)=1(2)令x=0,得f(y)+f(-y)=2f(0)f(y).由（1）知f(0)=1，∴f(-y)=f(y)（3）①∵∴即f(x+c)=-f(x)②函數(shù)y=f(x)是周期為2c的周期函數(shù)。證明如下：f(x+2c)=f[(x+c)+c]=-f(x+c)=f(x)∴函數(shù)y=f(x)是周期為2c的周期函數(shù)。第30頁,共34頁，2024年2月25日，星期天例6、

①f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(1)=2,且f(x+1)=f(x+5)那么f(144)+f(3)=

.

-2解答：由f(x+1)=f(x+5)知函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)