高中數(shù)學(xué)講義：第28講 直線與直線平行（教師版）

第28課直線與直線平行

0目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀

1.本節(jié)內(nèi)容包含一個基本事實(shí)、一個定理，是對學(xué)生原

有的平面知識結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)的拓展，同時(shí)也是后面研究空

間直線與平面平行、平面與平面平行的基礎(chǔ)，它在知識

1.會判斷空間兩直線的位置關(guān)系2能用結(jié)構(gòu)上起著承上啟下的作用.教材以長方體為載體，讓

基本事實(shí)4和等角定理解決一些簡單的相學(xué)生直觀認(rèn)識空間中直線與直線的位置關(guān)系，通過觀察

關(guān)問題.

得出基本事實(shí)4.基本事實(shí)4表明了平行線的傳遞性，

可以作為判斷空間兩條直線平行的依據(jù)，同時(shí)它給出

了空間兩條直線平行的一種證法

2.通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，為學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何知識打下

基礎(chǔ)，同時(shí)能更好地提升學(xué)生直觀想象和羅輯推理等

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

魏矢呼精講

知識點(diǎn)01基本事實(shí)4

文字語言平行于同一條直線的兩條直線平行

-------------a

圖形語言-------------b

-------------C

符號語言直線b,c,a//b,b//c=^a//c

作用證明兩條直線平行

說明基本事實(shí)4表述的性質(zhì)通常叫做平行線的傳遞性

【即學(xué)即練1】如圖所示，在三棱錐s—MNP中，E,F,G,”分別是棱SN,SP,MN,的中點(diǎn)，則

EF與HG的位置關(guān)系是（）

s

A.平行B.相交

C.異面D.平行或異面

答案A

解析在△又次中，H,G分別為施V的中點(diǎn)，

C.GH//PN,

同理所〃尸N,J.GH//EF.

知識點(diǎn)02空間等角定理

1.定理

文字語言如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)

OA//O'A',OB//O'B'^>ZAOB=ZA'O'B'或/AOB+

符號語言

/A'O'B'=180°

J"/1

Or^--------4B'

圖形語言

「一/B

0^---------------A04----------------A

作用判斷或證明兩個角相等或互補(bǔ)

2.推廣

如果兩條相交直線與另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等.

反思感悟等角定理的結(jié)論是兩個角相等或互補(bǔ)，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)一般是借助于圖形判斷是相等還是互補(bǔ),

還是兩種情況都有可能.

【即學(xué)即練2】如圖所示，在正方體ABCD—AiBiGDi中，E,F,G分別是AB,BBi，BC的中點(diǎn)，求證:

△EFGsACQAi.

證明如圖所示，連接BiC.

因?yàn)镚,尸分別為BC,BBi的中點(diǎn),

所以GF//BxC.

又ABCD—AiSCiU為正方體，

所以CD觸AB,AiBi^AB,

由基本事實(shí)4知CD^AiBi,

所以四邊形AiBiCD為平行四邊形，

所以4。數(shù)BC.

又BQ/FG,由基本事實(shí)4知40〃FG

同理可證4G〃￡G,DCi//EF.

又/DA?與NEGF,NA1DC1與/EFG,NOGAi與NGEF的兩條邊分別對應(yīng)平行且均為銳角,

所以/04G=ZA!DCI=ZEFG,ZDCiAi=ZGEF.

所以△EFGs/iCQAi.

（工能力拓展

考法01基本事實(shí)4的應(yīng)用

【典例1］如圖所示，在空間四邊形ABCD（不共面的四邊形稱為空間四邊形）中，E,F,G,X分別為

BC,CD,D4的中點(diǎn).求證：四邊形EFG”是平行四邊形.

A

證明因?yàn)樵诳臻g四邊形ABC。中，E,F,G,〃分別為AB,BC,CD,D4的中點(diǎn),

所以E尸〃AC,HG//AC,EF=HG=；AC,

所以EF〃HG,EF=HG,

所以四邊形EPG8是平行四邊形.

反思感悟基本事實(shí)4表述的性質(zhì)通常叫做平行線的傳遞性，解題時(shí)首先找到一條直線，使所證的直線都

與這條直線平行.

【變式訓(xùn)練】如圖，已知在棱長為a的正方體ABCDTiSGDi中，M,N分別是棱CD,AD的中點(diǎn).求

證：四邊形MNAiCi是梯形.

證明如圖，連接AC,在△AC。中,

'：M,N分別是CO,AD的中點(diǎn),

MN是△AC。的中位線，

C.MN//AC,且MV=；AC.

由正方體的性質(zhì)，得

AC//AiCi,且AC=4G.

.,.MN/ZAiCi,且

即MN^AiCi,

...四邊形跖VACi是梯形.

考法02等角定理的應(yīng)用

【典例2］如圖所示，△A3C和△?!'B‘C的對應(yīng)頂點(diǎn)的連線A4'，BB',C。交于同一點(diǎn)。，且竦廣

C7A

OBOC2,S/\ABC

=OB，=OC=?人」Sa，B,c=--------'

c

A

B

4

答案-

9

2

解

析-

且

n。OAOB

A4-V

RROAOB

J.AB//A'B',同理AC〃A'C,BC//B'C.

VA,B'//AB,AfC//AC,：.ZBAC=ZBfA/C,

同理NA5C=NA'B'C,

ADr)A7

???△ABCs"'B'C且^^=卅號，

21LJ(_Z21，

?SAABC_(22_4

S^A'B'C<3/9'

反思感悟

【變式訓(xùn)練】如圖所示，在正方體ABC。一AiBCQi中，E,已分別是棱A。，AQ的中點(diǎn).求證：ZBEC

—NBiEiC、.

C

AB

證明如圖，連接EEi.

:Ei,E分別為45，AD的中點(diǎn),

：.AiEi^AE,

：.四邊形4E1E4為平行四邊形，

AiAE\E,

又4欣觸8出，.,.EiE^BiB,

：.四邊形EiEBBi是平行四邊形.

E向〃EB.同理EiCi〃EC.

又/BiECi與/BEC的兩邊分別對應(yīng)平行,

:./BiEC=/BEC.

M分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

一、單選題

1.空間兩個角a,。的兩邊分別對應(yīng)平行，且a=60。，則（3為（）

A.60°B.120°C.30°D.60°或120°

【答案】D

【詳解】試題分析:根據(jù)等角定理，兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行,則兩個角相等或互補(bǔ)，所以尸為60.或110,

故選D.

考點(diǎn)：等角定理

2.若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關(guān)系是（）

A.異面或平行B.異面或相交

C.異面D.相交、平行或異面

【答案】D

【分析】根據(jù)空間中直線的位置關(guān)系，結(jié)合已知條件，即可容易判斷.

【詳解】a和b是異面直線，b和c是異面直線,

根據(jù)異面直線的定義可得：

a,c可以是異面直線，如下所示：

也可以相交

也可以平行

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查空間中直線之間的位置關(guān)系，屬簡單題.

3.過平面。外的直線/作一組平面與。相交，若所得交線分別為a,b,c,則這些交線的位置關(guān)系為（）

A.相交于同一點(diǎn)B.相交但交于不同的點(diǎn)

C.平行D.平行或相交于同一點(diǎn)

【答案】D

【分析】對/于。的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論，由此確定正確選項(xiàng).

【詳解】當(dāng)///￡時(shí)，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理以及平行公理可知：所得交線平行.

當(dāng)"a=A時(shí)，所得交線交于同一點(diǎn)A.

所以所得交線平行或相交于同一點(diǎn).

故選：D

4.已知BC//QR,ZABC=30°,貝I]/尸。R=()

A.30°B.30°或150°

C.150°D.30°或120°

【答案】B

【解析】根據(jù)等角定理，即可得到結(jié)論.

【詳解】-ABC的兩邊與/PQR的兩邊分別平行，

根據(jù)等角定理易知NPQR=30°或150°.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查等角定理，屬基礎(chǔ)題.

5.在空間，下列說法正確的是

A.兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形

B.四邊相等的四邊形是菱形

C.正方形確定一個平面

D.三點(diǎn)確定一個平面

【答案】C

【解析】考慮特殊情況即可，四邊形有可能是空間四邊形，三點(diǎn)有可能共線，進(jìn)而可以確定答案

【詳解】四邊形可能是空間四邊形，故A,B錯誤；當(dāng)三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，存在無數(shù)個平面，故D錯誤.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)、線、面的空間關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題

6.如圖所示，在空間四邊形ABC。中，點(diǎn)E,”分別是邊AB,的中點(diǎn)，點(diǎn)EG分別是邊BC,CD上

的點(diǎn)，且要=黑=4,則下列說法正確的是()

CBCD3

A

A.EF與GH平行

B.EF與GH異面

C.斯與GH的交點(diǎn)M可能在直線AC上，也可能不在直線AC上

D.EF與GH的交點(diǎn)M一定在直線AC上

【答案】D

【分析】連接EH,FG,根據(jù)凡G分別是邊BC,CO上的點(diǎn)，且要=黑=],和點(diǎn)￡,X分別是邊

CBCDJ

AD的中點(diǎn)，得至UEH〃GF,且以拉GF判斷.

【詳解】解：如圖所示:

連接E〃，F(xiàn)G.

因?yàn)閼汫分別是邊BC,CO上的點(diǎn)，且/=雀=]

CBCD3

2

所以GF〃BD,<GF=-BD.

因?yàn)辄c(diǎn)E,//分別是邊AB,的中點(diǎn)，

所以EH//BD,且EH=^BD,

所以EH〃GF,且EHHGF,

所以EF與GH相交，設(shè)其交點(diǎn)為M,

則M6平面ABC,同理MW平面ACD

又平面ABCn平面ACD=AC,

所以M在直線AC上.

故選：D.

二、多選題

7./1,上。是空間三條不同的直線，則下列結(jié)論錯誤的是（）

4-L/,/1-L/,///Z=>/1±Z

A.211113nI、〃%B,2233

C./]〃，2〃，3n/1,4'4共面D./1,，2，，3共點(diǎn)n4>，2,，3共面

【答案】ACD

【分析】根據(jù)線線的位置關(guān)系，結(jié)合平面的基本性質(zhì)判斷各選項(xiàng)正誤即可.

【詳解】解：由4，4,心貝必、4平行、異面都有可能，故A錯誤；

由/1_L4，6〃，3得4，，故B正確；

當(dāng)4〃/2〃4時(shí)，乙，4，4不一定共面，如三棱柱的三條側(cè)棱，互相平行但不共面，故C錯誤；

當(dāng)4，4，4共點(diǎn)時(shí)，4，4，4不一定共面，如三棱柱共頂點(diǎn)的三條棱不共面，故D錯誤；

故選：ACD.

8.（多選題）下列命題中，錯誤的結(jié)論有（）

A.如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等

B.如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等

C.如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直，那么這兩個角相等或互補(bǔ)

D.如果兩條直線同時(shí)平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行

【答案】AC

【分析】由等角定理可判斷A、B的真假；舉反例可判斷C的真假；由平行公理可判斷D的真假.

【詳解】對于選項(xiàng)A：如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)，故選項(xiàng)A

錯誤；

對于選項(xiàng)B：由等角定理可知B正確；

對于選項(xiàng)C：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直，這兩個角的關(guān)系不確定，既可能相等也可能互

補(bǔ)，也可能既不相等，也不互補(bǔ).反例如圖，在立方體中，N4RG與NAIC滿足

TTTT

但是幺Z）C=5，A\BC1=~,二者不相等也不互補(bǔ).故選項(xiàng)C錯誤；

對于選項(xiàng)D：如果兩條直線同時(shí)平行于第三條直線，那么這兩條直線平行，故選項(xiàng)D正確.

故選：AC.

三、填空題

9.在長方體ABCD-中，與AD平行的棱有（填寫所有符合條件的棱）

【分析】根據(jù)長方體結(jié)構(gòu)特點(diǎn)直接寫出與AD平行的棱即可.

【詳解】長方體具有三組互相平行的棱，并且每一組棱都有四條,

由圖可知與AZ）平行的棱還有：A'D；B'C；BC,

故答案為：AD',B'C',BC.

10.如圖是正方體的表面展開圖，E,F,G,〃分別是棱的中點(diǎn)，則環(huán)與在原正方體中的位置關(guān)系為

F

H

【答案】平行

【分析】將正方體的表面展開圖還原構(gòu)造成正方體，取AB,44/的中點(diǎn)0,P,連接￡尸，F(xiàn)Q,PQ,AjB,

得至I]EFIIPQ,根據(jù)尸QIIAI,HGWAiB,即可得到EPIIGH.

【詳解】由題意，將正方體的表面展開圖還原構(gòu)造成正方體，如圖所示：

分別取AB,A4/的中點(diǎn)Q,P,連接￡尸，F(xiàn)Q,PQ,A,B,

由正方體的結(jié)構(gòu)特征可得EFIIPQ,

又因?yàn)辄c(diǎn)Q,P,H,G分別是AB,AAi,AM23/的中點(diǎn)，故尸。II48,HGWAjB,

故PQIIHG,所以EFIIGH.

故答案為：平行

11.如圖，空間四邊形ABCD中，分別是△ABC和AAGO的重心，若BD=m,則MN=

【答案】-m##-

33

【分析】連接AM并延長交BC于E,連接AN并延長交C。于F，再連接MN,EF,可知所

2

MN=-EF,從而可求出答案.

【詳解】連接AM并延長交BC于E,連接AN并延長交C￡＞于P，再連接MN,EF,

BE=EC,CF=FD,

EF^-BD^-m,

22

2221

又「AM=-AE,AN=-AF,二MN=-EF=-m.

3333

A

12.已知矩形ABCD中,AB=2BC=6,點(diǎn)M,N分別為線段ABC。的中點(diǎn)，現(xiàn)將ZVIDM沿AM翻轉(zhuǎn),

直到與JVDA/首次重合，則此過程中，線段AC的中點(diǎn)的運(yùn)動軌跡長度為

【答案】距L#心3

44

【分析】先分析出點(diǎn)A的軌跡是一個半圓，再結(jié)合三角形中位線定理可得AC中

點(diǎn)的軌跡也是一個半圓，即可得出結(jié)果

【詳解】由已知得:

四邊形是正方形，沿DM翻轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)A的軌跡為

以。為圓心，為半徑的半圓，其半徑為述，這個半圓與。M垂直

2

設(shè)線段AC的中點(diǎn)E,線段NC的中點(diǎn)/，線段斯的中點(diǎn)為O',在以。4

為半徑的半圓上取一點(diǎn)A,連接AC,并取AC的中點(diǎn)心,連接&E,E.F,

由三角形中位線定理可得：EXEH\A,E、FIAN,乙相4=90。,

NEE/=90。,則點(diǎn)&的軌跡為以。為圓心，°尸為半徑的半圓，其半徑為之巨,

4

線段AC的中點(diǎn)的運(yùn)動軌跡長度為工x2兀*逑=述兀.

244

故答案為：也

4

AMB

.、、/

、、?、出

,3、?二、、

Lr______.\7

DNFC

四、解答題

13.如圖1所示，在梯形ABCD中，AB//CD,E,尸分別為8C,的中點(diǎn)，將平面CDEE沿E尸翻折起

來，使8到達(dá)C'?的位置（如圖2）,G,H分別為MT,BC的中點(diǎn)，求證:四邊形EFGHEFGH為平行

四邊形.

圖1圖2

【答案】證明見詳解.

【解析】通過證明EF〃G”,且EF=GF,即可證明.

【詳解】在題圖1中，四邊形ABCD為梯形，AB//CD,

E,尸分別為BC,AO的中點(diǎn)，

EF//AB且EF=g（AB+CD）.

在題圖2中，易知CEHIEFIIAB.

G,”分別為47,BC的中點(diǎn)，

GH//ABS.GH=^（AB+CD'）=^（AB+CD）,

GH//EF,GH=EF,

四邊形ERG”為平行四邊形.即證.

【點(diǎn)睛】本題考查通過線線平行證明平行四邊形，主要借助幾何關(guān)系進(jìn)行證明.

14.如圖所示，ABC和;.AB'C的對應(yīng)頂點(diǎn)的連線A4,，BB',CC交于同一點(diǎn)。，且槳=黑=祟=之

AOD（JC（J3

（1）證明:AB//A?,ACIIAC,BCIIB'C.

（2）求不工的值.

）,A'B'C

4

【答案】（1）證明見解析；（2）

［分析］（1）根據(jù)已知條件可證ABO^AB'O可得NBAO=ZB'A'O,即可證明AB//AB',同理可證AC//AC,

BCUB'C；

（2）根據(jù)等角定理得出/BACn/B'A'C',NABCM/A'B'C'進(jìn)而可得VABC:VAB'C,即可求解.

【詳解】（1）因?yàn)锳4'與88'相交于點(diǎn)。，所以A4'與8?共面，

在，ABO和△A'3'O中，可得ZAOB=NAOB',

又因?yàn)楫?dāng)=黑，所以,AB。-A'?。，

（JA（JD

所以N=NBAO=NB'A'O,

AB3

所以AB//AE

同理AC//AC,BCUB'C.

(2)因?yàn)锳B//A3',AC//AC,且A3和A?,AC和A'C'的方向相反,

ABAC=ZBAC'.

同理NA8C=NA'B'C'，因此VABC:NAB'C,

pABAO2

乂---------=一.

A'B'A'O3

15.在三棱錐A-BCD中，石,EG,“分別是邊AB,5C,CD,D4的中點(diǎn).

A

7c

（1）求證：四邊形瓦GH是平行四邊形；

（2）若AC=BD,求證：四邊形跳為菱形.

【答案】（［）證明見解析；（2）證明見解析.

【分析】（1）利用三角形中位線的性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形的判斷方法，即可得到結(jié)論；

（2）利用有一組鄰邊相等的平行四邊形，可證結(jié)論.

【詳解】⑴E,尸,G,H分別是邊口,BC,8,D4的中點(diǎn).

EF//AC,GH//AC,EFAC,GHAC,

EF//GH,EF=GH,

四邊形EFG”是平行四邊形；

（2）^AC=BD,則EF=EH,

■■■四邊形EFG”是平行四邊形，

四邊形瓦6”為菱形.

【點(diǎn)睛】本題解題的關(guān)鍵是利用三角形中位線的性質(zhì)，平行四邊形的判斷方法進(jìn)行證明，屬于基礎(chǔ)題.

16.如圖，在正方體ABCO-44GA中，M,“I分別是棱AD和AQ的中點(diǎn).

（1）求證：四邊形B陰明M為平行四邊形;

（2）求證：NBMC=/BMG.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【分析】（1）根據(jù)正方體的性質(zhì)和平面幾何知識可得證;

(2)根據(jù)空間兩個角相等定理或三角形全等可得證.

【詳解】解：⑴；A8C￡>-AqCB為正方體.，=且AO//4。，

又M,Mx分別為棱AD,AR的中點(diǎn)，,AM=4M且AM//A.M,,

四邊形為平行四邊形，二腦%=44，且WA4,.

又例=8耳且AA〃8月,MMt=BB［且MMJ/BBl,

???四邊形8耳MM為平行四邊形.

⑵法一：由⑴知四邊形88幽幽為平行四邊形，，即［//BM.

同理可得四邊形CC幽幽為平行四邊形，二GM〃CM..??/BMC和/耳MC方向相同,

NBMC=NBMG.

法二：由⑴知四邊形叫河陽為平行四邊形，二耳M=BM.

同理可得四邊形CGM幽為平行四邊形，=CtM1=CM.

又?：B￡=BC,：,△BCM也△耳GM1，ZBCM=NBCM.

題組B能力提升練

一、單選題

1.在空間四邊形A2C。中，AC=BD,E,F,G,〃分別是邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)，順次連接各邊中

點(diǎn)、E,F,G,H,所得四邊形￡尸G8的形狀是()

A.梯形B.矩形

C.正方形D.菱形

【答案】D

【分析】根據(jù)空間四邊形中各點(diǎn)的位置，結(jié)合中位線的性質(zhì)可得即G8是平行四邊形，再由即可判

斷四邊形EFGH的形狀.

【詳解】如圖所示，空間四邊形ABCD中，連接AC,8?？傻靡粋€三棱錐，

將四個中點(diǎn)連接，得到四邊形EFG”,

由中位線的性質(zhì)及基本性質(zhì)4知，EHWFG,EFWHG；

二四邊形EPGH是平行四邊形，又AC=Br>,

HG=gAC=』BD=EH,

..四邊形EFGH是菱形.

故選：D

2.已知在三棱錐A-3CD中，M,N分別是A3,8的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

C.MN=-(AC+BD)D.MN<-(AC+BD)

22

【答案】D

【詳解】如圖所示，

取BC的中點(diǎn)E,連接ME、EN,在ABC中，：AM=MB,CE=EB,：.ME=^AC,同理可得EN=；B。,

在,MEN中，1,三角形兩邊之和大于第三邊即ME+￡7V>肱V,,gAC+g3O>"N,即

MN<^（AC+BD）,故選D.

3.對于空間三條直線，有下列四個條件:

①三條直線兩兩相交且不共點(diǎn)；

②三條直線兩兩平行；

③三條直線共點(diǎn)；

④有兩條直線平行，第三條直線和這兩條直線都相交.

其中，使三條直線共面的充分條件有（）

A.1個B.2個C.3D.4個

【答案】B

【分析】根據(jù)公理2以及推論進(jìn)行判斷，對于②③列舉出三條直線兩兩平行在不同平面內(nèi)的，三條相交直

線不共面時(shí)，如三棱錐的側(cè)面進(jìn)行判斷.

【詳解】①中兩直線相交確定平面，則第三條直線在這個平面內(nèi)，故①正確；

②中可能有其中一條直線和另外兩條直線確定的平面平行，還有可能三條直線分別在三個相互平行的平面

內(nèi)，故②不對；

③中三條相交直線不共面時(shí).則它們可確定3個平面，如三棱錐的側(cè)面，故③不對；

④中兩直線平行確定一個平面，則第三條直線在這個平面內(nèi)，故④正確；

故答案為B

【點(diǎn)睛】本題考查了平面公理2以及推論的應(yīng)用，主要利用公理的作用和公理中的關(guān)鍵條件進(jìn)行判斷，考

查了空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.如圖，在棱長為1的正方體ABCD-agC.中，E為線段。。的中點(diǎn)，尸為線段網(wǎng)的中點(diǎn)，則直線FG

到直線AE的距離為（）

C.好

35

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，證明尸G//AE,把直線尸G到直線AE的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)尸到直線AE的距離求解作答.

【詳解】在棱長為1的正方體ABCD-ABCQI中，?、嶂悬c(diǎn)G,連接GR,G尸lAEEAF,如圖，

因?yàn)閜為B4的中點(diǎn)，則4G//旦F，AG=gF,即有四邊形AGF4為平行四邊形,

有GF//&BJ/D、C\,GF=%B[=D、G,則四邊形G尸CQ為平行四邊形，有FCJIGD、,

又E為。2的中點(diǎn)，則AG//ER,AG=ER,四邊形AGRE為平行四邊形，則有AE//GR〃尸C-

因此直線FC,到直線AE的距離等于點(diǎn)F到直線AE的距離d,因?yàn)?尸//DE,BF=DE,

則四邊形3DEF為平行四邊形，有EF=BD=母,在4AE廣中，AE=AF=y/AB2+BF2=—,

2

邊EF上的高/t=」A尸2—（!EF）2=立,由三角形面積得：-AEd=-EF-h,"=里2=強(qiáng)，

V2222AE5

所以直線尸G到直線AE的距離為叵.

5

故選：D

5.如圖所示，在空間四邊形ABC。中，點(diǎn)E,〃分別是邊AB,A。的中點(diǎn)，點(diǎn)憶G分別是邊BC,CD±

的點(diǎn)，且旦=黑=4,則下列說法正確的是（）

CBCD3

A.EF與GH平行

B.EF與G”異面

C.所與GX的交點(diǎn)M可能在直線AC上，也可能不在直線AC上

D.￡下與GX的交點(diǎn)M一定在直線AC上

【答案】D

【分析】連接EH,FG,根據(jù)mG分別是邊BC,CO上的點(diǎn)，且三===[,和點(diǎn)E,〃分別是邊AB,

CnCD3

AD的中點(diǎn)，得至I]EH〃GF,且判斷

【詳解】解：如圖所示:

連接附FG.

因?yàn)镽G分別是邊BC,CD上的點(diǎn)，且啜=冬=5，

CnCD3

2

所以GF〃BD,且GP=?BD

因?yàn)辄c(diǎn)E,，分別是邊AB,A。的中點(diǎn)，

所以EH〃BD,且EH=±BD,

所以EH〃GF,且EHwGE

所以所與G8相交，設(shè)其交點(diǎn)為M,

則平面ABC,同理MW平面ACD

又平面ABCn平面ACD=AC,

所以M在直線AC上.

故選：D.

6.如圖，在三棱錐P-ABC中，民￡6,〃,/，分別為線段24,抬,小,鉆,比,。4的中點(diǎn)，則下列說法正確

的是

p

B

A.PH\\BGB.IE\\CPC.FH\\GJD.GI\\JH

【答案】C

【詳解】由題意結(jié)合三角形中位線的性質(zhì)可得：FHPA,GJ\PA,

由平行公理可得：FHGJ.

本題選擇C選項(xiàng).

二、多選題

7.已知三棱柱ABC-DEF的棱長均相等，貝IJ()

A.AB±CFB.AE1.BD

C.ZABC=60°D.ZADE=6Q°

【答案】BC

【分析】根據(jù)題意結(jié)合異面直線夾角逐項(xiàng)分析判斷.

【詳解】對A：；AE>CF,則AB與CF的夾角為—4D,不一定是直角，A錯誤；

對B：由題意：ABED為菱形，則AE_L5D,B正確；

對C：由題意：AB^BC=CA,則/4BC=60。，C正確；

對D：由題意：ABED為菱形,則，ADEe(O,7r),即-4DE大小無法確定，D錯誤.

故選：BC.

B

8.(多選題)下列說法中,正確的結(jié)論有<)

A.如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等

B.如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等

C.如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直，那么這兩個角相等或互補(bǔ)

D.如果兩條直線同時(shí)平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行

【答案】BD

【分析】由等角定理可判斷A的真假；根據(jù)直線夾角的定義可判斷B的真假；舉反例可判斷C的真假；由

平行公理可判斷D的真假.

【詳解】對于選項(xiàng)A：如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)，故選項(xiàng)A

錯誤；

對于選項(xiàng)B：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角或直角相等，故選

項(xiàng)B正確；

對于選項(xiàng)C：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直，這兩個角的關(guān)系不確定，既可能相等也可能互

補(bǔ)，也可能既不相等，也不互補(bǔ).反例如圖，在立方體中，/42G與滿足CRLGB,

IT-TT

但是NAAG=5，ZABC,=j,二者不相等也不互補(bǔ).故選項(xiàng)c錯誤；

對于選項(xiàng)D：如果兩條直線同時(shí)平行于第三條直線，那么這兩條直線平行，故選項(xiàng)D正確.

故選：BD.

三、填空題

9.如圖，點(diǎn)尸，Q,R,S分別在正方體的四條棱上，且是所在棱的中點(diǎn)，則直線與RS是平行直線的圖

是（填序號）.

【答案】①②

【分析】根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征，以及兩直線的位置關(guān)系的判定方法，即可求解.

【詳解】根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征，可得①②中RS與尸。均是平行直線，④中RS和PQ是相交直線，③中

RS和是是異面直線.

故答案為：①②.

10.已知長方體ABC。-A/GA的體積為9,AB>BC,AC=ABt,且異面直線AC與BQ所成的角為60。,

則該長方體的表面積為.

【答案】6+12用

【分析】根據(jù)異面直線夾角的定義分析可得=結(jié)合題意列式求長方體的長、寬、高，進(jìn)而求長

方體的面積.

【詳解】連接80,設(shè)ACBD=O,

■.BBX//DDi且BBi=DDlt則BBRD為平行四邊形，

.-.BD〃BR.

又???異面直線AC與BQ所成的角為60。，且A3>3C,則ZAOD=60°,

AB=-J3BC.

設(shè)AB—a,BC=b,DD1=c,

abc=9a=3

根據(jù)題意可得、分+c2解得6:石,

a=y/3bc=V3

貝。該長方體的表面積為S=2（"+oc+6c）=6+126.

故答案為：6+1273.

3G

AB

n.如圖所示,在空間四邊形ABC。中，分別為的中點(diǎn),F,G分別是BC,CD上的點(diǎn)，且有二次二？

CJDCD3

若BD=6cm,梯形EFGH的面積為28cm2,則平行線EH,FG間的距離為.

A

LH

/\Dr\

，大?十7

【答案】8

【詳解】:E,H分別為AB,AD的中點(diǎn)，F(xiàn),G分別是BC,CO上的點(diǎn)，且三=票=二，BD=6cm,

CJDCD3

:.EH=3,FG=6X|=4,設(shè)EH,尸G間的距離為〃，貝I]S梯形即砥=絲丁泌=28,得/z=8(cm),故

答案為8(cm).

12.已知。，b,c是空間中的三條相互不重合的直線，給出下列說法：①若?！?,b//c,則。Pc；②

若“與6相交，6與C相交，貝I)。與C相交；③若au平面or,bu平面￡,則“，6一定是異面直線；④若

a,b與c成等角，則a〃人其中正確的說法是(填序號).

【答案】①

【分析】根據(jù)平行公理可判斷①，在空間考慮兩直線都與第三條直線直線相交的所有可能情況可判斷②，

考慮在兩個平面內(nèi)的兩條直線的所有位置關(guān)系可判斷③，兩條直線與第三條直線成等角，這兩條直線可相

交可平行可異面判斷④.

【詳解】由公理4知①正確；

當(dāng)。與人相交，。與。相交時(shí)，。與，可能相交、平行，也可能異面，故②不正確；

當(dāng)au平面a,6u平面/時(shí)，”與6可能平行、相交或異面，故③不正確；

當(dāng)。，人與。成等角時(shí)，。與6可能相交、平行，也可能異面，故④不正確.

故答案為：①

【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間中線與線的位置關(guān)系，考查了空間想象力，屬于中檔題.

四、解答題

13.如圖，E,E分別是長方體ABCDABQ。/的棱A/A,GC的中點(diǎn).求證：四邊形B/EO歹為平行四邊形.

【答案】證明見解析

【分析】結(jié)合線線平行以及平行四邊形的知識來證得結(jié)論成立.

【詳解】由于瓦月分別是長方體A3C。-ABCA的中點(diǎn),

設(shè)G是?？诘闹悬c(diǎn)，連接C。,

根據(jù)長方體的性質(zhì)可知B.E=DF=且B^EIICfillDF,

所以四邊形片即廠是平行四邊形.

14.如圖，E,F,G,H分別是空間四邊形ABC。各邊上的點(diǎn)，且AE:EB=AH:HD=m,CF:FB=CG:GD=n.

（1）證明：E,F,G,"四點(diǎn)共面.

（2）m,"滿足什么條件時(shí)，四邊形EFG”是平行四邊形？

【答案】（1）見解析（2）當(dāng)〃?=〃時(shí)，四邊形EFGH是平行四邊形.

【分析】（1）根據(jù)平行線分線段成比例的性質(zhì),可得即〃或）和FG〃B。即可根據(jù)空間中平行線的傳遞性證

明〃尸G,即可得E,F,G,H四點(diǎn)共面.

(2)根據(jù)平行線分線段成比例,分別用m和"及3。表示出EH和尸G,由平行四邊形對邊相等即可求得

m=n,

【詳解】(1)證明：連接B。

因?yàn)锳E:EB=:所以￡W〃8D

又CF:FB=CG:GD,所以尸G〃即

所以EH〃FG

所以E,F,G,H四點(diǎn)共面

(2)當(dāng)機(jī)=〃時(shí),四邊形EFGH為平行四邊形

由(1)可知團(tuán)〃FG

e、iEHAEm

因?yàn)椤?-------=-----

BDAE+EBm+1

所以EH

m+1

Yl

同理可得尸G=——BD

〃+1

由石H=bG

得m=幾

故當(dāng)機(jī)=〃時(shí)，四邊形EFGH是平行四邊形

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例的性質(zhì)，由線段比例關(guān)系及平行關(guān)系得線段關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

15.梯形ABCD中，ABWCD,E、F分別為BC和AD的中點(diǎn)，將平面DCEF沿EF翻折起來，使CD到C)

的位置，G、H分別為和BC的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGH為平行四邊形.

【答案】詳見解析

【詳解】試題分析：根據(jù)梯形中位線的性質(zhì)可得尸A8且所=；(A3+CD),同理可得GH48且

GH=^AB+C'D'),根據(jù)傳遞性可得進(jìn)而可得結(jié)論.

試題解析：?梯形ABC。中，AB//CD,E、/分別為8C、AD的中點(diǎn),

EF//ABS.EF=^(AB+CD),

又CDEF,EF〃AB,：.CD//AB.

???G、H分別為47、BC的中點(diǎn)，

GHAB且G//=；（A5+CO）=；（A8+Cr））,

GHJF,四邊形EFG”為平行四邊形.

16.在如圖所示的正方體ABC0-4B】QQ中，E,F,&,F】分別是棱AB,AD,&G,GQ的中點(diǎn)，

A￡B

求證：⑴族4耳耳;

⑵NE4F=NEiCFi.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【詳解】試題分析：⑴連接的，BR,由三角形中位線定理可得斯〃:20,與瓦R,根據(jù)正方體

—22

的性質(zhì)可得8〃幺與2,故而可得結(jié)論；（2）取A片的中點(diǎn)〃，連接4M,首先證明四邊形BC居M是

平行四邊形，得到MB//CK，再證四邊形是平行四邊形及平行的傳遞性，得到AE//Cf],同理得

\FHEXC,結(jié)合角兩邊的方向相反，進(jìn)而可得結(jié)論成立.

試題解析：⑴連接8。，BR,在.、AB￡）中，因?yàn)镋,廠分別為A3,AD的中點(diǎn)，

所以EF且LBD,同理耳用=’4〃，在正方體ABCD-agGA中，因?yàn)槿?〃。2,AAJJB、,所以

—22——

B、BU>D\,所以四邊形瓦汨4是平行四邊形，所以BD旦所以斯

⑵取4片的中點(diǎn)/,連接,因?yàn)镸K24G,B\C\JC,所以

所以四邊形是平行四邊形，所以MB//CE，因?yàn)樗运倪呅畏辣币娛瞧叫兴倪呅?，?/p>

以3/MB,所以4E//CK，同理可證：\FUE\C,又/馬尸與/片C&兩邊的方向均相反，所以

NEAF=NEW.

題組C培優(yōu)拔尖練

一、單選題

1.在正六棱柱ABCOE/-A冉GREE任意兩個頂點(diǎn)的連線中與棱平行的條數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】作出幾何體的直觀圖觀察即可.

【詳解】解：連接CECiFi,與棱AB平行的有即，CF,ABI，GK，ER,共有5條,

故選：D.

2.已知E,F,G,，分別為空間四邊形ABCD各邊AB,BC,CD,D4的中點(diǎn)，若對角線8。=2,AC=4,

則成了+以戶的值是（）

A.5B.10

C.12D.不能確定

【答案】B

【分析】根據(jù)中位線定理判斷四邊形EFGH是平行四邊形，再由EG?+=（￡F+EH）?十回-EH）2計(jì)算

可得解.

【詳解】如圖所示，由三角形中位線的性質(zhì)可得取//AC,M=jAC,HG//AC,HG=gAC.

所以四邊形EFGH是平行四邊形，

因?yàn)镋G=EF+EH,HF=EF—EH,

所以EG1+HF2=(EF+EH)2+(EF-EH)2=2(。?+E/7。)=2(1+4)=10.

3.如圖所示，在空間四邊形ABC。中，點(diǎn)E,X分別是邊AB,AD的中點(diǎn)，點(diǎn)凡G分別是邊2C,CD上

的點(diǎn)，且三===:,則下列說法正確的是（）

CBCD3

A.EF與G8平行

B.與G”異面

C.斯與GX的交點(diǎn)M可能在直線AC上，也可能不在直線AC上

D.所與G8的交點(diǎn)M一定在直線AC上

【答案】D

【分析】連接即，F(xiàn)G,根據(jù)憶G分別是邊BC,CD上的點(diǎn)，且義=黑=[,和點(diǎn)E,〃分別是邊AB,

CDCDJ

AO的中點(diǎn)，得至UEH〃GF,且E&GF判斷.

【詳解】解：如圖所示：

A

連接附FG.

因?yàn)镽G分別是邊BC,CD上的點(diǎn)，且啜=室=]

CnCD3

2

所以GF〃BD,且

因?yàn)辄c(diǎn)E,，分別是邊AB,A