湖北省黃石市黃石港區(qū)第八中學(xué)2024年八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)檢測(cè)模擬試題含解析

湖北省黃石市黃石港區(qū)第八中學(xué)2024年八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．已知一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）圖象過(guò)點(diǎn)（0，2），且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為2，則一次函數(shù)的解析式為()A．y=x+2 B．y=﹣x+2 C．y=x+2或y=﹣x+2 D．y=-x+2或y=x-22．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P是AB上一動(dòng)點(diǎn)(不與A，B重合)，對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)P分別作AC，BD的垂線(xiàn)，分別交AC，BD于點(diǎn)E，F(xiàn)，交AD，BC于點(diǎn)M，N.下列結(jié)論：①△APE≌△AME；②PM＋PN＝BD；③PE2＋PF2＝PO2.其中正確的有()A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)3．已知中，,則等于()A．6 B．8 C．10 D．124．下列說(shuō)法不能判斷是正方形的是（）A．對(duì)角線(xiàn)互相垂直且相等的平行四邊形 B．對(duì)角線(xiàn)互相垂直的矩形C．對(duì)角線(xiàn)相等的菱形 D．對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分的四邊形5．已知四邊形ABCD，有以下4個(gè)條件：①AB∥CD；②AB＝DC；③AD∥BC；④AD＝BC．從這4個(gè)條件中選2個(gè)，不能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形的是（）A．①② B．①③ C．①④ D．②④6．下列式子從左至右的變形，是因式分解的是（）A． B． C． D．7．用配方法解一元二次方程時(shí)，此方程可變形為（）A． B． C． D．8．不等式的解集為（）.A． B． C． D．9．為了解某公司員工的年工資情況，小明隨機(jī)調(diào)查了10位員工，其年工資如下單位：萬(wàn)元：4，4，4，5，6，6，7，7，9，則下列統(tǒng)計(jì)量中，能合理反映該公司員工年工資中等水平的是A．平均數(shù) B．中位數(shù) C．眾數(shù) D．方差10．函數(shù)y＝k(x＋1)和y＝(k≠0)在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是()A． B． C． D．11．如圖，等腰梯形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于O，則圖中的全等三角形有（）A．1對(duì) B．2對(duì) C．3對(duì) D．4對(duì)12．下列各組數(shù)中，以它們?yōu)檫呴L(zhǎng)的線(xiàn)段能構(gòu)成直角三角形的是（）A．2，4，5 B．6，8，11 C．5，12，12 D．1，1，二、填空題（每題4分，共24分）13．若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是_____．14．當(dāng)_____時(shí)，分式的值為1．15．如圖1，是一個(gè)三節(jié)段式伸縮晾衣架，如圖2，是其衣架側(cè)面示意圖，為衣架的墻角固定端，為固定支點(diǎn)，為滑動(dòng)支點(diǎn)，四邊形和四邊形是菱形，且，點(diǎn)在上滑動(dòng)時(shí)，衣架外延鋼體發(fā)生角度形變，其外延長(zhǎng)度（點(diǎn)和點(diǎn)間的距離）也隨之變化，形成衣架伸縮效果，伸縮衣架為初始狀態(tài)時(shí)，衣架外延長(zhǎng)度為，當(dāng)點(diǎn)向點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，外延長(zhǎng)度為.（1）則菱形的邊長(zhǎng)為_(kāi)_____.（2）如圖3，當(dāng)時(shí)，為對(duì)角線(xiàn)（不含點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____.16．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)M，N分別在CD，HE上，CM＝DM，HN＝2NE，HC與NM的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)P，則PC的值為_(kāi)____．17．△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，則△ABC的面積為_(kāi)_____________．18．如圖，已知菱形ABCD的一個(gè)內(nèi)角∠BAD=80°，對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在AB上，且BE=BO，則∠EOA=___________°.三、解答題（共78分）19．（8分）圖①，圖②都是4×6的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1．在圖①，圖②中已畫(huà)出線(xiàn)段AB，且點(diǎn)A，B均在格點(diǎn)上．（1）在圖①中以AB為對(duì)角線(xiàn)畫(huà)出一個(gè)矩形，使矩形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)也在格點(diǎn)上，且所畫(huà)的矩形不是正方形；（2）在圖②中以AB為對(duì)角線(xiàn)畫(huà)出一個(gè)菱形，使菱形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)也在格點(diǎn)上，且所畫(huà)的菱形不是正方形；（3）圖①中所畫(huà)的矩形的面積為；圖②中所畫(huà)的菱形的周長(zhǎng)為．20．（8分）如圖，四邊形中，，，．（1）求證：；（2）若，，，分別是，，，的中點(diǎn)，求證：線(xiàn)段與線(xiàn)段互相平分．21．（8分）計(jì)算：4（﹣）﹣÷+（+1）1．22．（10分）定義：如圖（1），，，，四點(diǎn)分別在四邊形的四條邊上，若四邊形為菱形，我們稱(chēng)菱形為四邊形的內(nèi)接菱形.動(dòng)手操作：（1）如圖2，網(wǎng)格中的每個(gè)小四邊形都為正方形，每個(gè)小四邊形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，由個(gè)小正方形組成一個(gè)大正方形，點(diǎn)、在格點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)趫D（2）中畫(huà)出四邊形的內(nèi)接菱形；特例探索：（2）如圖3，矩形，，點(diǎn)在線(xiàn)段上且，四邊形是矩形的內(nèi)接菱形，求的長(zhǎng)度；拓展應(yīng)用：（3）如圖4，平行四邊形，，，點(diǎn)在線(xiàn)段上且，①請(qǐng)你在圖4中畫(huà)出平行四邊形的內(nèi)接菱形，點(diǎn)在邊上；②在①的條件下，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)最短時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)_________23．（10分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，，，是線(xiàn)段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)是軸上的一動(dòng)點(diǎn)，連接、，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，求出的坐標(biāo)及的最小值；（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，再將繞點(diǎn)作順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度為，記旋轉(zhuǎn)中的三角形為，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)為，直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．24．（10分）如圖，在?ABCD中，作對(duì)角線(xiàn)BD的垂直平分線(xiàn)EF，垂足為O，分別交AD，BC于E，F(xiàn)，連接BE，DF．求證：四邊形BFDE是菱形．25．（12分）如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D，E分別在AB，BC上，∠EAD=∠EDA，點(diǎn)F為DE的延長(zhǎng)線(xiàn)與AC的延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn)．（1）求證：DE=EF；（2）判斷BD和CF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）若AB=3，AE=，求BD的長(zhǎng)．26．某學(xué)校開(kāi)展課外體育活動(dòng)，決定開(kāi)設(shè)A：籃球、B：乒乓球、C：武術(shù)、D：跑步四種活動(dòng)項(xiàng)目為了解學(xué)生最喜歡哪一種活動(dòng)項(xiàng)目每人只選取一種隨機(jī)抽取了m名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪成如下統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)你結(jié)合圖中信息解答下列問(wèn)題：______；在扇形統(tǒng)計(jì)圖中“乒乓球”所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)為_(kāi)_____；請(qǐng)把圖的條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；若該校有學(xué)生1200人，請(qǐng)你估計(jì)該校最喜歡武術(shù)的學(xué)生人數(shù)約是多少？

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、C【解析】

先求出一次函數(shù)y=kx+b與x軸和y軸的交點(diǎn)，再利用三角形的面積公式得到關(guān)于k的方程，解方程即可求出k的值．【詳解】∵一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）圖象過(guò)點(diǎn)（0，1），∴b=1，令y=0，則x=-，∵函數(shù)圖象與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1，∴×1×|-|=1，即||=1，解得：k=±1，則函數(shù)的解析式是y=x+1或y=-x+1．故選C．2、D【解析】

依據(jù)正方形的性質(zhì)以及勾股定理、矩形的判定方法即可判斷△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四邊形PEOF是矩形，從而作出判斷．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAC＝∠DAC＝45°．

在△APE和△AME中，

∠BAC＝∠DAC

AE＝AE

∠AEP＝∠AEM，

∴△APE≌△AME（ASA），故①正確；

∴PE＝EM＝PM，

同理，F(xiàn)P＝FN＝NP．

∵正方形ABCD中，AC⊥BD，

又∵PE⊥AC，PF⊥BD，

∴∠PEO＝∠EOF＝∠PFO＝90°，且△APE中AE＝PE

∴四邊形PEOF是矩形．

∴PF＝OE，

∴PE＋PF＝OA，

又∵PE＝EM＝PM，F(xiàn)P＝FN＝NP，OA＝AC，

∴PM＋PN＝AC，∴PM+PN=BD；故②正確；

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AC⊥BD，

∴∠AOB＝90°，

∵PE⊥AC，PF⊥BD，

∴∠OEP＝∠EOF＝∠OFP＝90°，

∴四邊形PEOF是矩形，

∴OE＝PF，OF＝PE，

在直角△OPF中，OE2＋PE2＝PO2，

∴PE2＋PF2＝PO2，故③正確；∴正確的有3個(gè)，故選：D【點(diǎn)睛】本題是正方形的性質(zhì)、矩形的判定、勾股定理的綜合應(yīng)用，認(rèn)識(shí)△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四邊形PEOF是矩形是關(guān)鍵．3、B【解析】

直接利用銳角三角三角函數(shù)關(guān)系得出AC的長(zhǎng)．【詳解】如圖所示：，，，．故選B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了銳角三角三角函數(shù)關(guān)系，正確畫(huà)出圖形是解題關(guān)鍵．4、D【解析】

正方形是特殊的矩形和菱形，要判斷是正方形，選項(xiàng)中必須要有1個(gè)矩形的特殊條件和1個(gè)菱形的特殊條件.【詳解】A中，對(duì)角線(xiàn)相互垂直的平行四邊形可判斷為菱形，又有對(duì)角線(xiàn)相等，可得正方形；B中對(duì)角線(xiàn)相互垂直的矩形，可得正方形；C中對(duì)角線(xiàn)相等的菱形，可得正方形；D中，對(duì)角線(xiàn)相互垂直平分，僅可推導(dǎo)出菱形，不正確故選：D【點(diǎn)睛】本題考查證正方形的條件，常見(jiàn)思路為：（1）先證四邊形是平行四邊形；（2）再添加一個(gè)菱形特有的條件；（3）再添加一個(gè)矩形特有的條件5、C【解析】

根據(jù)平行四邊形的判定方法即可一一判斷；【詳解】A、由①②可以判定四邊形ABCD是平行四邊形；故本選項(xiàng)不符合題意；B、由①③可以判定四邊形ABCD是平行四邊形；故本選項(xiàng)不符合題意；C、由①④無(wú)法判定四邊形ABCD是平行四邊形，可能是等腰梯形，故本選項(xiàng)符合題意；D、由②④可以判定四邊形ABCD是平行四邊形；故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的判定方法，屬于中考?？碱}型．6、C【解析】

根據(jù)因式分解的意義進(jìn)行判斷即可．【詳解】因式分解是指將一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式．A．，結(jié)果是單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，不是因式分解，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；B．，結(jié)果應(yīng)為整式因式，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；C．，正確；D．是整式的乘法運(yùn)算，不是因式分解，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的意義，解題的關(guān)鍵是正確理解因式分解的意義，涉及完全平方公式，本題屬于基礎(chǔ)題型．7、D【解析】試題解析：故選D.8、B【解析】

先移項(xiàng)，再系數(shù)化為1即可得到不等式的解集.【詳解】解：移項(xiàng)得：合并同類(lèi)項(xiàng)得：系數(shù)化為1得：故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的解法，熟練掌握計(jì)算法則是關(guān)鍵，當(dāng)兩邊除以負(fù)數(shù)時(shí)，要注意不等號(hào)的方向要改變.9、B【解析】

根據(jù)題意，結(jié)合員工工資情況，從統(tǒng)計(jì)量的角度分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，了解這家公司的員工的工資的中等水平，結(jié)合員工情況表，即要全面的了解大多數(shù)員工的工資水平，故最應(yīng)該關(guān)注的數(shù)據(jù)的中位數(shù)，故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查統(tǒng)計(jì)的有關(guān)知識(shí)，主要包括平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的意義．10、D【解析】【分析】分兩種情況分析：當(dāng)k>0或當(dāng)k<0時(shí).【詳解】當(dāng)k>0時(shí)，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，雙曲線(xiàn)在第一、三象限；當(dāng)k<0時(shí)，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，雙曲線(xiàn)在第二、四象限.故選：D【點(diǎn)睛】本題考核知識(shí)點(diǎn)：一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象.解題關(guān)鍵點(diǎn)：理解兩種函數(shù)的性質(zhì).11、C【解析】

由等腰梯形的性質(zhì)可知，AB=CD，AC=BD，OA=OD，OB=OC，利用這些條件，就可以找圖中的全等三角形了，有三對(duì)．【詳解】∵四邊形ABCD是等腰梯形，∴AB=CD,AC=BD,OA=OD,OB=OC,AD∥CB，∴△AOB≌△DOC,△ABD≌△ACD,△ABC≌△DCB.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查等腰梯形的性質(zhì),全等三角形的判定.解本題時(shí)應(yīng)先觀(guān)察圖，盡可能多的先找出圖中的全等三角形，然后根據(jù)已知條件進(jìn)行證明.12、D【解析】試題分析：因?yàn)?，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)椋赃x項(xiàng)C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以選項(xiàng)D正確；故選D.考點(diǎn)：勾股定理的逆定理.二、填空題（每題4分，共24分）13、x≤1．【解析】

先根據(jù)二次根式有意義的條件列出關(guān)于x的不等式，求出x的取值范圍即可．【詳解】∵式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴1﹣x≥0，解得x≤1．故答案為x≤1．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式有意義的條件，熟知二次根式中的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解答此題的關(guān)鍵．14、．【解析】

分式值為零的條件：分子為零且分母不為零，即且.【詳解】分式的值為1且解得：故答案為．【點(diǎn)睛】從以下三個(gè)方面透徹理解分式的概念：分式無(wú)意義分母為零；分式有意義分母不為零；分式值為零分子為零且分母不為零.15、25；【解析】

（1）過(guò)F作于，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得.（2）作等邊，等邊，得到，得出，而當(dāng)、、、共線(xiàn)時(shí)，最小，再根據(jù)，繼而求出結(jié)果.【詳解】（1）如圖，過(guò)F作于，設(shè)，由題意衣架外延長(zhǎng)度為得，當(dāng)時(shí)，外延長(zhǎng)度為.則.則有，∴，∴.∵∴菱形的邊長(zhǎng)為25cm故答案為：25cm（2）作等邊，等邊，∴EM=EP,EH=EQ∴，∴，，∴，當(dāng)、、、共線(xiàn)時(shí)，最小，易知，∵，∴的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．16、1【解析】

根據(jù)已知首先求出MC=1，HN=2，再利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理得到，進(jìn)而得出PH=6，所以PC=PH-CH=1．【詳解】解：∵正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M，N分別在CD，HE上，CM=DM，HN=2NE，

∴MC=1，HN=2，

∵DC∥EH，

∴，

∵HC=1，

∴PC=1，

∴PH=6，

∴PC=PH-CH=1．

故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理等知識(shí)，根據(jù)已知得出PH的長(zhǎng)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．17、84或24【解析】分兩種情況考慮：①當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，如圖1所示，∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ABD中，AB=15，AD=12，根據(jù)勾股定理得：BD==9，在Rt△ADC中，AC=13，AD=12，根據(jù)勾股定理得：DC==5，∴BC=BD+DC=9+5=14，則S△ABC=BC?AD=84；②當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，如圖2所示，∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，在Rt△ABD中，AB=15，AD=12，根據(jù)勾股定理得：BD==9，在Rt△ADC中，AC=13，AD=12，根據(jù)勾股定理得：DC==5，∴BC=BD?DC=9?5=4，則S△ABC=BC?AD=24.綜上，△ABC的面積為24或84.故答案為24或84.點(diǎn)睛：此題考查了勾股定理，利用了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，靈活運(yùn)用勾股定理是解本題的關(guān)鍵.18、1【解析】

根據(jù)∠BAD和菱形鄰角和為180°的性質(zhì)可以求∠ABC的值，根據(jù)菱形對(duì)角線(xiàn)即角平分線(xiàn)的性質(zhì)可以求得∠ABO的值，又由BE=BO可得∠BEO=∠BOE，根據(jù)∠BOE和菱形對(duì)角線(xiàn)互相垂直的性質(zhì)可以求得∠EOA的大?。驹斀狻拷猓骸摺螧AD=80°，菱形鄰角和為180°

∴∠ABC=100°，

∵菱形對(duì)角線(xiàn)即角平分線(xiàn)

∴∠ABO=50°，

∵BE=BO

∴∠BEO=∠BOE==65°，

∵菱形對(duì)角線(xiàn)互相垂直

∴∠AOB=90°，

∴∠AOE=90°-65°=1°，

故答案為1．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分且平分一組對(duì)角的性質(zhì)，考查了等腰三角形底角相等的性質(zhì)，本題中正確的計(jì)算∠BEO=∠BOE=65°是解題的關(guān)鍵．三、解答題（共78分）19、（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）8，4．【解析】

（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)畫(huà)圖即可；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)畫(huà)圖即可；（3）根據(jù)矩形的面積公式和菱形的周長(zhǎng)公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖①所示，矩形ACBD即為所求；（2）如圖②所示，菱形AFBE即為所求；（3）矩形ACBD的面積=2×4=8；菱形AFBE的周長(zhǎng)=4×=4，故答案為：8，4．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖．熟記矩形和菱形的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵所在．20、（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)D作DM∥AC交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M，由平行四邊形的性質(zhì)易得AC=DM=DB，∠DBC=∠M=∠ACB，由全等三角形判定定理及性質(zhì)得出結(jié)論；

（2）連接EH，F(xiàn)H，F(xiàn)G，EG，E，F(xiàn)，G，H分別是AD，BC，DB，AC的中點(diǎn)，易得四邊形HFGE為平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)及（1）結(jié)論得□HFGE為菱形，易得EF與GH互相垂直平分．【詳解】解：（1）證明：（1）過(guò)點(diǎn)D作DM∥AC交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M，如圖1，

∵AD∥CB，

∴四邊形ADMC為平行四邊形，

∴AC=DM=DB，∠DBC=∠M=∠ACB，

在△ACB和△DBC中，，∴△ACB≌△DBC（SAS），

∴AB=DC；（2）連接EH，F(xiàn)H，F(xiàn)G，EG，如圖2，

∵E，F(xiàn)，G，H分別是AD，BC，DB，AC的中點(diǎn)，

∴GE∥AB，且GE=AB，HF∥AB，且HF=AB，∴GE∥HF，GE=HF，∴四邊形HFGE為平行四邊形，

由（1）知，AB=DC，

∴GE=HE，

∴□HFGE為菱形，

∴EF與GH互相垂直平分．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)及判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，菱形的判定及性質(zhì)，綜合運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)及判定，全等三角形的性質(zhì)與判定是解答此題的關(guān)鍵．21、1﹣6．【解析】

先根據(jù)二次根式的乘除法則和完全平方公式計(jì)算，然后合并即可．【詳解】原式＝4﹣4﹣+3+1+1＝1﹣8﹣4+4+1＝1﹣6．故答案為：1﹣6．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，再合并即可．在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．22、（1）詳見(jiàn)解析；（2）3；（3）①詳見(jiàn)解析；②的長(zhǎng)為【解析】

（1）以EF為邊，作一個(gè)菱形，使其各邊長(zhǎng)都為；（2）如圖2，連接HF，證明△DHG≌△BFE（AAS），可得CG＝3；（3）①根據(jù)（2）中可知DG＝BE＝2，根據(jù)對(duì)角線(xiàn)垂直平分作內(nèi)接菱形EFGH；②如圖5，當(dāng)F與C重合，則A與H重合時(shí)，此時(shí)BF的長(zhǎng)最小，就是BC的長(zhǎng)，根據(jù)直角三角形30度角的性質(zhì)和勾股定理計(jì)算可得結(jié)論．【詳解】（1）如圖2所示，菱形即為所求；（2）如圖3，連接，四邊形是矩形，，，，，四邊形是菱形，，，，，即，，；（3）①如圖4所示，由（2）知：，，作法：作，連接，再作的垂直平分線(xiàn)，交、于、，得四邊形即為所求作的內(nèi)接菱形；②如圖5，當(dāng)與重合，則與重合時(shí)，此時(shí)的長(zhǎng)最小，過(guò)作于，中，，，，，四邊形是菱形，，，即當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)最短時(shí)，的長(zhǎng)為【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，主要考查新定義?四邊形ABCD的內(nèi)接菱形，基本作圖?線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，菱形，熟練掌握基本作圖及平行四邊形、菱形和矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23、（1）；（2）最小值，M；（3）、、、【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，證得，然后由相似三角形的性質(zhì)求得，從而求得GB，HG的長(zhǎng)度，使問(wèn)題得解；（2）作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，此時(shí)的值最小即的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理求長(zhǎng)度，然后利用待定系數(shù)法求直線(xiàn)的函數(shù)解析式，從而求與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)，使問(wèn)題得解；（3）依據(jù)△OST為等腰三角形，分4種情況畫(huà)出圖形，即可得到旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．【詳解】解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)．因?yàn)檩S∴HG∥OA∴，又∵是線(xiàn)段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)∴，∵，，∴，∴∴（2）如圖，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)．則為，此時(shí)∴的最小值為；設(shè)直線(xiàn)：，把，B（3，0）代入得：，解得：∴直線(xiàn)為當(dāng)時(shí)，∴為（3）如圖，當(dāng)OT=OS時(shí)，α=75°-30°=45°；

如圖，當(dāng)OT=TS時(shí)，α=90°；

如圖，當(dāng)OT=OS時(shí)，α=90°+60°-15°=135°；如圖，當(dāng)ST=OS時(shí)，α=180°；綜上所述，α的值為45°，90°，135°，180°．【點(diǎn)睛】本題考查幾何變換綜合題、平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理、軸對(duì)稱(chēng)最短問(wèn)題、勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱(chēng)解決最短問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題．24、證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定方法證明出△DOE≌△BOF，得到OE=OF，利用對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形得出四邊形EBFD是平行四邊形，進(jìn)而利用對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形得