山西省部分學(xué)校2023屆高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

高三數(shù)學(xué)試題

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷

上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知集合A={—3,—1,1,3,5},B={x∣∣x-2∣<3},則ACB=().

A.{-l,l}B.{-l,l,3}C.{1,3,5}D.{1,3}

2.已知aeR,""為純虛數(shù)，則α=().

2-4i

A.1B.2C.3D.4

3,設(shè)AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為α,b,c?若A+B=—，。=3,c=2,則SinA=().

4.函數(shù)/(x)=(x—J}inx的圖象可能為().

5.已知圓0：/+丁=1與圓u(χ-3)2+,2=/外切，直線/“一丁―5=0與圓C相交于A,B兩點,則

?AB?=().

A.4B.2C.2√3D.2√2

6.甲、乙、丙三人玩?zhèn)髑蛴螒?，每個人都等可能地把球傳給另一人，由甲開始傳球，作為第一次傳球，經(jīng)過

3次傳球后，球回到甲手中的概率為（）.

7.在正三棱柱ABC—AgG中，AB=2,AA=3,以G為球心，工二為半徑的球面與側(cè)面ABAA的交

線長為（）.

2yβπ4#)712√3π8#)τι

8.己知雙曲線E:'—方=l（4>0∕>0）的左、右焦點分別為耳，工，P是雙曲線E上一點，PF2LFyF2,

N片P鳥的平分線與X軸交于點。，=-,則雙曲線E的離心率為（）.

SAPF2。3

A.√2B.2c2

?FD?6

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.給出下列說法，其中正確的是（）.

1741

A.若COSe=-，則COS2。=——B.若tan2θ=—,則tanθ——

3932

C.若^^,，則％+,的最小值為2D.若0<x≤',則X+'的最小值為2

2X2X

10.十項全能是田徑運動中全能項目的一種，是由跑、跳、投等10個田徑項目組成的綜合性男子比賽項目，

比賽成績是按照國際田徑聯(lián)合會制定的專門田徑運動會全能評分表將各個單項成績所得的評分加起來計算的，

總分多者為優(yōu)勝者.如圖，這是某次十項全能比賽中甲、乙兩名運動員的各個單項得分的雷達(dá)圖，則下列說法

正確的是（）.

IOO米

OoO分跳遠(yuǎn)

15∞米

標(biāo)槍鉛球

—甲的得分

?????乙的得分

撐竿

跳宓

跳高

鐵餅400米

110米胯欄

A.在400米跑項目中，甲的得分比乙的得分低

B.在跳高和標(biāo)槍項目中，甲、乙水平相當(dāng)

C.甲的各項得分比乙的各項得分更均衡

D.甲的各項得分的極差比乙的各項得分的極差大

11.古希臘數(shù)學(xué)家普洛克拉斯指出：“哪里有數(shù)，哪里就有美.”“對稱美”是數(shù)學(xué)美的重要組成部分，在數(shù)學(xué)

史上，人類對數(shù)學(xué)的對稱問題一直在思考和探索，圖形中對稱性的本質(zhì)就是點的對稱、線的對稱.如正方形既

是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，對稱性也是函數(shù)一個非常重要的性質(zhì).如果一個函數(shù)的圖象經(jīng)過某個正方

形的中心并且能夠?qū)⑺闹荛L和面積同時平分，那么稱這個函數(shù)為這個正方形的“優(yōu)美函數(shù)”.下列關(guān)于“優(yōu)

美函數(shù)”的說法中正確的有().

Y

A.函數(shù)〃X)=q?(—l≤x≤l)可以是某個正方形的“優(yōu)美函數(shù)”

A.函數(shù)/(x)=4CoS—已卜3只能是邊長不超過￡的正方形的“優(yōu)美函數(shù)”

C.函數(shù)/(x)=In(歷W-2x)—1可以是無數(shù)個正方形的“優(yōu)美函數(shù)”

D.若函數(shù)y=∕(x)是“優(yōu)美函數(shù)”，則y=∕(x)的圖象一定是中心對稱圖形

12.已知正數(shù)X,y滿足∕=y3<i,則下列結(jié)論正確的是().

A.0<x<y<lB.O<γ<x<l

4

C.?y-x?<-d??y,2-χ2?^

l?127

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.

13.已知向量α=(∕n+2,l),b=(5-2m,m),且“〃人，貝打〃=

14.設(shè)E,F分別在正方體ABCD-ABCQl的棱GA，A百上，且RE=；D￡,B1F=B1A1,則直

線DE與BF所成角的余弦值為.

15.已知拋物線。:/=2外（〃>0）的焦點為凡過尸且被C截得的弦長為4的直線有且僅有兩條，寫出一

個滿足條件的拋物線C的方程：,此時該弦的中點到X軸的距離為.（本題第一空2分，

第二空3分）

16.對20不斷進(jìn)行“乘以2”或“減去3”的運算，每進(jìn)行一次記為一次運算，若運算n次得到的結(jié)果為23,

則n的最小值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）

已知等差數(shù)列｛α,,｝滿足%=4，2%-%=7，公比不為-1的等比數(shù)列｛么｝滿足&=4,%+4=8伯+么）?

（1）求｛4｝與色｝通項公式;

3

（2）設(shè)+求｛g｝的前〃項和S

0,""+ι

18.（12分）

2023年，全國政協(xié)十四屆一次會議于3月4日下午3時在人民大會堂開幕，3月11日下午閉幕，會期7天半；

十四屆全國人大一次會議于3月5日上午開幕，13日上午閉幕，會期8天半.為調(diào)查學(xué)生對兩會相關(guān)知識的

了解情況，某高中學(xué)校開展了兩會知識問答活動，現(xiàn)從全校參與該活動的學(xué)生中隨機(jī)抽取320名學(xué)生，他們的

得分（滿分100分）的頻率分布折線圖如下.

Q）若此次知識問答的得分X~N（",σ?2）,用樣本來估計總體，設(shè)〃，b分別為被抽取的320名學(xué)生得分

的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，求P（50.5<X≤94）的值.

（2）學(xué)校對這些被抽取的320名學(xué)生進(jìn)行獎勵，獎勵方案如下：用頻率估計概率，得分小于或等于55的學(xué)生

獲得1次抽獎機(jī)會，得分高于55的學(xué)生獲得2次抽獎機(jī)會.假定每次抽獎抽到價值10元的學(xué)習(xí)用品的概率為

31

抽到價值20元的學(xué)習(xí)用品的概率為一.從這320名學(xué)生中任取一位，記該同學(xué)在抽獎活動中獲得學(xué)習(xí)用

44

品的價值總額為4元，求J的分布列和數(shù)學(xué)期望（用分?jǐn)?shù)表示），并估算此次抽獎要準(zhǔn)備的學(xué)習(xí)用品的價值總

額.

參考數(shù)據(jù)：P(∕∕-σ<X≤∕∕+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<X≤ju+2σ)≈0.9545,

P(∕∕-3σ<X≤χ∕+3σ)≈0.9973,√210≈14.5,0.375=-.

8

19.(12分)

在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCo為等腰梯形，AB∕∕CD,AD=OC=I,AB=2,AC±PC.

（1）證明：平面ABcD_L平面尸BC.

⑵若PBLBC,PB=20求直線QA與平面PC。所成角的正弦值.

20.（12分）

已知函數(shù)/（x）=ASin3x+0）（A>O,o>O）的圖象是由y=2sin"+2]的圖象向右平移:個單位長度

得到的.

（1）若/（x）的最小正周期為兀，求/（x）的圖象與y軸距離最近的對稱軸方程：

Jr3Jr

（2）若/（X）在py上有且僅有一個零點，求。的取值范圍.

21.（12分）

已知橢圓C:[+看=1（α>〃>0）的離心率為半，且橢圓C經(jīng)過點（G,1），過右焦點廠的直線/與橢圓C

交于A,B兩點.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點，求AOAB面積的最大值以及此時直線/的方程.

22.（12分）

已知函數(shù)/（x）=β'+cosx-sinx,∕r（x）為/（x）的導(dǎo)函數(shù).

(1)證明：當(dāng)％≥0時,/(x)≥0.

(2)判斷函數(shù)8(月=62^]〃力+〃2力一621一1的零點個數(shù).

高三數(shù)學(xué)試題參考答案

1.D【解析】本題考查集合的運算，考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)，

因為A={—3,—1,1,3,5},β={x∣-l<x<5},

所以ACB={1,3}.

2.13【解析】本題考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

.α+i(α+i)(2+4i)2a-4+(4α+2)i

π因為==,

2-4i2020

所以2α-4=0,所以α=2.

3.C【解析】本題考查解三角形的知識，考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

SJrTT

因為A+8=±?所以C=2,

66

由一^=—得二一=4,所以SinA=3.

sinAsinCsinA4

4.A【解析】本題考查函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查邏輯推理與直觀想象的核心素養(yǎng),

/(x)的定義域為{x∣xxθ},

因為/(f)=I-Jf+-Isin(-?)=IX-Qsinx=∕(x),

所以/(x)為偶函數(shù)，排除B,D.

當(dāng)Xe(0,1)時，/(x)<0.故詵A.

5.D【解析】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查數(shù)學(xué)運算與直觀想象的核心素養(yǎng).

因為圓O與圓C外切，所以r=4.

設(shè)圓心C(3,0)到直線I的距離為d,則d=手1=√2,

從而IAM=2√r2-J2=2√2.

6.C【解析】本題考查古典概型，考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

畫出樹狀圖,

7.B【解析】本題考查球面與柱體側(cè)面的交線長度，考查直觀想象與數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

設(shè)A為Af的中點，連接GA(圖略)，可知AA=6，GA，平面AB用4，

由Jf殍］-(^?)2=—＞得題中所求交線即以A為圓心，W為半徑的圓弧，

設(shè)該圓弧與AA∣,BBl分別相交于點M,N,

2yr2√32π4√3π

經(jīng)計算可知NMAN=7，故交線長/=---------X——=-------------

339

8.B【解析】本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

]?-5

由已知得

回I3

因為P。平分NGPK，所以國=單=2,

∣"∣IgQl3

h2C

一+2。5

所以a,=?,整理得從=33,

b23

a

由C?一"=3q2,得￠2=44,所以6=9=2.

a

9.AC【解析】本題考查三角恒等變換和基本不等式，考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

7

對于A,COS26=2cos~7。一1二——,A正確；

9

對于B,因為2tan6=&,所以tan。=L或tan。=—2,B錯誤；

l-tan26?32

令/(χ)=X+：,易知/(χ)在(0,1)上單調(diào)遞減，在［1,+8)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x≥,時，X+'的最小值為2,當(dāng)0<x≤?!■時，X+'的最小值為2,C正確，D錯誤.

2X2X2

10.BD【解析】本題考查統(tǒng)計的知識，考查數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

由雷達(dá)圖可知，400米跑項目中，甲的得分比乙的得分高，A錯誤；

由圖可知，B正確；

甲各項得分的波動較大，乙的各項得分均在(600,800］內(nèi)，波動較小，C錯誤;

甲的各項得分的極差約為IOoO-470=530,乙的各項得分的極差小干200,D正確.

11.AC【解析】本題考查新定義以及函數(shù)的性質(zhì)，考查邏輯推理的核心素養(yǎng).

對于A,易知函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，所以函數(shù)/(x)可以是中心為原點且邊長為2的正方形的“優(yōu)美函數(shù)”，故

A正確.

令2x—四二四+E(Z∈Z),得X=殳+色(女∈Z),

對于B,

6232

所以函數(shù)/(x)=4COS(2%-看+3圖象的對稱中心為11+g,3)%∈Z),

故以6+g,3)(Z∈Z)為中心的正方形都能被函數(shù)/(x)=4cos(2x=1+3的圖象平分,

即/(x)=4cosf2x-?^-+3可以同時是無數(shù)個正方形的“優(yōu)美函數(shù)”，故B錯誤.

對于C,令g(x)=ln(j4d+1-24易知函數(shù)g(x)為奇函數(shù).

又因為函數(shù)〃力的圖象是由函數(shù)g(x)的圖象向下平移一個單位長度得到的,

所以函數(shù)/(x)圖象的對稱中心為(0,—1),

故以(0,—1)為中心的正方形都能被函數(shù)/(x)=In(JUi—2x)—1的圖象平分，故C正確.

對于D,如圖所示，可知D錯誤.

12.ACD【解析】本題考查不等關(guān)系，考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

因為f=y3<],所以y=f<1,所以0<χ<y<l,A正確，B錯誤;

22!■

令g(x)=Iy-Xl=y-x=χ3-χ,IJiiJ=—χ^3-1,

Q

當(dāng)0<x<王■時，g'(x)>O,g(x)單調(diào)遞增,

Q

當(dāng)X〉藥時，g'(x)vθ,g(x)單調(diào)遞減，

4

所以g(%x—，C正確;

27

^Λ(x)=∣y2-x2∣=y2-x2-X2,貝∣J"(x)=—2x,

可知當(dāng)O<X<2西時，MX)單調(diào)遞增，當(dāng)%>亞時，MX)單調(diào)遞減,

99

所以MXLS=彳竽>。D正確.

13.1或-5【解析】本題考查平面向量的平行，考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

因為α〃人，所以加(加+2)—(5-2m)=0,

整理得+4加一5=O,解得加=1或加=—5.

4

14.-【解析】本題考查立體幾何初步的知識，考查直觀想象的核心素養(yǎng).

5

在棱co,G2上分別取點MM,使得CN=gco,GM=；GA,連接CM,NE,

可知BF〃CM〃NE,則NoaV為直線Z)E與JB/所成的角.

設(shè)AB=3,在ADEN中，易得DE=而,NE=M,ON=2,

設(shè)乙DEN=θ,則Sing=J=,從而COSe=I-2x」-.

2√10105

2

15.x=2yi-(答案不唯一，只要0<p<2,且所求距離為&—K即可)

222

【解析】本題考查拋物線的定義及性質(zhì)，考查直觀想象的核心素養(yǎng).

易知過焦點的弦中，通徑最短，所以2〃<4,解得0<p<2?

設(shè)該弦所在的直線與C的交點分別為A,B,

則弦AB的中點到X軸的距離為網(wǎng)-E.

22

取p=l,則拋物線C的方程為V=2y,

3

此時弦AB的中點到X軸的距離為一.

2

16.8【解析】本題考查邏輯推理，考查數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)以及分類討論的數(shù)學(xué)思想.

因為20<23,所以至少要進(jìn)行一次“乘以2”的運算.

(i)若一共只有一次“乘以2”的運算.

設(shè)做了&次“減去3”的運算之后，再“乘以2”，再做了f次“減去3”的運算后,

得數(shù)為（20—3Z）χ2-3f=23,即6A+3r=17,其中ZjeN,顯然無非負(fù)整數(shù)解.

（ii）若一共只有2次“乘以2”的運算.

設(shè)做了火次'‘減去3"的運算之后“乘以2”，再做了f次“減去3”的運算之后“乘以2”，再做了機(jī)次“減去

3”的運算后，得數(shù)是[（20—3左）x2—3r]x2—3〃?=23,

即4左+2r+機(jī)=19,Λ√,m∈N.

/=11=0

當(dāng)攵=4時，1或《；

m=?m=3

It-Vm7

當(dāng)次=3時,t-?-m>

2^2

,,2t+m11

當(dāng)lz左<2時，t+m>------≥—.

22

所以A+∕+m的最小值為6,即至少運算8次，過程為[（20-3-3—3—3）x2—3]x2—3=23.

（iii）若一共有3次或3次以上“乘以2”的運算，總運算次數(shù)顯然不止8次.

17.解：⑴設(shè)｛0,,｝的公差為d,因為生=4，2α4-a5=7,

所以2（4+2d）-（4+3d）=7,解得d=3,從而q=l,（1分）

所以?！ǘ?〃一2.（3分）

設(shè)低｝的公比為4,因為d+么=8（4+仇），所以="=8,解得q=2,（4分）

4

因為4=4,所以4=?=1,（5分）

所以5=2"T.（6分）

311

n

（2）因為c,,=7-------?-------r+2-',所以g=-----------------+2"T,（8分）

"（3/2-2）（3?+1）"3n-23n+l

1-1÷1-1÷L÷1-?-∣+（l+2+L+2"T）,（9分）

所以S,,=

4473n-23〃+U`）

所以S,,=1.(10分)

3n+lJ1-23n+l

18.解：(1)χ√=35×0.025÷45×0.15+55×0.2÷65×0.25+75×0.225+85×0.1+95×0.05=65,(2

σ2=(35-65)2×0.025+(45-65)2×0.15+(55-65)2×0.2+0

+(75-65)2×0.225+(85-65)2×0.1+(95-65)2×0.05=210,(3分)

所以g14.5,X~N(65,14S),

所以P(50.5<X≤94)=P(〃一σ?<X≤4+2σ?)=?^^+^^

=0.8186.(4分)

(2)J的可能取值為10,20,30.40,

3S

P(X≤55)=-,P(X>55)=-,(5分)

88

339

PK=Io)—×一=--

8432

PD(/J匕—=?2n0?)=_—?X—?I—5X—3×—3=_-5--7-,

'784844128

八/R513c15

v784464

P(J=40)=3χJχJ=-,(9分)

17844128

所以J的分布列為

10203040

957155

P

32128函128

（10分）

Q57155395

E(^)=10×-+20×-+30×-+40×^=-,(11分)

',321286412816

325

故此次抽獎要準(zhǔn)備的學(xué)習(xí)用品的價值總額約為320χ二=6500元.(12分)

16

19.（1）證明：在等腰梯形ABCo中，AB//CD,BC=AD=↑,AB=2,

過點C作CE,AjB于E（圖略），則BE=1,可知NABC=60°,（2分）

2

由余弦定理知4C2=]2+22-2χiχ2x'=3,

2

則AC2+8C2=AB?,所以ACJ.BC.（4分）

又ACLPC,BCcPC=C,BC,PCU平面P8C,

所以AC_L平面PBC.（5分）

又ACU平面ABC。，所以平面ABCZ），平面PBC.

（2）解：以C為坐標(biāo)原點，CA,CB的方向分別為X軸、），軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.

因為ACJ_平面PBC,PBLBC,

所以A(6,0,0),3(0,1,0),P(θ,l,2√3),D―,——,0,

(22,

CD=—,一一,0,CP=(θ,l,2√3),尸A=(G,—1,一26).(8分)

\/

設(shè)平面PCZ)的法向量為〃=(X,y,z),

CD?n---■-y=0([―])

則j22y，?n=1,√3,--.(10分)

CP?n=y+2&=。一

設(shè)直線PA與平面PC。所成的角為θ,

∣√3-√3+√3∣

則sinθ=cos(PAfι

4x934

2

即直線Q4與平面PeD所成角的正弦值為叵.（12分）

34

2兀

20.解：（1）由—=Tt,得口=2,（1分）

ω

ππ

所以/(x)=2Sin2x—÷-2sin∣2x-?^，(2分)

66I6J

?.兀，7Γ-..ZkTT兀,

令2x——=kπ+-,攵∈wZ,解得X=一+一,左∈Z,(3分)

6223

TTJT

取A=0,得x=—,取A=-1,得X=—,(4分)

36

兀H所以與y軸距離最近的對稱軸方程為X=（5分）

因為一7<

6

π,πC.(l-ω)π

(2)由已知得/(x)=2SinωX—+—=2Smωx-?-

6J66

令@*+（―。）兀=而，ZceZ,解得X=竺士竺1兀，?∈Z.（7分）

66ω

兀，6左+〃)-1,3兀

—≤-----------π≤—

26ω2

6&+g一7兀

TT3TT------------π<—

因為/（x）在y,y上有且僅有一個零點，所以<6ω2

6&+力+53兀

------------π>一

6。2

k∈Z

6k—16k—1

-------<ω<-------

82

6k—76k÷5..

所以4-------<ω<--------.(9分)

28

Z∈Z

6k-?

>0

2

6k-l

_^zl>o133

因為。＞0,所以,28，解得一＜%＜一，Λ∈Z,所以Z=1,（11分）

o10

6k+56k-7,、

_--_-_-_--_-_-_-、IU（I

82

ZeZ

o--?511

所以4，解得己≤o<一,

11188

即0的取值范圍為（12分）

_88J

2A2

21.解：（1）由/=—=1-----,得/=3從，（1分）

3a2

X2V2

所以橢圓C的方程為玄+會=1,（2分）

把點（6,1）的坐標(biāo)代入上式，得短+*=1，可得。2=2,（3分）

22

所以。2=6,C=2,故橢圓C的方程為二+匕=1.（4分）

（2）由（1）知焦點F的坐標(biāo)為（2,0）,若直線/的斜率為0,則。，A,8三點不能構(gòu)成三角形,

所以直線/的斜率不為0,設(shè)直線/的方程為X=:孫+2,

X=my+2

聯(lián)立方程組IX2>2,消去X,得（那+3）/+4/*-2=0,（5分）

—I=1

162

4〃Z2

設(shè)A（XJ）‘/孫必），則X+M=-仃'X%=一心，（6分）

SAAOB=g∣OF∣?E-％∣=E-%∣=J（M+-4χ%

4mY22瓜?∣M