2023-2024學年九年級數學中考數學復習：基本圖形

基本圖形在中考幾何中的應用

我們知道，教材中所選的題目和圖形都是經過專家深思熟慮、精心篩選的，不少圖形具

有典型性和代表性，其性質的應用具有一般性，我們常把這些圖形稱為基本圖形.如果我們

在解題中能聯(lián)想到這些基本圖形及其性質，就能開啟我們的解題思路，使問題得到快速、正

確的解答.下面以中考真題試卷為例說明.

例1如圖1,AC是△AB。的高，8。=15,/84。=30°,/04。=45°,求4).

圖1

解AC是AA8C的高，

:.ZACB=ZACD=90°

在用AABC中，

3C=15,ZBAC=30。，

:.AC=&C=\56

在用AACD中，

ZZMC=45°,

AD=6AC=15屈.

例2如圖2,在AABC中，AC=8,NB=45°,NA=30°,求A3.

解過點C作垂足為。，

則ZADC=ZBDC=90°.

在放AADC中，

ZA=30o,AC=8,

:.CD=-AC=4,AD=—AC=4V3

22

在RfABCD中,

ZB=45°,：.BD=CD=4,

AB=AD+BD=4>/3+4.

C

圖2

例3如圖3,平地上一幢建筑物AB與鐵塔CD相距60m,在建筑物的頂部測得鐵塔

底部的俯角為30。,測得鐵塔頂部的仰角為45°,求鐵塔的高度（精確到1m）.

圖3

解過A點作AEJ_CD于E點，如圖3,則四邊形ABDE為矩形,

AE=BD=60.

在放AADE中，

DE^AE-tan30°=60x—=20^.

3

在RfAACE中，

?/ZC4E=45°,

AE—EC=60,

：.CD=CE+ED=60+20百=60+20x1.732?95.

答:鐵塔的高度約為95米.

上述圖1中的AAB。、圖2中的ZVIBC、圖3中的AAC。都是非直角三角形，但在解

題中可通過添加輔助線（作高），將其轉化為直角三角形求解.教材在這一章編排時出現(xiàn)了3次

類似的圖形和問題，從易到難、逐步加深，目的就是說明這個圖形的重要性，我們要深刻掌

握其中“化斜為直”的解題方法.下面請看近幾年各地中考題中利用基本圖形解決問題的例

子.

題1如圖4,港口A在觀測站。的正東方向，OA^Akm,某船從港口A出發(fā)，沿北

偏東15。方向航行一段距離后到達B處,此時從觀測站。處測得該船位于北偏東60。的方

向，則該船航行的距離（即A5的長）為（）

（A）4km（B）2百km（C）2-72km（黨）（6+1）km

北

B

°AC

圖4

解過點A作于點。，如圖7.

在Rt^AOD中，

ZAOD=30°,OA=4,

.\AD=-OA=2.

2

在Rt\ABD中，

48=NC4B—NAOB=75°—30°=45。，

：.BD=AD=2,

：.AB=OAD=2&

即該船航行的距離（即AB的長）為2垃km,故選C.

題2如圖5,已知AABC是面積為由的等邊三角形，AABC-AADE,

AB=2AD/BAD=45。,AC與OE相交于點F，則AAEF的面積等于（結果保留

根號）.

圖5

解A48c是面積為由的等邊三角形，作GW_LA6交AB于點M（如圖5）,則

ZBCM=30°.

設A8=2KBM=《,CM=百左，由』xA8xCM=W，

2

解得左=1,；.AB=2.

AB=2AD,：,AD^-AB^\.

2

過點/作FHJ_AE交AE于點”，如圖5.

MBCsMDE,

：.ZEAF=NBAD=45°,ZAEF=60°,AE=AD=\,

：.ZAFH=45°,NEFH=30°,

:.AH=HF.

設="/=x,

貝UEH=xtan300=3x.

3

.?+且x=l,

3

3-V3

解得x

2

M￡F224

題3如圖6,在一筆直的海岸線/上有A3兩個觀測站，A在B的正東方向，

AB=2（單位:km）.有-一艘小船在點尸處，從A測得小船在北偏西60。的方向，從8測得小

船在北偏東45。的方向.

（1）求點P到海岸線/的距離；

（2）小船從點P處沿射線AP的方向航行一段時間后，到點。處，此時，從B測得小船

在北偏西15°的方向，求點。與點3之間的距離.（上述兩小題的結果都保留根號）

解（1）過點P作于點￡>,如圖6.設尸O=xkm,由題意，可知

NPBD=45°,ZPAD=30°,

在RtAPBD中，BD-PD—x.

在MA24D中，AD=6PD=￡x.

AB=2,x+yfix=2,x=6-1.

答:點P到海岸線I的距離為(73-l)km.

(2)如圖6,過點8作97J_A。于點尸.

在RfAABR中，

2

在AABC中，NC=180°—NB4C—NABC=45°.

在RfABCF中,BC=6BF=?

答:點C與點B之間的距離為V2km.

題4如圖7,已知AABC.按如下步驟作圖:①以A為圓心，AB長為半徑

畫弧;②以C為圓心，CB長為半徑畫弧，兩弧相交于點O;③連結3D,與AC交于點E,

連結AD,CD.若ABAC=30°,ZBCA=45°,AC=4,求3E的長.

解AB=AD,BC=CD,AC=AC,

：.AA3C咨AADC,ABAC=ADAC.

AB=AD,

：.AELBD,即ACLBD

在MAASES,

ABAC=30°,AE=&BE.

在RfABEC中,

圖7

NBCE=45。,：.EC=BE.

AE+EC^AC=4,

6BE+BE=4,

解得BE=2j5—2.

題5如圖8,四邊形ABC。與四邊形AEEG都是菱形，其中點C在AF'上，點及G

AB

分別在BC,CO上，若NB4Z)=135°,NE4G=75°,則nl一=

AE

圖8

解-.ABAD=135°,ZEAG=75°,四邊形ABC。與四邊形A￡FG都是菱形,

r.ZB=180?！猌BAD=45°,

ZBAE=ZBAC—ZEAC=30。.

過點石作用/_1_48于點M,如圖8,設￡M=x,在用AAEM中，

NM4￡=30。，

AE=2EM=2x,AM=氐.

在RtABEM中，

ZB=45°,：.BM=EM=x.

.ABy/3x+x6>+1

則n一=-------=------

AE2x2

題6已知:如圖9,在AA6c中，。是43邊上一點，圓。過。,B,C三點,

N￡>OC=2NACD=90°.⑴求證:直線AC是圓。的切線;(2)如果ZACB=75°，圓。的半

徑為2,求8。的長.

圖9

解(1)■OD=OC,NDOC=90。,

:.ZODC=ZOCD=45°.

?：ZDOC=2