2023-2024學(xué)年上海寶山區(qū)九年級(jí)上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷含詳解

2023學(xué)年第一學(xué)期期中九年級(jí)數(shù)學(xué)練習(xí)卷

（考試時(shí)間100分鐘，滿分150分）

一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）

1.tan45°的值等于（)

A.g；B.1；C.也.D.

2V

2

2.如果±=工=三聲0,那么代數(shù)式的值是（)

345xz

80362412

B.—C.D.

515I?T

3.ABC中，。、E分別是邊A3、AC上的點(diǎn),下列各式中，能判斷。后〃8C的是（）

AEADAEDEADAEDEAD

B.——C-------D.--------

A6-ACACBC,BDCEBCAC

4.已知非零向量a、8和c，下列條件中不能判定a〃匕的是（）

A.a=2hB-\a\=2\b\C.a=—2hD.a-c>b=2c

5.已知平面直角坐標(biāo)系X。），中，第一象限內(nèi)射線。4與x軸正半軸的夾角為a,點(diǎn)P在射線Q4上，如果

4

<?5]=《且02=5,那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）

A.（3,4）B,（4,3）C.（3,5）D.（5,3）

6.某同學(xué)對(duì)如下的問(wèn)題進(jìn)行探究.如圖，_ABC中，AB=AC,點(diǎn)E、F在邊8c上，ZEAF=ZB.由上述條

件該同學(xué)得到以下兩個(gè)結(jié)論：

①EFCE=AE'?BF-CE=AC2

對(duì)于結(jié)論①和②下列說(shuō)法正確的是（）.

A①錯(cuò)誤，②正確；B.①正確，②錯(cuò)誤；C.①和②都正確；D.①和②都錯(cuò)誤.

二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

cbc

7.如果一=3,-=9,那么一二________.

haa

8.計(jì)算：2a-[a-b^=.

9.計(jì)算：sin450+cos45°=.

10.已知八ARCs八DEF,其中頂點(diǎn)A、B、C分別對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)￡＞、E、F,如果NA=45°,ZE=60°,那么

ZC=________

11.已知線段AB的長(zhǎng)為4,點(diǎn)尸為線段AB上的一點(diǎn)，S.AP2=PBAB＜那么線段AP=.

12.向量q和單位向量e的方向相反，且忖=4,那么“=.（用e表示）.

13.Rt/VIBC中，ZC=90°,ZA=a,BC=3,那么AB=.（用a表示）

14,已知兩個(gè)相似三角形的一組對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)分別是14和9,如果它們的周長(zhǎng)相差20,那么較大三角形的周長(zhǎng)為

15.如圖，點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)￡＞、E、F分別位于同一條直線上，如果〃。/且。七：￡?=2:3,

AC=10,那么BC=.

A

16.n△ABC中，ZC=90°,AB=4，fiC=2>/3.貝ijcos,=

17.如圖，等邊三角形，點(diǎn)。、E分別在邊BC、A8上，NAOE=60°,如果8O=4OC,

DE=4,那么AD=.

18.如圖，在正方形ABC。中，E是邊A3的中點(diǎn)，將cBCE沿直線CE翻折后，點(diǎn)8落在點(diǎn)M處，連接AM并

延長(zhǎng)與邊。。交于點(diǎn)N,那么AM:MN的值為.

三、解答題（本大題共7題，其中第19至22題每題10分，第23至24題每題12分，第25題14

分，滿分78分）

19.計(jì)?算；|tan300-1|-(-1)2023+cos450-I

AH3

20.如圖，已知力、E分別是jABC的邊AB、AC上的點(diǎn)，DE//BC,——=二.

BD2

(2)聯(lián)結(jié)設(shè)AB=a，BC=b，試用向量a、Z;表示向量8E.

21.如圖，在四邊形A8CO中，對(duì)角線AC與3。交于點(diǎn)E,ZBAC=ZBDC=90°,

(2)如果42=在，求等店的值.

BC4b^BCE

2

22.如圖，RtZ\A3C中，ZC=90°,cosA=-,。是邊AC的中點(diǎn)，連結(jié)8D.

(1)已知3C=百，求AB的長(zhǎng);

(2)求cotNABD值.

23.某社區(qū)兩條平行的小道之間有一塊三角形空地.如圖，這兩條小道加、〃之間的距離為9米，表示這塊

空地，8c=36米.現(xiàn)要在空地內(nèi)劃出一個(gè)矩形OG//E區(qū)域建造花壇，使它的一邊在8c上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別

在邊AB、ACL.

(1)如果矩形花壇的邊DG:￡>E=1:2,求出這時(shí)矩形花壇的兩條鄰邊的長(zhǎng)；

(2)矩形花壇的面積能否占空地面積的高？請(qǐng)作出判斷并說(shuō)明理由.

24.如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知直線y=-2x+4與X軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B,將該直線向上平移，使點(diǎn)A

落在點(diǎn)尸處，平移后所得直線與x軸交于點(diǎn)C.

(1)求NAPC的正切值；

(2)如果四邊形ACP3是等腰梯形，求平移后的直線表達(dá)式；

(3)如果zMPB與△APC相似，求這時(shí)四邊形ACPB的面積.

25.已知中，AB=AC=5,BC=8,E是射線B4上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B重合)，線段BE的垂直平分線與邊

BC交于點(diǎn)D.

①如圖1,連接CE,如果CE平分NAC3,求3。的長(zhǎng)；

②如圖2,射線。石交射線C4于點(diǎn)凡設(shè)AF=y,求y關(guān)于x的的數(shù)解析式，并寫出定義域.

(2)如果.CD￡是直角三角形，求8。的長(zhǎng).

2023學(xué)年第一學(xué)期期中九年級(jí)數(shù)學(xué)練習(xí)卷

（考試時(shí)間100分鐘，滿分150分）

一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）

1.tan45°的值等于（

C.”

【答案】B

【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)tan45。=1即可求解，正確掌握幾個(gè)特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)

鍵，屬于基礎(chǔ)題.

【詳解】解：tan45°=l.

故選：B.

2.如果2=2=三力0,那么代數(shù)式+"的值是（）

345位

836〃2412

A.-B.—C.—D.—

515155

【答案】B

【分析】本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是采用換元法即可解答.

【詳解】解：設(shè)==2=三=々，

345

:.x=3k,y=4Z,z=5k,

(4Z)2+5ZX4Z

3kx5k

16公+20公

15p

36

15

故選：B

3._A8C中，D、E分別是邊A3、AC上的點(diǎn)，下列各式中，能判斷。石〃8C的是（）

AEADAEDEADAEDEAD

A------------B-----------C-----------D------------

ABAC'ACBCBDCEBCAC

【答案】C

【分析】根據(jù)兩直線被第三條線段所截，對(duì)應(yīng)線段成比例，兩直線平行逐項(xiàng)判斷即可.掌握“如果一條直線截三角

形的兩邊所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三條邊”是解題的關(guān)鍵.

1

AcADAPAD

A選項(xiàng):由嚶=黑可得o七〃BC，但——=丁不能得到。石〃BC；

ACABABAC

ARDE

B選項(xiàng):由＞不一定得到DE//BC；

ACBC

Af'）Ap

C選項(xiàng):由一=——可得DE〃BC；

BDCE

nrAn

D選項(xiàng):由一=—不一定得到DE//BC.

BCAC

故選：c

4.已知非零向量6和c，下列條件中不熊判定a〃〃的是（）

A.a=2bB.忖=2忖C.a=-2bD-a=c，b=2c

【答案】B

【分析】根據(jù)向量平行向量的定義“方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量”進(jìn)行逐一判定即可.

【詳解】A選項(xiàng)，由于”=28，所以。、/7的方向相同，所以a〃萬(wàn)，不符題意；

B選項(xiàng)，因?yàn)橥?2忖，所以。、人方向不能確定，故不能判定其位置關(guān)系，符合題意；

C選項(xiàng)，因?yàn)椤?一如，所以a、8的方向相反，故“〃人的，不符題意：

D選項(xiàng)，因?yàn)閐=e,所以a和c的方向相同，由于8=2c，所以/?和c的方向相同，所以a、b、c的方向相

同，所以a〃方，不符題意.

故選：B.

5.已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，第一象限內(nèi)射線。4與x軸正半軸的夾角為a,點(diǎn)P在射線Q4上，如果

4

cosa=1且0P=5,那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）

A.（3,4）B,（4,3）C.（3,5）D.（5,3）

【答案】B

【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)；過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)”，根據(jù)“銳角的鄰邊與斜邊的比叫做該銳角的余

弦”可得?！?4,再由勾股定理求出P”=3,即可.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)尸作無(wú)軸于點(diǎn)H,

.OH0H_4

"~OP~~T~5,

解得：。〃=4,

?*-PH=S產(chǎn)-0H。=3,

.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)是（4,3）.

故選：B

6.某同學(xué)對(duì)如下的問(wèn)題進(jìn)行探究.如圖，中，AB=AC,點(diǎn)E、尸在邊BC上，ZEAF=ZB.由上述條

件該同學(xué)得到以下兩個(gè)結(jié)論：

①EF-CE=AE，?BFCE^AC2

對(duì)于結(jié)論①和②下列說(shuō)法正確的是（）.

BEFC

A①錯(cuò)誤，②正確；B.①正確，②錯(cuò)誤;C.①和②都正確;D.①和②都錯(cuò)誤.

【答案】C

【分析】本題考查了等邊對(duì)等角，相似三角形的判定與性質(zhì).熟練掌握：等邊對(duì)等角，相似三角形的判定定理,

根據(jù)相似寫出比例關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

EFAE

由=可得ZB=NC,NEAF=NC,證明，-.EFA^EAC,則一=一，即

AECE

CEAC

EFCE=AE?，可判斷①的正誤；由.EE4sAEB,出。，可得」E4CSAFB,則一=——

ABBF

即=A3-AC=AC2,可判斷②的正誤.

【詳解】解：=

,ZB=NC,

'：ZEAF=&

：.ZEAF=ZC,

VZEAF=ZB，NEFA=ZAFB,

：..EFA^^AFB,

'：ZEAF=ZC,ZAEF=ZCEA,

：.EFA^EAC,

EFAE

——=—,即￡7JCE=4￡2,①正確，故符合要求；

A.ECE

,/EFA^AFB,4sEAC,

：.EACsAFB,

CEAC

???一二——，即8產(chǎn)?。七=48?4。=4。2,②正確，故符合要求;

ABBF

故選：C.

二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

cbc

7.如果一=3,-=9,那么一=_________.

baa

【答案】27

【分析】本題考查比例的性質(zhì)，根據(jù)兩個(gè)比例式，得到。與。的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)行求解即可.

cb

【詳解】解：???7=3,-=9,

ba

:?c=3b,b=9a,

C=27Q，

二=27；

a

故答案為：27.

8.計(jì)算：2a-[a-b^=

【答案】a+b

【分析】本題考查了平面向量的運(yùn)算，利用平面向量的加減運(yùn)算法則直接計(jì)算即可.

【詳解】解：2a-^a-b^-2a—a+b-a+h.

故答案為：a+b

9.計(jì)算：sin450+cos45°=.

【答案】yf2

【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值運(yùn)算，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：原式=變+，2

22

=A/2,

故答案為近.

10.已知△ABCs^DEF,其中頂點(diǎn)A、B、C分別對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)E、F,如果NA=45°,ZE=60°,那么

ZC=°.

【答案】75

【分析】本題考查相似三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，用相似三角形的性質(zhì)得出NB=NE=60。是解決問(wèn)題的

關(guān)鍵.

【詳解】解：:△ABCsao砂，N￡=60。，

ZB=ZE=60°,

NC=180°-ZA-NB=180°-45°-60°=75°,

故答案為：75.

11.已知線段的長(zhǎng)為4,點(diǎn)P為線段A3上的一點(diǎn)，且AP2=PB-AB，那么線段AP=

【答案】-2+275##275-2

【分析】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意設(shè)AP=x,則BP=4—x,根據(jù)“AP2=PBAB”，列出方

程，是解題關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)4P=x,則BP=4—x,

AP2=PBAB，

：.x2=4（4—x）,

即爐+4%-16=0，

解得：x=—2+2石（負(fù)值舍去），

即AP=-2+2右.

故答案為：—2+26

12.向量。和單位向量e的方向相反，且慟=4,那么a=.（用e表示）.

【答案】-4e

【分析】本題考查了向量的定義，根據(jù)向量a和單位向量e的方向相反，且向量的長(zhǎng)度為4即可求解.

【詳解】解：由題意得：a=-4e；

故答案：一4e-

13.RtAiABC中，ZC=90°,ZA=a,BC=3,那么A8=.（用a表示）

3

【答案】--

sina

【分析】本題考查解直角三角形的知識(shí)，利用/A的正弦值解答即可.

【詳解】解：RtZVLBC中，ZC=90°,ZA=a，

BC

..sinoc=---,

AB

BC=3,

3

\AB=----.

sina

3

故答案為：一一.

sina

14.已知兩個(gè)相似三角形的一組對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)分別是14和9,如果它們的周長(zhǎng)相差20,那么較大三角形的周長(zhǎng)為

【答案】56

【分析】本題考查相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，結(jié)合已知條件，設(shè)未知數(shù),列出方程,

進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：由題意，得：兩個(gè)相似三角形的相似比為：14:9,

.?.兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)比為14:9，

設(shè)較大三角形的周長(zhǎng)為14x,則，較小三角形的周長(zhǎng)為9x,

\4x-9x—20?解得：x=4,

較大三角形的周長(zhǎng)為14x4=56；

故答案為：56.

15.如圖，點(diǎn)4、B、C和點(diǎn)￡＞、E、尸分別位于同一條直線上，如果AD〃BE〃CF,且DE:EF2:3,

AC=10，那么=.

【答案】6

【分析】本題考查了平行線分線段成比例，熟練掌握平行線分線段成比例得比值是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：DE:EF=2:3,

3

：.EF=-DE,

2

AD//BE//CF,

、ABDE_DE_DE_2

~AC~~DF~DE+EF~nFa_3，

Ut,H—UtL

2

22

\AB=-AC=~?104,

55

\BC=AC-AB=6,

故答案為：6.

A

16.8△ABC中，NC=90°,AB=4，BC=2#＞，貝iJcos,=

【答案】1##0.5

【分析】根據(jù)NA的正弦求出NA=60°,再根據(jù)30。的正弦值求解即可.

【詳解】解：如圖所示,

，ZA=60°，

/.sin—=sin30=—.

22

故答案為：-

【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟記30。、45。、60。角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

17.如圖，..A5C為等邊三角形，點(diǎn)。、E分別在邊BC、A8上，ZADE=60°,如果BD=4DC，

DE=4,那么A￡)=

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)等，由等邊三角形的性質(zhì)可證N89E=NC4Z),

DFHD

從而可證△B￡)EsC4Z),從而可得——=—,再由班>=4￡>C求出C4,即可求解.

ZXADCA

【詳解】解：_ABC為等邊三角形,

/.ZB=ZC=60°,CA=BC,

：.ZADC+ZCAD=\20°,

ZADE=60°,

.?.NBOE+NAZ)C=120。，

:.NBDE=NCAD,

.-.ABDE^ACAD,

DEBD

,AD-C4(

BD=4DC，

..CA=BC=5DC,

.44DC

5DC'

解得：AD=5；

故答案：5.

18.如圖，在正方形ABCO中，E是邊AB的中點(diǎn)，將二BCE沿直線CE翻折后，點(diǎn)B落在點(diǎn)〃處，連接AM并

延長(zhǎng)與邊CO交于點(diǎn)N,那么的值為.

A,__________,D

【答案】2:3

【分析】連接BM,正方形和翻折的性質(zhì)，得到AE=3E=ME,CELBM,設(shè)AE=BE=ME=a,等邊對(duì)

等角結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理，求出NAMB=90。，得到BM_LAN,進(jìn)而得到AN〃CE，得到四邊形AECN

為平行四邊形，得到CN=AE,求出DN,勾股定理求出AN的長(zhǎng)，根據(jù)同角的余角相等，得到

tan=tanNBCE=L,結(jié)合勾股定理求出AM的長(zhǎng)，進(jìn)而得到MN的長(zhǎng)，即可得出結(jié)果.

2

【詳解】解：???四邊形A3CD為正方形，￡為的中點(diǎn)，

AAB^BC^CD^AD,AE=BE,NABC=NAZX?=90。，ABCD,

連接8M，如圖，

:翻折，

CELBM,BE=ME,

AE=BE=ME，

：.N1=N2,N3=N4,

；Zl+Z2+Z3+Z4=180°,

.../2+/4=9()°,即：ZAMB=90°,

，BMLAN,

：.AN//CE,

?：AE//CN,

，四邊形AECN為平行四邊形，

:.CN=AE,

設(shè)AE=BE=ME=a,

則：AB=BC=CD=AD=2a,CN=a,

：.DN=CD—CN=a,

在中，AN=yjAD2+DN2=45a;

?ZBMICE,ZABC=90°,

：.N1=ZBCE=90。一/MBC,

/…一BE1AM1

tan/ABM=tanZ.BCE==—,Q即rl：----=—

BC2BM2

???BM=2AM，

???AB=y/AM2+BM2=亞AM=la，

.._2也

,,AM-......ci>

5

3R

/.MN=AN-AM=-a>

5

，AM:MN=—a:述a=2:3;

55

故答案為：2:3.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形中的折疊問(wèn)題，勾股定理，解直角三角形，平行四邊形的判定和性質(zhì).本題的綜合性

強(qiáng)，難度較大，屬于壓軸題.根據(jù)題意，正確的畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共7題，其中第19至22題每題10分，第23至24題每題12分，第25題14

分,滿分78分）

19.計(jì)算；|tan300-1|-(-1)"°23+cos450-

【答案］土］叵

3

a(a>0)

【分析】由回=｛。(。=0)、二次根式化簡(jiǎn)、特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)后，再進(jìn)行計(jì)算，即可求解.

-<0)

【詳解】解:原式由-1

3''22

=1一立+1

3

6-73

=------.

3

【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)混合運(yùn)算，掌握絕對(duì)值的性質(zhì)，最簡(jiǎn)二次根式的化法，特殊角的三角函數(shù)值是解題的

關(guān)鍵.

An3

20.如圖，已知。、E分別是的邊AB、AC上的點(diǎn)，DE//BC,——=-.

BD2

(2)聯(lián)結(jié)3E,設(shè)A8=a，BC=b，試用向量a、6表示向量

3

【答案】(1)-

23

(2)BE=——a+—b

55

【分析】本題考查相似三角形的判定及性質(zhì)，平面向量，熟練掌握相似三角形的判定方法及性質(zhì)、平面向量三角

形法則是解答本題的關(guān)鍵.

【小問(wèn)1詳解】

解：:〃8C,

:./ADE=/ABC,ZAED^ZACB,

：.AADEsAABC,

ADDE

AB—BC

33

：—AD=一,則nI一AD=----A-D----=一

BD2ABAD+BD5

.DEAD3

"^C~~AB~5

【小問(wèn)2詳解】

^ADE^ABC,

ADAE3….3

..==一,貝?。軦E-AC,

ABAC55

：.CE=-AC

5

AB=a，BC=b，

：?AC=AB+BC=a+b，

2222

:.CE=-CA=—AC——ci—b

5555f

（22、23

.?.BE=BC+CE=h+\一一a一一h=一一a+-h.

I55）55

21.如圖，在四邊形ABC。中，對(duì)角線AC與30交于點(diǎn)E,ZBAC=NBDC=900,

（2）如果42=且，求的值.

BC434BCE

【答案】（1）見解析（2）—

16

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，（1）根據(jù)兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似；（2）利用相似三角形

面積比等于相似比的平方即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

證明：Na4C=NB￡）C=90°,

又ZAEB=NDEC,

:./\ABEsADCE：

【小問(wèn)2詳解】

解：ABEs,DCE,

.AEBE

'~DE~~CE'

ZAED=ZBEC,

：.AED^BEC,

AD亞

---=---，

BC4

\S4ADE-9

S&BCE16

2

22.如圖，Rt/XABC中，ZC=90°,cosA=-,。是邊AC的中點(diǎn)，連結(jié)

3

（1）已知3C=石，求A3的長(zhǎng);

(2)求cotNABO的值.

【答案】(1)A5=3；

7/s

(2)cotZABD=-.

5

【分析】本題考查了解直角三角形，掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)題意設(shè)AC=2a,則A3=3a,利用勾股定理列式計(jì)算求得a=l,據(jù)此求解即可；

（2）作。于E，求得AD=1,利用余弦函數(shù)求得AE=g,再利用勾股定理和余切函數(shù)定義求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

AQ2

解：'/ZC-90°,cosA=——=-,

AB3

設(shè)AC=2a,則AB=3a,

BC2=AB--AC1^即（3a）J（2a）2=（行『，

解得Q=1,

I.AB=3；

【小問(wèn)2詳解】

解：作。石于￡,

c

由（1）得AC=2,

是邊AC的中點(diǎn),

AD^-AC^\,

2

“2

*/cosA=—,

3

,AE2

??=一，

AD3

AE^-,

3

27_________[Z

：.BE=AB-AE=3——=一，DE=\lAD2-AE2=—

333

7

/ADCBE3775

.?.cotZABD=----==-----

DE5,

T

23.某社區(qū)兩條平行的小道之間有一塊三角形空地.如圖，這兩條小道加、”之間的距離為9米，_48c表示這塊

空地，BC=36米.現(xiàn)要在空地內(nèi)劃出一個(gè)矩形。GHE區(qū)域建造花壇，使它的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別

在邊AB、AC上.

(1)如果矩形花壇的邊。G:/龍=1:2,求出這時(shí)矩形花壇的兩條鄰邊的長(zhǎng);

(2)矩形花壇的面積能否占空地面積的°?請(qǐng)作出判斷并說(shuō)明理由.

9

【答案】(1)這時(shí)矩形花壇的兩條鄰邊的長(zhǎng)分別為6米和12米

(2)不能，理由見解析

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及二次函數(shù)的應(yīng)用，正確理解題意、熟練掌握相似三角形的性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

(1)過(guò)點(diǎn)A作AP_L3C于點(diǎn)尸，交DE于前Q,設(shè)。G=x,則。￡=2x,AQ=9-x,易證得

AADE^ABC,由相似三角形的性質(zhì)可得絲=絲，即可得到答案；

BCAP

（2）設(shè)。E=a,由（1）知人4￡歷84轉(zhuǎn)。，得黑=誓，并用。表示出。G,由矩形的面積公式得到關(guān)于。

Ov-/1I

的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得矩形。GHE面積的最大值，與空地面積的3相比較，即可得到結(jié)論.

9

【小問(wèn)1詳解】

解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作APL3C于點(diǎn)尸，交DE于點(diǎn)、Q，

E

PHC

設(shè)DG=x,則￡>￡=2x,AQ=9-x,

DE//BC，

??△ADEABC，

DEAQ

一法一族‘

2x9-x

一=----,

369

解得：x=6,

\DG=6,D￡=2x6=12,

這時(shí)矩形花壇的兩條鄰邊的長(zhǎng)分別為6米和12米.

【小問(wèn)2詳解】

解：不能，理由如下：

設(shè)￡>E=a,

由（1）知△ADES/\A5C,

DEAQ

‘?茄一麗’

.±_AQ

一36一9，

解得：4。=:，

4

.?.DG-9--,

4

矩形OGHE的面積為OExDG=-9，］=-e+9〃=」（“-18），81,

\4744

矩形花壇的面積最大為81m2，

又「空地面積的2為=’x36x9x*=90（m2）,81<90,

929

故矩形花壇的面積不能占空地面積的3.

9

24.如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知直線＞=-2%+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B,將該直線向上平移，使點(diǎn)A

落在點(diǎn)P處，平移后所得直線與x軸交于點(diǎn)C.

(1)求NAPC的正切值；

(2)如果四邊形ACPB是等腰梯形，求平移后的直線表達(dá)式；

(3)如果與△APC相似，求這時(shí)四邊形ACP3的面積.

【答案】(Dy

32

(2)y=-2x+—

,、…45

(3)8或—

4

【分析】(1)先求出A3的坐標(biāo)，設(shè)向上平移加個(gè)單位，得到直線PC的解析式，進(jìn)而得到C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)正切

的定義，進(jìn)行求解即可；

(2)根據(jù)平移，得到AB〃2C,進(jìn)而得到當(dāng)四邊形ACP8是等腰梯形時(shí)，AC=BP,過(guò)點(diǎn)P作尸。_Ly軸，

在RtmPE歸中，利用勾股定理，求出加的值，即可；

(3)分APACS_APB和_CAPs_PBA兩種情況進(jìn)行討論求解.

小問(wèn)1詳解】

解：：y=-2x+4,

...當(dāng)x=0時(shí)，y=4,當(dāng)y=0時(shí)，x=2,

：.A(2,0),3(0,4),

設(shè)直線向上平移"?個(gè)單位，則點(diǎn)A平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P(2,〃z),平移后直線的解析式為y=-2x+4+m,

m

，當(dāng)y=0時(shí)，x=2H—,

2

C（2+￡,0）,

m

AP_Lx軸，AP-m,AC--,

2

【小問(wèn)2詳解】

AB//PC,

.?.當(dāng)四邊形ACPB是等腰梯形時(shí)，BP=AC,

由（1）知：P（2,〃z）,AC*,

過(guò)點(diǎn)尸作尸。,y軸于點(diǎn)。,

:?PD=2,OD=m,

'：8（0,4）,

:.OB=4,

BD-m—4,

在Rt_PDB中，由勾股定理，得：PB?=PD?+BD2，

解得：m=4（不合題意，舍去）或加=一；

3

2032

直線的解析式為：y=-2x+4+—=-2x+—

33i

【小問(wèn)3詳解】

①當(dāng)二24cs二APB時(shí)，如圖：

；?AB=CP，

二四邊形ACPB為平行四邊形,

，BP〃x軸,

???8（0,4）,

.?.P（2,4）,

???8尸=2，AP=4，

四邊形ACPB的面積為2x4=8；

當(dāng)4c4Psp班時(shí)，如圖：

則：N~R4=90°=N24C,ZPAB=ZAPC,

tanAPAB=tanZAPC,

由（1）知tanNAPC=—,

2

,…PB1

??tan/PAB-——,

AB2

PB=-AB,

2

VA（2,0）,B（0,4）,

?*-A6=@+42=26，

PB=y/5,AP=^PB2+AB2=5>

5

AC=-AP

22

四邊形ABPC的面積為SAPB+SAPC=2*2x5/5+—x—x5=

45

綜上：四邊形A3PC的面積為8或一.

4

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)圖象的平移，解直角三角形，勾股定理，等腰梯形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性

質(zhì).解題的關(guān)鍵是讀懂題意，正確的畫出圖象，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解，屬于壓軸題.

25.已知_ABC中，AB=AC=5,BC=8,E是射線B4上一點(diǎn)（不與點(diǎn)2重合），線段BE的垂直平分線與邊

BC交于點(diǎn)D.

①如圖1,連接CE,如果CE平分求BD的長(zhǎng);

②如圖2,射線。E交射線C4于點(diǎn)尸，設(shè)8D=x,AF=y,求y關(guān)于x的的數(shù)解析式，并寫出定義域.

（2）如果,CDE是直角三角形，求3。的長(zhǎng).

2540125

【答案】25.①3。=石②丁=—石％+行

8

7-25

26.一或一

44

【分析】（1）①連接DE,在BC上截取CM=C4,連接￡M，過(guò)A點(diǎn)作AN,3c于點(diǎn)N,證得

EA=EM=ED=BD，然后表示出BG長(zhǎng)，利用,BOGs"N得到也=四，代入計(jì)算解題即可；②過(guò)點(diǎn)

BNBA

E作EQL5C于點(diǎn)。，點(diǎn)F作EPLAB于點(diǎn)P,根據(jù)相似三角形用x,N表示得到BE，AP和收的長(zhǎng)，然

后利用AB=BE+￡P(guān)+B4得到關(guān)系式；

（2）分NDEC=90°和ZDCE=90°兩種情況分別畫圖解題即可.

【小問(wèn)1詳解】

①連接DE,在BC上截取CM=C4,連接￡M，過(guò)A點(diǎn)作ANL8C于點(diǎn)N,

BN=-BC=4,

2

AN7AB2-BN?='52-42=3,

設(shè)8￡>=x,

;線段BE的垂直平分線與邊BC交于點(diǎn)，

:.BD=DE=x,BG=GE=LBE,

2

：.ZB=ABED,

：.NEDC=2/B,

：.ZBAC+NB+NC=ABAC+2AB=ZBAC+ZEDC=180°,

CE平分NACB,

，NBCE=ZACE,

又,：AC=CM,CE=CE,

；.-ECAWECM,

:.EA=EM，ZEAC=/EMC,

ZEMC+ZEMD^180°

/.ZEMD=ZEDC